Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 5.3.5 Das TES {b → a,b → c,a → b,c → b} ist stark konfluent und damit
auch konfluent (aber nicht terminierend). Das TES {f(x) → g(x,x),a → b} ist orthogonal,
terminierend und konfluent, aber nicht stark konfluent. Es gilt nämlich f(a) → f(b) und
f(a) → g(a,a), aber um f(b) und g(a,a) zusammenzuführen, muss man wie folgt vorgehen:
f(b) → g(b,b) und g(a,a) → 2 g(b,b). Dies bedeutet also, dass auch orthogonale TESe nicht
zwangsläufig stark konfluent sind.
Der folgende Satz beweist nun, dass aus starker Konfluenz tatsächlich die Konfluenz
folgt.
Satz 5.3.6 (Starke Konfluenz impliziert Konfluenz) Sei → eine stark konfluente
Relation über einer Menge M. Dann ist → konfluent.
Beweis. Sei p → n s und p → m t. Wir zeigen durch Induktion über n + m, dass es dann
ein q gibt, so dass s → ≤m q und t → ≤n q gilt. Hierbei bezeichnet “→ ≤m ” eine höchstens
m-fache Anwendung von →.
Falls n = 0 ist, so wählen wir q = t und erhalten s = p → m t = q und t → 0 t = q. Der
Fall m = 0 ist analog. Falls schließlich n > 0 und m > 0 ist, so existieren also s ′ und t ′ mit
p ❃ ❃❃❃❃❃❃
s ′ t ′ ❂ ❂❂❂❂❂❂❂
n−1
m−1
s
t
Aufgrund der starken Konfluenz gibt es also ein Objekt u mit s ′ → = u ← = t ′ , d.h.
p ❃ ❃❃❃❃❃❃❃
s ′ ❄ t ′ ❂
n−1 ❄ ❂❂❂❂❂❂❂
= = m−1
❄
❄
s u t
Nun können wir die Induktionshypothese anwenden. Der Indeterminismus, der in s ′ startet,
benötigt insgesamt höchstens n−1+1 = n Schritte und somit weniger als n+m. Deshalb
existiert also ein v mit s → = v ← ≤n−1 u, d.h.
p ❃ ❃❃❃❃❃❃❃
s ′ ❄ t ′ ❂
n−1 ❄ ❂❂❂❂❂❂❂
= = m−1
❄
❄
s ❅ u t
❅
= ❅
❅
≤n−1
7 777
v