Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Kapitel 6
Vervollständigung von
Termersetzungssystemen
Um das Wortproblem für ein Gleichungssystem E zu lösen, versuchen wir, ein zu E äquivalentes
konvergentes TES R zu konstruieren. Damit ist das Wortproblem (mit Hilfe des
Algorithmus WORTPROBLEM) entscheidbar, da dann s ≡ E t genau dann gilt, wenn die
R-Normalformen von s und t identisch sind. In Abbildung 3.1 wurde deutlich, wie man zu
E ein äquivalentes konvergentes TES erhält: Man überführt zunächst die Gleichungen aus E
in Regeln, indem das Gleichheitszeichen ≡ jeweils durch → oder durch ← ersetzt wird. Dies
muss so geschehen, dass die Terminierung des entstehenden TES R nachgewiesen werden
kann. Um die Terminierung von TESen automatisch zu untersuchen, haben wir in Kapitel
4 die Technik der lexikographischen und der rekursiven Pfadordnung bzw. der rekursiven
Pfadordnung mit Status kennen gelernt, die diese beiden Ordnungen verbindet. AnschließendwirddieKonfluenzdesentstandenen
TESRwieinKapitel5überprüft.FallsRsowohl
terminiert als auch konfluent ist, so ist hiermit ein äquivalentes konvergentes TES gefunden
und damit hat man (automatisch) ein Entscheidungsverfahren für E konstruiert. Ansonsten
muss man nun in einem Vervollständigungsschritt (engl. completion) R um neue Regeln
ergänzen und durchläuft dann die Terminierungs- und Konfluenzüberprüfung erneut. Diese
Schritte können beliebig oft wiederholt werden. Das Ziel dieses Kapitels ist, geeignete Vervollständigungsprozeduren
vorzustellen, d.h., Verfahren, die automatisch einen Entscheidungsalgorithmus
zu einem gegebenen Gleichungssystem konstruieren. In Abschnitt 6.1
stellen wir einen ersten Vervollständigungsalgorithmus vor. Dieser wird dann in Abschnitt
6.2 verbessert, wobei wir eine ganze Klasse von Vervollständigungsalgorithmen vorstellen
undKriterienfürihreKorrektheit angeben. Schließlich zeigen wirinAbschnitt 6.3,dasssich
der Vervollständigungsalgorithmus auch verwenden lässt, um Induktionsbeweise zu führen
und dadurch Programme (bzw. Termersetzungssysteme) zu verifizieren.
6.1 Der grundlegende Vervollständigungsalgorithmus
Wir betrachten noch einmal unsere beiden Haupt-Beispiele.
Beispiel 6.1.1 Die folgenden beiden Gleichungen stellen einen Additionsalgorithmus dar.
E = {plus(O,y) ≡ y,plus(succ(x),y) ≡ succ(plus(x,y))}
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