Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 5.3.2 Wir betrachten das folgende (nicht-terminierende) TES:
eq(x,x) → true
eq(x,succ(x)) → false
a → succ(a)
Das TES hat keine kritischen Paare, d.h., es ist nicht-überlappend. Trotzdem ist es nicht
konfluent, denn wir haben
eq(a,a) → true
eq(a,a) → eq(a,succ(a)) → false.
und
Das Problem des obigen Gegenbeispiels ist, dass die ersten beiden Regeln nicht linkslinear
sind, d.h., ihre linken Seiten enthalten jeweils zwei Vorkommen der Variablen x. Wenn
man dies ausschließt, kommt man zum Begriff der Orthogonalität.
Definition 5.3.3 (Linkslinearität, Orthogonalität) Ein Term ist linear, wenn er keine
mehrfachen Vorkommen derselben Variablen enthält. Ein TES ist linkslinear, falls die
linken Seiten aller Regeln linear sind. Ein TES ist orthogonal, falls es nicht-überlappend
und linkslinear ist.
Wir wollen nun zeigen, dass alle orthogonalen TESe konfluent sind, unabhängig von
ihrer Terminierung. Mit dem Kritischen-Paar-Lemma (Satz 5.2.6) sind nicht-überlappende
TESe natürlich lokal konfluent. Hieraus folgt aber bei nicht-terminierenden TESen noch
nicht die Konfluenz.
Wir führen daher nun eine noch stärkere Formvon lokaler Konfluenz ein, die sogenannte
starke Konfluenz. 1 Aus dieser folgt dann tatsächlich stets die Konfluenz, selbst bei nichtterminierenden
TESen, vgl. Satz 5.3.6.
Definition 5.3.4 (Starke Konfluenz) Eine Relation → über einer Menge M heißt stark
konfluent, wenn für alle s,t,p ∈ M gilt:
Wenn p → s und p → t,
dann existiert ein q ∈ M mit s → = q und t → = q.
Hierbei bezeichnet → = die reflexive Hülle von →, d.h. es gilt s → = q gdw. s → q oder s = q.
Ein TES R heißt stark konfluent, wenn die Ersetzungsrelation → R stark konfluent ist.
Die starke Konfluenz unterscheidet sich also von der lokalen Konfluenz dadurch, dass
Indeterminismen nach einem Schritt auch wieder in jeweils höchstens einem Schritt zusammenführbar
sind.
1 In der Literatur findet sich meist eine etwas andere Definition der “starken Konfluenz”. Dort muss aus
p → s und p → t folgen, dass ein q mit s → ∗ q und t → = q existiert.