Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Definition 2.2.1 (Interpretation, Algebra) Für eine Signatur Σ ist eine Σ-Interpretation
ein Tripel I = (A,α,β). Die Menge A ist der Träger der Interpretation, wobei stets
A ≠ ∅ gilt.
Weiter ist α = (α f ) f∈Σ mit α f :
}
A×...×A
{{ }
→ A für f ∈ Σ n . Die Funktion α f heißt
n−mal
die Deutung des Funktionssymbols f unter der Interpretation I.
Die Abbildung β : V → A heißt Variablenbelegung für die Interpretation I. Eine Variablenbelegung
ordnet jeder Variablen x ∈ V ein Element β(x) ∈ A zu.
Zu jeder Interpretation I erhält man eine Funktion I : T(Σ,V) → A wie folgt:
I(x) = β(x) für alle x ∈ V
I(f(t 1 ,...,t n )) = α f (I(t 1 ),...,I(t n )) für alle f ∈ Σ und t 1 ,...,t n ∈ T(Σ,V)
Man nennt I(t) die Interpretation des Terms t unter der Interpretation I.
Eine Σ-Interpretation ohne Variablenbelegung (A,α) wird als Σ-Algebra bezeichnet. Eine
Algebra besitzt also eine Trägermenge und den Funktionssymbolen aus Σ werden Funktionen
auf dieser Trägermenge zugeordnet.
Beispiel 2.2.2 Wir betrachten wieder die Signatur Σ aus Bsp. 2.1.2. Eine Interpretation
für diese Signatur ist beispielsweise I = (A,α,β) mit
A = IN = {0,1,2,...},
α O = 0,
α succ (n) = n+1,
α plus (n,m) = n+m,
α times (n,m) = n·m,
β(x) = 5,
β(y) = 3,
.
Dann ist I(plus(succ(x),y)) = α plus (α succ (β(x)),β(y)) = 9.
Eine weitere Interpretation ist I ′ = (A,α,β ′ ) mit β ′ (x) = 2 und β ′ (y) = 1. Daher folgt
I ′ (plus(succ(x),y)) = 4.
Schließlich betrachten wir auch noch eine dritte Interpretation I ′′ = (A ′′ ,α ′′ ,β) mit
A ′′ = Q, α O ′′ = 0, α′′ succ (x) = x+1, α′′ times (x,y) = x·y und α′′ plus (x,y) = x , falls y ≠ 0 und
y
(x,0) = 0. (Die Deutungen von Funktionssymbolen müssen immer totale Funktionen
α ′′
plus
sein.) Es gilt I ′′ (plus(succ(x),y)) = 6 3 = 2.
Nun können wir die Semantik von Gleichungen definieren, d.h., wir legen fest, welche
Gleichungen t 1 ≡ t 2 wahr sind unter einer Interpretation I bzw. unter einer Algebra A.
Man sagt dann, I bzw. A erfüllt die Gleichung t 1 ≡ t 2 (oder “I bzw. A ist ein Modell von
t 1 ≡ t 2 ”).