Skript (Fassung vom 4.4.2011) - Lehr- und Forschungsgebiet ...

Beispiel 2.1.6 Sei Σ wieder die Signatur aus Bsp. 2.1.2. Die Gleichungen
plus(O,y) ≡ y
plus(succ(x),y) ≡ succ(plus(x,y))
axiomatisieren die Additionsfunktion auf natürlichen Zahlen, wenn succ als die Nachfolgerfunktion
aufgefasst wird. Man erkennt bereits den Zusammenhang zur funktionalen Programmierung,
denn diese beiden Gleichungen sind im Prinzip ein funktionales Programm.
In der Sprache haskell könnte man dieses Programm bereits direkt ausführen. Welche
Aussagen aus diesen Axiomen folgen und inwieweit solche Programme ausführbar sind,
wird im Folgenden noch deutlich werden.
Beispiel 2.1.7 Sei Σ 0 = {e}, Σ 1 = {i}, Σ 2 = {f} und V = {x,y,z,...}. Wir betrachten
die folgenden Termgleichungen:
f(x,f(y,z)) ≡ f(f(x,y),z) (2.1)
f(x,e) ≡ x (2.2)
f(x,i(x)) ≡ e (2.3)
f(x,y) ≡ f(y,x) (2.4)
Dann axiomatisiert {(2.1)} alle Halbgruppen (d.h., alle Mengen mit einer assoziativen
binären Operation), {(2.1),(2.2),(2.3)}axiomatisiert alle Gruppen und {(2.1)−(2.4)} axiomatisiert
alle abelschen Gruppen.
2.2 Semantik von Gleichungssystemen
Eine Axiomatisierung “definiert” in gewisser Weise ein Programm oder eine mathematische
Struktur (z.B. eine Gruppe). Man interessiert sich nun für Aussagen über dieses Programm
bzw. Aussagen, die in dieser Struktur gelten. Aussagen werden ebenfalls durch Termgleichungen
dargestellt. Beispielsweise kann man fragen, ob die Aussage
plus(succ(succ(O)),x) ≡ plus(succ(O),succ(x))
für das Additionsprogramm aus Bsp. 2.1.6 gilt. Ebenso kann man in Bsp. 2.1.7 fragen, ob
die Aussage
i(i(n)) ≡ n
in jeder Gruppe gilt (d.h., ob die inverse Funktion immer selbstinvers ist).
Vor Beantwortung solcher Fragen müssen wir festlegen, was es bedeutet, dass eine Aussage
aus bestimmten Axiomen folgt. Bislang haben wir nur erläutert, wie Gleichungen
gebildet werden. Wir haben jedoch noch nicht definiert, was solche Gleichungen eigentlich
aussagen. Dazu muss man den Gleichungen eine Semantik, d.h. eine Bedeutung, zuordnen.
Wir werden zunächst die Semantik von Termen definieren. Hierzu verwendet man sogenannte
Interpretationen, die eine Menge von Objekten A festlegen und jedem (syntaktischen)
Funktionssymbol f eine Funktion α f und jeder Variablen x ∈ V ein Objekt aus A
zuordnen.