Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

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Damit gilt also Π 1 = A 1 ⊎ B 1 ⊎ C. Analog dazu definieren wir A 2 und B 2 und erhalten Π 2 = A 2 ⊎B 2 ⊎C. Die Menge Π = A 1 ⊎A 2 ⊎C ist offensichtlich eine parallele Menge von Stellen von s und t und an allen Stellen, die oberhalb oder unabhängig von den Stellen in Π sind, haben s und t die gleichen Symbole. Es genügt also zu zeigen, dass es für alle π ∈ Π einen Term q| π gibt mit s| π ⇉ R q| π und t| π ⇉ R q| π . Wenn Π = {π 1 ,...,π n } und q = s[q| π1 ] π1 ...[q| πn ] πn , dann gilt nämlich s ⇉ R q und t ⇉ R q. Wir betrachten zunächst den Fall π ∈ C. Damit folgt p → π R s und p →π R t. Es existieren also zwei Regeln l → r und l ′ → r ′ (die bis auf Variablenumbenennung gleich sein können) sowie eine Substitution σ mit • p| π = lσ = l ′ σ • s| π = rσ • t| π = r ′ σ Da R aber keine kritischen Paare besitzt, folgt l = l ′ und r = r ′ . Damit erhält man also s| π = t| π . Falls man q| π = s| π definiert, folgt damit auch s| π ⇉ ∅ R q| π und t| π ⇉ ∅ R q| π. Nun betrachten wir den Fall π ∈ A 1 . Der Fall π ∈ A 2 ist analog. Seien π 1 ,...,π n die Positionen aus B 2 , die echt unterhalb von π liegen, d.h., π i > IN ∗ π für alle i. Anders ausgedrückt existieren also Stellen π ′ i mit π i = ππ ′ i für alle i. Es existieren dann Regeln l → r, l 1 → r 1 , ..., l n → r n und Substitutionen σ,σ 1 ,...,σ n mit denen die jeweiligen Reduktionen durchgeführt werden. Es gilt also p| π → ε s| π und p| π ⇉ {π′ 1 ,...,π′ n } t| π . Da R keine kritischen Paare besitzt, liegen die Redexe l i σ i im Substitutionsteil von lσ. Der Term l enthält also Variablen x 1 ,...,x n , so dass l i σ i jeweils ein Teilterm von x i σ ist. Hierbei kann auch x i = x j für i ≠ j gelten, d.h., ein x i σ kann mehrere Redexe l i σ i und l j σ j enthalten. Es existiert jeweils eine Stelle τ i mit (x i σ)| τi = l i σ i . Da l linear ist, tritt jedes x i nur genau einmal in l auf. Die Reduktion p| π = lσ ⇉ {π′ 1 ,...,π′ n} t| π bedeutet also, dass nur die Instantiierungen der x i in l geändert werden. Wir definieren eine neue Substitution σ ′ als x i σ ′ = (x i σ)[r i σ i ] τi und xσ ′ = xσ für alle Variablen x /∈ {x 1 ,...,x n }. Dann gilt • p| π = lσ • s| π = rσ • t| π = lσ ′ Wir definieren q| π = rσ ′ . Danngilt offensichtlich t| π → ε R q| π. DerTerm r ist nicht unbedingt linear und er kann daher die Variablen x i mehrfach enthalten. Für jede Stelle δ von r an der eine Variable x i steht, enthalte ∆ die Stelle δτ i . Es gilt nämlich (rσ)| δτi = l i σ i . Man erhält daher s| π = rσ ⇉ ∆ rσ ′ = q| π . Die Konstruktion ist im folgenden Diagramm veranschaulicht: 2 2 Hierbei betrachten wir den Spezialfall, in dem x i σ i nur jeweils ein l i σ i enthält.
p| π = lσ ✱❧ ✱ l ✱ ✱✱ ❧ ❧ ❧ x 1 x n ✜ ✜✜❏ ❏ ✜ ✜❏ ✪ ❏ ✪ . ❏ ✜ ✪ ✪ . ❏ l 1 σ 1 l n σ n ✟ ❍ ✟ ❍❍❍❍❍❍❍❍❥ l → r ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟✙ s| π = rσ ✟ ✦❛❛ r ❛ t| π = lσ ′ ✱❧ ✦ ✦ ✦✦✦✦ ❛ ❛❛ ✱ l x ❛ 1 x 1 x ✱ ❧ n ❛ ✜ ✜✜❏ ❏ ✜ ✜❏ ❏ ✜ ✜❏ ✱✱ x ❧ 1 x n ❧ ❏ ✪ ✪ . ❏ ✜ ✪ ✪ . ❏ ✜ ✪ ✪ . ❏ ✜ ✜✜❏ ❏ ✜ ✜❏ ✪ ❏ l 1 σ 1 l 1 σ 1 l n σ ✪ . ❏ ✜ ✪ ✪ . ❏ n r 1 σ 1 r n σ n ❍ ❍❍❍❍❍❍❍❍❥ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟ ✟✙ ✟ q| π = rσ ′ ✦ ✦✦ ❛❛ ❛ ❛❛ ✦ ✦ ✦✦ r ❛ x ❛ 1 x 1 x n ❛ ✜ ✜✜❏ ❏ ✜ ✜❏ ❏ ✜ ✜❏ ❏ ✪ ✪ . ❏ ✜ ✪ ✪ . ❏ ✜ ✪ ✪ . ❏ r 1 σ 1 r 1 σ 1 r n σ n ✷
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Termersetzungssysteme Jürgen Giesl
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Kapitel 1 Einführung Termersetzung
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Folgende Fragestellungen sind typis
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Die Vorlesung gliedert sich in die
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(1) V ⊆ T (Σ,V) und (2) f(t 1 ,.
Seite 11 und 12:
Definition 2.2.1 (Interpretation, A
Seite 13 und 14:
Die Frage, ob s ≡ E t für zwei T
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Definition 3.1.1 (Substitution und
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Falls t eine Konstante c ∈ Σ 0 i
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(1) ǫ ∈ IN ∗ und (2) iπ ′
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Lemma 3.1.10 (≡ E ist Äquivalenz
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sσ| τ = t 1 σ ′ und tσ = sσ[
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die folgende Variablenbelegung: β(
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hinreichend eindeutig festgelegt. F
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Anders ausgedrückt bedeutet dies,
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Man kann zeigen, dass der Kongruenz
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muss man nur CC S (E) berechnen. Di
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1. Sei S = Subterms(E)∪Subterms(s
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• l ∉ V. Eine Menge R von Regel
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Wortproblem für E dadurch lösen,
Seite 41 und 42:
2. Eskönntesein, dasszwar s ↔
Seite 43 und 44:
Definition 3.3.10 (Normalform) Sei
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Die TESe R 3 und R 4 aus Bsp. 3.3.7
Seite 47 und 48:
Ansonsten gilt s ′ → t. Wegen q
Seite 49 und 50:
für Gleichungen. Um s ≡ E t zu u
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Nun überprüft man, ob die beiden
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3. Schließlich kann es auch passie
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Seite 57 und 58: Beweis. Wir nehmen an, die Induktio
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