Hans Walser, [20110313b] - Hans & Meta Walser

Hans Walser, [20110313b], [20131230g]
Andocken
Anregung: A. G., R.
1 Worum geht es
Aus vier stumpfen Rhombenhexaedern mit dem Diagonalenverhältnis
Rhombendodekaeder zusammenbauen.
2 lässt sich das
Rhombendodekaeder . Vier Rhombenhexaeder
Die Frage ist, wie die vier Rhombenhexaeder gekuppelt werden können. Insbesondere
interessiert, ob die vier Rhombenhexaeder inklusive Kupplung kongruent und gleich
orientiert sein können. Dabei stellen wir die Bedingung, dass irgend zwei zusammenstoßende
Seitenflächen zweier Rhombenhexaeder gekuppelt sein müssen; es darf also
keine Brücken geben.
2 Philosophieren über Kupplungen
Bei einer einfachen Modelleisenbahn mit einer Ring-Haken-Kupplung (vorne Ring,
hinten Haken) hat den Nachteil, dass die Wagen zunächst richtig aufgegleist werden
müssen. Wenn dann aber das Gleisnetz eine Kehrschleife oder ein Gleisdreieck enthält,
also nicht orientierbar ist, kann es trotzdem im Betriebsverlauf vorkommen, dass zwei
Haken oder zwei Ringe aufeinander treffen. Die europäischen Bahnen, welche immer
noch diese primitive Kupplung (Schraubenkupplung) verwenden, haben daher an beiden
Wagenenden sowohl einen Ring wie auch einen Haken, wobei immer nur die Hälfte
der Installation im Einsatz ist. Der geometrische Grund für diesen Nachteil liegt darin,
dass die Ring-Haken-Kupplung keine senkrechte Symmetrieachse hat.
Anders bei automatischen Kupplungen, etwa der amerikanischen Janney-Kupplung, der
russischen SA-3-Kupplung oder der Scharfenberg-Kupplung, welche bei Hochgeschwindigkeitszügen
Standard ist. Wir können uns durch die Mitte der beiden Kupplungen
eine senkrechte Symmetrieachse (Drehachse zu einer 180°-Drehung) denken.
Ebenfalls zu diesem Symmetrietyp gehört die nostalgische Mittelpuffer-Kupplung der
rhätischen Bahn und der Furka-Oberalp-Bahn.
Die Kupplung sollte also der Symmetrie der zu kuppelnden Objekte angepasst sein.

Hans Walser: Andocken 2/8
3 Symmetrische Kupplungen
3.1 Rhombendodekaeder
Die Abbildung zeigt ein Explosionsbild des Rhombendodekaeders mit seinen vier
Rhombenhexaedern.
Explosionszeichnung der vier Rhombenhexaeder
In der folgenden Abbildung sind die in der Endmontage zusammenfallenden Rhomben
durch grüne Linien verbunden. Wir haben sechs Paare von zu kuppelnden Rhomben,
brauchen also sechs Kupplungen. Da wir nur vier Rhombenhexaeder haben, ist es bei
einer simplen Ring-Haken-Kupplung nicht möglich, die sechs Ringe beziehungsweise
die sechs Haken gleichmäßig aufzuteilen.

Hans Walser: Andocken 3/8
Nachbarschaftsrelationen
Keine kohärente Orientierung der Kanten

Hans Walser: Andocken 4/8
Anders formuliert: Die vier Rhombenhexaeder bilden die Eckpunkte eines Tetraeders.
Es ist nicht möglich, die sechs Kanten des Tetraeders so zu orientieren, dass an jeder
Ecke gleich viele Kanten auslaufen oder einlaufen. Wir müssen mit Doppelpfeilen arbeiten.
Die Doppelpfeile müssen so organisiert sein, dass sie die dreizähligen Drehsymmetrien
des Tetraeders respektieren.
Doppelpfeile
Damit haben wir aber auch das Prinzip der Kupplung gefunden. Die Pfeile ersetzen wir
durch Bolzen (die natürlich kürzer sind als die gezeichneten Pfeile), die Pfeilspitzen
markieren die Aufnahmelöcher für die Bolzen. Bolzen und Löcher sind orthogonal zu
den jeweiligen Rhombenflächen.
Die Abbildung zeigt schematisch die Position von Bolzen (blau) und Loch (rot) auf einem
Rhombus. Die Kupplung erinnert an die Kupplung der rhätischen Bahn und der
Furka-Oberalp-Bahn.

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Loch und Bolzen
Nach diesem Schema ergeben sich vier kongruente und gleich orientierte Rhombenhexaeder
mit Kupplungen.
Rhombenhexaeder mit Bolzen und Löchern
Set von vier Rhombenhexaedern
Die folgende Abbildung zeigt das zusammengesteckte Rhombendodekaeder.

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Assembling
Beim Zusammenfügen ergibt sich eine symmetrische simultane Zwangsbewegung der
vier Teile. Es muss die „Explosion“ der Explosionszeichnung invertiert werden.
Die Löcher an der Oberfläche des Modells sind herstellungstechnisch bedingt. Man
könnte auch auf der Außenseite Kupplungen anbringen.
Die Rhombenhexaeder sind aus Papierstreifen geflochten. Die Bolzen sind Reißnägel,
deren Köpfe sich zwischen der Außenlage und der Innenlage des Geflechts befinden.
Zur Flechttechnik siehe [Walser 1987], [Walser 1994], [Walser 2009, S. 122f]
3.2 Rhombenhexaeder allgemein
Unsere Andockkupplung mit einem Bolzen und einem Loch löst das Problem mit dem
Rhombendodekaeder, ist aber nicht verallgemeinerungsfähig, da sie nicht der Symmetrie
eines Rhombus entspricht. Wir können nicht um 180° drehen.
Dazu ist die Verallgemeinerung der folgenden Abbildung erforderlich.
Schema der Bolzen und Löcher
Dabei ist wesentlich, das auf allen Rhomben die Orientierung der Löcher bezüglich der
Rhombendiagonalen dieselbe ist. Also bei Querformat die Bolzen links oben. Im
Rhombenhexaeder der folgenden Abbildung sind allseitig Bolzen und Löcher nach diesem
Schema angebracht.

Hans Walser: Andocken 7/8
Porcospino
Damit haben wir ein vielseitig verwendbares Bauelement.
3.3 Goldene Rhomben
Verwenden wir Rhomben mit dem Diagonalenverhältnis des goldenen Schnittes, können
wir mit stumpfen und/oder spitzen Rhombenhexaedern das Rhombendodekaeder
zweiter Art, das Rhombenikosaeder, das Rhombentriakontaeder oder auch den nachfolgenden
Stern zusammenbauen. Details (allerdings ohne die Idee der Kupplungen) siehe
[Walser 2009, S. 122-134].
Rhomben-Stern

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Literatur
[Walser 1987] Walser, Hans: Flechtmodelle. Didaktik der Mathematik (15),
1987, 1-17
[Walser 1994]
[Walser 2009]
[Walser 2013]
Walser, Hans: Geometrie zum Anfassen. Mathematik Lehren,
Heft 65, August 1994, S. 56-59.
Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte
Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche
Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz,
Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1
Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte
Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche
Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz,
Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-85-1