Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Damit gilt also Π 1 = A 1 ⊎ B 1 ⊎ C. Analog dazu definieren wir A 2 und B 2 und erhalten
Π 2 = A 2 ⊎B 2 ⊎C.
Die Menge Π = A 1 ⊎A 2 ⊎C ist offensichtlich eine parallele Menge von Stellen von s und
t und an allen Stellen, die oberhalb oder unabhängig von den Stellen in Π sind, haben s
und t die gleichen Symbole. Es genügt also zu zeigen, dass es für alle π ∈ Π einen Term q| π
gibt mit s| π ⇉ R q| π und t| π ⇉ R q| π . Wenn Π = {π 1 ,...,π n } und q = s[q| π1 ] π1 ...[q| πn ] πn ,
dann gilt nämlich s ⇉ R q und t ⇉ R q.
Wir betrachten zunächst den Fall π ∈ C. Damit folgt p → π R s und p →π R t. Es existieren
also zwei Regeln l → r und l ′ → r ′ (die bis auf Variablenumbenennung gleich sein können)
sowie eine Substitution σ mit
• p| π = lσ = l ′ σ
• s| π = rσ
• t| π = r ′ σ
Da R aber keine kritischen Paare besitzt, folgt l = l ′ und r = r ′ . Damit erhält man also
s| π = t| π . Falls man q| π = s| π definiert, folgt damit auch s| π ⇉ ∅ R q| π und t| π ⇉ ∅ R q| π.
Nun betrachten wir den Fall π ∈ A 1 . Der Fall π ∈ A 2 ist analog. Seien π 1 ,...,π n
die Positionen aus B 2 , die echt unterhalb von π liegen, d.h., π i > IN ∗ π für alle i. Anders
ausgedrückt existieren also Stellen π ′ i mit π i = ππ ′ i für alle i. Es existieren dann Regeln
l → r, l 1 → r 1 , ..., l n → r n und Substitutionen σ,σ 1 ,...,σ n mit denen die jeweiligen
Reduktionen durchgeführt werden. Es gilt also p| π → ε s| π und p| π ⇉ {π′ 1 ,...,π′ n } t| π .
Da R keine kritischen Paare besitzt, liegen die Redexe l i σ i im Substitutionsteil von lσ.
Der Term l enthält also Variablen x 1 ,...,x n , so dass l i σ i jeweils ein Teilterm von x i σ ist.
Hierbei kann auch x i = x j für i ≠ j gelten, d.h., ein x i σ kann mehrere Redexe l i σ i und l j σ j
enthalten. Es existiert jeweils eine Stelle τ i mit (x i σ)| τi = l i σ i . Da l linear ist, tritt jedes x i
nur genau einmal in l auf. Die Reduktion p| π = lσ ⇉ {π′ 1 ,...,π′ n} t| π bedeutet also, dass nur
die Instantiierungen der x i in l geändert werden. Wir definieren eine neue Substitution σ ′
als x i σ ′ = (x i σ)[r i σ i ] τi und xσ ′ = xσ für alle Variablen x /∈ {x 1 ,...,x n }. Dann gilt
• p| π = lσ
• s| π = rσ
• t| π = lσ ′
Wir definieren q| π = rσ ′ . Danngilt offensichtlich t| π → ε R q| π. DerTerm r ist nicht unbedingt
linear und er kann daher die Variablen x i mehrfach enthalten. Für jede Stelle δ von r
an der eine Variable x i steht, enthalte ∆ die Stelle δτ i . Es gilt nämlich (rσ)| δτi = l i σ i .
Man erhält daher s| π = rσ ⇉ ∆ rσ ′ = q| π . Die Konstruktion ist im folgenden Diagramm
veranschaulicht: 2
2 Hierbei betrachten wir den Spezialfall, in dem x i σ i nur jeweils ein l i σ i enthält.