Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

DasVerfahrenwirdnunsolangewiederholt,biskeineneuenRegelnmehrentstehen, d.h.,
bis alle kritischen Paare zusammenführbar sind. Wie in Abschnitt 3.3 erwähnt, erhält man
so eine Folge R 0 ,R 1 ,R 2 ,... von TESen, die alle zu E äquivalent sind. Wie dort erläutert
wurde, gibt es 3 Möglichkeiten für diesen Prozess:
1. Man könnte nach einigen Iterationen ein TES R n erhalten, dessen kritische Paare
alle zusammenführbar sind. Dann endet das Verfahren mit Erfolg, denn R n ist ein
konvergentes und zu E äquivalentes TES.
2. Es könnte sein, dass man bei einem TES R n in der Folge die Terminierung nicht
nachweisen kann. (Dies kann daran liegen, dass es wirklich nicht terminiert oder dass
unser hinreichendes Kriterium der Terminierungsüberprüfung mit der RPOS nur die
Terminierung nicht nachweisen kann.) Nun bricht man mit Misserfolg (“Fail”) ab.
Immerhin erkennt man in diesem Fall den Misserfolg und könnte z.B. mit einem
verbesserten Terminierungstest einen neuen Vervollständigungsversuch starten.
3. Schließlich kann es auch passieren, dass zwar alle R i in der Folge terminieren, man
aber kein konfluentes TES erreicht. Dann terminiert das Vervollständigungsverfahren
nicht und in diesem Fall erkennen wir daher die Erfolglosigkeit des Verfahrens auch
nicht.
Eine generelle Vermeidung der letzten beiden Möglichkeiten ist prinzipiell nicht möglich,
da das Wortproblem im allgemeinen unentscheidbar ist. (Selbstverständlich kann man aber
natürlich versuchen, bessere Vervollständigungsalgorithmen zu entwickeln, die häufiger erfolgreich
sind, vgl. Abschnitt 6.2.) Man erhält demnach den folgenden Algorithmus BA-
SIC COMPLETION.
Algorithmus BASIC COMPLETION(E,≻)
Eingabe: Ein Gleichungssystem E und eine Reduktionsordnung ≻.
Ausgabe: Ein zu E äquivalentes konvergentes TES R
oder “Fail” oder Nicht-Terminierung.
1. Falls es s ≡ t ∈ E mit s ≠ t, s ⊁ t und t ⊁ s gibt,
dann gib “Fail” aus und brich ab.
2. Setze i = 0 und R 0 = {l → r|l ≻ r und l ≡ r ∈ E oder r ≡ l ∈ E}.
3. Setze R i+1 = R i .
4. Für alle 〈s,t〉 ∈ CP(R i ):
4.1. Berechne R i -Normalformen s ′ und t ′ von s und t.
4.2. Falls s ′ ≠ t ′ , s ′ ⊁ t ′ und t ′ ⊁ s ′ ,
dann gib “Fail” aus und brich ab.
4.3. Falls s ′ ≻ t ′ , dann setze R i+1 = R i+1 ∪{s ′ → t ′ }.
4.4. Falls t ′ ≻ s ′ , dann setze R i+1 = R i+1 ∪{t ′ → s ′ }.
5. Falls R i+1 = R i , dann gib R i aus und brich ab.
6. Setze i = i+1 und gehe zu Schritt 3.
In diesem Algorithmus gehen wir davon aus, dass die verwendete Reduktionsordnung ≻
bereits als Eingabe gegeben ist. (Wie erwähnt, sollte man bei der Implementierung dieses