Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Dieses Paar ist also zusammenführbar. Das zweite kritische Paar (5.8) ist hingegen nicht
zusammenführbar. Es lautet 〈f(f(x,y),i(y)),f(x,e)〉. Der Term f(x,e) kann hierbei noch
zu seiner Normalform x reduziert werden, aber da die Normalformen f(f(x,y),i(y)) und x
verschieden sind, erkennt man hier die Nicht-Konfluenz des Beispiels. Das dritte kritische
Paar (5.9) ist hingegen wieder zusammenführbar:
f(f(x ′ ,x),f(y,z))
f(x ′ ,f(f(x,y),z))
∗
∗
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f(f(f(x ′ ,x),y),z)
Der Algorithmus CONFLUENCE würde also aufgrund des nicht-zusammenführbaren kritischen
Paars (5.8) feststellen, dass das TES nicht konfluent ist.
Es ist uns also gelungen, die Frage der Eindeutigkeit von Berechnungen auf die Betrachtung
von nur endlich vielen Termpaaren (den kritischen Paaren) zu reduzieren. Diese
lassen sich mit der in Abschnitt 5.1 vorgestellten Technik der Unifikation berechnen und auf
diese Weise lässt sich die Konfluenz eines (terminierenden) TES automatisch überprüfen.
Die in diesem Kapitel vorgestellten Ergebnisse (Unifikation, Diamond Lemma, Kritisches-
Paar-Lemma) haben auch über den Bereich der Termersetzungssysteme hinaus Bedeutung,
wie z.B. bei der Untersuchung der Eindeutigkeit anderer Berechnungsformalismen. Das
Konzept der kritischen Paare ist darüber hinaus entscheidend für das im nächsten Kapitel
vorgestellte Vervollständigungsverfahren.
5.3 Konfluenz ohne Terminierung
Das Verfahren aus dem vorigen Abschnitt dient dazu, die Konfluenz von terminierenden
TESen zu entscheiden. Dies ist insbesondere für die funktionale Programmierung wichtig.
Ein funktionales Programm ist im wesentlichen eine Sammlung von Termersetzungsregeln
und es wäre wieder wünschenswert, wenn man unabhängig von der Auswertungsstrategie
immer das gleiche Ergebnis erhalten würde. Natürlich ist es aber möglich, nichtterminierende
funktionale Programme zu schreiben. Daher benötigt man ein Kriterium,
dass auch bei nicht-terminierenden Programmen die Konfluenz sicher stellt.
In diesem Abschnitt werden wir zeigen, dass sogenannte orthogonale TESe stets konfluent
sind, auch wenn sie nicht terminieren. Da funktionale Programme orthogonalen TESen
entsprechen, folgt daraus die Konfluenz funktionaler Programme.
Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt, dass ein TES lokal konfluent ist gdw. all seine
kritischen Paarezusammenführbar sind. Bei terminierenden TESen ist diesgleichbedeutend
zur Konfluenz. Um ein von der Terminierung unabhängiges Konfluenzkriterium zu finden,
liegt es daher nahe, TESe zu betrachten, die gar keine kritischen Paare haben.
Definition 5.3.1 (Nicht-überlappendes TES) Ein TES ist nicht-überlappend, falls es
keine kritischen Paare hat.
Man könnte vermuten, dass nicht-überlappende TESe stets konfluent sind. Das folgende
Gegenbeispiel zeigt aber, dass dies nicht der Fall ist.