Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

entspricht. Dabei soll natürlich die Terminierung erhalten bleiben, d.h., wir verwenden die
RPOSausdem Terminierungsbeweis vonR 0 , umzuentscheiden, in welcher Richtung dieses
Paar orientiert werden soll. Selbstverständlich geht man hierbei wieder so vor, dass man
möglichst viele Festlegungen der RPOS (wie Präzedenz und Status) solange wie möglich
offen lässt und erst nach und nach bei der Orientierung der Paare diese Festlegungen trifft.
In unserem Beispiel muss das Paar von links nach rechts orientiert werden, denn dann gilt
weiterhin l ≻ rpos r für alle Regeln. Auf diese Weise entsteht das TES R 1 :
R 1 :
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (G1)
f(x,e) → x (G2)
f(x,i(x)) → e (G3)
f(f(x,y),i(y)) → x (G4)
Man erkennt, dass durch (reduzierte) kritische Paare hilfreiche “Lemmata” automatisch
generiert werden, diezumeineninteressante Aussagenüber dieGleichungstheorie darstellen
und die zum anderen für spätere Beweise hilfreich sind.
Die Terminierung von R 1 ist nach Konstruktion sicher gestellt. Ebenso gilt ↔ ∗ R 1
=↔ ∗ R 0
und somit ist auch R 1 äquivalent zu E. Der Grund ist, dass für alle kritischen Paare 〈s,t〉
aus R 0 jeweils s ← R0 p → R0 t gilt. Für die Normalformen s ′ und t ′ von s und t gilt daher
s ′ ← ∗ R 0
p → ∗ R 0
t ′ . Die neuen Regeln in R 1 haben entweder die Form s ′ → t ′ oder t ′ → s ′ . In
beiden Fällen sind die Terme auf den beiden Seiten der Regeln aber ↔ ∗ R 0 äquivalent. Somit
folgt ↔ ∗ R 1
=↔ ∗ R 0
.
R 1 “beschreibt” also die gleiche Theorie wie R 0 , es terminiert weiterhin und die Gründe
fürdieNicht-Konfluenz vonR 0 wurdeninR 1 beseitigt. DurchdieneuhinzugefügtenRegeln
sind nämlich alle kritischen Paare zwischen den R 0 -Regeln zusammenführbar. Allerdings
können durch die neuen Regeln neue kritische Paare entstehen. Diese muss man berechnen
und auf Zusammenführbarkeit überprüfen, um die Konfluenz von R 1 zu untersuchen. In
unserem Beispiel ergeben sich neben (5.7) - (5.9) folgende kritische Paare von R 1 :
〈f(f(x ′ ,f(x,y)),i(y)),f(x ′ ,x)〉 aus (G1) und (G4), zusammenführbar
〈x,f(f(f(x,y),z),i(f(y,z)))〉 aus (G4) und (G1), nicht zusammenführbar
〈x,f(x,i(e))〉 aus (G4) und (G2), nicht zusammenführbar
〈x,f(e,i(i(x)))〉 aus (G4) und (G3), nicht zusammenführbar
〈f(x,y),f(x,i(i(y)))〉 aus (G4) und (G4), nicht zusammenführbar
Nun wird dasVerfahren wiederholt. Hierzu normalisiert mandie obigen kritischen Paare
(mit R 1 ) und fügt die entsprechend orientierten Paare als neue Regeln zu R 1 hinzu (bis auf
die Paare, bei denen die Normalisierung beider Terme zum gleichen Ergebnis führt). Auf
diese Weise entsteht R 2 .
R 2 :
f(x,f(y,z)) → f(f(x,y),z) (G1)
f(x,e) → x (G2)
f(x,i(x)) → e (G3)
f(f(x,y),i(y)) → x (G4)
f(f(f(x,y),z),i(f(y,z))) → x
f(x,i(e)) → x
f(e,i(i(x))) → x
f(x,i(i(y))) → f(x,y)