Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...
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Damit gilt also Π 1 = A 1 ⊎ B 1 ⊎ C. Analog dazu definieren wir A 2 <strong>und</strong> B 2 <strong>und</strong> erhalten<br />
Π 2 = A 2 ⊎B 2 ⊎C.<br />
Die Menge Π = A 1 ⊎A 2 ⊎C ist offensichtlich eine parallele Menge von Stellen von s <strong>und</strong><br />
t <strong>und</strong> an allen Stellen, die oberhalb oder unabhängig von den Stellen in Π sind, haben s<br />
<strong>und</strong> t die gleichen Symbole. Es genügt also zu zeigen, dass es für alle π ∈ Π einen Term q| π<br />
gibt mit s| π ⇉ R q| π <strong>und</strong> t| π ⇉ R q| π . Wenn Π = {π 1 ,...,π n } <strong>und</strong> q = s[q| π1 ] π1 ...[q| πn ] πn ,<br />
dann gilt nämlich s ⇉ R q <strong>und</strong> t ⇉ R q.<br />
Wir betrachten zunächst den Fall π ∈ C. Damit folgt p → π R s <strong>und</strong> p →π R t. Es existieren<br />
also zwei Regeln l → r <strong>und</strong> l ′ → r ′ (die bis auf Variablenumbenennung gleich sein können)<br />
sowie eine Substitution σ mit<br />
• p| π = lσ = l ′ σ<br />
• s| π = rσ<br />
• t| π = r ′ σ<br />
Da R aber keine kritischen Paare besitzt, folgt l = l ′ <strong>und</strong> r = r ′ . Damit erhält man also<br />
s| π = t| π . Falls man q| π = s| π definiert, folgt damit auch s| π ⇉ ∅ R q| π <strong>und</strong> t| π ⇉ ∅ R q| π.<br />
Nun betrachten wir den Fall π ∈ A 1 . Der Fall π ∈ A 2 ist analog. Seien π 1 ,...,π n<br />
die Positionen aus B 2 , die echt unterhalb von π liegen, d.h., π i > IN ∗ π für alle i. Anders<br />
ausgedrückt existieren also Stellen π ′ i mit π i = ππ ′ i für alle i. Es existieren dann Regeln<br />
l → r, l 1 → r 1 , ..., l n → r n <strong>und</strong> Substitutionen σ,σ 1 ,...,σ n mit denen die jeweiligen<br />
Reduktionen durchgeführt werden. Es gilt also p| π → ε s| π <strong>und</strong> p| π ⇉ {π′ 1 ,...,π′ n } t| π .<br />
Da R keine kritischen Paare besitzt, liegen die Redexe l i σ i im Substitutionsteil von lσ.<br />
Der Term l enthält also Variablen x 1 ,...,x n , so dass l i σ i jeweils ein Teilterm von x i σ ist.<br />
Hierbei kann auch x i = x j für i ≠ j gelten, d.h., ein x i σ kann mehrere Redexe l i σ i <strong>und</strong> l j σ j<br />
enthalten. Es existiert jeweils eine Stelle τ i mit (x i σ)| τi = l i σ i . Da l linear ist, tritt jedes x i<br />
nur genau einmal in l auf. Die Reduktion p| π = lσ ⇉ {π′ 1 ,...,π′ n} t| π bedeutet also, dass nur<br />
die Instantiierungen der x i in l geändert werden. Wir definieren eine neue Substitution σ ′<br />
als x i σ ′ = (x i σ)[r i σ i ] τi <strong>und</strong> xσ ′ = xσ für alle Variablen x /∈ {x 1 ,...,x n }. Dann gilt<br />
• p| π = lσ<br />
• s| π = rσ<br />
• t| π = lσ ′<br />
Wir definieren q| π = rσ ′ . Danngilt offensichtlich t| π → ε R q| π. DerTerm r ist nicht unbedingt<br />
linear <strong>und</strong> er kann daher die Variablen x i mehrfach enthalten. Für jede Stelle δ von r<br />
an der eine Variable x i steht, enthalte ∆ die Stelle δτ i . Es gilt nämlich (rσ)| δτi = l i σ i .<br />
Man erhält daher s| π = rσ ⇉ ∆ rσ ′ = q| π . Die Konstruktion ist im folgenden Diagramm<br />
veranschaulicht: 2<br />
2 Hierbei betrachten wir den Spezialfall, in dem x i σ i nur jeweils ein l i σ i enthält.