Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Verfahrens die Präzedenz und den Status der RPOS solange wie möglich offen lassen und
diese erst Schritt für Schritt festlegen.) In Schritt 1 und 2 werden die Gleichungen aus E so
orientiert, dass die linken Seiten jeweils ≻-größer als die rechten Seiten sind. Triviale Gleichungen
der Forms = s werden hierbei weggelassen. Dies stellt sicher, dass das entstehende
TES R 0 terminiert.
In Schritt 4 werden für alle kritischen Paare 〈s,t〉 des aktuellen TES die entsprechenden
Normalformen s ′ und t ′ berechnet. Falls s ′ = t ′ gilt, so ist dieses kritische Paar zusammenführbar
und damit unproblematisch. Ansonsten versucht man, die Gleichung s ′ ≡ t ′ in
eine Termersetzungsregel zu orientieren, deren Terminierung mit ≻ nachgewiesen werden
kann. Falls dies gelingt, so wird die Regel dem bisherigen TES hinzugefügt. Auf diese Weise
entsteht aus dem bisherigen TES R i ein neues TES R i+1 .
Aufgrund der Konstruktion der TESe ist die Terminierung aller R i stets sicher gestellt,
da sie nur Regeln l → r mit l ≻ r enthalten. Ebenso ist auch sicher gestellt, dass alle R i
zu E äquivalent sind. Die Adäquatheit folgt aus der Adäquatheit von R 0 und daraus, dass
R 0 ⊆ R i für alle i gilt. Die Korrektheit folgt, da kritische Paare stets R i -gleiche Terme in
Beziehung setzen.
Falls in dem Schritt von R i zu R i+1 keine neuen Regeln hinzugefügt werden, dann sind
alle kritischen Paare von R i zusammenführbar. Daher ist R i lokal konfluent und aufgrund
der Terminierung auch konfluent. In diesem Fall ist R i also ein konvergentes zu E äquivalentes
TES und dieses wird ausgegeben.
Ein Fehlschlag des Algorithmus entsteht, wenn neu hinzuzufügende Gleichungen mit
der Reduktionsordnung ≻ nicht orientiert werden können. In diesem Fall könnte man den
Vervollständigungsalgorithmus erneut mit einer anderen Reduktionsordnung ≻ ′ starten.
Neben dem Erfolgsfall und dem Fehlschlag kann es auch passieren, dass der Algorithmus
nicht terminiert. In diesem Fall werden insgesamt unendlich viele neue Regeln erzeugt.
Die folgenden Beispiele zeigen die drei verschiedenen Verhaltensweisen des Algorithmus.
Beispiel 6.1.3 Wir betrachten eine Gleichung zur Axiomatisierung sogenannter zentraler
Gruppoide.
E = {f(f(x,y),f(y,z))≡ y}
Wir rufen BASIC COMPLETION mit E und einer (geeignet zu bestimmenden) Simplifikationsordnung
≻ auf. Bei jeder Simplifikationsordnung ≻ gilt f(f(x,y),f(y,z))≻ y und somit
ergibt sich
R 0 = {f(f(x,y),f(y,z)) → y}.
Nun berechnen wir R 1 . Hierzu werden die kritischen Paare von R 0 bestimmt, die sich
durch Überlappung von f(f(x,y),f(y,z)) → y mit seiner variablenumbenannten Kopie
f(f(x ′ ,y ′ ),f(y ′ ,z ′ )) → y ′ an den Stellen 1 und 2 ergibt. Die Überlappung an der Stelle
1 verwendet den mgu {x ′ /f(x,y),y ′ /f(y,z)}. Dies entspricht der kritischen Situation
f(f(f(x,y),f(y,z)),f(f(y,z),z ′ ))
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f(y,z) f(y,f(f(y,z),z ′ ))