Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

dere besagt das Lemma, dass aus der Konfluenz von ⇉ R dann auch die Konfluenz von → R
folgt.
Lemma 5.3.9 (→ R und ⇉ R ) Sei R ein TES.
(a) Es gilt → R ⊆ ⇉ R ⊆ → ∗ R .
(b) → R ist konfluent gdw. ⇉ R konfluent ist.
Beweis.
(a) Wir schreiben s → π R t, falls π die Stelle des Redexes von s ist. Dann folgt aus s →π R t
jeweils s ⇉ {π}
R
t. Weiterhin folgt bei Π = {π 1,...,π n } aus s ⇉ Π R t offensichtlich
s → π 1
R s 1 → π 2
R s 2 → π 3
R
... →πn
R s n = t, d.h. s → ∗ R t.
(b) Wegen (a) gilt → ∗ R ⊆ ⇉∗ R ⊆ (→∗ R )∗ = → ∗ R , d.h. →∗ R = ⇉∗ R . Damit ergibt sich:
→ R ist konfluent
gdw. → ∗ R ist konfluent
gdw. ⇉ ∗ R ist konfluent
gdw. ⇉ R ist konfluent
✷
Nun können wir das gewünschte Konfluenzkriterium beweisen.
Satz 5.3.10 (Orthogonalität impliziert Konfluenz) Jedes orthogonale TES ist konfluent.
Beweis. Sei R ein orthogonales TES. Wir zeigen, dass ⇉ R stark konfluent ist. Dann gilt:
⇉ R ist stark konfluent
⇉ R ist konfluent nach Satz 5.3.6
gdw. → R ist konfluent nach Lemma 5.3.9 (b)
Seien Π 1 und Π 2 parallele Mengen von Stellen des Terms p und sei p ⇉ Π 1
s und p ⇉ Π 2
t.
Wir teilen die Menge Π 1 wie folgt auf:
• A 1 sind die Stellen aus Π 1 , die nicht unterhalb einer Stelle von Π 2 liegen, d.h., A 1 =
{π ∈ Π 1 | es existiert kein π ′ ∈ Π 2 mit π ≥ IN ∗ π ′ }.
• B 1 sind die Stellen aus Π 1 , die echt unterhalb einer Stelle von Π 2 liegen, d.h., B 1 =
{π ∈ Π 1 | es existiert ein π ′ ∈ Π 2 mit π > IN ∗ π ′ }.
• C sind die Stellen, die sowohl in Π 1 als auch in Π 2 liegen, d.h. C = Π 1 ∩Π 2 .