Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

und s ′ und t ′ sind verschiedene Normalformen und damit nicht zusammenführbar. Da bei
terminierenden TESen Konfluenz und lokale Konfluenz nach dem Diamond Lemma (Satz
5.2.3) gleichbedeutend sind, ist das TES dann also auch nicht lokal konfluent. So ergibt sich
der folgende Algorithmus zur Konfluenzüberprüfung.
Algorithmus CONFLUENCE(R)
Eingabe: Ein terminierendes TES R.
Ausgabe: “True”, falls R konfluent ist und “False” sonst.
1. Berechne alle kritischen Paare CP(R) von R (durch Verwendung von UNIFY).
2. Falls CP(R) = ∅, dann gib “True” aus und breche ab.
3. Wähle 〈s,t〉 ∈ CP(R).
4. Reduziere s und t so lange wie möglich.
Auf diese Weise entstehen die Normalformen s ′ und t ′ .
5. Falls s ′ ≠ t ′ , dann gib “False” aus und breche ab.
6. Setze CP(R) = CP(R)\{〈s,t〉}.
7. Gehe zu Schritt 2.
Satz 5.2.7 (Korrektheit des Konfluenzuntersuchungsalgorithmus)
(a) Der Algorithmus CONFLUENCE terminiert und ist korrekt.
(b) Für terminierende TESe ist die Konfluenz entscheidbar.
Beweis.
(a) Die Terminierung folgt daraus, dass UNIFY terminiert, dass CP(R) immer endlich
ist, dass die Berechnung der Normalformen terminiert (weil R terminiert) und dass
CP(R) in jedem Durchlauf der Schritte 2 - 7 kleiner wird. Falls der Algorithmus
“True”ausgibt, so sindallekritischen Paarezusammenführbar. Nachdem Kritischen-
Paar-Lemma (Satz 5.2.6) folgt daraus die lokale Konfluenz und nach dem Diamond
Lemma (Satz 5.2.3) die Konfluenz. Falls der Algorithmus “False” ausgibt, so existiert
s ′ ← ∗ R p →∗ R t′ für zwei verschiedene Normalformen s ′ und t ′ und somit ist R nicht
konfluent.
(b) Die Entscheidbarkeit folgt daraus, dass CONFLUENCE ein Entscheidungsalgorithmus
ist (da auch die Bestimmung von allgemeinsten Unifikatoren berechenbar ist). ✷
Beispiel 5.2.8 Um die Konfluenz in dem Gruppenbeispiel zu untersuchen, muss man die
kritischen Paare (5.7) - (5.9) auf Zusammenführbarkeit untersuchen. Hierzu reduzieren wir
jeweils die Terme zu einer beliebigen Normalform. Bei dem ersten kritischen Paar (5.7)
ergibt sich:
f(f(x,y),e) f(x,y)
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∗
∗
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f(x,y)