Analysis

Inhaltsverzeichnis i
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis.................................................................................................................i
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion...........................................1
1.1 Problembeschreibung: Entwicklungshilfe in Afrika....................................................1
1.2 Das Tangentenproblem ............................................................................................2
1.3 Übungen ...................................................................................................................7
1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit..............................................................................7
1.4.1 Differenzierbare Funktionen......................................................................................7
1.4.2 Stetige Funktionen....................................................................................................9
1.5 Übungen .................................................................................................................10
1.6 Ableitungsregeln.....................................................................................................11
1.6.1 Pascalsches Dreieck und Binomischer Lehrsatz ....................................................11
1.6.2 Analyse eines Differenzenquotienten .....................................................................13
1.6.3 Potenzregel.............................................................................................................14
1.6.4 Zwei Konstantenregeln ...........................................................................................15
1.6.5 Summenregel .........................................................................................................16
1.7 Ganzrationale Funktionen und höhere Ableitungen................................................18
1.8 Übungen .................................................................................................................18
2 Das Newton-Verfahren ...........................................................................................20
2.1 Nullstellenbestimmung............................................................................................20
2.2 Urbildbestimmung...................................................................................................23
2.3 Zur Konvergenz des Newton-Verfahrens................................................................24
2.4 Übungen .................................................................................................................24
3 Kurvenuntersuchungen...........................................................................................26
3.1 Monotonieverhalten ................................................................................................26
3.2 Hoch- und Tiefpunkte und kritische Stellen ............................................................27
3.2.1 Das notwendige Kriterium – kritische Stellen..........................................................29
3.2.2 Das Vorzeichenwechselkriterium............................................................................30
3.3 Krümmungsverhalten und zweite Ableitung............................................................33
3.3.1 Links- und Rechtskurven ........................................................................................33
3.3.2 Hoch- und Tiefpunktbestimmung mit Hilfe der zweiten Ableitung...........................34
3.3.3 Zur Abgrenzung der beiden Kriterien zur Extremwertbestimmung .........................36
3.4 Wendepunkte und dritte Ableitung..........................................................................36
3.4.1 Begrifflichkeiten und Kriterien .................................................................................36
3.4.2 Maximale und minimale Zunahmeraten..................................................................38
3.5 Übungen .................................................................................................................39
3.6 Kurvendiskussion....................................................................................................42
3.7 Übungen .................................................................................................................43
4 Weitere Ableitungsregeln........................................................................................44
4.1 Problembeschreibung: Kontamination nach einem Chemieunfall...........................44
4.2 Die Produktregel.....................................................................................................45
4.3 Die Kettenregel.......................................................................................................46
4.4 Problembeschreibung: Pro-Stück-Gewinn..............................................................48
4.5 Die allgemeine Potenzregel....................................................................................49
Burghardt – RWB 10/11

Inhaltsverzeichnis ii
4.6 Übungen .................................................................................................................51
5 Gesucht wird ..........................................................................................................55
5.1 Eine Differentialgleichung .......................................................................................55
5.2 Die Lösung: Eine Exponentialfunktion ....................................................................55
5.2.1 Exponentialfunktionen ............................................................................................55
5.2.2 Eine bemerkenswerte Eigenschaft und die Eulersche Zahl....................................56
5.2.3 Zusammenfassung .................................................................................................57
5.3 Die Eulersche Zahl .................................................................................................57
5.4 Übungen .................................................................................................................61
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse .......................................................62
6.1 Untersuchung von Exponentialfunktionen ..............................................................62
6.1.1 Funktionsuntersuchung ( )
f x = e − x ........................................................................62
3 x
6.1.2 Funktionsuntersuchung f ( x ) = x e − ......................................................................63
6.1.3 Funktionsuntersuchung ( )
5 2
− x − x
f x = e − e ...............................................................64
6.2 Der natürliche Logarithmus.....................................................................................65
6.2.1 Grundlegende Eigenschaften und Logarithmengesetze .........................................65
6.2.2 Fortsetzung der Funktionsuntersuchung ( )
5 2
− x − x
f x = e − e .....................................65
6.2.3 Die Ableitung des natürlichen Logarithmus’............................................................67
6.3 Beispiele für Wachstumsprozesse..........................................................................68
6.3.1 Malthusianischer Ansatz.........................................................................................68
6.3.2 Logistisches Wachstum ..........................................................................................69
6.3.3 Die Bateman-Funktion ............................................................................................71
6.4 Übungen .................................................................................................................74
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral...........................................................76
7.1 Ausschöpfen von Flächen durch Rechtecke...........................................................76
7.2 Übung .....................................................................................................................78
7.3 Das Integral ............................................................................................................78
7.4 Übungen .................................................................................................................80
7.5 Eigenschaften des Integrals....................................................................................81
7.6 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und die Berechnung von
Integralen................................................................................................................81
7.7 Übungen .................................................................................................................89
8 Integrationsmethoden .............................................................................................91
8.1 Partielle Integration (Produktintegration): Auf und Ab.............................................91
8.2 Integration des natürlichen Logarithmus.................................................................92
8.3 Substitutionsregel ...................................................................................................92
8.4 Übungen .................................................................................................................93
8.5 Numerische Integration...........................................................................................94
8.5.1 Die Sehnentrapezregel ...........................................................................................94
8.5.2 Die Simpsonregel ...................................................................................................95
8.5.3 Die Keplersche Fassregel.......................................................................................96
8.6 Übungen .................................................................................................................97
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung .........................................................98
Burghardt – RWB 10/11
Inhaltsverzeichnis iii
9.1 Fläche zwischen Graphen ......................................................................................98
9.2 Volumenberechnung: Senkrechte Zylinder...........................................................100
9.3 Volumenberechnung: Rotationskörper .................................................................102
9.4 Mittelwerte ............................................................................................................103
9.5 Gesamtänderung einer Größe..............................................................................105
9.6 Bogenlänge...........................................................................................................106
9.7 Übungen ...............................................................................................................108
10 Lösungen der Übungen ........................................................................................114
Für Bildungsgänge, die zur Fachhochschulreife führen, sind nur die Kapitel 1 bis 3 und
Teile von Kapitel 7 von Bedeutung.
Burghardt – RWB 10/11
2

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 1
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion
1.1 Problembeschreibung: Entwicklungshilfe in Afrika
Im Rahmen eines Entwicklungshilfeprojekts wird in der Nähe eines kleinen afrikanischen
Dorfes Brachland zu landwirtschaftlicher Nutzfläche kultiviert. Die landwirtschaftlichen Erträge
sind zuerst für den Eigenbedarf bestimmt, Überschüsse werden an Dörfer in der
Nachbarschaft verkauft. Der Gewinn, den die Dorfgemeinschaft aus der Nutzfläche ziehen
5 2
kann, kann näherungsweise mit der durch f ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 gegebenen Funktion
berechnet werden. Hierbei entspricht eine x -Einheit einer Fläche von 1 ha und eine
y -Einheit einem Jahresgewinn von 2 US-$. Der Graph der Funktion f ist hier gezeichnet:
300
240
180
120
60
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-60
Die Entwicklungshelfer müssen sich im Rahmen der Planung des Projekts u.a. über die
folgenden Aspekte Klarheit verschaffen:
• Bei welchen Flächengrößen kann die Dorfgemeinschaft mit Gewinn rechnen
• Bei welcher Flächengröße kann die Dorfgemeinschaft den größten Gewinn erzielen
Wie groß ist dieser
Die Antworten lassen sich grob aus der Skizze des Graphen ablesen. Um genaue Resultate
zu erzielen, ist es notwendig, für die Gewinnfunktion – eine Funktion 5. Grades, die
offenbar keine exakt ablesbaren Nullstellen hat –
• die Nullstellen und
• den Hochpunkt
zu berechnen.
Die Nullstellen können zum Beispiel mit Hilfe des Newton-Verfahrens bestimmt werden.
Hierzu muss aber zuerst eine Methode entwickelt werden, mit dem die Tangentensteigungen
des Graphen berechnet werden können. Auch für die Bestimmung des Hochpunktes
ist eine Methode zu Berechnung der Tangentensteigungen nützlich: Man erkennt
nämlich, dass bei der gezeichneten Funktion die Tangentensteigungen
• am Hochpunkt Null,
• links vom Hochpunkt positiv und
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 2
• rechts vom Hochpunkt negativ sind:
300
240
180
120
60
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-60
Wenn nun eine Methode bekannt ist, um an jeder Stelle die Tangentensteigung zu bestimmen,
könnte man hiermit versuchen, diejenige Stelle zu finden, an der die Tangentensteigung
Null ist und an der sich das Vorzeichen der Tangentensteigungen von + nach −
verändert. Der Anschauung nach sollte man dann die x -Koordinate des Hochpunktes gefunden
haben.
Dies alles zeigt: Es ist eine lohnende Aufgabe, eine Methode zur Berechnung der Tangentensteigungen
an einen Funktionsgraphen zu suchen.
1.2 Das Tangentenproblem
Vorgegeben ist eine Funktion f und eine Stelle x 0
, bei der an den Funktionsgraphen die
Tangente angezeichnet und deren Steigung berechnet werden soll:
gesuchte Tangente
( ( ) )
P = x | f x
0 0 0
x
0
Burghardt – RWB 10/11

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 3
Problematische bei der Berechnung der Tangentensteigung ist, dass man nur einen Punkt
kennt, durch den die Tangente läuft – nämlich den Punkt P = ( x | f 0
( x 0
) ) . Um die Steigung
einer Geraden im Koordinatensystem zu bestimmen, benötigt man jedoch zwei Punkte.
Sind zwei Punkte auf einer Geraden bekannt, ergibt sich die Steigung der Geraden leicht
mit der Formel m = ∆ y ∆ x :
( )
f x
1
wird. Das Bild unten zeigt: Je näher der Punkt P 1
, P 2
, P 3
, am Punkt P 0
liegt – gleichy
( ( ) )
P = x | f x
1 1 1
( )
f x
0
x
0
( 0 ( 0 ) )
P = x | f x
1 0
x x x ∆ = −
∆ y = f ( x
1 ) − f ( x
0 )
x
1
m
=
( ) − ( )
f x f x
1 0
x − x
1 0
Um die Steigung der Tangente zu bestimmen,
geht man ähnlich vor wie bei der Nullstellenbestimmung
mit dem Newton-Verfahren: Beim
Newton-Verfahren wählt man zu Beginn einen
Wert in der Nähe der Nullstelle, der als erste Annäherung
an die Nullstelle verstanden werden
kann. Bei der Bestimmung der Tangentensteigung
wählt man zum Punkt P 0
einen zusätzlichen
zweiten Punkt P 1
auf dem Graphen, der
nahe bei P 0
liegt, und zeichnet die Gerade durch
P
0
und P 1
.
( ( ) )
P = x | f x
1 1 1
( ( ) )
P = x | f x
0 0 0
Diese Gerade ist eine Sekante an den Funktionsgraphen,
da sie ihn in zwei Punkten trifft.
x
0
x
1
Da zwei Punkte der Sekante bekannt sind, kann ihre Steigung – wie gerade gesehen –
leicht berechnet werden:
m =
( ) − ( )
f x f x
1 0
x − x
1 0
.
Wenn wir in Gedanken P 1
immer näher an P 0
heran bewegen, sollte die Sekante und ihre
Steigung sich immer näher an die Tangente und deren Steigung annähern.
De facto wählen wir also unendlich viele Punkte P 1
, P 2
, P 3
, die völlig beliebig sind bis auf
die Forderung, dass der Abstand von P 1
zu P 0
, P 2
zu P 0
, P 3
zu P 0
usw. immer kleiner
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 4
bedeutend: je näher die Stelle x 1
, x 2
, x 3
, an der Stelle x 0
liegt –, desto ähnlicher wird die
Sekante der Tangente und desto besser stimmen die Steigungen beider überein.
Tangente
P
5
( ( ) )
P = x | f x
0 0 0
P
4
P
3
P
2
P
1
x
0
x
5
x
4
x
3
x
2
x
1
Die Steigung der Sekante durch P 0
und einen
anderen Punkt ( )
P
1
= ( x
1
| f x
1 ) häng ab von den
zwei x -Koordinaten x 0
und x 1
. Meist zieht man
es vor, die zweite x -Koordinate x 1
durch x 0
und
den Abstand von x 1
zu x 0
auszudrücken. Dieser
Abstand wird in der Regel mit h bezeichnet:
h = x
1
− x
0
. Dann ist x 1
= x 0
+ h und die Tangentensteigung
hat die Form
( ( ) )
P = x + h | f x + h
1 0 0
( ( ) )
P = x | f x
0 0 0
m
h
=
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
h
(Bei m ist ein kleiner Index h angefügt um anzudeuten,
dass die Steigung von der Zahl h abhängt.)
x
0
x 0
+ h
Dieser Bruch wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.
Je näher der Wert h bei Null liegt, desto näher liegt x 0
+ h an x 0
und – nach unseren Ü-
berlegungen oben – desto genauer sollte der Wert m h
mit der Tangentensteigung überein
stimmen.
Burghardt – RWB 10/11

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 5
Steigung m
Steigung m
h 5
Steigung m
h 4
Steigung m
h 3
P =
( x f ( ) )
0 | x 0
Steigung m
h 2
Steigung m
h 1
x
0
x
0
+ h
5
x
0
+ h
4
x
0
+ h
3
x
0
+ h
2
x
0
+ h
1
h
5
h
4
h
3
h
2
h
1
Es muss also untersucht werden, welcher Zahl sich der Differenzenquotient
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
nähert, wenn man für h fortlaufend Zahlen einsetzt, die immer näher bei Null liegen. 1 In
der Mathematik nennt man eine solche Analyse einen Grenzübergang und schreibt dafür
lim
h
→
0
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
Man liest dies:
Grenzwert von
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
für h gegen Null.
Wie dieser Grenzübergang formal korrekt durchgeführt wird, ist Stoff für einen Leistungskurs
Mathematik. Für uns ist es wichtig, dass wir nun intuitiv wissen, was unter dem
Grenzübergang zu verstehen ist.
Wir wollen mit dem beschriebenen Verfahren experimentell die Steigung der Tangente an
3
den Graphen der durch ( )
f x = x gegebenen Funktion an der Stelle x 0
= − 2 bestimmen:
1 Obwohl wir bisher aus Gründen der Übersichtlichkeit in den Bildern für h nur positive Werte verwendet
haben, darf man für h nicht nur positive Zahlen einsetzen. Man muss vielmehr für h positive und negative
Zahlen einsetzen!
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 6
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
Natürlich können wir im Differenzenquotienten nicht unendlich viele Werte für h einsetzen.
Wir beschränken uns auf die Werte h = ± 0,5 , h = ± 0,1 , h = ± 0,01 , h = ± 0,001
sowie h = ± 0,0001 und berechnen jeweils den Differenzenquotienten. Wenn wir die
Differenzenquotienten ausgerechnet haben, können wir sehen, welcher Zahl sich die
Differenzenquotienten annähern, wenn für h immer näher bei Null liegende Werte einsetzen:
h
( + ) − ( )
f x h f x
f ( ) f ( ) ( ) ( )
0,5
0 0
3 3
2 0,5 2 1,5 2 4,625
− + − − = − − − = =
0,5 0,5 0,5
3 3
f ( − 2 − 0,5 ) − f ( − 2 ) ( − 2,5 ) − ( − 2 )
− 0,5
− 7,625
= = =
− 0,5 − 0,5 − 0,5
f ( ) f ( ) ( ) ( )
0,1
h
3 3
9, 25
− 2 + 0,1 − − 2 = − 1,9 − − 2 = 1,141
= 11,41
0,1 0,1 0,1
15, 25
3 3
f ( − 2 − 0,1 ) − f ( − 2 ) ( − 2,1 ) − ( − 2 )
− 0,1
− 1,261
= = = 12,61
− 0,1 − 0,1 − 0,1
3 3
− 2 + 0,01 − − 2 − 1,99 − − 2 0,119401
= = = 11,9401
0,01 0,01 0,01
f ( ) f ( ) ( ) ( )
0,01
3 3
f ( − 2 − 0,01 ) − f ( − 2 ) ( − 2,01 ) − ( − 2 )
− 0,01
− 0,120601
= = = 12,0601
− 0,01 − 0,01 − 0,01
3 3
− 2 + 0,001 − − 2 − 1,999 − − 2 0,011994001
= = = 11,9994001
0,001 0,001 0,001
f ( ) f ( ) ( ) ( )
0,001
Burghardt – RWB 10/11
8
6
4
2
0

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 7
h
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
3 3
f ( − 2 − 0,001 ) − f ( − 2 ) ( − 2,001 ) − ( − 2 )
− 0,001
0,012006
= = =
− 0,001 − 0,001 − 0,001
3 3
2 0,0001 2 1,9999 2 0,00119994
f ( ) f ( ) ( ) ( )
0,0001
h
12,006
− + − − − − −
= = =
11,9994
0,0001 0,0001 0,0001
3 3
f ( − 2 − 0,0001 ) − f ( − 2 ) ( − 2,0001 ) − ( − 2 )
− 0,0001
− 0,001120006
= = = 12,0006
− 0,0001 − 0,0001 − 0,0001
Auf der Grundlage der doppelt unterstrichenen Zahlen in der letzten Spalte kann man
vermuten, dass die Tangentensteigung 12 ist: f ′ ( − 2 ) = 12 . Die Zeichnung (s.o.) bestätigt
diese Vermutung. Wir werden bald ein Verfahren kennenlernen, das uns in vielen Fällen
ermöglicht, die Tangentensteigung direkt zu berechnen, ohne experimentell für h Zahlen
einsetzen zu können. Mit diesem Verfahren werden wir die Vermutung f ′ ( − 2 ) = 12 sofort
bestätigen können.
1.3 Übungen
1.3.1 Bestimmen Sie experimentell die Steigung der Tangente an den Graphen der durch
2
f ( x ) = x gegebenen Funktion an der Stelle x 0
= 1 . Überprüfen Sie Ihr Resultat durch eine
Skizze des Graphen.
1.3.2 Bestimmen Sie experimentell die Steigung der Tangente an den Graphen der durch
2
f ( x ) = 3 x gegebenen Funktion an der Stelle x 0
= 2 . Überprüfen Sie Ihr Resultat durch
eine Skizze des Graphen.
1.3.3 Bestimmen Sie experimentell die Steigung der Tangente an den Graphen der durch
2
f ( x ) = 3 x − 4 x + 1 gegebenen Funktion an der Stelle x 0
= − 1 . Überprüfen Sie Ihr Resultat
durch eine Skizze des Graphen.
1.3.4 Bestimmen Sie experimentell die Steigung der Tangente an den Graphen der durch
f ( x ) = x gegebenen Funktion an der Stelle x 0
= 1 . Überprüfen Sie Ihr Resultat durch
eine Skizze des Graphen.
1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit
1.4.1 Differenzierbare Funktionen
Es gibt Funktionen, bei denen man – zumindest an manchen Stellen – keine Tangente an
den Graphen zeichnen. Ein Beispiel ist die so genannte Betragsfunktion, die durch
f ( x ) = | x |
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 8
definiert ist. Hierbei bezeichnet | x | den Betrag der Zahl x . Der Betrag einer Zahl ist die
die Zahl aber ohne ihr Vorzeichen:
x
| |
− x , falls x < 0
=
x , falls x ≥ 0
Zum Beispiel ist | − 3 | = 3 und | 0 | = 0 sowie | 3 | = 3 . Mit der Wertetabelle der Betragsfunktion
im Bereich von − 3 bis 3
x − 3 − 2 − 1 0 1 2 3
f ( x ) 3 2 1 0 1 2 3
kann der Funktionsgraph der Betragsfunktion gezeichnet werden:
f ( x ) = | x |
Der Graph ist V-förmig und hat im Punkt ( 0 | 0 ) einen „Knick“. Versucht man nun, den
Grenzwert
lim
h
→
0
( 0 + ) − ( 0 )
f h f
experimentell zu bestimmen, erhält man die folgenden Werte:
h
0,5 1
− 0,5
− 1
0,1 1
− 0,1
− 1
0,01 1
− 0,01
− 1
0,001 1
− 0,001
− 1
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
h
Burghardt – RWB 10/11

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 9
h
( + ) − ( )
f x h f x
0,0001 1
− 0,0001
− 1
0 0
h
Allem Anschein nach nähert sich der Differenzenquotient keiner Zahl an, sondern ist mal,
mal − 1 ist. Dies ist in der Tat richtig: Der Graph der Betragsfunktion hat an der Stelle Null
keine Tangente, der Grenzwert der Differenzenquotienten
lim
h
→
0
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
existiert für die Betragsfunktion nicht. Es ist also nicht in jedem Fall so, dass der Grenzwert
der Differenzenquotienten existiert, sodass es angebracht ist, den Fall, dass der
Grenzwert existiert, besonders herauszuheben.
Definition. Wenn der Grenzwert der Differenzenquotienten
lim
h
→
0
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
existiert, der Graph der Funktion f an der Stelle x 0
also eine eindeutige Tangente hat, so
sagt man: Die Funktion f ist an der Stelle x 0
differenzierbar. In diesem Fall ist die Zahl
lim
h
→
0
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
die Steigung dieser Tangente. Die Steigung wird mit f ′ ( x 0
) (gelesen: f Strich von x 0
)
bezeichnet:
( )
f ′ x =
0
lim
h
→
0
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
Ist die Funktion f an jeder Stelle differenzierbar, so sagt man, f ist differenzierbar. In
diesem Fall wird die Funktion, die jedem x die Tangentensteigung f ′ ( x ) zuordnet, (erste)
Ableitung von f genannt und mit f ′ bezeichnet.
1.4.2 Stetige Funktionen
Ist eine Funktion an der Stelle x 0
differenzierbar, so hat ihr Funktionsgraph an der Stelle
x
0
keinen „Sprung“, man kann ihn (zumindest theoretisch) zeichnen, ohne den Stift abzu-
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 10
setzen. Wenn man den Graphen einer Funktion an der Stelle x 0
zeichnen kann, ohne
den Stift abzusetzen, nennt man die Funktion an der Stelle x 0
stetig:
„Sprung“
stetig nicht stetig
Mathematisch bedeutet das: Wenn man sich nur wenig von der Stelle x 0
entfernt, ändert
sich auch der Funktionswert nur wenig. Mit der „ h -Schreibweise“, die wir bereits beim Differenzieren
verwendet haben, drückt sich dies so aus: Wenn h nahe bei Null ist, dann gilt
f ( x
0
+ h ) ≈ f ( x
0 ) . Dies kann wieder durch einen Grenzübergang ausgedrückt werden:
Definition. Die Funktion f ist an der Stelle x 0
stetig, wenn
lim
h
→
0
( 0 ) ( 0 )
f x + h = f x .
Ist die Funktion an jeder Stelle stetig, sagt man: f ist stetig.
Wenn die Funktion f ( x ) an der Stelle x 0
differenzierbar ist, dann ist sie dort stetig. Jedoch
zeigt die Betragsfunktion, dass eine Funktion an einer Stelle stetig sein kann, ohne
dass sie dort differenzierbar ist.
1.5 Übungen
1.5.1 Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen an der Stelle x 0
= 0 stetig bzw. differenzierbar
sind. Um die Stetigkeit zu überprüfen, fertigen Sie eine Zeichnung an. Die Differenzierbarkeit
überprüfen Sie experimentell durch Anlegen einer Tabelle mit verschiedenen
Werten für h wie in früheren Übungen.
a) f ( x )
− 1, falls x < 0
=
1, falls x ≥ 0
b) f ( x )
2
x , falls x < 0
= − x , falls x ≥ 0
c) f ( x )
=
3
x falls x <
, 0
2
x falls x
, ≥ 0
Burghardt – RWB 10/11

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 11
1.6 Ableitungsregeln
Es ist offenbar ziemlich umständlich, jeweils mit Hilfe des Differenzenquotienten und durch
Einsetzen vieler Werte für h zu entscheiden, ob eine Funktion an einer vorgegebenen
Stelle differenzierbar ist, und zu berechnen, wie groß die Tangentensteigung ist.
In vielen Fällen kann man nach einigen Umformungen dem Differenzenquotienten direkt
ansehen, welchem Wert er sich nähern wird, wenn für h immer näher bei Null liegende
Zahlen einsetzt. Wir wollen dies an dem oben experimentell behandelten Beispiel erläutern,
bei dem wir für die durch f ( x ) = x gegebene Funktion den Wert f ′ ( − 2 )
3
berechnet
haben. Der Differenzenquotient lautet hier
( − + ) − ( − ) ( − + ) − ( − )
f 2 h f 2 2 h
3 2
3
= .
h h
Um den Term ( − 2 + h ) 3
zu berechnen, verwendet man am einfachsten den Binomischen
Lehrsatz, den wir jetzt kurz erläutern werden.
1.6.1 Pascalsches Dreieck und Binomischer Lehrsatz
Aus der Mittelstufe ist die (erste) binomische Formel bekannt:
( ) 2 2 2
a + b = a + 2 ab + b .
Wir wollen sehen, wie man dies Formel für größere Exponenten als 2 weiterentwickeln
kann. Dazu berechnen wir zunächst ( a + b ) 3
und ( a + b ) 4
:
( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( a + b )
3 2
2 2
( a b ) ( a 2 ab b )
= + ⋅ + +
= a + 2 a b + ab + a b + 2 ab + b
3 2 2 2 2 3
= a + 3 a b + 3 ab + b
3 2 2 3
( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( a + b )
4 3
3 2 2 3
( a b ) ( a 3 a b 3 ab b )
= + ⋅ + + +
= a + 3 a b + 3 a b + ab + a b + 3 a b + 3 ab + b
4 3 2 2 3 3 2 2 3 4
4 3 2 2 3 4
= a + 4 a b + 6 a b + 4 ab + b
Wir fassen dies in etwas anderer Schreibweise zusammen:
0 0 0
a + b =
1 a b
( )
( )
( )
( )
( )
1 0 0
a + b = 1 ab + 1 a b
2 2 0 1 1 0 2
a + b = 1 a b + 2 a b + 1 a b
3 3 0 2 1 1 2 0 3
a + b = 1 a b + 3 a b + 3 a b + 1 a b
4 4 0 3 2 2 3 0 4
a + b = 1 a b + 4 a b + 6 a b + 4 ab + 1 a b
Es fällt auf:
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 12
• Die Exponenten von a steigen in jeder Zeile von links nach rechts ab. Sie beginnen
mit dem Exponenten von ( a + b ) und enden bei Null.
• Die Exponenten von b steigen in jeder Zeile von links nach rechts an. Sie beginnen
mit Null und enden bei dem Exponenten von ( a + b ) .
• Jeder Koeffizient in jeder Zeile lässt sich aus den beiden links und rechts darüber stehenden
durch Addition berechnen.
Das aus der obigen Darstellung gewonnene dreieckige Zahlenschema
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
bei dem jede Zahl aus der links und rechts darüber stehenden Zahl berechnet
werden kann, heißt Pascalsches Dreieck (benannt nach Blaise
Pascal (1623-1663)). Den k -ten Eintrag in der n -ten Zeile bezeichnet
man oft mit n
k
, gelesen „ n über k “:
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
n
Die Zahlen
k
(für n ∈ und k = 0, , n ) nennt man auch Binomialkoeffizienten.
Blaise Pascal
Wir hatten gesehen, dass sich zumindest die ersten Potenzen von ( a + b ) mit Hilfe des
Pascalschen Dreiecks bestimmen lassen. Der Binomische Lehrsatz sagt, dass dies für
alle Potenzen der Fall ist.
Satz (Binomischer Lehrsatz). Für alle Zahlen a , b und alle natürlichen Zahlen n gilt:
Burghardt – RWB 10/11

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 13
n n n 0 n n 1 1 n − n − 2 2 n n − ( n − 1 ) n − 1 n 0 n
a + b = a b + a b + a b + + a b + a b
0 1 2 n − 1 n
( )
.
1.6.2 Analyse eines Differenzenquotienten
3
Um für die durch f ( x ) = x gegebene Funktion den Wert f ′ ( − 2 ) zu berechnen, wollen wir
den Differenzenquotienten
( ) ( ) ( ) ( )
f − 2 + h − f − 2 − 2 + h
3 − − 2
3
=
h h
analysieren. Nach dem Binomischen Lehrsatz berechnet man ( − 2 + h ) 3
, indem man die
Koeffizienten der vierten Zeile des Pascalschen Dreiecks entnimmt:
( 2 ) ( 2 ) 3 ( 2 ) 3 ( 2 )
3 3 2 2 3
− + h = − + ⋅ − h + ⋅ − h + h
= − 8 + 12 h − 6 h + h
2 3
Wir tragen dies in den Differenzenquotienten ein und fassen zusammen:
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
3 3
f − + h − f − − + h − −
=
h h
h h h
− + − + +
=
h
2 3
12 h − 6 h + h
=
h
2
= 12 − 6 h + h
2 3
8 12 6 8
Der Differenzenquotient ist also letztlich nichts anderes als der Term 12 − 6h + h 2
. Es muss
nun überlegt werden, was im Ausdruck 12 − 6h + h 2
passiert, wenn h sehr nahe bei Null
liegt:
• Die konstante Zahl 12 ist unabhängig von h . Sie bleibt also unverändert die Zahl 12.
• Der Term − 6h ist nahezu Null, wenn h nahezu Null ist.
2
• Auch der Term h ist nahezu Null, wenn h nahezu Null ist.
Es ergibt sich, dass – beim Einsetzen immer näher bei Null liegender Werte für h – vom
Differenzenquotienten nur noch die konstante Zahl 12 übrig bleibt, das heißt
f
( − 2 + ) − ( − 2 )
f h f
′ ( − 2 ) = lim = 12 .
h → 0 h
Wir hatten uns in diesem Beispiel auf die Behandlung der Stelle x 0
= 2 beschränkt. Die
verwendeten Gedankengänge können aber auch dann herangezogen werden, wenn wir
eine beliebige Stelle x 0
behandeln wollen, und sie sind selbstverständlich nicht auf die
3
durch f ( x ) = x gegebene Funktion eingeschränkt.
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 14
1.6.3 Potenzregel
Indem wir die eben verwendeten Argumente anwenden, werden wir jetzt Regeln dafür
entwickeln, wie Potenzfunktionen – also Funktionen, die durch Gleichungen der Art
n
f ( x ) = x mit n ∈ gegeben sind – abgeleitet werden können.
= ′ =
• f ( x ) x f ( x ) 1
BEWEIS. Für jedes x und jedes h ≠ 0 gilt
( ) ( )
f x + h − f x = x + h − x = h
= 1 .
h h h
Also ist f ( x )
2
• ( ) ( )
( + ) − ( )
f x h f x
′ = = = .
f x = x f x = 2 x
lim lim1 1
0 0
h → h
h →
BEWEIS. Für jedes x und jedes h ≠ 0 berechnet man mit Hilfe der ersten Binomischen
Formel:
2 2 2 2 2 2
( + ) − ( ) ( + ) − x + 2 xh + h − x 2 xh + h ⋅ ( 2 + )
f x h f x x h x h x h
= = = = = 2 x + h .
h h h h h
Nähert sich h immer näher der Null an, so nähert sich 2x + h immer weiter der Zahl
2x an. Also ist ( )
f x = x 3 f ′ x = 3 x
2
• ( ) ( )
( + ) − ( )
f x h f x
f ′ x = = x + h = x .
lim lim 2 2
0 0
h → h
h →
BEWEIS. Für jedes x und jedes h ≠ 0 muss
( ) ( ) ( ) 3 3
f x + h − f x = x + h − x
.
h h
berechnet werden. Mit dem binomischen Lehrsatz folgt ( ) 3 3 2 2 3
x + h = x + 3 x h + 3 xh + h .
Hiermit ergibt sich
( ) ( ) ( )
3 3
f x + h − f x =
x + h − x
h h
=
x + 3 x h + 3 xh + h − x
h
=
2 2 3
3 x h + 3 xh + h
h
3 2 2 3 3
2 2
( 3 3 )
h ⋅ x + xh + h
=
h
2 2
= 3 x + 3 xh + h
Burghardt – RWB 10/11
′

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 15
Nähert sich h immer näher der Null an, so nähert sich
f ( x + h ) − f ( x ) 2 2 2
Zahl
f ′ x = = x + xh + h = x .
2
3x an. Also ist ( )
lim lim3 3 3
0 0
h → h
h →
In der Tat kann eine Potenzregel bewiesen werden:
2 2
3 x + 3 xh + h immer weiter der
= ′ =
n n 1
Satz. (Potenzregel). f ( x ) x f ( x ) nx −
Im Folgenden werden nun Ableitungsregeln bewiesen, die es ermöglichen, alle ganzrationalen
Funktionen zu differenzieren.
1.6.4 Zwei Konstantenregeln
Wenn die Funktion f konstant ist – das heißt, es gibt eine reelle Zahl c , sodass f ( x ) = c
für alle x ist –, dann gilt f ′ ( x ) = 0 .
BEWEIS. Für jedes x und jedes h ≠ 0 gilt
( ) ( )
f x + h − f x = c − c
= 0 .
h h
Also ist f ( x )
( + ) − ( )
f x h f x
′ = = = .
lim lim 0 0
0 0
h → h
h →
Diese Konstantenregel wird oft kurz so gefasst: Additive Konstanten fallen beim Ableiten
weg. 2
3
Bislang können wir Potenzfunktionen ableiten wie zum Beispiel die durch f ( x ) = x gegebene.
Wie sieht es aber aus, wenn wir hier noch eine Konstante hinzumultiplizieren,
2
also zum Beispiel die durch f ( x ) = 5 ⋅ x gegebene Funktion betrachten. Die Gleichung
dieser Funktion hat die Struktur f ( x ) = c ⋅ g ( x ) , wobei c eine Konstante (feste Zahl) und
g eine differenzierbare Funktion ist. Da die Konstante hier zu einer Funktion hinzumultipliziert
wird, spricht man von einer multiplikativen Konstante.
Jede Funktion, deren Gleichung von der Art f ( x ) = c ⋅ g ( x ) ist, wobei c eine Konstante
und g eine differenzierbare Funktion ist, ist differenzierbar, und die Ableitung berechnet
man, indem man die Konstante unverändert lässt und die differenzierbare Funktion g ableitet:
f ′ ( x ) = c ⋅ g ′ ( x ) . Das heißt: Multiplikative Konstanten bleiben beim Ableiten erhalten.
BEWEIS. Für jedes x und jedes h ≠ 0 gilt
2 Konstanten sind Werte, die sich nicht ändern. Der Wert einer Variablen dagegen ändert sich je nach
dem, welche Zahl man für sie einsetzt. Warum hier von einer additiven Konstante gesprochen wird, wird
weiter unten klar werden.
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 16
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x + h − f x = c ⋅ g x + h − c ⋅ g x = c ⋅ g x + h − g x
.
h h h
Was passiert hier beim Grenzübergang h gegen Null Die Konstante c bleibt (weil sie
konstant ist) natürlich unverändert. Der Ausdruck
( + ) − ( )
g x h g x
h
ist nichts anderes als der Differenzenquotient der Funktion g . Wir haben voraus gesetzt,
dass die Funktion g differenzierbar ist. Das bedeutet: Man kann im Differenzenquotienten
( + ) − ( )
g x h g x
h
den Grenzübergang h gegen Null durchführen und erhält als Resultat des Grenzübergangs
die Ableitung der Funktion g :
h
0
lim
→
( + ) − ( )
g x h g x
h
( )
= g x .
Also ist
( + ) − ( ) ( + ) − ( ) ( + ) − ( )
f x h f x g x h g x g x h g x
f ′ ( x ) = lim = lim c ⋅ = c ⋅ lim
= c ⋅ g ′ ( x ) .
h → 0 h h → 0 h h → 0 h
Wir können nun bereits Ableitungen von einer Vielzahl von Funktionen ausrechnen, zum
2
Beispiel die Ableitung der durch f ( x ) = 5 x gegebenen Funktion: Die Funktionsgleichung
2
ist von der Form f ( x ) = c ⋅ g ( x ) mit c = 5 und g ( x ) = x . Da multiplikative Konstanten er-
2
halten bleiben und die durch g ( x ) = x gegebene Funktion die Ableitung g ′ ( x ) = 2 x hat,
f ′ x = 5 ⋅ g ′ x = 5 ⋅ 2 x = 10 x .
ergibt sich: ( ) ( )
1.6.5 Summenregel
Mit Hilfe der Potenz und der Konstantenregeln können wir bereits die „Bestandteile“ einer
jeden ganzrationalen Funktion differenzieren: Der Funktionsterm jeder ganzrationale
Funktion besteht nämlich aus Ausdrücken der Art
k
⋅ , die dann addiert werden. Diese
Bestandteile können wir ableiten. Um (unter anderem) alle ganzrationalen Funktionen ableiten
zu können, müssen wir also noch wissen, wie man Summen von differenzierbaren
Funktionen ableiten kann. Dies ist in der Tat sehr einfach:
c x
Satz (Summenregel). Wenn die Funktionsgleichung einer Funktion von der Form
f ( x ) = g
1 ( x ) + g
2 ( x ) ist, wobei g 1
und g 2
differenzierbar sind, dann ist f differenzierbar
1 2
f x g x g x
′ ′ ′ = + . Das bedeutet: Summen dürfen summandenweise differenziert
werden.
und es gilt ( ) ( ) ( )
Burghardt – RWB 10/11
′

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 17
BEWEIS. Für jedes x und jedes h ≠ 0 gilt
( + ) − ( ) g
1 ( x + h ) + g
2 ( x + h ) − ( g
1 ( x ) + g
2 ( x ) )
f x h f x
=
h h
=
g
1
x h g
2
x h g
1
x g
2
x
Was passiert hier mit den Ausdrücken
=
( + ) + ( + ) − ( ) − ( )
h
g x h g x g x h g x
( + ) − ( ) + ( + ) − ( )
1 1 2 2
h
= g
1
x + h − g
1
x +
g
2
x + h − g
2
x
h h
( ) ( ) ( ) ( )
.
( + ) − ( )
g x h g x
1 1
h
und
( + ) − ( )
g x h g x
2 2
h
beim Grenzübergang h gegen Null Dies sind die Differenzenquotienten der Funktionen
g
1
und g 2
. Wir haben voraus gesetzt, dass diese beiden Funktionen differenzierbar sind.
Das bedeutet: Man kann in den beiden Differenzenquotienten
( + ) − ( )
g x h g x
1 1
h
und
( + ) − ( )
g x h g x
2 2
h
den Grenzübergang h gegen Null durchführen und erhält als Resultat des Grenzübergangs
jeweils Ableitungen der Funktionen g 1
und g 2
:
h
0
lim
→
( + ) − ( )
g x h g x
1 1
h
1
( )
= g x und
h
0
lim
→
( + ) − ( )
g x h g x
2 2
h
2
( )
= g x .
Also ist
( )
f ′ x =
( + ) − ( )
f x h f x
lim
h → 0 h
g
1 ( x + h ) − g
1 ( x ) g
2 ( x + h ) − g
2 ( x )
= lim
+
h → 0 h h
g
1
x + h − g
1
x g
2
x + h − g
2
x
= lim + lim
h → 0 h h → 0 h
= g ′ x + g ′ x
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
Nun können wir bereits alle ganzrationalen Funktionen ableiten wie zum Beispiel die durch
2
f ( x ) = − 3 x + 4 gegeben Funktion. Ihr Funktionsterm ist aus den Summanden
2
g
1 ( x ) 3 x
berechnen können: ′ ( ) = − und ( )
= − und g
2 ( x ) = 4 gebildet, deren Ableitungen wir mit den bisherigen Regeln
g
1
x 6 x
g ′
2
x = 0 . Da die Ableitung von f durch summandenweises
Ableiten berechnet werden kann, ergibt sich f ′ ( x ) = − 6 x .
Burghardt – RWB 10/11
1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 18
1.7 Ganzrationale Funktionen und höhere Ableitungen
f x = a + a x + a x + + a
n
x
2
Jede ganzrationale Funktion ( ) 0 1 2
n
ist eine Summe von Vielfachen
von Potenzfunktionen. Diese Summanden sind nach der Potenzregel und der Regel,
dass multiplikative Konstanten erhalten, differenzierbar. Die Ableitung ergibt sich dann
nach der Summenregel durch summandenweises Ableiten:
2 n 1
( )
f ′ x = a
1
+ 2 a
2
x + 3 a
3
x + na
n
x − .
Es gilt also:
• Alle ganzrationalen Funktionen sind differenzierbar.
• Ihre Ableitungen sind wiederum ganzrationale Funktionen und damit wiederum differenzierbar.
• Der Grad der Ableitung einer ganzrationalen Funktion ist um 1 geringer als der
Grad der Ausgangsfunktion.
Definition. Ist die Ableitung f ′ der Funktion f ebenfalls differenzierbar, so wird deren
Ableitung mit f ′′ bezeichnet. Die Funktion f ′′ heißt zweite Ableitung von f . Entsprechend
erklärt man die dritte Ableitung f ′′′ usw. Für noch höhere Ableitungen ist die
„Strich-Schreibweise“ meist unpraktisch. Um die k -te Ableitung zu kennzeichnen schreibt
man deshalb manchmal auch
( k )
f .
Wegen der Gradverringerung beim Ableiten um 1 ergibt sich: Leitet man eine ganzrationale
Funktion n -ten Grades n + 1 -mal ab, ist die entstehende Funktion konstant Null:
( n + 1 )
f x
( )
= 0 .
1.8 Übungen
1.8.1 Geben Sie f ′, f ′ ′ und f ′ ′ ′ an! Benutzen Sie die Ableitungsregeln!
a) f
2
( x ) = x b) ( )
2
2
f x = 2x c) f ( x ) = x d) f ( x ) = x + 2
1.8.2 Differenzieren Sie die folgenden Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln!
3 4
9 5
f x = x + x c) f ( x ) = x + x e) f ( x ) = x + x
5 8
a) ( )
2 3 x
4 3
5 7
4 6
b) f ( x ) = x − x d) f ( x ) = x − x f) f ( x ) = x −
1.8.3 Berechnen Sie mit Hilfe der Ableitungsregeln die erste und die zweite Ableitung!
a) f ( x ) 1 5 1
x x
2
4 3
= + − 0, 7 x g) f ( x ) = 9 x − 3 x + 5 x − 7
8 2
4 2
6 3 2
f x = 2 x − 7 x + 5
h) f ( x ) = 4 x + 2 x − 9 x − 18 x + 2
b) ( ) x
= 9 x 1 x 1
x x
3 2
12 3 2
4 3 2 3
c) f ( x ) = 8 x − 17 x + 5 x i) ( ) − + − 2 + 8
f
x
Burghardt – RWB 10/11
′
′

1 Die Ableitungsfunktion als Tangentensteigungsfunktion 19
5 2
6
5 4 2
d) f ( x ) = 4 x − 2 x − 8 x
j) f ( x ) = x − x + x − x + 3 x
e) ( ) 3 2 3 2
f x = x − 9 x + 2
k) ( ) 8 − 4 + 0,8 + 9
f x 8 x x − x
f
x
9
1
5
1
8
= x x x
4 3 2
4 3 2
f) ( ) = − 12 4
l) ( ) 12 − 0,8 − 7 − 8 + 2
f
x
1
2
= x x x x
1.8.4 Bestimmen Sie mit Hilfe der Ableitungsregeln die erste, zweite und dritte Ableitung!
4 2
a) f ( x ) = 3 x + 2 x f) f ( x ) = 3 x
2 + 8 x + 5 k) f ( x ) 1 4 1 1
= − x + x
3 − x
24 6 2
1 1 4
15 12
6 3
5
b) f ( x ) = 5 x − 7 x g) f ( x ) = 4 x − 5
l) f ( x ) = − x − x + 8
7 3
4 3
c) f ( x ) = 7 x + 9 x h) f ( x ) = x − 8 x + x
6 3 2
5 m) ( )
5
11
18
f x = x + x −
36
f x = x + x −
14 21
4 3
3 2
7 6 3
d) f ( x ) = x − 2x i) f ( x ) = 8 x − 4 x − 9 x n) ( )
f x 1 x 1
x +
2 5
6 2
6 5 4
7 5
4
e) f ( x ) = 3 x − 8 x j) ( ) = −
o) ( ) = +
1
8
x
1
2
5
f x x x −
21
7
16
2
3
9
4
5
20
x
x
x
1.8.5 Finden Sie jeweils eine Funktion f , die die angegebene Ableitung hat!
a) f ( x ) = 3 x
2 8 5
4 3
′ + 2 x c) f ′( x ) = 9 x − 6 x + 8 e) f ( x ) = x − x
3 6
6 2
3 2
b) f ′( x ) = 4 x − 7 x d) f ′ ( x ) = x + x f) f ( x ) = 8 x − 6 x
Burghardt – RWB 10/11
2 Das Newton-Verfahren 20
2 Das Newton-Verfahren
2.1 Nullstellenbestimmung
Für die weitaus meisten Funktionen existieren keine Lösungsformeln zur direkten Berechnung
von Nullstellen. So ist es auch bei der Funktion f , die den Gewinn berechnet,
den die Dorfgemeinschaft aus dem im Rahmen eines Entwicklungshilfeprojektes
5 2
kultivierten neuen Ackerland ziehen kann: ( )
f x = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 , wobei eine x -
Einheit einer Fläche von einem Hektar und eine Geldeinheit einem Jahresgewinn von 2
US-$ entspricht. Die Nullstellen werden hier zum Beispiel benötigt, um die Flächenmaße
einzugrenzen, bei denen die Dorfgemeinschaft einen finanziellen Gewinn aus der neu gewonnen
Ackerfläche ziehen kann.
Mit dem Newton-Verfahren können die Nullstellen einer Funktion in vielen Fällen zumindest
näherungsweise bestimmt werden. Um eine Nullstelle einer Funktion f mit dem
Newton-Verfahren näherungsweise zu berechnen, beginnt man mit einer ersten groben
Annäherung x 0
an die gesuchte Nullstelle – dies ist der Startwert für das Verfahren. Die
Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 0
schneidet die x -Achse an einer Stelle
x
1
, die in der Regel näher an der gesuchten Nullstelle liegt als der Startwert x 0
:
Tangente an den Graphen der
Funktion f ( x ) an der Stelle x 0
Schnittpunkt x 1
der Tangente mit der
x -Achse – liegt näher an der gesuchten
Nullstelle
( x f ( ) )
0 | x 0
gesuchte Nullstelle
Startwert x 0
Diese Schnittstelle lässt sich mit Hilfe der Tangentensteigung f ′ ( x 0 ) leicht berechnen:
( 0 )
( )
f x
x
1
= x
0
− .
f ′ x
0
Um die Näherung zu verbessern, wiederholt man das Verfahren mit x 1
statt x 0
und erhält
eine weitere, in der Regel genauere Approximation x 2
der Nullstelle und so fort, bis eine
vorgegebene Fehlerschranke unterschritten ist.
Burghardt – RWB 10/11
′
′

2 Das Newton-Verfahren 21
Ab welcher Flächengröße wird die Dorfgemeinschaft aus der Nutzfläche Gewinn ziehen
5 2
können Mit Hilfe einer Skizze der durch f ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 gegebenen Funktion
sieht man, dass die erste positive Nullstelle bei etwa x = 0,5 liegt:
300
240
180
120
60
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-60
Zur Verdeutlichung ist der in der Nähe der Nullstelle liegende Teil hier noch einmal genauer
dargestellt:
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 -0,5 0 0,5 1
-1
-2
Ein sinnvoller Startwert ist also x 0
= 0,5 . Die genaue Lage der Nullstelle wird nun mit dem
Newton-Verfahren bestimmt:
4
• Berechne f ′: ( )
f ′ x = − 0,05 x + 19 x
• Im ersten Schritt wird die erste Näherung x 1
mit der Formel
f x
x
1
= x
0
−
f ′ x
berechnet; es genügt natürlich, die Werte zu berechnen, der Funktionsgraph und
die Tangenten müssen nicht gezeichnet werden:
x
( )
( )
( 0 )
( )
5 2
f 0,5 − 0,01 ⋅ 0,5 + 9,5 ⋅ 0,5 − 1, 25
1 4
= 0,5 − = 0,5 − = 0,38157289
f ′ 0,5 − 0,05 ⋅ 0,5 + 19 ⋅ 0,5
0
Burghardt – RWB 10/11
2 Das Newton-Verfahren 22
• Im zweiten Schritt wird diese Näherung anstelle x 0
= 0,5 verwendet und die nächste
Approximation der Nullstelle berechnet:
x
2
f
( 0,38157289 )
( 0,38157289 )
0,38157289 0,36321145
= − =
f ′
• Wiederholung des Verfahrens mit x 2
:
x
3
f
( 0,36321145 )
( 0,36321145 )
0,36321145 0,36274753
= − =
f ′
• Wiederholung des Verfahrens mit x 3
:
x
4
f
( 0,36274753 )
( 0,36274753 )
0,36274753 0,36274724
= − =
f ′
• Wiederholung des Verfahrens mit x 4
:
x
5
f
( 0,36274724 )
( 0,36274724 )
0,36274724 0,36274724
= − =
f ′
Der Wert verändert sich nicht mehr, die gesuchte Nullstelle ist 0,36274724. Die Dorfgemeinschaft
macht also einen finanziellen Gewinn, sobald die kultivierte Fläche 0,363
ha groß ist!
Bei der praktischen Durchführung des Newton-Verfahrens ist oft das Anlegen einer Tabelle
hilfreich, in die die benötigten Werte schrittweise eingetragen werden:
letzten Iterationswert
bzw.
Startwert eintragen
Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5
x
n
f ( x n
)
f ′ ( x n
) f ( x
n
) f ′ ( x n
) x
n+ 1
Wert aus Spal-
Wert aus Spal-
te 1 bei f ( x )
einsetzen
te 1 bei f ′ ( x )
einsetzen
Wert aus Spalte
2 geteilt
durch Wert
aus Spalte 3
Wert aus Spalte
1 minus
Wert aus Spalte
4
Unterscheidet sich in einer Zeile der Wert in der ersten Spalte um weniger als die vorgegebene
Fehlermarge vom Wert in der letzten Spalte, hat man den Näherungswert für
die Nullstelle gefunden.
5 2
Wir führen die Nullstellenbestimmung von f ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 durch Newton-
Iteration mit dem Startwert x 0
= 0,5 nochmals mit Hilfe einer solchen Tabelle durch:
Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5
x
n
f ( x n
) f ′( x n
) f ( x
n
) f ′( x n
) x
n+ 1
0,5 1,1246875 9,496875 0,11842711 0,38157289
0,38157289 0,13309885 7,24882489 0,01836144 0,36321145
0,36321145 0,00320107 6,90014733 0,00046391 0,36274753
0,36274753 0,0000020435 6,89133742 0,00000029653 0,36274724
0,36274724 0 6,89133179 0 0,36274724
Burghardt – RWB 10/11

2 Das Newton-Verfahren 23
2.2 Urbildbestimmung
Die Dorfgemeinschaft im oben erwähnten Entwicklungshilfeprojekt möchte einen neuen
Stromgenerator anschaffen. Dies soll dann geschehen, wenn aus der kultivierten Fläche
ein Jahresgewinn von 350 US-$ gezogen werden kann. Um zu berechnen, bei welcher
Größe der neu kultivierten Fläche dieser Gewinn erstmals erzielt wird, muss die Gleichung
( ) 175 f x =
nach x gelöst werden (zuvor wurde der Geldbetrag von 350 US-$ in Geldeinheiten der
Gewinnfunktion umgerechnet: 350 2 = 175 .) Ein solches x heißt auch Urbild von 175 unter
der Funktion f .
Das Newton-Verfahren kann verwendet werden, um solche Urbilder zu finden. Um ein
Urbild x zu einem vorgegebenen y zu berechnen, stellt man Gleichung f ( x ) = y so um,
dass ein Nullstellenproblem entsteht, das heißt ein Problem, das im Auffinden der Nullstelle
einer Funktion besteht:
f ( x ) = y − y ⇔ f ( x ) − y = 0
Das Newton-Verfahren wird dann auf die durch g ( x ) = f ( x ) − y gegebene Funktion angewendet.
Den Startwert x 0
wählt man so, dass f ( x
0 ) ≈ y ist.
Im Fall des Entwicklungshilfeprojekts entnimmt man der Skizze (oder einer Wertetabelle,
sofern diese vorliegt), dass f ( x ) = 175 erstmals für x ≈ 4,5 gilt:
300
240
180
120
60
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-60
Durch Umformen der Gleichung f ( x ) = 175 erhält man
5 2 5 2
− 0,01 x + 9,5 x − 1, 25 = 175 − 175 ⇔ − 0,01 x + 9,5 x − 176, 25 = 0 .
Burghardt – RWB 10/11
2 Das Newton-Verfahren 24
Um die Gleichung f ( x ) = 175 zu lösen, wendet man nun das Newton-Verfahren auf die
5 2
durch g ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 176,25 gegebene Funktion mit dem Startwert x 0
= 4,5 an:
Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5
x
n
( )
g x
n
g ( x n )
′ g ( x
n ) g ( x
n )
′ x
n+ 1
4,5 -2,3278125 64,996875 -0,03581422 4,53581422
4,53581422 0,00040364 65,0167974 0,0000062082 4,53580801
4,53580801 0 65,0167954 0 4,53580801
Die neu kultivierte Fläche muss also rund 4,536 ha groß sein, damit der Generator gekauft
werden kann.
2.3 Zur Konvergenz des Newton-Verfahrens
Nicht immer nähern sich die im Newton-Verfahren gefundenen Werte der angezielten
Nullstelle an:
• Es ist möglich, dass die Werte sich einer anderen als der angezielten Nullstelle annähern
(von dieser also gleichsam angezogen werden).
• Manchmal ist in den Werten überhaupt keine Regelmäßigkeit zu sehen: Sie springen
ziellos hin und her oder werden immer größere positive bzw. immer kleinere
negative Zahlen.
In diesen Fällen muss man das Newton-Verfahren mit einem neuen Startwert erneut beginnen
– und hat leider viel Arbeit umsonst gemacht.
2.4 Übungen
2.4.1 Bestimmen Sie alle Nullstellen der folgenden Funktionen; skizzieren Sie zunächst
den Graphen (legen Sie hierzu gegebenenfalls eine Wertetabelle an), um die ungefähre
Lage der Nullstellen zu sehen!
f
x
= x x x
3 2
a) ( ) + 3,7 − 5,98 − 23, 8
f
x
= x x x
b) ( ) 3 − 13 2 + 49,31 − 44, 33
f
x
= x x x
3
2
c) ( ) − 2 − 12,8 + 20,7 + 170, 1
5 4 3 2
2.4.2 Bestimmen Sie für die Funktion ( x ) = x + 0,5 x − 7 x − 3,5 x + 10 x + 5
f alle Nullstellen,
sodass die ersten drei Stellen hinter dem Komma mit dem tatsächlichen Wert
übereinstimmen.
2.4.3 Bestimmen Sie für das Entwicklungshilfeprojekt
a) bis zu welcher Flächengröße finanzieller Gewinn erzielt wird;
b) bei welcher Flächengröße letztmals genug Gewinn erzielt wird, dass der Generator
gekauft werden könnte.
2.4.4 Die Verwaltung eines bundesweit tätigen ambulanten Pflegedienstes Care@Home
3
2
arbeitet bei Ihren Planungen mit der durch f ( x ) = − x + 8,12 x + 21,9345 x − 62, 0379 gegebenen
Gewinnfunktion. Hierbei entspricht eine x -Einheit 100 Mitarbeitern und eine y -
Einheit einem Gewinn von 1000 € im Quartal.
a) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion und geben Sie die Gewinnzone an.
Burghardt – RWB 10/11

2 Das Newton-Verfahren 25
b) Bestimmen Sie alle Stellen, für die f ( x ) = 120 ist.
c) Bestimmen Sie, bei welchen Mitarbeiterzahlen wird ein Gewinn von 120.000 € im
Quartal erzielt wird.
2.4.5 Die Verwaltung eines Altenheims arbeitet mit der durch die Gleichung
3 2
f x = − x + 8,9 x − 5,08 x − 27, gegebenen Gewinnfunktion. Dabei entspricht eine x -
( ) 3
Einheit 10 Bewohnern und eine y -Einheit 1.000 € Gewinn im Monat.
a) Bestimmen Sie die Gewinnzone des Heims: Zwischen welchen Belegungszahlen ist
die Gewinnfunktion positiv
b) Das Heim hat momentan 42 Bewohner. Berechnen Sie den monatlichen Gewinn!
c) Der Gewinn des Heims soll auf 38.000 € gesteigert werden. Wie viele Bewohner
müssen dann zusätzlich aufgenommen werden
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 26
3 Kurvenuntersuchungen
Für das Entwicklungshilfeprojekt in der nähe des kleinen afrikanischen Dorfes, bei dem
Brachland zu landwirtschaftlicher Nutzfläche kultiviert wird, haben wir aus der durch
5 2
f ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 gegebenen Gewinnfunktion bereits mit Hilfe des Newton-
Verfahrens bestimmen können, dass das Dorf einen finanziellen Gewinn erwirtschaften
kann, sobald die neue Nutzfläche größer als 0,363 ha ist. In diesem Kapitel werden wir mit
Hilfe der Differentialrechnung weitere Erkenntnisse aus der Gewinnfunktion ziehen und
Fragen beantworten können wie die folgenden:
• Bei welchen Flächengrößen führt eine Vergrößerung der neu kultivierten Fläche auch
zu einer Steigerung des finanziellen Gewinns
• Bei welchen Flächengrößen ist es umgekehrt, das heißt: Eine Vergrößerung der neu
kultivierten Fläche führt zu einer Senkung des finanziellen Gewinns.
• Welche Größe der neu kultivierten Fläche führt zum größten finanziellen Gewinn, welche
Flächengröße ist also optimal
• Wenn eine Vergrößerung der neu kultivierten Fläche zu einer Gewinnsteigerung führt:
Ab welcher Flächengröße ist dann mit einer Verringerung der Gewinnzunahme zu
rechnen
3.1 Monotonieverhalten
Zeichnet man den Graphen der Gewinnfunktion, so stellt man fest:
• Ab einer Fläche von 0 bis zu einer Fläche von etwa 7 ha steigt der Funktionsgraph an.
• Dagegen fällt er ab einer Fläche von etwa 7 ha wieder ab.
300
240
180
120
60
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-60
Bei einer Flächengröße von 0 bis etwa 7 ha führt also eine Vergrößerung der neu kultivierten
Fläche zu einem höheren Gewinn. Dies bedeutet, dass in diesem Bereich aus x 1
< x 2
stets f ( x
1 ) < f ( x
2 ) folgt.
Bei einer Fläche von mehr als etwa 7 ha fällt der Gewinn bei zunehmender Fläche. Dies
bedeutet, dass in diesem Bereich aus x 1
x 2
< stets f ( x
1 ) > f ( x
2 ) folgt.
Burghardt – RWB 10/11

3 Kurvenuntersuchungen 27
Definition. Eine Funktion f heißt in einem Bereich B
• streng monoton wachsend, falls für alle x 1
, x 2
aus B mit x 1
x 2
• streng monoton fallend, falls für alle x 1
, x 2
aus B mit x 1
x 2
< gilt: f ( x
1 ) < f ( x
2 ) ;
< gilt: f ( x
1 ) > f ( x
2 ) .
Dass B ein Bereich ist, bedeutet: Gehören zwei Zahlen zu B , dann gehört auch jede
Zahl zwischen ihnen zu B .
( )
f x
2
( )
f x
1
( )
f x
1
( )
f x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
streng monoton wachsend
streng monoton fallend
Man macht sich leicht klar:
Satz. Für jede differenzierbare Funktion f gilt:
• Sind in einem Bereich B alle Tangentensteigungen positiv, d.h. für alle x aus B hat
f ′ ( x ) ein positives Vorzeichen, dann ist f in diesem Bereich streng monoton wachsend.
• Sind in einem Bereich B alle Tangentensteigungen negativ, d.h. für alle x aus B hat
f ′ ( x ) ein negatives Vorzeichen, dann ist f in diesem Bereich streng monoton fallend.
3.2 Hoch- und Tiefpunkte und kritische Stellen
Der Graph der Gewinnfunktion des Entwicklungshilfeprojekts hat bei ungefähr x = 7 einen
P = ( x
0
| f x
0 ) einen Hochpunkt des Graphen,
wenn man einen Kreis mit Mittelpunkt P zeichnen kann, in dem P der höchste
Punkt des Graphen ist:
Hochpunkt. Dabei nennen wir einen Punkt ( )
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 28
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-50
-100
Der Funktionswert an einem Hochpunkt P = ( x
0
| f ( x
0 ) ) ist der größte Funktionswert, der
zumindest in der Nähe von x 0
erreicht werden kann. Man sagt deshalb auch: Die Funktion
f hat an der Stelle x 0
ein lokales Maximum.
Wie das Bild zeigt, gibt es – im negativen Bereich der x -Achse – durchaus Punkte auf
dem Graphen, die höher liegen als der hier gekennzeichnete Hochpunkt. Diese liegen a-
ber außerhalb des eingezeichneten Kreises: Stellen, die weit von einem lokalen Maximum
entfernt liegen, können durchaus zu einem größerem Funktionswert führen.
Der Graph der Gewinnfunktion des Entwicklungshilfeprojekts hat bei ungefähr x = 0 einen
P = ( x
0
| f x
0 ) einen Tiefpunkt des Graphen,
wenn man einen Kreis mit Mittelpunkt P zeichnen kann, in dem P der tiefste Punkt des
Graphen ist:
Tiefpunkt. Dabei nennen wir einen Punkt ( )
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-50
-100
Burghardt – RWB 10/11

3 Kurvenuntersuchungen 29
Der Funktionswert an einem Tiefpunkt P = ( x
0
| f ( x
0 ) ) ist der kleinste Funktionswert, der
zumindest in der Nähe von x 0
erreicht werden kann. Man sagt deshalb auch: Die Funktion
f hat an der Stelle x 0
ein lokales Minimum.
Das Bild zeigt, dass es Punkte auf dem Graphen gibt, die tiefer liegen als der hier gekennzeichnete
Tiefpunkt. Diese liegen aber außerhalb des eingezeichneten Kreises: Stellen,
die weit von einem lokalen Minimum entfernt liegen, können durchaus zu einem kleinerem
Funktionswert führen.
3.2.1 Das notwendige Kriterium – kritische Stellen
P = ( x
0
| f x
0 ) weder
Wie können Hoch- bzw. Tiefpunkte gefunden werden Eine erste Antwort liefert die folgende
Überlegung: Da der Funktionsgraph an einem Hochpunkt ( )
wächst noch fällt, kann f ′ dort weder positiv noch negativ sein. Es muss also f ′ ( x 0 ) = 0
sein. Mit anderen Worten:
Notwendiges Kriterium für ein lokales Extremum. Wenn die Funktion f hat an der
Stelle x 0
einen Hoch- oder einen Tiefpunkt hat, dann gilt f ′ ( x 0 ) = 0 .
Definition. Eine Stelle x 0
heißt kritische Stelle von f , falls f ′ ( x 0 ) = 0 gilt.
Damit bei x 0
ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, muss x 0
notwendigerweise eine kritische
Stelle sein: Wenn f ′( x 0
) ≠ 0 ist, dann hat der Graph an der Stelle x 0
auch keinen Extremalpunkt.
Deshalb:
Um die Hoch- und Tiefpunkte einer differenzierbaren Funktion zu bestimmen, bestimmt
man im ersten Schritt alle ihre kritischen Stellen. In einem zweiten Schritt muss dann für
jede der gefundenen kritischen Stellen überprüft werden, ob dort ein lokales Maximum
oder ein lokales Minimum vorliegt.
Achtung: Manchmal liegen an einer kritischen Stelle weder ein Hoch- noch ein Tiefpunkt!
Zum Beispiel findet man für die Ableitung der durch f
3
( x ) = x gegebenen Funktion
2
f ( x ) = 3x
′ , und deshalb ist ( 0 ) = 0
f ′ , das heißt: 0 ist eine kritische Stelle. Wenn man den
Graphen der Funktion f zeichnet, sieht man, dass an der Stelle 0 weder ein Hochpunkt
noch ein Tiefpunkt vorliegt.
5 2
Wir bestimmen für die durch f ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 gegebene Gewinnfunktion des
Entwicklungshilfeprojekts die kritischen Stellen:
4
• Bestimmen der Ableitung: ( )
f ′ x = − 0,05 x + 19 x
f ′ x = 0 ⇔ − 0,05 x 4 + 19 x = 0 ⇔ x ⋅ − 0,05 x
3 + 19 = 0
• Nullsetzen der Ableitung: ( ) ( )
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 30
Da ein Produkt nur dann Null sein kann, wenn mindestens ein Faktor Null ist, ergibt
3
sich als erste kritische Stelle x = 0 und außerdem die Gleichung − 0,05 x + 19 = 0 . Aus
der Gleichung ergibt sich dann x = 7, 243 .
3.2.2 Das Vorzeichenwechselkriterium
Um ein Kriterium zu finden, mit dem wir entscheiden können, ob an einer kritischen Stelle
ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorliegt, überlegen wir folgendes:
Wenn der Funktionsgraph unmittelbar links einer kritischen
Stelle streng monoton wächst und unmittelbar rechts einer
kritischen Stelle streng monoton fällt, dann ist der Funktionswert
an der kritischen Stelle
• größer als unmittelbar links der kritischen Stelle (die die
Funktionswerte aus dieser Richtung her wachsen) und
• größer als unmittelbar rechts der kritischen Stelle (die
die Funktionswerte in diese Richtung hin fallen).
Dies bedeutet:
• Wenn sich an der kritischen Stelle x 0
das Monotonieverhalten
des Graphen von „streng monoton wachsend“
Monotoniewechsel von
streng monoton wachsend
zu streng monoton fallend
zu „streng monoton fallend“ ändert, dann liegt an der Stelle x 0
ein lokales Maximum,
also ein Hochpunkt, vor.
Wir untersuchen jetzt die Fälle, wenn ein Monotoniewechsel von „streng monoton fallend“
zu „streng monoton wachsend“ stattfindet und wenn kein Monotoniewechsel vorliegt:
Monotoniewechsel von
streng monoton fallend zu
streng monoton wachsend
kein Monotoniewechsel: der
Graph wächst links und
rechts der kritischen Stelle
streng monoton
kein Monotoniewechsel: der
Graph fällt links und rechts
der kritischen Stelle streng
monoton
Es ergibt sich:
• Wenn sich an der kritischen Stelle x 0
das Monotonieverhalten des Graphen von
„streng monoton fallend“ zu „streng monoton wachsend“ ändert, dann liegt an der Stelle
x 0
ein lokales Minimum, also ein Tiefpunkt, vor.
• Wenn sich an der kritischen Stelle x 0
das Monotonieverhalten des Graphen nicht ändert,
er also links und rechts von x 0
streng monoton wächst oder links und rechts von
Burghardt – RWB 10/11

3 Kurvenuntersuchungen 31
x
0
streng monoton fällt, dann liegt an der Stelle 0
x weder ein lokales Maximum noch
ein lokales Minimum vor. In diesem Fall gib es also an der kritischen Stelle weder einen
Hoch- noch einen Tiefpunkt.
Wir wissen bereits: Wenn f ′ ein positives Vorzeichen hat, dann können wir auf streng
wachsende Monotonie schließen; wenn f ′ ein negatives Vorzeichen hat, können wir auf
streng fallende Monotonie schließen. Wir fassen dies mit den soeben festgestellten Abhängigkeiten
zwischen dem Monotonieverhalten und dem Vorliegen eines Extrempunktes
tabellarisch zusammen:
f ′ wechselt an der Stelle
x
0
das Vorzeichen
von + nach −
von − nach +
Dies impliziert für das Monotonieverhalten
von f in
der Nähe von x 0
Wechsel von „streng monoton
wachsend“ zu „streng
monoton fallend“
Wechsel von „streng monoton
fallend“ zu „streng monoton
wachsend“
nicht kein Monotoniewechsel
Dies bedeutet für das Vorliegen
eines Hoch- oder
Tiefpunktes:
Hochpunkt bei x 0
.
Tiefpunkt bei x 0
.
Weder Hochpunkt noch
Tiefpunkt bei x 0
Dabei bedeutet zum Beispiel „Vorzeichenwechsel von + nach −“, dass f ′ für alle Stellen
unmittelbar links von x 0
ein positives und für alle Stellen unmittelbar rechts von x 0
ein negatives
Vorzeichen hat. Damit ergibt sich sofort das folgende Kriterium für das Vorliegen
eines Hoch- oder Tiefpunktes an einer kritischen Stelle x 0
:
Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema. „Vorzeichenwechselkriterium“
• f ′ macht an der Stelle x 0
einen Vorzeichenwechsel von + nach −
f hat an der Stelle x 0
einen Hochpunkt.
• f ′ macht an der Stelle x 0
einen Vorzeichenwechsel von − nach +
f hat an der Stelle x 0
einen Tiefpunkt.
• f ′ macht an der Stelle x 0
keinen Vorzeichenwechsel
f hat an der Stelle x 0
weder einen Hochpunkt noch einen Tiefpunkt.
Um den Vorzeichenwechseltest durchzuführen ist es erforderlich, das Vorzeichen der Ableitung
„unmittelbar links“ und „unmittelbar rechts“ der kritischen Stelle zu berechnen. Was
bedeutet hier „unmittelbar“: Wie weit darf man sich dabei von der kritischen Stelle entfernen
Die Antwort gibt der
Zwischenwertsatz für Ableitungen. Nur an einer kritischen Stelle der Funktion f kann
die Ableitung f ′ ihr Vorzeichen ändern.
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 32
Da f ′ zwischen zwei direkt aufeinander folgenden kritischen Stellen nicht Null ist (ansonsten
gäbe es ja eine kritische Stelle dazwischen, sie folgen also nicht direkt aufeinander),
ergibt sich
Zwischen zwei direkt aufeinander folgenden kritischen Stellen ändert f ′ sein Vorzeichen
nicht.
Um zu das Vorzeichen von f ′ links einer kritischen Stelle x 0
zu bestimmen, rechnet man
einfach den Wert der Funktion f ′ an einer beliebigen „Kontrollstelle“ aus, die
• kleiner ist als x 0
aber
• nicht kleiner ist als die nächst kleinere kritische Stelle.
Um zu das Vorzeichen von f ′ rechts einer kritischen Stelle x 0
zu bestimmen, rechnet
man den Wert der Funktion f ′ an einer beliebigen „Kontrollstelle“ aus, die
• größer ist als x 0
aber
• nicht größer ist als die nächst größere kritische Stelle.
Das Vorgehen erläutern wir, indem wir die Hoch- und Tiefpunkte der durch
5 2
f ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 gegebene Gewinnfunktion des Entwicklungshilfeprojekts bestimmen.
Wir hatten bereits die kritischen Stellen bestimmt und wissen deshalb, dass nur
bei x = 0 und bei x = 7, 243 Hoch- bzw. Tiefpunkte vorliegen können. Wir tragen die kritischen
Stellen auf einem Zahlenstrahl ein:
0 7, 243
Um den Vorzeichenwechsel an der Stelle x = 0 zu überprüfen, wählen wir zuerst eine
Kontrollstelle links von x = 0 . Es bietet sich zum Beispiel x = − 1 an. Dann wählen wir eine
Kontrollstelle rechts von x = 0 . Diese darf nicht größer sein als die nächste kritische Stelle,
also x = 7, 243 . Es bietet sich hier zum Beispiel x = 1 an.
Um den Vorzeichenwechsel an der Stelle x = 7, 243 zu überprüfen, wählen wir zuerst eine
Kontrollstelle links von x = 7, 243 . Diese darf nicht kleiner sein als die nächste kritische
Stelle, also x = 0 . Auch hier können wir x = 1 nehmen. Dann wählen wir eine Kontrollstelle
rechts von x = 7, 243 . Es bietet sich hier zum Beispiel x = 8 an.
Wir tragen die ausgewählten Kontrollstellen auf dem Zahlenstrahl ein:
− 1
0 1 8
7, 243
Burghardt – RWB 10/11

3 Kurvenuntersuchungen 33
4
Wir berechnen die Werte der ersten Ableitung f ′ ( x ) = − 0,05 x + 19 x an den Kontrollstellen
und bestimmen das Vorzeichen:
• f ′ ( − 1 ) = − 19,05 , Vorzeichen −
• f ′ ( 1 ) = 18,95 , Vorzeichen +
• f ′ ( 8 ) = − 52,8 , Vorzeichen −.
Wir tragen die Vorzeichen im Zahlenstrahl ein:
− 1
0 1 8
7, 243
Aus dem Vorzeichenwechselkriterium folgt:
• An der Stelle x = 0 hat der Graph einen Tiefpunkt, da f ′ einen Vorzeichenwechsel
von − nach + macht. Der Tiefpunkt ist T = ( 0 | − 1, 25 ) .
• An der Stelle x = 7, 243 hat der Graph einen Hochpunkt, da f ′ einen Vorzeichenwechsel
von + nach − macht. Der Hochpunkt ist H = ( 7,243 | 297,789 ) .
Aus dem Hochpunkt kann man ablesen: Die Dorfgemeinschaft erzielt den größten finanziellen
Gewinn, wenn die neu kultivierte Fläche 7,243 ha groß ist. Der Gewinn beträgt
dann 297,789 ⋅ 2 = 595,578 ≈ 595,58 €.
3.3 Krümmungsverhalten und zweite Ableitung
3.3.1 Links- und Rechtskurven
Am Graphen einer Funktion f kann man anschaulich zweierlei Kurven unterscheiden:
Linkskurven Rechtskurven
Um mathematisch zu präzisieren, was unter einer Links- bzw. einer Rechtskurve zu verstehen
ist, halten wir folgendes fest:
• Beim Durchlaufen einer Linkskurve nimmt die Tangentensteigung zu: Im Bereich einer
f ′ x
1
< f ′ x
2
, falls x 1
< x 2
ist. Dies bedeutet: f ′ wächst im Bereich
der Linkskurve streng monoton.
Linkskurve gilt ( ) ( )
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 34
f ′ x
1
> f ′ x
2
, falls x 1
< x 2
ist. Dies bedeutet: f ′ fällt im Bereich
der Rechtskurve streng monoton.
• Beim Durchlaufen einer Rechtskurve nimmt die Tangentensteigung ab: Im Bereich einer
Rechtskurve gilt ( ) ( )
Damit können wir die Begriffe „Linkskurve“ und „Rechtskurve“ nun exakt definieren:
Definition. Die Funktion f sei differenzierbar.
• Der Graph von f ist in einem Bereich eine Linkskurve, falls f ′ in diesem Bereich
streng monoton wächst.
• Der Graph von f ist in einem Bereich eine Rechtskurve, falls f ′ in diesem Bereich
streng monoton fällt.
Wir haben gesehen, dass aus dem Vorzeichen der Ableitung einer Funktion auf das Monotonieverhalten
der Funktion geschlossen werden kann. Da f ′′ die Ableitung von f ′ ist,
kann bei einer zweimal differenzierbaren Funktion f aus dem Vorzeichen von f ′′ in einem
Bereich B auf das Monotonieverhalten von f ′ und damit auf das Krümmungsverhalten
von f in diesem Bereich geschlossen werden:
f ′′ positiv f ′ streng monoton wachsend ⇔ f Linkskurve
f ′′ negativ f ′ streng monoton fallend ⇔ f Rechtskurve
Kennt man das Vorzeichen der zweiten Ableitung nur an einer Stelle x 0
, dann kann man
zumindest schließen, wie das Krümmungsverhalten in der Nähe dieser Stelle ist:
f ′′ ( x 0 ) > 0
f ′ streng monoton wachsend
in der Nähe von x 0
⇔
f Linkskurve in der
Nähe von x 0
f ′′ ( x 0 ) < 0
f ′ streng monoton fallend in
der Nähe von x 0
⇔
f Rechtskurve in der
Nähe von x 0
3.3.2 Hoch- und Tiefpunktbestimmung mit Hilfe der zweiten Ableitung
Weiß man im Fall f ′′ ( x 0 ) > 0 zusätzlich, dass x 0
eine kritische Stelle ist, so liegt eine kritische
Stelle in einer Linkskurve vor. Der entsprechende Punkt auf dem Graphen muss
dann offenbar ein Tiefpunkt sein.
Weiß man dagegen im Fall f ′′ ( x 0 ) < 0 zusätzlich, dass x 0
eine kritische Stelle ist, so liegt
eine kritische Stelle in einer Rechtskurve vor. Der entsprechende Punkt auf dem Graphen
muss dann offenbar ein Hochpunkt sein.
Wir haben damit ein weiteres hinreichendes Kriterium gefunden, um Hoch- und Tiefpunkte
zu bestimmen:
Burghardt – RWB 10/11

3 Kurvenuntersuchungen 35
Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema.
• f ′ ( x 0 ) = 0 und f ′′ ( x 0 ) > 0 f hat an der Stelle x 0
einen Tiefpunkt.
• f ′ ( x 0 ) = 0 und ( )
f ′′ x 0
< 0 f hat an der Stelle x 0
einen Hochpunkt.
x
0
kritische Stelle mit f ′′ ( x 0 ) > 0
x
0
kritische Stelle mit f ′′ ( x 0 ) < 0
Vorsicht: Aus ′ ( x 0
) = 0
′ ′ x
f und f ( ) 0
0
=
kann nicht geschlossen werden, dass f
an der Stelle x 0
weder einen Hoch- noch
einen Tiefpunkt hat: Der Graph der Funktion
f
4
( x ) = x erinnert an eine Normalparabel.
Er hat an der Stelle x = 0
0 einen Tief-
′ und
3
punkt. Man berechnet aber f ( x ) = 4x
2
f ′ ( x ) = 12x , sodass ( 0 ) = 0
′′
( 0 0
) = 0
f gilt!
f ′ und
Mit dem Vorzeichenwechselkriterium sieht
man sofort, dass an der Stelle x = 0
0 ein
3
Tiefpunkt vorliegt: Die Ableitung f ( x ) = 4x
macht nämlich an der Stelle x = 0
0 einen
Vorzeichenwechsel von − nach + .
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2 -1 0 1 2
-2
Wir verwenden das neu gewonnene Kriterium, um (nochmals) die Hoch- und Tiefpunkte
5 2
der durch ( )
f x = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 gegebenen Gewinnfunktion des Entwicklungshilfeprojekts
bestimmen. Als kritischen Stellen hatten wir bereits x = 0 und x = 7, 243 berechnet.
4
3
In diesem Fall ist f ′ ( x ) = − 0,05 x + 19 x und f ′′ ( x ) = − 0,2 x + 19 . Wegen f ′′ ( 0 ) = 19 > 0
liegt an der Stelle x = 0 ein Tiefpunkt. Wegen f ′′ ( 7, 243 ) = − 57 < 0 liegt an der Stelle
x = 7, 243 ein Hochpunkt.
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 36
3.3.3 Zur Abgrenzung der beiden Kriterien zur Extremwertbestimmung
Die Rechnung zeigt, dass der Ansatz, über die zweite Ableitung die Hoch- und Tiefpunkte
zu identifizieren, in vielen Fällen einfacher ist als die Verwendung des Vorzeichenwechselkriteriums.
Wie wir bereits gesehen haben, versagt dieser Ansatz jedoch mitunter.
In diesen Fällen muss dann doch noch das Vorzeichenwechselkriterium herangezogen
werden.
Das Vorzeichenwechselkriterium kann nur bei Funktionen versagen, die unendlich viele
kritische Stellen haben, die sich an einer Stelle häufen. Eine solche Funktion ist hier gezeichnet,
hier gibt es in der Nähe von x = 0 unendlich viele kritische Stellen:
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
-0,1 -0,08 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1
-0,005
2
(Die zum Graphen gehörende „Zitterfunktion“ ist durch f ( x ) x
und f ( 0 ) = 0 gegeben.)
π
= ⋅ 2 + sin 2 x
für x ≠ 0
3.4 Wendepunkte und dritte Ableitung
3.4.1 Begrifflichkeiten und Kriterien
Wendepunkte sind diejenigen Punkte auf dem Graph einer Funktion f , an denen sich die
Krümmung ändert, also eine Linkskurve in eine Rechtskurve oder eine Rechtskurve in
eine Linkskurve übergeht:
Links-Rechts-Wendepunkte Rechts-Links-Wendepunkte
Burghardt – RWB 10/11
′
′

3 Kurvenuntersuchungen 37
Ist W = ( x
0
| f ( x
0 ) ) ein Wendepunkt der Funktion f , nennt man x 0
auch eine Wendestelle
von f . Wenn x 0
eine Wendestelle von f ist, dann kann f ′′ ( x 0 ) weder positiv sein
(da der Graph von f sonst in der Nähe von x 0
eine Linkskurve wäre – auf einer Seite von
x ist er aber eine Rechtskurve) noch kann f ′′ ( x 0 ) negativ sein (da der Graph von f
0
sonst in der Nähe von x 0
eine Rechtskurve wäre – auf einer Seite von x 0
ist er aber eine
Linkskurve). Daraus folgt:
Notwendiges Kriterium für einen Wendepunkt. Wenn x 0
eine Wendestelle von f ist,
dann gilt f ′′ ( x 0 ) = 0 .
Indem wir unser Wissen über
• den Zusammenhang von Krümmungsverhalten und erster Ableitung (z.B. Graph von
g ist eine Linkskurve ⇔ g′ ist streng monoton wachsend)
• die Möglichkeit, Monotonie mit Hilfe der ersten Ableitung zu überprüfen (z.B. g ist
streng monoton wachsend, falls g′ positiv ist)
• die Möglichkeit, das Krümmungsverhalten an einer Stelle über die zweite Ableitung zu
überprüfen (z.B. g ist in der Nähe der Stelle x 0
eine Rechtskurve, falls g ′′ ( x 0 ) < 0 gilt)
zusammenstellen, erhalten wir die folgenden beiden Tabellen:
Links-Rechts-Wendepunkt an der Stelle x 0
links der
Wendestelle
Krümmungsverhalten
von f
Verhalten von f ′ f ′ streng monoton
wachsend
kann überprüft werden
mit
rechts der
Wendestelle
Linkskurve Rechtskurve -
f ′ streng monoton
fallend
an der Wendestelle
f ′ hat ein lokales
Maximum
Graph von f ′ ist
eine Rechtskurve
f ′′ positiv f ′′ negativ f ′′′ ( x 0 ) < 0
Rechts-Links-Wendepunkt an der Stelle x 0
links der
Wendestelle
Krümmungsverhalten
von f
Verhalten von f ′ f ′ streng monoton
fallend
kann überprüft werden
mit
rechts der
Wendestelle
Rechtskurve Linkskurve -
f ′ streng monoton
wachsend
an der Wendestelle
f ′ hat ein lokales
Minimum
Graph von f ′ ist
eine Linkskurve
f ′′ negativ f ′′ positiv f ′′′ ( x 0 ) > 0
Aus den jeweils zweiten und dritten Spalten der Tabelle ergibt sich:
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 38
Vorzeichenwechselkriterium für das Vorliegen eines Wendepunktes.
Falls f zweimal differenzierbar ist, gilt
• f ′′ macht an der Stelle x 0
einen Vorzeichenwechsel von + nach −
f hat an der Stelle x 0
einen Links-Rechts-Wendepunkt.
• f ′′ macht an der Stelle x 0
einen Vorzeichenwechsel von − nach +
f hat an der Stelle x 0
einen Rechts-Links-Wendepunkt.
• f ′′ macht an der Stelle x 0
keinen Vorzeichenwechsel
f hat an der Stelle x 0
keinen Wendepunkt.
Aus der jeweils vierten Spalte der Tabellen ergibt sich:
Zweites hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines Wendepunktes.
Falls f dreimal differenzierbar ist, gilt
• f ′′ ( x 0 ) = 0 und f ′′′ ( x 0 ) > 0
f hat an der Stelle x 0
einen Rechts-Links-Wendepunkt.
• f ′′′ ( x 0 ) = 0 und f ′′′ ( x 0 ) < 0
f hat an der Stelle x 0
einen Links-Rechts-Wendepunkt.
Wir wenden das zweite (und meistens benutzte) Kriterium an, um die Wendepunkte der
5 2
durch f ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 gegebenen Gewinnfunktion des Entwicklungshilfe-
4
projekts bestimmen. In diesem Fall ist f ( x ) 0,05 x 19 x
′ = − + und ( )
3
f ′′ x = − 0,2 x + 19 und
2
f ′′′ ( x ) = − 0,6 x . Aus f ′′ ( x ) = 0 ergibt sich x = 4,563 . Nur an der Stelle x = 4,563 kann ein
Wendepunkt vorliegen. Einsetzen in die dritte Ableitung ergibt f ′′ ( 4,563 ) = − 12,49 < 0 , sodass
an der Stelle x = 4,563 ein Links-Rechts-Wendepunkt vorliegt. Die Koordinaten des
Wendepunktes sind LRW = ( 4,563 |176,768 ) .
3.4.2 Maximale und minimale Zunahmeraten
Aus der jeweils letzten Spalte der beiden Tabellen entnehmen wir:
• f hat an der Stelle x 0
einen Links-Rechts-Wendepunkt.
f ′ hat an der Stelle x 0
lokales Maximum
• f hat an der Stelle x 0
einen Rechts-Links-Wendepunkt.
f ′ hat an der Stelle x 0
lokales Minimum
In dem Fall, dass in der Nähe von x 0
nicht unendlich viele Lösungen der Gleichung
f ′′ ( x ) = 0 liegen – dies ist bei allen Funktionen der Fall, die wir behandeln werden – ,
kann man hier die Folgerungspfeile auch umdrehen:
Falls in der Nähe von x 0
nicht unendlich viele Lösungen der Gleichung f ′′ ( x ) = 0 liegen,
gilt:
Burghardt – RWB 10/11

3 Kurvenuntersuchungen 39
• Die Aussagen „ f hat an der Stelle x 0
einen Links-Rechts-Wendepunkt“ und „ f ′ hat
an der Stelle x 0
lokales Maximum“ sind gleichbedeutend.
• Die Aussagen „ f hat an der Stelle x 0
einen Rechts-Links-Wendepunkt“ und „ f ′ hat
an der Stelle x 0
lokales Minimum“ sind gleichbedeutend.
Um die Bedeutung dieses Resultats zu erfassen, wenden wir uns nochmals der durch
5 2
f ( x ) = − 0,01 x + 9,5 x − 1,25 gegebenen Gewinnfunktion des Entwicklungshilfeprojekts zu.
Die Ableitung an einer Stelle x 0
ist definiert als Grenzwert der Differenzenquotienten
( + ) − ( )
f x h f x
0 0
h
.
für h → 0 . Im Zähler steht hierbei der Wertzuwachs der Gewinnfunktion, wenn eine x 0
ha
großen Fläche um h ha vergrößert wird. Durch die Division durch h wird hieraus der
Wertzuwachs der Gewinnfunktion je Hektar, wenn eine x 0
ha großen Fläche um h ha
vergrößert wird. Der beim Grenzübergang h → 0 entstehende Wert – also f ′ ( x 0 ) – gibt
dann den momentanen Wertzuwachs der Gewinnfunktion je Hektar bei einer Flächengröße
von x 0
ha an.
Allgemein gilt:
Bei jeder differenzierbaren Funktion ist f ′ ( x 0 ) die Zuwachsrate der Funktion an der Stelle
x 0
. Der Wert gibt den momentanen Zuwachs oder die momentane Abnahme der Werte
der Funktion für die Stelle x 0
an.
Für das Entwicklungshilfeprojekt können wir nun beantworten, bei welcher Flächengröße
die größte Gewinnsteigung zu verzeichnen ist. Gewinnsteigerung bedeutet Zuwachsrate
der Gewinnfunktion, diese wird mit f ′ berechnet. Die maximale Gewinnsteigerung zu bestimmen
bedeutet also, das Maximum von f ′ zu ermitteln. Wie eben festgehalten liegt
dieses Maximum am Links-Rechts-Wendepunkt der Funktion f , also bei x = 4,563 ha.
3.5 Übungen
3.5.1 Bestimmen Sie mit Hilfe des Vorzeichenwechseltests die Hoch- und Tiefpunkte der
durch die folgenden Gleichungen gegebenen Funktionen.
3 2
3 2
a) f ( x ) = x + 1,5 x + 6 x − 1 e) f ( x ) = 2 x − 6 x − 18 x + 4
b) ( ) 3 3 2 24 +
3 2
f x = x − x − x 3 f) f ( x ) = 4 x + 3 x − 36 x − 10
c) ( ) 3 12 2 45 −
3
2
f x = x − x + x 2 g) f ( x ) = − 2 x − 16,5 x − 27 x − 8
d) ( ) 3 9 2 24 +
3
2
f x = − x + x − x 5 h) f ( x ) = 3 x + 15,75 x + 11, 5
3.5.2 Bestimmen Sie mit Hilfe des Vorzeichenwechseltests die Hoch- und Tiefpunkte der
durch die folgenden Gleichungen gegebenen Funktionen.
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 40
4
5 3
a) f ( x ) = 5 x + 4 x − 3
e) ( )
5 3
b) f ( x ) 3 x 2 x 2
f x = 0,3 x + 2,5 x − 54 x − 5
f x = 0,125 x − 9 x − 98 x − 1
= − − f) ( )
8 5 2
4 3
c) f ( x ) 6 x 2 x 8
f x = − 5 x − 8 x + 2
= − + + g) ( )
4 2
4 3 2
d) f ( x ) 0,75 x 2 x 36 x 1
f x = 0,15 x − 2 x + 7,5 x − 3,75
= + − + h) ( )
4 3 2
3.5.3 Bestimmen Sie mit Hilfe der zweiten Ableitung die Hoch- und Tiefpunkte der durch
die folgenden Gleichungen gegebenen Funktionen.
3 2
3
2
a) f ( x ) = x − 7,5 x − 18 x + 1, 5 e) f ( x ) = 3 x + 23,4 x + 53,55 x + 75, 83
3
2
3
2
b) f ( x ) = − x − 6,75 x − 13,5 x + 2, 75 f) f ( x ) = − 0,5 x − 3,15 x + 114,885 x − 223, 896
c) ( ) 3 15 2 56,25 +
3
2
f x = x − x + x 15, 75 g) f ( x ) = − 4 x − 13,8 x + 353,76 x − 419, 24
3 2
3
2
d) f ( x ) = 2 x + 3,3 x − 65,52 x − 35, 85 h) f ( x ) = 2 x − 37,2 x + 190,08 x + 53, 7
3.5.4 Bestimmen Sie mit Hilfe der zweiten Ableitung die Hoch- und Tiefpunkte der durch
die folgenden Gleichungen gegebenen Funktionen.
4 2
a) f ( x ) 4 x 3 x 2
f x = − 0,5 x − 7,5 x − 3,5
= − + e) ( )
6 2
5 2
5 3
b) f ( x ) = 6 x + 4 x − 7
f) ( )
4 3 2
c) f ( x ) 0,15 x 1, 4 x 3 x 0,75
f x = − 0, 2 x + 2 x + 27 x − 1
f x = 0,3 x − 4 x + 18 x + 4
= − + − − g) ( )
10 6 2
4 3 2
d) f ( x ) 1,5 x 2 x 6 x 12 x
f x = 0,12 x + 0,15 x + 4 x
= + + + h) ( )
5 4 3
3.5.5 Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f .
a) ( ) 3 3 2 4 −
3
2
f x = x − x + x 5
e) f ( x ) = 6,25 x + 3,75 x − 3,75 x + 1, 75
3 2
3
2
b) f ( x ) = − 2 x + 6 x − x + 2 f) f ( x ) = − 4,8 x + 14,4 x − 2,55 x − 1, 3
3 2
3
2
c) f ( x ) = − 4 x + 1,5 x + 2,5 x − 3 g) f ( x ) = − 7,5 x − 22,5 x + 8,45 x + 6, 9
3 2
3
2
d) f ( x ) = 5 x − 4,5 x + 4,75 x + 1 h) f ( x ) = 1,8 x + 10,8 x + 2,9 x − 6
3.5.6 Bestimmen Sie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f .
f
f
f
f
f
f
x
x
x
x
x
x
= x x x x
4 3
2
a) ( ) − 2 − 120 + 8,5 − 9
= x x x x
4 3 2
b) ( ) − + 2 − 12 − 15 + 6
= x x x x
4 3 2
c) ( ) 0,25 − 4 + 18 − 6,25 − 1, 25
= x x x
4 2
d) ( ) 0,5 − 48 + 15 − 25
= x x x x
4 3 2
e) ( ) − 2 + 8 − 63 − 10,5 + 31, 5
= x x x x
4
3
2
f) ( ) − 3 − 37,5 − 141,75 + 59,8 − 75, 9
3.5.7 Berechnen Sie die Extremal- und die Wendepunkte des Graphen von f !
3
2
3
2
a) f ( x ) = x − 2,25 x − 7,5 x − 2, 4 e) f ( x ) = x − 6,45 x + 12,6 x + 1, 75
1 3 2
= x x x
3
2
b) f ( x ) = − x + 2,4 x + 18,36 x + 27, 9 f) ( ) − − 7,3 − 38,85 + 4, 3
1 3 2
3
2
c) f ( x ) = x + 1,8 x − 9,01 x − 3, 02 g) f ( x ) = x − 16,35 x + 85,8 x + 11, 9
3
d) ( ) 2 3 3
2
f x = − x + 19,44 x + 15, 55 h) f ( x ) = − 2,5 x + 46,5 x − 237,6 x − 112, 9
f
x
3
Burghardt – RWB 10/11

3 Kurvenuntersuchungen 41
( ) 0379
3.5.8 Die Gewinnfunktion des Pflegedienstes Care@Home ist durch die Gleichung
3
2
f x = − x + 8,12 x + 21,9345 x − 62, gegeben. Dabei entspricht eine x -Einheit 100 Mitarbeitern
und eine y -Einheit einem Gewinn von 1000 € im Quartal.
a) Bestimmen Sie, bei welcher Mitarbeiterzahl der größte Gewinn erzielt wird, und berechnen
Sie den maximalen Gewinn.
b) Berechnen Sie, bei welcher Mitarbeiterzahl die Gewinnzunahme am höchsten ist.
3.5.9 Eine Jugendgruppe führt eine Bergwanderung durch. Das Gebirge entspricht dem
im ersten und zweiten Quadranten liegenden Teil des Graphen der durch die Gleichung
4
3
2
( x ) = − 0,0015 x + 0,028 x − 0,159 x + 0,24 x + 1, 364
f gegebenen Funktion. Dabei entsprechen
eine x -Einheit und eine y -Einheit jeweils einer Höhe von einem Kilometer über
dem Meeresspiegel. Die Gruppe wandert vom linken Gipfel zum rechten Gipfel.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f für x -Werte zwischen − 3 und 12. Markieren
Sie den Teil des Graphen, der das Gebirge bildet.
b) Berechnen Sie, in welcher Höhe die Jugendlichen ihre Wanderung beginnen und
beenden und berechnen Sie, welches ist die geringste Höhe ist, die sie auf ihrer
Wanderung erreichen.
c) Ermitteln Sie, an welchen Punkten die Gruppe mit dem größten Gefälle und der
größten Steigung konfrontiert wird. Berechnen Sie, wie stark das Gefälle bzw. die
Steigung jeweils ist und wie hoch die Jugendlichen dann jeweils sind.
3.5.10 Die Verwaltung der Großküche, die die städtischen Kindergärten und Schulen mit
5 3
f x = − 0,5 x + 4 x −
Mittagessen versorgt, hat für die Gewinnfunktion die Gleichung ( ) 2
ermittelt. Dabei entspricht eine x -Einheit 40 Beschäftigten und eine y -Einheit 200 € Gewinn
in der Woche.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion für x ∈ [ − 3;3 ] .
b) Berechnen Sie die Gewinnzone der Großküche.
c) Ermitteln Sie, bei welcher Mitarbeiterzahl die Großküche maximalen Gewinn erwirtschaftet,
und berechnen Sie den maximalen Gewinn.
d) Bestimmen Sie, bei welcher Mitarbeiterzahl der Gewinn der Großküche am stärksten
ansteigt.
e) Die Verwaltung strebt Sanierungsarbeiten an, sobald die wöchentlichen Einnahmen
mindestens 2.180 € betragen. Berechnen Sie, wie viele Mitarbeiter die Großküche
dafür haben muss.
3.5.11 Die Verwaltung des Reha-Zentrums St. Peter arbeitet mit der durch
5 2
f ( x ) = − 0,2 x + 5 x − 1 gegebenen Gewinnfunktion. Hierbei entspricht eine x -Einheit 160
betreuten Patienten und eine y -Einheit einem Gewinn von 250 € in der Woche.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion über dem Intervall [ − 1;3 ] .
b) Bestimmen Sie die Gewinnzone und ermitteln Sie, bei welcher Patientenanzahl der
Gewinn am größten sein wird.
c) Berechnen Sie, bei welcher Patientenzahl der Gewinn am stärksten ansteigt.
3.5.12 Der Gewinn, den ein Krankenhaus bei einem Patienten durchschnittlich macht,
hängt wesentlich von seiner Verweildauer im Krankenhaus ab. Die Verwaltung der Uni-
5
Klinik in Bonn setzt hierfür versuchsweise die durch ( x ) = − 1,5 x + 15 x + 3
f gegebene
Funktion an. Dabei entspricht eine x -Einheit eine Verweildauer von 5 Tagen und eine y -
Einheit einem Gewinn von 90 € für die gesamte Verweildauer.
Burghardt – RWB 10/11
3 Kurvenuntersuchungen 42
a) Welchen Gewinn macht das Krankenhaus bei einem Patienten, der nur ambulant
behandelt wird
b) Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion über dem Intervall [ − 2;2 ] .
c) Berechnen Sie, bis zu welcher Verweildauer eines Patienten das Krankenhaus Gewinn
erwirtschaftet.
d) Bestimmen Sie, bei welcher Verweildauer der pro Patient gemachte Gewinn am
größten ist, und wie groß er ist.
e) Ermitteln Sie, bei welcher Verweildauer der pro Patient gemachte Gewinn am stärksten
zunimmt.
g) Der Patient Müller brachte dem Krankenhaus einen Gewinn von 1.485 € ein. Berechnen
Sie, wie lange war er im Krankenhaus war.
3.5.13 In einem Chemieunternehmen in Leverkusen hat es einen Unfall gegeben, bei dem
umweltschädliche Gase und Dämpfe entwichen sind. Die Fläche des Gebietes, in dem die
Umweltbelastung festgestellt werden kann, hängt ab von der Zeit, die nach dem Unfall
5 3
vergangen ist. Die Größe der Fläche kann mit Hilfe der durch ( x ) = − 0,25 x + 6 x + 2
f gegebenen
Funktion berechnet werden. Dabei entspricht jede x -Einheit einem Zeitraum von
90 Minuten und jede y -Einheit einer Flächengröße von 0,5 km 2 .
a) Zeichnen Sie den Graphen über dem Intervall [ − 5;5 ] .
b) Berechnen Sie, wann ist das betroffene Gebiet am größten ist und welche Fläche es
dann einnimmt.
c) Ermitteln Sie, wann keine Umweltbelastung mehr festzustellen ist
d) Bestimmen Sie, wie viele Minuten nach dem Unfall die Fläche des betroffenen Gebietes
am stärksten zunimmt.
d) Während der Zeit, in der das von der Umweltbelastung betroffene Gebiet mindestens
21 km 2 groß ist, treten für den Großraum Leverkusen besondere Katastrophenschutzpläne
in Kraft. Berechnen Sie, ab der wievielten Minuten nach dem Unfall diese
Bestimmungen in Kraft gesetzt werden müssen und ab der wievielten Minuten sie
wieder aufgehoben werden können.
3.5.14 Skizzieren Sie jeweils einen Funktionsgraphen mit den folgenden Bedingungen:
a) genau ein Wendepunkt, keine Extremalpunkte.
b) genau ein Wendepunkt, genau ein Hochpunkt und genau ein Tiefpunkt.
c) genau ein Wendepunkt, genau ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt.
d) zwei Wendepunkte, kein Extremalpunkt.
e) genau zwei Tiefpunkte, genau ein Hochpunkt und genau zwei Wendepunkte.
f) genau ein Tiefpunkt, kein Hochpunkt und zwei Wendepunkte.
3.6 Kurvendiskussion
Die in diesem Kapitel untersuchten Fragestellungen wurden früher und werden auch oft
heute noch unter dem Begriff „Kurvendiskussion“ zusammengefasst. Eine Kurvendiskussion
hat das Ziel, das Aussehen des Funktionsgraphen zu analysieren. Folgende
Fragen sind dabei zu beantworten:
1. Wo liegen die Hoch- und Tiefpunkte (Die Koordinaten der Punkte sind auszurechnen
und anzugeben!)
2. Wo liegen die Wendepunkte (Die Koordinaten der Punkte sind auszurechnen und
anzugeben!)
Burghardt – RWB 10/11

3 Kurvenuntersuchungen 43
3. Wie verändert sich die Krümmung des Graphen an den Wendepunkten: geht eine
Rechts- in eine Linkskurve oder eine Links- in eine Rechtskurve über
4. Was sind die Nullstellen der Funktion
3.7 Übungen
3.7.1 Führen Sie für die folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch!
f x = x
3 + 3 x
2 − 3 x −
3
2
f) f ( x ) = x − 8,25 x − 6 x + 111, 25
a) ( ) 10
b) ( ) 3 6 2 9 −
3 2
f x = − x + x + x 14 g) f ( x ) = − 3 x + 18 x + 22,5 x − 135
3 2
3
2
c) f ( x ) = 2 x − 9 x + 18 x + 29 h) f ( x ) = − 2 x − 13,8 x + 8,4 x + 137
3 2
3
2
d) f ( x ) = − 0,5 x − 3 x − 6 x + 28 i) f ( x ) = 5 x + 37,5 x − 22,5 x − 155
1 3 2
3
2
e) f ( x ) = x + 1,5 x − 2,5 x − 15 j) f ( x ) = x + 11,7 x − 17,4 x − 1996
3
Burghardt – RWB 10/11
4 Weitere Ableitungsregeln 44
4 Weitere Ableitungsregeln
4.1 Problembeschreibung: Kontamination nach einem Chemieunfall
Bei einer Explosion in einer Chemie-Fabrik ist eine Giftwolke ausgetreten. Auf Grund der
vorherrschenden Windrichtung und der gegenwärtigen Wetterlage geht man davon aus,
dass sich die giftigen Stoffe in einem halben senkrechten Kreiszylinder ausbreiten, an
dessen Spitze sich die Chemie-Fabrik befindet.
Chemie-Fabrik
Länge des Zylinders
Radius des Zylinders
Das auf der Erdoberfläche von den Giften betroffene Gebiet hat dann die Form eines
gleichschenkligen Dreiecks an dessen Spitze sich die Chemie-Fabrik befindet:
Chemie-Fabrik
betroffenes Gebiet
Breite des Gebiets
Länge des Gebiets
Modellrechnungen haben ergeben, dass x Stunden nach dem Unfall die Länge des Ausbreitungskegels
mit der durch (
2
)
l x = − x + 12,1 x − 1, 2 gegebenen Funktion und der Radius
des Ausbreitungskegels mit der durch r ( x ) = 3,5 x + 0, 2 gegebenen Funktion berechnet
werden können. Die Strecken werden dabei in Einheiten von 100 m gemessen. Aus den
aus der Mittelstufe bekannten Formeln für die Berechnung des Volumens eines Kreiszylinders
und der Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks ergeben sich für das Volumen
V ( x ) es Ausbreitungszylinders und die Fläche ( )
nach dem Unfall
V x = π
r x 2 l x = 0,524 ⋅ 3,5 x + 0,2 2 − x 2 + 12,1 x − 1,2
6
A x = 1
⋅ 2 r x ⋅ l x = 3,5 x + 0, 2 ⋅ − x 2 + 12,1 x − 1,2
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
A x des betroffenen Gebietes x Stunden
Es soll geklärt werden, wie viele Stunden nach dem Unfall das Volumen des Ausbreitungskegels
und wie viele Stunden nach dem Unfall die Fläche des betroffenen Gebietes
maximal sind.
Burghardt – RWB 10/11

4 Weitere Ableitungsregeln 45
Zwar handelt es sich bei den Funktionen V und A um ganzrationale Funktionen, bevor
wir sie aber ableiten können, müssen wir aber – bei unserem gegenwärtigen Kenntnisstand
– erst die Klammern auflösen, was, insbesondere im Term V ( x ) , etwas mühsam
ist. Wir entwickeln nun Ableitungsregeln, die dieses Ausmultiplizieren überflüssig machen.
4.2 Die Produktregel
Mit Hilfe der Produktregel kann man Funktionen, die Produkt zweier differenzierbarer
Funktionen sind, ableiten, ohne das Produkt zuvor umformen zu müssen.
Satz. Wenn die Funktion f Produkt zweier differenzierbarer Funktionen g 1
und g 2
ist,
das heißt f ( x ) g
1 ( x ) g
2 ( x )
f ′ x = g ′
1
x ⋅ g
2
x + g
1
x g ′
2
x .
= ⋅ , dann gilt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Also: Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor unabgeleitet plus erster Faktor unabgeleitet
mal zweiter Faktor abgeleitet.
BEWEIS. Für jedes x und jedes h ≠ 0 gilt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x + h − f x =
g
1
x + h ⋅ g
2
x + h − g
1
x ⋅ g
2
x
h h
=
g
1
x h g
2
x h g
1
x g
2
x h g
1
x g
2
x h g
1
x g
2
x
Also ist
( )
f ′ x =
( + ) ⋅ ( + ) − ( ) ⋅ ( + ) + ( ) ⋅ ( + ) − ( ) ⋅ ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= g
1
x + h ⋅ g
2
x + h − g
1
x ⋅ g
2
x + h +
g
1
x ⋅ g
2
x + h − g
1
x ⋅ g
2
x
h h
g x h g x g x h g x
( ) ( )
( ) ( )
g x h g x
h h
( ) ( )
+ − + −
= ⋅ + + ⋅
lim
h
→
0
1 1 2 2
2 1
.
( + ) − ( )
f x h f x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= g ′
1 ( x ) ⋅ g
2 ( x ) + g
1 ( x ) g ′
2 ( x )
Beim letzten Schritt wurde ausgenutzt, dass ( )
Fall stetig ist, also g ( x h ) g ( x )
h
h
( ) ( )
g
1
x + h − g
1
x g
2
x + h − g
2
x
= lim ⋅ g
2 ( x + h ) + g
1 ( x ) ⋅
h → 0
h h
( ) ( )
g
1
x + h − g
1
x g
2
x + h − g
2
x
= lim ⋅ g
2 ( x + h ) + lim g
1 ( x ) ⋅
h → 0 h h → 0
h
+ − + −
( ) ( )
g
1
x h g
1
x g
2
x h g
2
x
= lim ⋅ lim g
2 ( x + h ) + g
1 ( x ) ⋅ lim
h → 0 h h → 0 h → 0 h
h
0
lim
→
2 2
g
2
x als differenzierbare Funktion auf jeden
+ = ist.
Als Beispiel leiten wir die durch
2
A ( x ) = ( 3,5 x + 0,2 ) ⋅ ( − x + 12,1 x − 1, 2 ) ,
gegebene Funktion, die die Größe des durch den Chemieunfall betroffenen Gebiets in den
Stunden nach dem Unfall ermittelt, mit Hilfe der Produktregel ab. Nach der Produktregel
Burghardt – RWB 10/11
4 Weitere Ableitungsregeln 46
müssen wir rechnen: Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor unabgeleitet plus
erster Faktor unabgeleitet mal zweiter Faktor abgeleitet:
2
A ′ ( x ) = 3,5 ⋅ ( − x + 12,1 x − 1, 2 ) + ( 3,5 x + 0,2 ) ⋅ ( − 2 x + 12,1 )
Hiermit können wir nun berechnen, wann das betroffene Gebiet maximal ist. Indem wir
2
zunächst ausmultiplizieren erhalten wir A ′ ( x ) = − 10,5 x + 84,3 x − 1,78 . Mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums
berechnet man leicht, dass H = ( 8,0075 | 891,122 ) der Hochpunkt
der Flächenfunktion A ist. Die größte Fläche ist also rund 8 Stunden nach der Explosion
betroffen. Sie misst dann rund 8,9 km².
4.3 Die Kettenregel
Um die in der durch ( ) 0,524 ( 3,5 0, 2 ) 2 ( 2 12,1 1, 2 )
V x = ⋅ x + − x + x − gegebenen Volumenfunktion
den Faktor
( ) ( ) 2
f x = 3,5 x + 0, 2
abzuleiten, wollen wir nicht die Produktregel verwenden sondern eine andere wichtige Ableitungsregel:
Die Kettenregel.
Um die Kettenregel verstehen zu können, schauen uns zunächst die Rechenschritte an,
die für die Berechnung eines Funktionswertes – zum Beispiel f ( 5 ) – nacheinander
durchgeführt werden müssen:
• Zuerst rechnet man 3,5 ⋅ 5 + 0, 2 aus: 3,5 ⋅ 5 + 0,2 = 17,7
• Das Ergebnis wird dann hoch 2 genommen: ( 17,7 ) 2
= 319,29
Die Funktion f ( x ) = ( 3,5 x + 0, 2 ) 2
ist also aus zwei Funktionen zusammengesetzt, die
nacheinander ausgeführt werden müssen: Zunächst muss die Funktion g ( x ) = 3,5 x + 0,2
2
ausgeführt werden und mit dem dabei gewonnenen Ergebnis muss die Funktion h ( x ) = x
ausgeführt werden. f ( x ) = ( 3,5 x + 0, 2 ) 2
ist also von der Form
f ( x ) = h ( g ( x ) ) .
Aus nahe liegenden Gründen nennt man die innen stehende, zuerst zu berechnende
Funktion g ( x ) auch innere Funktion und die außen, als letztes zu berechnende Funktion
h ( x ) , auch äußere Funktion.
Definition. Das Hintereinanderausführen von Funktionen nennt man in der Mathematik
auch das Verketten von Funktionen.
Es gibt eine – leider auf den ersten Blick etwas umständliche – Regel, wie man verkettete
Funktionen ableiten kann: die Kettenregel:
Burghardt – RWB 10/11
.

4 Weitere Ableitungsregeln 47
Satz. Wenn die Funktionen g ( x ) und h ( x ) differenzierbar sind, dann ist auch ihre Verkettung
f ( x ) = h ( g ( x ) ) differenzierbar und es gilt
( ) ( )
( ) ( )
f ′ x = h ′ g x ⋅ g ′ x
Den BEWEIS können wir guten Gewissens einem Leistungskurs überlassen! Wir leiten
stattdessen die Funktion f ( x ) = ( 3,5 x + 0, 2 ) 2
mit Hilfe der Kettenregel ab:
• Zunächst identifizieren wir noch mal die innere und die äußere Funktion:
2
( 3,5 0,2 ) ( ( ) )
x + = h g x mit g ( x ) 3,5 x 0,2
2
= + und h ( x ) = x
• Die innere und die äußere Funktion werden abgeleitet: g ( x ) 3,5
′ = und h ′ ( x ) = 2 x
• Im ersten Faktor der Kettenregel h ′ ( g ( x ) ) muss nun die innere Funktion 3,5 x + 0,2 in
die äußere Ableitung 2x für die Unbekannte x eingesetzt werden:
h ′ ( g ( x ) ) = 2 ⋅ ( 3,5 x + 0, 2 )
• Der zweite Faktor der Kettenregel ist einfach die innere Ableitung: g ′ ( x ) = 3,5
• Die Ableitung ist nun das Produkt der beiden Funktionen:
f ′ ( x ) = 2 ⋅ ( 3,5 x + 0, 2 ) ⋅ 3,5 = 7 ⋅ ( 3,5 x + 0, 2 ) .
Mit Hilfe der Ketten- und der Produktregel können wir nun bestimmen, wann der durch
den Chemieunfall kontaminierte Raum am größten ist. Hierzu muss die durch die Gleichung
( ) 0,524 ( 3,5 0, 2 ) 2 ( 2 12,1 1, 2 )
V x = ⋅ x + − x + x − gegebene Volumenfunktion auf Hochpunkte
untersucht werden. Dafür muss diese Funktion abgeleitet werden. Die multiplikative
Konstante 0,524 bleibt beim Ableiten erhalten. Den Term
( 3,5 0,2 ) 2 ( 2 12,1 1, 2 )
x + − x + x − leiten wir mit Hilfe der Produktregel ab. Für den ersten
Faktor f ( x ) = ( 3,5 x + 0, 2 ) 2
haben wir gerade die Ableitung bestimmt:
f ′ ( x ) = 7 ⋅ ( 3,5 x + 0, 2 ) . Unter Anwendung der Produktregel ergibt sich dann
2
2
( ) 0,524 7 ( 3,5 0, 2 )( 12,1 1,2 ) ( 3,5 0, 2 ) ( 2 12,1 )
V ′ x = ⋅ ⋅ x + − x + x − + x + − x +
2
( x ) ( x x ) ( x )( x )
= 0,524 ⋅ 3,5 + 0, 2 ⋅ 7 12,1 1,2 3,5 0, 2 2 12,1
⋅ − + − + + − +
.
V ′ ( x ) = 0 ist gleichwertig mit 3,5 x + 0, 2 = 0 ⇔ x = − 0,057 (eine negative Zahl kommt als
Lösung des Problems nicht in Frage) und
2 2
( ) ( )( )
0 = 7 ⋅ − x + 12,1 x − 1,2 + 3,5 x + 0, 2 − 2 x + 12,1 = − 14 x + 126,65 x − 5,98
Mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums berechnet man leicht, dass
H = ( 8,999 |14059, 216 ) der Hochpunkt der Volumenfunktion V ist. Der größte Raum ist
also rund 9 Stunden nach der Explosion betroffen. Er misst rund 14,06 km³. Es fällt übrigens
auf, dass das Volumen eine Stunde später als die Bodenfläche maximale Ausdehnung
hat, was von vorneherein nicht zu erwarten war. Die Graphen der Funktionen V
Burghardt – RWB 10/11
4 Weitere Ableitungsregeln 48
und A sind hier dargestellt, wobei die Werte von V (gestrichelte Linie) aus Darstellungsgründen
um den Faktor 10 gestaucht wurden:
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-200
4.4 Problembeschreibung: Pro-Stück-Gewinn
In der Werkstatt einer Einrichtung für geistig behinderte Jugendliche wird Holzspielzeug
produziert und über einen kleinen Laden selbst vertrieben. Der bei x produzierten Spielzeugen
erwirtschaftete Gewinn in Euro kann mit der durch
( )
3
f x = − 0,001 x + 8,748 x − 58,32
gegebenen Funktion berechnet werden. Um den pro produziertes Stück erzielten Gewinn
zu berechnen, muss der Gesamtgewinn f ( x ) durch die Produktionsmenge x dividiert
werden. Der Pro-Stück-Gewinn kann also mit Hilfe der durch
( )
g x
( )
=
f x
x
=
− 0,001 x 3
+ 8,748 x − 58,32
x
= 3
− 0,001 x + 8,748 x −
58,32
x x x
= − 0,001 x 2 + 8,748 −
58,32
x
gegebenen Funktion g berechnet werden. Natürlich muss x hierbei positiv sein.
Um zu untersuchen, bei welcher Stückzahl der Pro-Stück-Gewinn am größten ist, muss
die Funktion g abgeleitet werden. Dabei ist der Term 58,32 x „problematisch“. Wir können
ihn mit Hilfe der allgemeinen Potenzregel ableiten, die wir jetzt kennen lernen werden.
Burghardt – RWB 10/11

4 Weitere Ableitungsregeln 49
4.5 Die allgemeine Potenzregel
Bislang haben wir die Potenzregel nur für Exponenten formuliert, die natürliche Zahlen
sind. Sie kann aber auch auf Exponenten erweitert werden, die rationale Zahlen, also Brüche
sind. Zuerst halten wir ein paar Rechenregeln für Potenzen fest, die jeder noch aus
der Mittelstufe kennen sollte:
x
x
x
k
l − k
= x
1 k
x
k
−
=
1
n
x
n x
m
= ( ) l
x
n x
=
n m
k k l
x = x ⋅
k l k l
x ⋅ x = x +
0
x =
1
x
1
= x , insbesondere
1
= x
− 1
x
Die verallgemeinerte Potenzregel lautet nun
= ′ =
f x x f x qx −
q q 1
Für alle q ∈ gilt: ( ) ( )
BEWEIS. Wir untersuchen zuerst den Spezialfall, dass q eine ganze Zahl ist.
Im Fall q ≥ 0 ist q sogar eine natürliche Zahl, und die Regel ist die Potenzregel, die wir
schon kennen.
Im Fall q < 0 ist q = − m , wobei m eine natürliche Zahl ist. Wir betrachten die durch
( ) ( )
g x = x m ⋅ f x
m m − m m − m
g x = x ⋅ f x = x ⋅ x = x = x = 1 ,
gegebene Funktion. Einerseits stellen wir fest ( ) ( )
0
m
sodass g ′ ( x ) = 0 ist. Andererseits können wir g ( x ) = x ⋅ f ( x ) auch mit Hilfe der Produktregel
ableiten: ( ) m −
g ′ x = mx 1 ⋅ f ( x ) + x m ⋅ f ′ ( x ) . Dies formen wir weiter um:
m − 1
m
g ′ ( x ) = mx ⋅ f ( x ) + x ⋅ f ′ ( x )
m − 1 m m
= mx ⋅ x + x ⋅ f ( x )
m − 1 + m m
= mx + x ⋅ f ( x )
− 1 m
= mx + x ⋅ f ( x )
− 1 m
Also muss mx + x ⋅ f ′ ( x ) = 0 sein. Dies lösen wir nach ( )
− 1 m
− 1
mx + x ⋅ f ( x ) = 0 − mx
( )
( )
x ⋅ f ′ x = − mx : x
m − 1 m
1
f ′ x auf:
f ′ x = − mx ⋅ = − mx ⋅ x = − mx = qx
Dies stimmt mit der Behauptung überein.
− 1 − 1 − m − m − 1 q − 1
x
m
Wir behandeln nun den allgemeinen Fall. In diesem Fall gibt es eine natürliche Zahl n und
eine ganze Zahl m mit
q
m
= , also ( )
n
m
f x = x n .
Wir betrachten die Funktion g ( x ) = f ( x ) n
. Nach der Kettenregel gilt
Burghardt – RWB 10/11
4 Weitere Ableitungsregeln 50
Andererseits ist
Hieraus ergibt sich
n − 1
( ) ( ) ( )
g ′ x = n ⋅ f x ⋅ f ′ x
m
⋅ ( n − 1 )
n
= nx ⋅ f x
m −
n
m
= nx ⋅ f x
n
( )
( )
g ( x ) = f ( x ) = x = x = x
m m
n n n
n m
m 1
g ′ ( x ) = mx − ,
wobei wir ausnutzen, dass wir die Produktregel für Exponenten, die ganze Zahlen sind,
gerade eben schon nachgewiesen habe. Also muss
Dies wird nach f ′ ( x ) aufgelöst:
( )
( )
m
−
m
m − 1
( )
n
n ⋅ x ⋅ f x = mx
m m
m − m −
n m − 1
n
n ⋅ x ⋅ f x = mx : n ⋅ x
( )
f ′ x =
mx
nx
m
1
m
m −
n
m m
m − 1 − m − − m −
n n
m
′ = ⋅
f x x x
n
m
f ′ ( x ) = x
n
m
m − 1 − m −
n
m − 1
f ′ ( x ) = x
n
Dies ist gerade die angegebene Regel.
−
m
n
.
.
Die verallgemeinerte Potenzregel gilt auch für den Fall, dass der Exponent eine reelle
Zahl ist. Den Beweis dieser allgemeinen Potenzregel überlassen wir einem Leistungskurs
in Mathematik und halten nur das Resultat fest:
= ′ =
α −
α α 1
Für alle α ∈ gilt: f ( x ) x f ( x ) x
Mit Hilfe der verallgemeinerten Potenzregel kann nun der maximale Pro-Stück-Gewinn
berechnet werden, den die Behindertenwerkstatt erzielen kann. Der Pro-Stück-Gewinn
2 58,32
wird mit der durch g ( x ) 0,001 x 8,748
= − + − gegebenen Funktion berechnet. Um
den problematischen Term 58,32 x ableiten zu können, schreiben wir ihn mit Hilfe der
Rechenregeln für Potenzen um:
ist die Ableitung von
1
x − nun
Wir bestimmen die kritischen Stellen:
x
58,32 x 58,32 x −
1
= ⋅ . Nach der allgemeinen Potenzregel
− 1 − 1 − 2
− 1 ⋅ x = − 1 ⋅ x . Damit ergibt sich:
( ) ( )
2 2
− −
g ′ x = − 0,002 x − 58,32 ⋅ − 1 x = − 0,002 x + 58,32 ⋅ x .
Burghardt – RWB 10/11
l
′
′
′
′
′
′
′
′
⋅

4 Weitere Ableitungsregeln 51
− + ⋅ = ⋅ ⇔ − + =
2 2 3
0,002 x 58,32 x − 0 x 0,002 x 58,32 0
Hieraus ergibt sich die kritische Stelle x = 30,78 . Das Vorzeichenwechselkriterium zeigt,
dass H = ( 30,78 | 5,906 ) ein Hochpunkt ist. Der größte Pro-Stück-Gewinn wird also bei
etwa 31 produzierten Stück erzielt. Er beträgt etwa 5,91 €.
4.6 Übungen
4.6.1 Berechnen Sie f ′ ( x ) mit Hilfe der Produktregel.
= + − + e) f ( x ) = ( − x 3 − 2 x 2 + 5 )( − 3 x 2 + x − 7 )
b) f ( x ) = ( 0,5 x − 3 )( x 2 + 2,5 x + 1 ) f) f ( x ) = ( 2 x 3 − 3 x 2 + x − 2 )( x 3 + 5 x 2 − 8 x − 9 )
c) f ( x ) = ( − 2 x 2 − 6 x − 5 )( 3 x 2 + 2 x − 2 ) g) f ( x ) = ( x 4 + 2 x 2 − 5 )( 2 x 3 − 3 x 2 − 6 x + 1 )
f x = x 3 + 6 x 2 − 11 x 0,5 x − 1 h) f ( x ) = ( 4 x 5 + 2 x 4 − 3 x + 1 )( − 6 x 4 − 5 x
3 + 3 )
a) f ( x ) ( 2 x 1 )( 4 x 2 )
d) ( ) ( )( )
4.6.2 Bilden Sie für die durch die folgenden Gleichungen gegebenen Funktionen g und h
die Verkettung h ( g ( x ) ) .
2
2
Beispiel. g ( x ) = x + 1 , h ( x ) = x ( ( ) )
h g x = x +
3
5
4
a) g ( x ) = x − 2 , h ( x ) = x
f) g ( x ) = 2 x + 1 , ( )
2
b) g ( x ) = x + 1 , h ( x )
1
3 5
h x = x
1
2
1
= g) g ( x ) = 2 x + 3 , h ( x ) =
x
5
2
6
c) g ( x ) = 6 x + 1 , h ( x ) = x h) g ( x ) = x + 2 , h ( x ) =
3 2
3
3
2
d) g ( x ) = 2 x − 5 x + 1 , h ( x ) = x i) g ( x ) = x + 1 , h ( x ) = x +
2
e) g ( x ) 3 x 6
= + , h ( x )
1
4
2
3
= j) g ( x ) = 3 x + x , h ( x ) = x ⋅ x
x
1
x
x
1
x
4.6.3 Berechnen Sie die Ableitungen der durch die folgenden Gleichungen gegebenen
Funktionen.
a) f ( x ) ( 2 x 5 ) 15
5
8
2
7
f x = x + 2 x + 1 − x − 1
= − f) ( ) ( ) ( )
7 7
b) f ( x ) = ( 3 x 2 + 4 x − 1 ) 9
3 2
g) f ( x ) = ( x + x ) + 2 ( x + 4 )
c) ( ) ( 3 3 1 ) 8
4
5 8
f x = x − x + + 2 h) f ( x ) = 6 ( 3 x + x ) − 11 ( x + 1 )
4
6
2
9
= − + i) f ( x ) = ( 2 x + 1 ) ⋅ ( x − 3 x )
2
5 10
e) f ( x ) = ( − 2 x + x ) + ( x − 4 ) j) ( ) ( ) ( )
d) ( ) ( ) 4 2
f x 5 x 1 3 x
5 4
11
3
7
f x = − 3 x + 2 x + x − 1 ⋅ − 5 x + 6 x
4.6.4 Berechnen Sie die Ableitungen der durch die folgenden Gleichungen gegebenen
Funktionen.
Beispiele.
Burghardt – RWB 10/11
4 Weitere Ableitungsregeln 52
3
• f ( x ) = x : Zum Ableiten wird die Wurzel mit Hilfe der Rechenregeln für Potenzen zunächst
als Bruch umgeschrieben: ( )
nun abgeleitet: ( )
1 1
′ = = . Hier kann die Potenz noch umgeschrieben werden:
( )
1 2
1
3 3
1
f x = 3 x = x 3
. Mit der Potenzregel wird ( )
1
f x = x 3
− −
f x x x
3 3
2
3
f ′ x = 1 x − = 1 ⋅ 1 = 1 ⋅
1
3 3 3
x
2 3 2
3
x
1
• f ( x ) 3
= : Zum Ableiten wird zunächst mit Hilfe der Rechenregeln für Potenzen um-
x
geschrieben: ( )
1
f x x − 3
= nun abgeleitet:
( )
1 1
f x x
3
x
x
1
−
3
= = = . Mit der Potenzregel wird ( )
1 4
− − −
1
3
1 1 1
′
3 3
= − = − . Hier kann die Potenz noch umgeschrieben werden:
f x x x
3 3
4
3
1 − 1 1 1 1
f ′ ( x ) = − x = − ⋅ = − ⋅ .
4
3 3 3 3 4
x
3
x
a) ( )
7
f x x 5
= e) f ( x )
1
f x
= i) ( )
4 7
x
2
b) f ( x ) x − 3
3
= f) f ( x ) = x
j) f ( x ) =
9
c) f ( x )
1
= g) ( )
x
3 4
f x x
5 5
d) f ( x ) = x h) f ( x ) x x
= k) f ( x ) = x ⋅ ( 3 x 5 − 2 x + 1 )
= + l) f ( x ) = ( )
3 x 7 ⋅ 3 x − 2 x
2
=
1
x
1
x
4.6.5 Berechnen Sie die Ableitungen der durch die folgenden Gleichungen gegebenen
Funktionen.
Tipp: Schreiben Sie Wurzeln und Brüche mit Hilfe von Exponenten und verwenden Sie die
verallgemeinerte Potenzregel!
a) f ( x ) = ( 3 x 2 + 8 x + 1 ) 1,5
f) ( ) ( ) 8
b) f ( x )
=
1
2 x + 1
c) f ( x ) = 2 x + 1
h)
f ( x )
3
f
d) ( )
( x )
f x = x − 3 x + 1 i)
3 4
f x = x + 2 x
3 2
g) ( ) ( ) 7
f x = 5 2 x + 4 x − 3 x + 1
=
=
5
7
1
( 4 x 3 + 2 x )
1
( 3 x
4 + 1 ) 6
e)
f ( x )
=
1
2
( 2 x + x ) 5
j)
f ( x )
=
x
( x + ) 2
3 1
4.6.6 Bestimmen Sie für die durch die folgenden Gleichungen gegebenen Funktionen die
Hoch- und Tiefpunkte.
Burghardt – RWB 10/11

4 Weitere Ableitungsregeln 53
Tipp: Wenn Sie mit dem Vorzeichenwechselkriterium arbeiten, sparen Sie sich die zweite
Ableitung!
3
a) f ( x ) = ( x − 8 ) 5
b) ( )
2
f x = 1 + x
f x
=
c) ( )
2
f x
=
x
d) ( )
2
x
1
x
+
1
+ 1
Hinweis: = x ⋅
2 2
x + 1 x + 1
x
1
4.6.7 Führen Sie die im Text ausgelassenen Rechnungen zur Bestimmung des maximalen
Volumens und der maximalen Fläche durch!
4.6.8 Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion der Werkstatt der Behinderteneinrichtung
über dem Intervall [ − 100 | 90 ] und berechnen Sie die Gewinnzone, das Gewinnmaximum
und die Produktionsmenge, die zur größten Gewinnzunahme führt. Zeichen Sie
ferner den Graphen der Pro-Stück-Gewinnfunktion über dem Intervall [ − 100 | 90 ] und bestimmen
Sie die Wendepunkte dieser Funktion.
Hinweis. Lassen Sie beim Zeichnen der Pro-Stück-Gewinnfunktion das Intervall [ − 5 | 5 ]
unberücksichtigt.
4.6.9 Eine Expertenkommission hat ermittelt, dass die Großküche, die die städtischen
Schulen mit Mittagessen versorgt, bei x Mitarbeitern einen Gewinn von
3
f ( x ) = − 0,01 x + 20,28 x − 1,35 Euro erwirtschaftet.
a) Bestimmen Sie das Gewinnmaximum und die Mitarbeiterzahl, bei der die Gewinnsteigerung
am größten ist.
b) Bestätigen Sie, dass der Gewinn pro Mitarbeiter mit der durch
2 1,35
( ) = − + −
0,01 20, 28
g x x
gegebenen Funktion bestimmt werden kann.
c) Berechnen Sie, bei welcher Mitarbeiterzahl der je Mitarbeiter erzielte Gewinn am
größten ist.
d) Ermitteln Sie die Wendepunkte der Funktion g .
x
4.6.10 Krippe e.V. betreibt drei Kindertagesstätten. Abhängig von der Anzahl der betreuten
Kinder erwirtschaften die Kindertagesstätten im Jahr einen kleinen Gewinn, den
Krippe e.V. in die Modernisierung der Gebäude investiert. Bei x betreuten Kindern ist im
4 2
Jahr mit einem Gewinn von ( )
f x = − 0,0001 x + 0,7261 x − 26,01 Euro zu rechnen.
a) Bestimmen Sie die Gewinnzone, das Gewinnmaximum und die Anzahl der Kinder,
bei der der Gewinn am stärksten ansteigt.
b) Bestätigen Sie, dass der Gewinn pro betreutem Kind mit der durch
3 26,01
( ) = − + −
g x 0,0001 x 0,7261 x
gegebenen Funktion bestimmt werden kann
c) Berechnen Sie, bei welcher Kinderzahl der pro betreutes Kind erzielte Gewinn am
größten ist.
d) Ermitteln Sie die Wendepunkte der Funktion g .
x
Burghardt – RWB 10/11
4 Weitere Ableitungsregeln 54
Burghardt – RWB 10/11

5 Gesucht wird ... 55
5 Gesucht wird ...
5.1 Eine Differentialgleichung
Bei ganzrationalen Funktionen haben wir gesehen, dass die Ableitung stets niedrigeren
Grad hat als die Ausgangsfunktion. Insbesondere stimmt die Ableitung nicht mit der Ursprungsfunktion
überein. Gibt es eigentlich eine Funktion f ( x ) mit f ′ ( x ) = f ( x )
In dieser Form ist die Frage leicht zu beantworten: Für die Funktion f ( x ) = 0 , die also
konstant Null ist, gilt natürlich – weil additive Konstanten beim Ableiten wegfallen –
f ′ ( x ) = 0 . Also ist hier f ′ ( x ) = f ( x ) . Eine solche Lösung nennt man in der Mathematik
eine triviale Lösung.
Gibt es auch eine nichttriviale Lösung Eine solche muss zumindest an einer Stelle einen
Wert ungleich Null annehmen. Wir wollen die Frage nicht unnötig verkomplizieren und
wollen deshalb verlangen, dass f ( 0 ) = 1 ist. Zu klären ist also die Frage
Gibt es eine differenzierbare Funktion f ( x ) mit
• f ′ ( x ) = f ( x )
• ( 0 ) 1
f =
Eine Gleichung der Art f ′ ( x ) = f ( x ) , in der eine gesuchte Funktion f ( x ) über ihre Ableitungen
charakterisiert wird, nennt man in der Mathematik Differentialgleichung. Ist
noch ein „Anfangswert“ wie hier f ( 0 ) = 1 vorgegeben, spricht man von einem Anfangswertproblem.
Die Lösung des Anfangsproblems im obigen Kasten versetzt uns in die Rolle von Kriminalkommissaren.
Unser Anfangswertproblem ist der Steckbrief der gesuchten Funktion
f ( x ) . Mit mathematischer Ermittlungsarbeit werden wir die einzig mögliche Funktion identifizieren,
auf die die Beschreibung im Steckbrief passt. Den letztendlichen Nachweis,
dass die identifizierte Funktion auch wirklich der „Täter“ ist – die ja auch im täglichen Leben
nicht der Polizei sondern den Gerichten überlassen ist – überlassen auch wir den Mathematikern
oder einem Leistungskurs.
5.2 Die Lösung: Eine Exponentialfunktion
Wir werden ermitteln, dass die Lösung des Anfangswertproblems f ′ ( x ) = f ( x ) , f ( 0 ) = 1
eine so genannte Exponentialfunktion ist:
5.2.1 Exponentialfunktionen
Burghardt – RWB 10/11
5 Gesucht wird ... 56
Definition. Eine Funktion f ( x ) heißt Exponentialfunktion, falls es eine Zahl b > 0 gibt,
x
sodass f ( x ) = b ist.
2
Im Gegensatz zu Potenzfunktionen – wie etwa f ( x ) = x –, bei denen die Variable in der
Basis steht und der Exponent konstant ist, steht bei Exponentialfunktionen die Variable im
Exponenten und die Basis ist konstant.
5.2.2 Eine bemerkenswerte Eigenschaft und die Eulersche Zahl
Um nachzuweisen, dass die Lösung f ( x ) des Anfangswertproblems f ′ ( x ) = f ( x ) ,
f ( 0 ) = 1 eine Exponentialfunktion ist, beweisen wir die folgende bemerkenswerte Eigenschaft
von f ( x ) :
Für alle reellen Zahlen α , β gilt: f ( α ⋅ β ) = f ( β )
α
Setzt man hierin 1
β = so erhält man f ( ) f ( 1 )
α
α = für alle reellen Zahlen! Das heißt: Die
gesuchte Lösung unseres Anfangswertproblems ist eine Exponentialfunktion:
f ( x ) = f ( 1 )
x
.
Ihre Basis (also f ( 1 ) ) wird oft mit dem Buchstaben e bezeichnet. Es ist die Eulersche
Zahl, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (geboren 15. April
1707, gestorben 18. September 1783).
Unsere Aufgabe ist es nun, die bemerkenswerte Eigenschaft zu beweisen und dann die
Eulersche Zahl zu berechen.
BEWEIS der bemerkenswerten Eigenschaft. Wir denken uns α beliebig aber fest vorgegeben
und betrachten die Funktionen
( ) ( ) ( )
g x = f α ⋅ x f x α
.
( x spielt nun also die Rolle von β ). Diese Funktion wird mit Hilfe der Produkt-, der Kettenund
der allgemeinen Potenzregel abgeleitet:
( ) ( ( α ) ) ( ) ( α ) ( )
g ′ x = f ⋅ x ⋅ f x + f ⋅ x ⋅ f x
−
( )
− α − α
− α − α − 1
= f ′ ( α ⋅ x ) α ⋅ f ( x ) + f ( α ⋅ x ) ⋅ ( − α ) f ( x ) f ′ ( x )
− α − α − 1
= f ( α ⋅ x ) α ⋅ f ( x ) + f ( α ⋅ x ) ⋅ ( − α ) f ( x ) f ( x ) , denn f = f
− α − α − 1
= α f ( α ⋅ x ) α ⋅ f ( x ) − α f ( α ⋅ x ) f ( x ) f ( x )
− α − α
= α f ( α ⋅ x ) α ⋅ f ( x ) − α f ( α ⋅ x ) f ( x )
= 0
Burghardt – RWB 10/11
′
′
′

5 Gesucht wird ... 57
Also ist g ′ ( x ) = 0 , die Funktion g ( x ) hat also überall nur waagerechte Tangen, steigt oder
fällt also nirgendwo. Dies bedeutet: g ( x ) ist konstant: Es gibt eine Konstante c mit
g ( x ) = c : Für alle x gilt
( α ) ( )
Setzt man hier speziell x = 0 ein, ergibt sich
α
f ⋅ x f x = c .
( ) ( ) ( ) ( )
− α − α − α
c = f α ⋅ 0 f 0 = f 0 f 0 = 1 ⋅ 1 = 1 .
−
Also ist f ( α ⋅ x ) f ( x ) α
= 1 Multipliziert man diese Gleichung mit f ( x )
α ergibt sich
f ( α ⋅ x ) = f ( x )
α
.
Dies war zu beweisen.
−
5.2.3 Zusammenfassung
Die Lösung des Anfangswertproblems f ′ ( x ) = f ( x ) , f ( 0 ) = 1 ist die durch
x
exp( x ) = e ,
gegebene Exponentialfunktion, wobei e die Eulersche Zahl ist, die nun noch bestimmt
werden muss.
5.3 Die Eulersche Zahl
Wir fragen uns, wie wir zur Eulerschen Zahl e gelangen können. Ganz anschaulich ginge
x
x = e an einem bekannten
das so: Wir starten auf dem Funktionsgraph der Funktion exp ( )
punkt – am besten am Punkt ( 0 | exp ( 0 ) ) = ( 0 |1 ) – und laufen von dort aus entlang des
Funktionsgraphen zum Punkt ( 1| exp ( 1 ) ) = ( 1| e ) . Leider ist uns der Verlauf des Funktionsgraphen
völlig unbekannt, da wir die Zahl e nicht kennen. Über die Ableitung wissen wir
aber zumindest, welche Steigung die Tangenten an den verschiedenen Stellen haben
müssen.
Wegen exp ′ ( 0 ) = exp ( 0 ) = 1 wissen wir, dass wir im Punkt ( 0 | exp ( 0 ) ) = ( 0 |1 ) zunächst mit
der Steigung 1 weitergehen müssen. Natürlich ändert sich die Steigung sofort, wenn wir
weiter auf dem Graphen fortschreiten. Da wir hierüber aber nichts wissen, ignorieren wir
diese Veränderungen zunächst und tun so, als wenn der Graph permanent die Steigung 1
hätte, also eine Gerade wäre, die durch den Punkt ( 0 |1 ) läuft. Wenn wir auf dieser Gerade
bis zur Stelle x = 1 gehen, erreichen wir den Punkt ( 1| 2 ) .
Burghardt – RWB 10/11
5 Gesucht wird ... 58
3
2
1
0
0 1
Als erste Annäherung für die Zahl e haben wir deshalb e 1
= 2 gefunden. Um einen genaueren
Wert zu bekommen, überprüfen wir unsere Richtung an einer Zwischenstelle bei
x = 1 2 . Hier befinden wir uns an der Stelle ( )
die Tangentensteigung in diesem Punkt auch ungefähr 1,5. Wir korrigieren also unsere
0,5 |1,5 . Also ist f ( 0,5 ) ≈ 1,5 und damit ist
Steigung am Punkt ( 0,5 |1,5 ) und gehen ab hier mit der Steigung 1,5 weiter. Welchen
Punkt erreichen wir bei x = 1 Hierzu stellen wir zunächst eine allgemeine Überlegung an:
Angenommen, wir befinden uns in einem Punkt ( x
0
| y
0 ) und bewegen uns von diesem
entlang einer Geraden mit Steigung m um δ nach rechts; wie groß ist der Höhenunterschied
h , der dabei überwunden wird
( x + δ y + h )
0 0
h
( x y )
0 0
Da die Steigung stets berechnet werden kann als überwundener Höhenunterschied geteilt
durch überbrückte Strecke, ergibt sich
h
m = , δ
also h = δ ⋅ m . Der neue Punkt hat also die y -Koordinate y 0
+ δ m
δ
Gehen wir also vom Punkt ( 0,5 |1,5 ) um δ = 0,5 mit der Steigung m = 1,5 weiter, erreichen
wir bei x = 1 die y -Koordinate 1,5 + 0,5 ⋅ 1,5 = 2,25 . Unsere zweite Näherung für e ist also
e
2
= 2, 25 .
Burghardt – RWB 10/11
|
|

5 Gesucht wird ... 59
3
2
1
0
0 0,5 1
Nun machen wir nicht nur einen sondern zwei Zwischenschritte, nämlich bei 1 3 und 2 3 .
Die Schrittweite ist also δ = 1 3 . Die Steigung, mit der wir an jedem Punkt weitergehen,
stummt wegen exp ′ ( x ) = exp ( x ) immer mir dem y -Wert des Punktes überein, von dem
aus wir losgehen. Wir erhalten die folgenden Zwischenpunkte:
Start- y Steigung Ziel- x Ziel- y
y
y
0
= 1 m = 1
1
1
y
1
= 1 + 3
2
1
= 1 +
3
2
1
m = 1 + x
2
= 3
1
m = 1 +
3
2
1
x =
1 0
3
3
1 x =
2
3
y y δ m
1 1 1 1
1
3 3
= + = + ⋅ = +
y = y + δ m
2 1
1 1 1 1 1 1
= 1 + + ⋅ 1 + = 1 + ⋅ 1 + = 1 +
3 3 3 3 3 3
y = y + δ m
3 2
2 2 2 3
1 1 1 1 1 1
= 1 + + ⋅ 1 + = 1 + ⋅ 1 + = 1 +
3 3 3 3 3 3
2
3
2
1
0
0 0,5 1
Bei x = 1 erreichen wir also die y -Koordinate ( 1 + 1 3 ) 3
, unsere dritte Annäherung an e ist
also
Burghardt – RWB 10/11
5 Gesucht wird ... 60
e
3
3
1
= 1 + = 2,3703
3
Wir wiederholen das Verfahren nochmals mit Schrittweite δ = 1 4 , also Zwischenschritten
bei x 1
= 1 4 , x 2
= 2 4 und x 3
= 3 4 :
.
3
2
1
0
0 0,25 0,5 0,75 1
Die Zwischenpunkte halten wir wieder in Form einer Tabelle fest:
Start- y Steigung Ziel- x Ziel- y
y
y
y
0
= 1 m = 1
1
1
y
1
= 1 + 4
2
3
1
= 1 +
4
1
= 1 +
4
2
3
1
m = 1 + x
2
= 4
1
m = 1 +
4
1
m = 1 +
4
2
3
1
x =
1 0
4
x =
3
4
1 x =
2
4
3
4
y y δ m
1 1 1 1
1
4 4
= + = + ⋅ = +
y = y + δ m
2 1
1 1 1 1 1 1
= 1 + + ⋅ 1 + = 1 + ⋅ 1 + = 1 +
4 4 4 4 4 4
y = y + δ m
3 2
2 2 2 3
1 1 1 1 1 1
= 1 + + ⋅ 1 + = 1 + ⋅ 1 + = 1 +
4 4 4 4 4 4
y = y + δ m
4 2
3 3 3 4
1 1 1 1 1 1
= 1 + + ⋅ 1 + = 1 + ⋅ 1 + = 1 +
4 4 4 4 4 4
2
Bei x = 1 erreichen wir also die y -Koordinate ( 1 + 1 4 ) 4
, unsere vierte Annäherung an e ist
also
e
4
4
1
= 1 + ≈ 2, 44140625
4
.
Wir können dieses Verfahren nun mit Schrittweite δ = 1 5 , δ = 1 6 , δ = 1 7 usw. fortsetzen
und erhalten analog zu vorher die Näherungen
e
5
5
1
= 1 + = 2,48832
5
,
e
6
6
1
= 1 + ≈ 2,521626372
6
,
e
7
7
1
= 1 + ≈ 2,546499697
7
Allgemein ergibt sich also: Bei Schrittweite δ = 1 n liefert das Verfahren die Approximation
.
Burghardt – RWB 10/11

5 Gesucht wird ... 61
e n
= 1 +
.
Den genauen Wert für e erhält man wiederum durch einen Grenzübergang, und zwar
diesmal, indem man untersucht, welcher Zahl sich dieser Ausdruck immer weiter annähert,
wenn n immer größer wird oder, wie man in der Mathematik sagt, gegen unendlich
strebt:
1
n
n
1
e = lim 1 +
n →∞
n
n
In einem Leistungskurs könnten wir jetzt untersuchen, dass dieser Grenzwert wirklich
existiert. Hier begnügen wir uns damit, die Zahl e mit den ersten Nachkommastellen anzugeben
(Die Zahl e ist wie die Zahl 2 keine rationale Zahl, also nicht abbrechend und
nicht periodisch):
5.4 Übungen
5.4.1 Zeichnen Sie die Graphen der durch die folgenden Gleichungen gegebenen Exponentialfunktionen
über den angegebenen Bereichen.
a) f ( x ) = 2 x für x ∈ [ − 3 | 3 ]
d) f ( x )
b) f ( x )
1
=
2
x
für [ ]
1
=
3
x
für x ∈ [ − 3 | 3 ]
x ∈ − 3 | 3
e) f ( x ) = 1,5x für x ∈ [ − 5 | 5 ]
c) f ( x ) = 3 x
x
für x ∈ [ − 3 | 3 ]
f) f ( x ) = e für x ∈ [ − 3 | 3 ]
x
5.4.2 Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen der durch f ( x ) = b gegebenen Exponentialfunktionen
für b > 1 , b = 1 und 0 < b < 1 .
5.4.3 Bestimmen Sie die Ableitungen der durch die folgenden Gleichungen gegebenen
Funktionen.
a) f ( x ) = 2 e
x
2x
2x
f) f ( x ) = e
k) f ( x ) = xe
x
x 1
b) f ( x ) = xe
g) f ( x ) e +
c) f ( x ) = ( x − 1 ) e
x
h) ( )
5 2
d) f ( x ) ( 3 x 6 x 5 ) e
x
f x e
= − + i) ( )
x
e) f ( x ) = e −
j) ( )
= l) ( )
f x = xe − x
= x
2
m) f ( x ) = ( x − 1 ) e
x
f x e + +
x 2 x 1
= n) ( ) ( )
f x e − + +
= x x 1
3 5 o) ( )
x
4 3
f x = − x 3 + x − 1 5 e x 2
x
2
f x = e
Burghardt – RWB 10/11
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 62
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse
6.1 Untersuchung von Exponentialfunktionen
Bei einfachen Wachstumsprozessen wächst ein Wert je Zeiteinheit um einen konstanten
Betrag. Spart ein Kind etwa jede Woche einen Euro in seinem Sparschwein, so nimmt der
Inhalt des Sparschweins jede Woche um den konstanten Betrag „1 €“ zu.
Anders sieht es aus, wenn ein Geldbetrag auf einem Sparkonto durch Verzinsung anwächst.
Zinsen werden in der Regel abhängig vom Guthaben gezahlt: Jährlich vergütet
die Bank oder Sparkasse das Guthaben, indem dem Sparer ein bestimmter Anteil des
Guthabens gezahlt wird, meist indem dieser Betrag dem Sparkonto gutgeschrieben wird.
Die Höhe des Anteils wird in der Regel in Prozent des Guthabens angegeben: Bei einem
jährlichen Zinssatz von 3 %, werden dem Sparer 3 % seines Guthabens als Zinsen gutgeschrieben.
Ein Guthaben von 100 € nimmt um 3 € zu, ein Guthaben von 200 € dagegen
um 6 €. Je Höher das Guthaben ist, desto höher ist der jährliche Zuwachs. Da die Zinsen
dem Konto gutgeschrieben werden, erhöht sich das Guthaben und – sofern keine Auszahlungen
erfolgen – ist deshalb der Wertzuwachs im nächsten Jahr höher als im Vorjahr.
Die zuletzt erwähnten Wachstumsprozesse werden auch als exponentielle Wachstumsprozesse
bezeichnet. Neben einfachen Prozessen wie dem eben beschriebenen – der so
genannten Zinseszinsrechnung – gibt es auch kompliziertere, bei denen zum Beispiel
zwei oder mehrere exponentielle Prozesse gegenseitig wechselwirken – ein Prozess führt
zu einer Zunahme des Bestands, ein gegenläufiger anderer zu einer Reduktion – oder bei
denen das Wachstum durch eine Kapazitätsgrenze beschränkt ist. Ein Beispiel für gegenseitig
wechselwirkende Prozesse ist zum Beispiel die Aufnahme in und die Abgabe aus
dem Körper eines Medikaments, das als Tablette eingenommen wurde: Je Zeiteinheit
geht ein bestimmter Prozentsatz des Medikaments aus dem Darm in den Körper über
(Zunahme der Wirkstoffmenge im Körper), zugleich wird aber auch ein bestimmter Prozentsatz
des bereits aufgenommenen Medikaments wieder aus dem Körper abgeschieden
(Abnahme der Wirkstoffmenge im Körper). Durch eine Kapazitätsgrenze beschränktes
Wachstum liegt zum Beispiel vor, wenn sich eine Infektionskrankheit in einer Population
ausbreitet: Die Anzahl der Erkrankten ist durch die Größe der Population beschränkt,
durch zum Beispiel Isolation der Erkrankten wird die Wahrscheinlichkeit einer Ansteckung
bei zunehmender Zahl der Erkrankten geringer.
Der moderne Ansatz, exponentielle Wachstumsprozesse zu untersuchen, involviert in der
Regel die Exponentialfunktion exp zur Basis e , da dann eine Untersuchung des Verlaufs
des exponentiellen Prozesses wegen der unkomplizierten Differenzierbarkeit von exp einfacher
durchgeführt werden kann als im Fall einer anderen Basis. Wir wollen deshalb zunächst
exemplarisch zeigen, wie Kurvenuntersuchungen bei Funktionen ablaufen können,
die die Exponentialfunktion involvieren.
6.1.1 Funktionsuntersuchung ( )
f x = e − x
Nullstellenbestimmung: Weil die Exponentialfunktion exp keine Nullstelle hat, hat auch f
keine Nullstelle.
Berechnung der Ableitungen.
Burghardt – RWB 10/11
2
2
2
2
2

6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 63
• ( )
f ′ x = − 2 x ⋅ e − x
• f ′′ ( x ) = − 2 ⋅ e − x − 2 x ⋅ ( − 2 ) xe − x = ( − 2 + 4 x 2 ) e
−
x
2 2 2
• ′′′ ( ) = 8 + ( − 2 + 4 ) ⋅ ( − 2 ) = ( 12 − 8 )
f x xe x xe x x e
− x 2 − x 3 − x
2 2 2
Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte.
• Berechnung der kritischen Stellen: ( )
− x
f ′ x = 0 ⇔ − 2 x ⋅ e = 0 ⇔ x = 0 , wegen der Nullteilerfreiheit
der reellen Zahlen und weil die Exponentialfunktion exp keine Nullstelle
hat.
• Überprüfen der zweiten Ableitung: f ′′ ( 0 ) = − 2 < 0 H ( 0 |1 )
Bestimmung der Wendepunkte.
• Notwendiges Kriterium:
• ( ) ( )
2 − x
2
f ′′ x = 0 ⇔ − 2 + 4 x e = 0 ⇔ − 2 + 4 x = 0 ⇔ x = ± 0,5 ≈ ± 0,707 , wegen der Nullteilerfreiheit
der reellen Zahlen und weil die Exponentialfunktion exp keine Nullstelle
hat.
• Hinreichendes Kriterium:
f ′′′ ( − 0,707 ) = − 3, 43 < 0 LRW ( − 0,707 | 0,607 )
( 0,707 ) 3, 43 0 RLW ( 0,707 | 0,607 )
f ′′′ = >
Zur Kontrolle ist der Funktionsgraph hier skizziert:
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-0,2
3 x
6.1.2 Funktionsuntersuchung f ( x ) = x e −
Nullstellenbestimmung: ( )
3
− x
f x = 0 ⇔ x e = 0 ⇔ x = 0 , wegen der Nullteilerfreiheit der
Menge der reellen Zahlen und weil die Exponentialfunktion exp keine Nullstellen hat.
Berechnung der Ableitungen.
f ′ x = 3 x 2 e − x 3 e = 3 x 2 − x 3 e
• ( ) − x − x x
( )
−
• ( ) ( 2 x
) ( 2 3 x
6 3 3 ) ( 6 6
2 3 x
f ′′ x = x − x e − − x − x e − = x − x + x ) e
−
• ′′′ ( ) = ( 6 − 12 + 3 2 ) − ( 6 − 6 2 + 3 ) = ( 6 − 18 + 9
2 −
3
)
f x x x e x x x e x x x e
− x − x − x
Bestimmung der Hoch und Tiefpunkte.
Burghardt – RWB 10/11
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 64
• Berechnung der kritischen Stellen:
2 3 − x 2 3 2
f ′ x = 0 ⇔ 3 x − x e ⇔ 3 x − x = 0 ⇔ x 3 − x = 0 ⇔ x = 0 oder x = 3
( ) ( ) ( )
• Überprüfen der zweiten Ableitung: f ′′ ( 0 ) = 0 , es ist also keine Aussage möglich, es
muss der Vorzeichenwechsel durchgeführt werden:
Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt bei x = 0 weder ein Hoch- noch ein Tiefpunkt.
f ′′ ( 3 ) = − 0, 448 < 0 H = ( 3 |1,344 ) ist ein Hochpunkt
0
− 1
1
Bestimmung der Wendepunkte
• Notwendiges Kriterium:
2 3 2
( ) ( ) ( )
− x
f ′′ x = 0 ⇔ 6 x − 6 x + x e = 0 ⇔ x 6 − 6 x + x = 0
Eine mögliche Stelle ist x 1
= 0 , die anderen ergeben sich aus
x
2
= 4,732 und x 3
= 1, 268 .
• Hinreichendes Kriterium:
f ′′′ ( 0 ) = 6 > 0 RLW ( 0 | 0 )
( 1,268 ) 1,236 0 LRW ( 1,268 | 0,574 )
f ′′′ = − <
( 4,732 ) 0,144 0 RLW ( 4,732 | 0,933 )
f ′′′ = >
Zur Kontrolle ist der Funktionsgraph hier skizziert:
2
x x
− 6 + 6 = 0 zu
2
1
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
5 2
6.1.3 Funktionsuntersuchung f ( x ) = e − − e
−
x x
Nullstellenbestimmung.
Wir formen die Gleichung f ( x ) = 0 so lange um, bis alle Terme mit x auf der einen und
alle Terme ohne x auf der anderen Seite des Gleichheitszeichen sind:
Burghardt – RWB 10/11
2
2
2

6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 65
( )
f x
= 0
e − e = 0 + e
− 5 x − 2 x − 2 x
e
e = e ⋅ e
3
− 5 x − 2 x 2 x
e ⋅ e = 5 e ⋅ e
− 5 x 2 x − 2 x 2 x
e = e
− 5 x + 2 x − 2 x + 2 x
x
=
3 x
Zu lösen ist jetzt die Gleichung e = 1 , eine Gleichung, in der die Unbekannte im Exponenten
steht. Eine derartige Gleichung heißt Exponentialgleichung. Wir unterbrechen
die Untersuchung der durch ( )
5 2
1
− x − x
f x = e − e gegebenen Funktion hier und widmen uns
zunächst dem Verfahren zu, das bei der Lösung von Exponentialgleichungen erste Wahl
ist.
6.2 Der natürliche Logarithmus
6.2.1 Grundlegende Eigenschaften und Logarithmengesetze
Die Gleichung
3 x
e = 1 bedeutet, dass nach Ausführung der Exponentialfunktion mit dem
Argument 3x der Wert 1 heraus kommt. Um die Gleichung lösen zu können, wäre es vorteilhaft,
über eine Operation, ein Verfahren, eine Funktion zu verfügen, die die Ausführung
der Exponentialfunktion rückgängig macht. Würde man nämlich diese Funktion auf die
Gleichung
3 x
e = 1 anwenden, stünde auf der linken Seite nur noch der Term 3x , und man
könnte die Gleichung dann leicht nach x auflösen. Diese Funktion gibt es: Es ist der natürliche
Logarithmus ln . Die wichtigste Eigenschaft des natürlichen Logarithmus ist:
Der natürliche Logarithmus und die Exponentialfunktion exp sind invers zueinander, sie
heben sich gegenseitig auf. Dies bedeutet:
• ln e x = x für alle x
•
ln x
e = x für alle x > 0 .
Für das Rechnen mit dem natürlichen Logarithmus gelten außerdem die folgenden
Regeln, die für jeden Logarithmus gelten, und deshalb Logarithmengesetze heißen:
• ln ( a ⋅ b ) = ln ( a ) + ln ( b ) für alle a , b > 0
a
= −
b
ln a b b ln a
• ln ln ( a ) ln ( b )
• ( ) ( )
für alle a , b > 0
= ⋅ für alle a > 0 und jedes b .
5 2
6.2.2 Fortsetzung der Funktionsuntersuchung f ( x ) = e − − e
−
x x
Die Nullstellen ergeben sich aus der Gleichung
3 x
e = 1 .
3 x
e = 1
Standardverfahren: Auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden!
Burghardt – RWB 10/11
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 66
3 x
e =
2,5 ln
ln e 3 x
= ln1 Auf der linken Seite wird angewendet, dass ln und exp invers
zueinander sind, sich also gegenseitig aufheben.
3 x = ln1 Jetzt kann durch 3 geteilt werden.
3 x = ln1 : 3
x = ln1
=
3
0
Die einzige Nullstelle ist also x = 0 .
Berechnung der Ableitungen.
x x
f ′ x = − 5 e − + 2 e
−
• ( )
5 2
f ′′ x = 25 e − 4 e
5 2
• ( ) − −
x x
f ′′′ x = − 125 e − + 8 e
−
• ( )
5 2
x x
Bestimmung der Hoch- und Tiefpunkte.
• Berechnung der kritischen Stellen:
( )
f ′ x =
− 5 e + 2 e = 0 + 5 e
0
− 5 x − 2 x − 5 x
e
2 e = 5 e ⋅ e
− 2 x − 5 x 5 x
2 e ⋅ e = 5 e ⋅ e
− 2 x 5 x − 5 x 5 x
2 e = 5 e
− 2 x + 5 x − 5 x + 5 x
3 x
2 e
= 5 : 2
3
x
2,5 ln
3 x
ln e
= ln 2,5
3 x
= ln 2,5 : 3
x
=
= ln 2,5
=
3
0,305
Die einzige kritische Stelle ist also x = 0,305
• Überprüfen der zweiten Ableitung: f ′′ ( 0,305 ) = 3,267 < 0 T = ( 0,305 | − 0,326 ) ist ein
Tiefpunkt.
Bestimmung der Wendepunkte.
• Notwendiges Kriterium:
Burghardt – RWB 10/11

6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 67
( )
f ′′ x =
0
25 e − 4 e = 0 + 4 e
− 5 x − 2 x − 2 x
e
25 e = 4 e ⋅ e
− 5 x − 2 x 2 x
25 e = 4 e
− 5 x + 2 x − 2 x + 2 x
− 3 x
25 e
= 4 : 25
− 3 x
= 0,16 ln
( )
− 3 = ln 0,16 : − 3
x
x
= 0,611
• Hinreichendes Kriterium: f ′′′ ( 0,611 ) = − 3,533 < 0 LRW ( 0,611| − 0, 248 )
Zur Kontrolle ist der Funktionsgraph hier skizziert:
2
1,5
1
0,5
0
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
-0,5
6.2.3 Die Ableitung des natürlichen Logarithmus’
Wir werden den natürlichen Logarithmus hauptsächlich als Hilfsmittel bei der Lösung von
Exponentialgleichungen verwenden. Durch f ( x ) = ln x ist aber auch eine Funktion gegeben,
die jedoch nur für positive x definiert ist. Ihr Funktionsgraph ist hier gezeichnet:
4
3
2
1
0
-1
0 5 10 15 20 25 30
-2
-3
Burghardt – RWB 10/11
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 68
Die Funktion f ist differenzierbar. Um die Ableitung zu bestimmen, betrachten wir die
f ( x )
durch g ( x ) e
( )
g ′ ( x ) = f ′ ( x ) ⋅ e
f x
. Dies formen wir weiter um: ( ) ( )
Andererseits ist ( )
= gegebene Funktion. Wir leiten g mit der Kettenregel ab:
ln
( ) ( )
f ( x )
x
g ′ x = f ′ x ⋅ e = f ′ x ⋅ e = f ′ x ⋅ x .
f ( x ) ln x
g x = e = e = x , sodass g ′ ( x ) = 1 sein muss. Setzen wir beides zusammen,
erhalten wir f ′ ( x ) ⋅ x = 1 . Indem wir hier durch x teilen, erhalten wir f ′ ( x ) = 1 x .
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus, f ( x ) ln x
= , ist f ( x )
1
′ = .
x
6.3 Beispiele für Wachstumsprozesse
6.3.1 Malthusianischer Ansatz
Einer der mathematisch einfachsten Ansätze, die zukünftige Entwicklung der Bevölkerung
eines Landes zu prognostizieren, geht auf Thomas Robert Malthus (geboren 13. Februar
1766, gestorben 29. Dezember 1834) zurück. Eine moderne Form, seinen Ansatz mathematisch
zu formulieren, involviert die Exponentialfunktion zur Basis e .
Angenommen, im Augenblick leben in einem Staat N 0
Menschen. Um zu prognostizieren,
wie viele Menschen nach 1 Jahr, 2 Jahren, 3 Jahren usw. leben werden, wird zunächst die
Geburtenrate
b =
Anzahl der Geburten je Jahr
N
0
und die Todesfallrate
d =
Anzahl der Todesfälle je Jahr
N
0
ermittelt. r = b − d ist dann die Wachstumsrate der Bevölkerung. Im Malthuisanischen Ansatz
wird nun die Bevölkerungsanzahl nach x Jahren mit Hilfe der durch
( ) 0
f x = N e
rx
gegebenen Funktion prognostiziert. Im Fall r > 0 wird auf diese Weise eine ständig stärker
zunehmende die Bevölkerungszahl prognostiziert: Der Funktionsgraph von f für
rx
x ≥ 0 nämlich streng monoton wachsend, denn f ′ ( x ) = N
0
re > 0 , und eine Linkskurve,
denn ( )
2
rx
f ′′ x = N
0
r e > 0 . Im Fall r < 0 wird auf diese Weise eine immer weiter abnehmende
Bevölkerungszahl prognostiziert: Der Funktionsgraph von f für x ≥ 0 nämlich
rx
streng monoton fallend, denn f ′ ( x ) = N
0
re < 0 .
Burghardt – RWB 10/11

6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 69
6.3.2 Logistisches Wachstum
Die Annahme, dass Populationen unbeschränkt wachsen, erweist sich in der Realität zumindest
auf lange Sicht in der Regel als irrig. Meist schieben Ressourceneinschränkungen
(mangelnder Lebensraum, ungenügendes Nahrungsangebot bei zu großer Bevölkerungszahl
usw.) dem ungebremsten Wachstum einen Riegel vor. So existiert in der Regel eine
Kapazitätsgrenze K , die die Größe der Population nach oben beschränkt. Eine Möglichkeit,
die zukünftige Entwicklung unter dieser Rahmenbedingung zu prognostizieren, ist die
durch
( )
f x
K
= 1 + ( K N − 0
1 ) ⋅ e −
rx
gegebene Funktion. r ist hierbei die Wachstumsrate, für deren Bestimmung die Kapazitätseinschränkungen
nicht berücksichtigt wird. Der typische Verlauf der Funktion f ist hier
dargestellt:
K
N 0
Beispiel. 3 Für die Entwicklung der Bevölkerungszahl der Vereinigten Staaten von Amerika
gemessen in Millionen kann ein logistisches Wachstum gemäß der durch
265
( )
0,03
f x
=
1 + 69 ⋅
gegebenen Funktion angenommen werden. Hierbei entspricht x = 0 dem Jahr 1790. Das
folgende Diagramm stellt den Graphen der Funktion f und die tatsächlichen Bevölkerungszahlen
von 1790 bis 1990 (also für x = 0 bis x = 200 ) gegenüber:
e −
x
3
Siehe Brauer, Castillio-Chávez, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology,
Springer, 2001
Burghardt – RWB 10/11
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 70
300
250
200
150
100
50
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-50
Wir wollen bestimmen, in welchem Jahr das Wachstum der Bevölkerung am größten ist.
Hierzu muss der Wendepunkt der Funktion bestimmt werden. Um unsere Ableitungsregeln
anwenden zu können, formen wir den Funktionsterm zunächst um:
f x 265
0,03 x
1 69 e
e
−
+ ⋅
( ) = = 0,03
265 ⋅ − x
−
( 1 + 69 ⋅ ) 1
Wir bilden die ersten zwei Ableitungen:
( ) 265 ( 1 )( 1 69 ) 69 ( 0,03 ) 548,55 ( 1 69 )
− 0,03 x
− 2
− 0,03 x − 0,03 x
− 2
− 0,03 x
f ′ x = ⋅ − + ⋅ e ⋅ ⋅ − e = ⋅ + ⋅ e e
− 0,03 x − 0,03 x − 0,03 x − 0,03 x − 0,03 x
− 3 − 2
( ) 548,55 2 ( 1 69 ) 69 ( 0,03 ) ( 1 69 ) ( 0,03 )
f ′′ x = ⋅
− + ⋅ e ⋅ ⋅ − ⋅ e e + + ⋅ e ⋅ − e
( ) ( )
16, 4565 138 1 69 e e 1 69 e e
− 0,03 x
− 3
− 0,03 x − 0,03 x
− 2
− 0,03 x
= − ⋅
− + ⋅ ⋅ + + ⋅
⋅
− 0,03 x
− 138 ⋅ e
1
= − 16, 4565 ⋅ + ⋅
−
3
( 1 69 0,03 x −
) ( 1 69
0,03 x
2
+ ⋅ e + ⋅ e )
Der Ansatz f ′′ ( x ) = 0 führt dann auf
e
− 0,03
138 e
1
− x − x
( 1 + 69 ⋅ e ) ( 1 + 69 ⋅ e )
−
− ⋅
3 2
0,03 0,03
− 0,03 x − 0,03 x
138 e 1 69 e
0 1
e −
0,03
x
− 0,03
( e )
( )
− 0,03
69 e
1 : 69
0,03
+ = 0 ⋅ 1 + 69 ⋅
− ⋅ + + ⋅ = −
− ⋅ = − −
0,014492753 ln
3
( )
− 0,03 x
= ln 0,014492753 : − 0,03
x
= 141,137
Überprüfen mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums für Wendepunkte (dies erspart das
noch umständlichere Berechnen der dritten Ableitung) zeigt, dass bei x = 141,137 ein
Links- Rechts-Wendepunkt vorliegt. Also für ungefähr 141 Jahre nach 1790, das heißt für
das Jahr 1931, wird der größte Bevölkerungszuwachs prognostiziert.
=
Burghardt – RWB 10/11
x
x
x
x

6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 71
6.3.3 Die Bateman-Funktion
Viele Medikamente werden in Form von Tabletten, Kapseln, Pillen, als Tropfen oder als
Saft oral verabreicht (also geschluckt). Die wirksamen Substanzen werden nach der Einnahme
über Magen- und Darmwand vom Körper absorbiert (aufgenommen). Dort werden
sie um- und abgebaut und ausgeschieden. Dieser Vorgang wird Elimination genannt.
Der Anteil der Wirkstoffe, der je Zeiteinheit absorbiert wird, wird Absorptionskonstante genannt.
Die Eliminationskonstante gibt an, welcher Anteil der im Körper vorhandenen
Arzneiwirkstoffe je Zeiteinheit eliminiert wird. Um zu berechnen, wie viel Arzneiwirkstoff x
Zeiteinheiten nach der Einnahme noch im Körper ist, kann man oft die durch
a
f x = D ⋅ ⋅ e − e
a − b
− bx − ax
( ) ( )
gegebene Funktion verwenden. Hierbei ist
• D die eingenommene Dosis (Menge) des Medikaments;
• a die Absorptionskonstante;
• b die Eliminationskonstante.
f ist eine vereinfachte Variante der Bateman-Funktion 4 , die in der Pharmakokinetik 5 angewendet
wird.
Ein oral verabreichtes Medikament ist zum Beispiel Metformin, das zur Behandlung von
Typ-II-Diabetes dient. Metformin wird insbesondere bei Typ-II-Diabetikern mit Übergewicht
eingesetzt. Die Blutzucker regulierende Wirkung von Metformin beruht auf der Hemmung
der Glucose-Neubildung in der Leber und möglicherweise auf einer Hemmung der
Resorption von Glucose im Darm sowie einer Beschleunigung der Aufnahme von Glukose
in die Muskelzellen.
Wir wollen untersuchen, wie sich die Metforminkonzentration im Körper eines Patienten in
den Stunden nach der Einnahme von 1000 mg Wirkstoff entwickelt. Dabei gehen wird
davon aus, dass die Entwicklung mithilfe der Bateman-Funktion berechnet werden kann,
wobei die Absorptionskonstante a = 0,7 und die Eliminationskonstante b = 0,2 ist.
Die Bateman-Funktion lautet dann
0,7
1000 1400
( ) ( 0,2 x 0,7 x
) ( 0,2 x 0,7 x
)
− − − −
f x = ⋅ ⋅ e − e = ⋅ e − e
0,7 − 0,2
.
Eine Stunde nach der Einnahme beträgt die Metforminmenge
0,2 0,7
( ) ( )
− −
f 1 = 1400 ⋅ e − e = 451,004 mg,
zwölf Stunden nach der Einnahme
0,2 12 0,7 12
( ) ( )
− ⋅ − ⋅
f 12 = 1400 ⋅ e − e = 126,69 mg
4 Harry Bateman (geboren 28. Oktober 1882, gestorben 21. Januar 1946)
5
Pharmakokinetik = Lehre von den Konzentrationsveränderungen der Arzneistoffe im Organismus in
Abhängigkeit von der Zeit
Burghardt – RWB 10/11
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 72
und 24 Stunden nach der Einnahme
0,2 24 0,7 24
( ) ( )
− ⋅ − ⋅
f 24 = 1400 ⋅ e − e = 10, 425 mg.
Um die größte Metforminmenge im Körper und den Zeitpunkt, zu dem diese vorliegt, zu
bestimmen, berechnen wir den Hochpunkt der Funktion:
Ableitungen:
0,2 x 0,7 x
• f ′ ( x ) = 1400 ⋅ ( − 0, 2 e − + 0,7 e
−
)
0,2 x 0,7 x
• f ′′ ( x ) = 1400 ⋅ ( 0,04 e − − 0, 49 e
−
)
Kritische Stellen:
− 0,2 x − 0,7 x
0 = 1400 ⋅ − 0,2 e + 0,7 e :1400
( )
0 = − 0, 2 e + 0,7 e ⋅ e
− 0,2 x − 0,7 x 0,7 x
e
0 = − 0, 2 ⋅ e + 0,7 + 0, 2 ⋅ e
0,5 x
0, 2 0,7 : 0, 2
0,5
x
⋅ e =
=
3,5 ln
0,5 x 0,5 x
0,5 x = 1,252762968 : 0,5
x = 2,506
Überprüfen der zweiten Ableitung:
− 0,2 ⋅ 2,506 − 0,7 ⋅ 2,506
f ′′ 2,506 = 1400 ⋅ 0,04 e − 0,49 e = − 84,78 < 0
( ) ( )
Also ist ( 2,506 | 605,861 ) ein Hochpunkt, sodass die höchste Metforminmenge nach rund
2½ Stunden erreicht ist und 605,861 mg beträgt.
Der Graph der Funktion über 24 Stunden ergibt sich aus der Wertetabelle:
x 0 4 8 12 16 20 24
f ( x )
0 543,926 277,478 126,69 57,048 25,641 11,522
700
600
500
400
300
200
100
0
0 4 8 12 16 20 24
Burghardt – RWB 10/11

6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 73
Ein wichtiger Begriff im Rahmen der Untersuchung von Arzneimittelkonzentrationen ist die
therapeutische Konzentration: Mit therapeutischer Konzentration bezeichnet man die
Arzneimenge, die im Körper sein muss, damit das Medikament wirkt. Angenommen, diese
liege für Metformin bei 20 mg. Innerhalb welcher Zeitspanne nach der Einnahme übt das
Medikament dann seine blutzuckerregulierende Wirkung aus Man sieht leicht, dass der
Ansatz
0,2 x 0,7 x
( ) ( )
− −
f x = 20 ⇔ 1400 ⋅ e − e = 20
nicht nach x aufgelöst werden kann, da es nicht gelingt, die beiden Exponentialfunktionen
zu einer zu vereinfachen. Die Lösungen werden deshalb mit Hilfe des Newton-Verfahrens
bestimmt. Die Funktion f nimmt den angegebenen Wert zweimal an: Einmal vor Erreichen
des Hochpunktes (also für ein x < 2,506 ) und einmal nach Erreichen des Hochpunktes
(also für ein x > 2,506 ) . Als Startwerte für das Newton-Verfahren können wir deshalb
zum Beispiel einmal x 0
= 0 und einmal x 0
= 20 nehmen (letzteres, da nach der
Wertetabelle f ( 20 ) ≈ 20 ist). Zuerst muss der Ansatz f ( x ) = 20 auf ein Nullstellenproblem
transformiert werden:
0,2 x 0,7 x 0,2 x 0,7 x
( ) ( ) ( )
− − − −
f x = 20 ⇔ 1400 ⋅ e − e = 20 ⇔ 1400 ⋅ e − e − 20 = 0
0,2 x 0,7 x
Wir führen zuerst das Newton-Verfahren für die durch g ( x ) ( e − e
−
)
= 1400 ⋅ − − 20 gegebene
Funktion mit Startwert x 0
= 0 durch, um zu berechnen, ab welchem Zeitpunkt
therapeutische Konzentration vorliegt:
0 -20 700 -0,02857143 0,028571429
0,02857143 -0,25532896 682,190137 -0,00037428 0,028945707
0,02894571 -0,000043193 681,959339 -0,000000063337 0,02894577
0,02894577 0 681,9593 0 0,02894577
Therapeutische Konzentration liegt also ab 0,03 Stunden (rund 2 Minuten) nach der Einnahme
vor.
Nun bestimmen wir mit dem Newton-Verfahren für die Funktion g mit Startwert x 0
= 20 ,
bis zu welchem Zeitpunkt therapeutische Konzentration vorliegt:
20 5,6407303 -5,12756399 -1,10007994 21,10007994
21,1000799 0,57723431 -4,11517737 -0,14026961 21,24034955
21,2403495 0,00801988 -4,00135969 -0,00200429 21,24235384
21,2423538 0,0000016069 -3,99975638 -0,00000040174 21,24235424
21,2423542 0 -3,99975605 0 21,24235424
Therapeutische Konzentration liegt also bis etwa 21¼ Stunden nach der Einnahme vor.
Burghardt – RWB 10/11
6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 74
6.4 Übungen
6.4.1 Untersuchen Sie die durch die folgenden Gleichungen gegebenen Funktionen auf
Hoch-, Tief- und Wendepunkte und zeichnen Sie die Funktionsgraphen.
x
a) f ( x ) xe
x
b) f ( x ) xe −
= e) ( )
f x = xe
= f) ( ) = ( 2 − 2 )
f x x x e − x
2 x
c) f ( x ) = x e −
x x
g) f ( x ) = e + e −
d) ( )
f x xe − x
− −
f x = e − e
= h) ( )
2 10
x
x x
6.4.2 Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der durch die folgenden Gleichungen gegebenen
Funktionen.
2
a) f ( x ) = x ln x
e) f ( x ) = ln x
f x = x ln x
f) f ( x ) = ( ln x ) 2
b) ( )
2
f x x x
= − g) ( ) 1 ln
3
c) ( ) ( 5 2 ) ln
f x = x
x
d) f ( x ) = e ⋅ ln x
h) f ( x ) = ln ( 1 x )
6.4.3 Auf ein Blatt Papier soll der im ersten Quadranten liegende Teil des Graphen des
natürlichen Logarithmus’ gezeichnet werden, wobei die y -Achse 10 cm lang ist und auf
beiden Achsen 1 cm einer Einheit entspricht. Wie lang muss die x -Achse sein
6.4.4 Ein Blatt herkömmliches Druckerpapier ist rund 0,012 cm dick. Durch Falten verdoppelt
sich die Dicke des Blattes. Wie oft muss man das Blatt falten, damit das Blatt so
dick ist wie der Abstand von der Erde zum Mond
Hinweis: Der Abstand von der Erde zum Mond beträgt ungefähr 370.000 km.
6.4.5 Berechnen Sie für ein logistisches Wachstum mit r = 0,4 und K = 100 sowie N 0
= 5
die Populationsgröße für x = 10 .
6.4.6 Eine Population von 10 Individuen wachse mit logistischem Wachstum auf 20 Individuen
zum Zeitpunkt x = 1 . Berechnen Sie die Wachstumsrate r , wenn die Kapazitätsgrenze
100 ist.
6.4.7 Für eine Prognose der Heilbutt-Bestände im Pazifik (gemessen in Millionen Kilogramm),
geht man von einem logistischen Wachstum mit einer Kapazitätsgrenze von 80,5
und einer jährlichen Wachstumsrate von 0,71 aus. Als Anfangsbestand wird eine Gesamtmasse
von 20 Millionen Kilogramm angenommen.
a) Berechnen Sie die Größe der Heilbutt-Bestände im nächsten Jahr.
b) Bestimmen Sie, nach wie vielen Jahren die Bestände auf die Hälfte der Kapazitätsgrenze
angewachsen sind.
6.4.8 Die Größe der Bevölkerung der Erde betrug im Jahr 1986 fünf Milliarden Menschen
und wuchs mit einer jährlichen Wachstumsrate von 2 %.
a) Bestimmen Sie nach dem Malthusianischen Modell eine Prognose für die Größe der
Weltbevölkerung im Jahr 2025.
b) Unter der Annahme, dass logistisches Wachstum mit einer Kapazitätsgrenze für die
Weltbevölkerung von 100 Milliarden, bestimmen Sie eine Prognose für die Größe der
Burghardt – RWB 10/11
2
3

6 Exponentialfunktion und Wachstumsprozesse 75
Weltbevölkerung im Jahr 2025. Berechnen Sie auch, in welchem Jahr die Bevölkerung
am schnellsten wächst.
6.4.9 Ein Patient nimmt eine Tablette mit 100 mg eines ACE-Hemmers ein. Die Entwicklung
der Wirkstoffmenge im Körper soll mithilfe der Bateman-Funktion modelliert
werden, wobei man von einer Absorptionsrate von 0,8 je Stunde und einer Eliminationsrate
von 0,3 je Stunde ausgeht.
a) Berechnen Sie, wie groß die Wirkstoffmenge im Körper jeweils nach 6 Stunden, 12
Stunden, 24 Stunden und 48 Stunden ist.
b) Berechnen Sie, nach wie viel Stunden die größte Wirkstoffmenge im Körper ist und
wie groß diese ist.
c) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die größte Menge an Wirkstoff aus dem Körper
ausgeschieden wird.
d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wirkstoffmenge im Körper unter 1 mg gesunken
ist.
e) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion.
f) Untersuchen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zunahme der Wirkstoffmenge im Blut am
größten ist.
6.4.10 Ein Patient nimmt nach einer Zahnextraktion eine Tablette mit 10 mg eines
Schmerzmittels ein. Die Wirkstoffmenge im Körper soll mithilfe der Bateman-Funktion
modelliert werden, wobei eine Absorptionsrate von 0,6 und eine Eliminationsrate von 0,2
je Stunde anzunehmen ist.
a) Berechnen Sie, wie groß die Wirkstoffmenge im Körper jeweils nach 1 Stunde, 10
Stunden, 24 Stunden und 36 Stunden ist.
b) Berechnen Sie, nach wie viel Stunden die größte Wirkstoffmenge im Körper ist und
wie groß diese ist.
c) Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die größte Menge an Wirkstoff aus dem Körper
ausgeschieden wird.
d) Für das eingenommene Schmerzmittel liegt die therapeutische Konzentration bei
1,75 mg. Bestimmen Sie den Zeitraum, während dessen therapeutische
Konzentration vorliegt.
e) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion.
Burghardt – RWB 10/11
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 76
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral
7.1 Ausschöpfen von Flächen durch Rechtecke
Aus Stabilitätsgründen soll die Rutsche in einer Kindertagesstätte an den Seiten mit einer
Metallplatte versehen werden.
Rutschbahn
Metallplatte
6 Ein Dezimeter (dm) entspricht 10 cm.
Der Handwerker, der beauftragt wurde, hierfür einen Kostenvoranschlag zu erstellen, berechnet
je dm 2 Fläche der Metallplatte Kosten in Höhe von 8,50 €. Er gibt an, für jede Seite
der Rutsche eine Fläche von 85 dm 2 berechnet zu haben. 6 Die Erzieher in der Kindertagesstätte
fragen sich, ob die vom Handwerker zu Grunde gelegte Fläche stimmt. Problem:
Wie berechnet man den Flächeninhalt einer krummlinig begrenzten Fläche
Erzieherin Elke weiß Rat: Sie überträgt das Profil der Rutsche maßstabsgetreu auf ein
Blatt Papier.
Dann zeichnet sie Rechtecke in die Seitenfläche ein, die vom unteren Rand der Zeichnung
bis zur Rutschbahn laufen:
Burghardt – RWB 10/11

7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 77
Jedes der Rechtecke wäre in der Realität 2 dm breit.
Die Rechtecke treffen jeweils oben in der Mitte die Rutschbahn. Jedes Rechteck ragt zum
Teil über die Rutschbahn hinaus, zum Teil endet es bereits darunter. Im Großen und Ganzen
sollte aber die Fläche aller Rechtecke zusammen ziemlich gut mit der gesuchten Fläche
übereinstimmen. Die Erzieherin berechnet die Gesamtfläche der Rechtecke und erhält
82,88 dm 2 .
Doch ist dieser Wert noch ziemlich ungenau. So wiederholt Elke ihr Verfahren, indem sie
die Breite der Rechtecke halbiert:
Die Breite der Rechtecke entspricht jetzt einer Länge von 1 dm.
Jetzt sind die Teile der Rutschbahnfläche, die nicht ausgefüllt sind, kleiner als vorher. Außerdem
ragen die Rechtecke nur noch zu einem sehr geringen Teil über die Rutschbahn
hinaus. Die Fläche aller Rechtecke sollte also noch besser mit der gesuchten Fläche ü-
bereinstimmen. Elke berechnet erneut die Gesamtfläche aller Rechtecke: 84,1875 dm 2 .
Es scheint, dass der Handwerker im Wesentlichen die korrekte Flächenmaßzahl zu Grunde
gelegt hat.
Burghardt – RWB 10/11
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 78
7.2 Übung
7.2.1 Wiederholen Sie die Elkes Überlegungen! Nehmen Sie dazu an, dass die Rutschbahn
mit Hilfe des im 1. Quadranten liegenden Teils des Graphen der durch
3 2
f ( x ) = − 0,02 x + 0,6 x − 6 x + 22,5 gegebenen Funktion beschrieben werden kann.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f für x -Werte zwischen Null und der ersten
positiven Nullstelle!
b) Zeichnen Sie Rechtecke der Breite 2 ein, die den Funktionsgraphen jeweils in der
Mitte ihrer oberen Seite treffen!
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke und aller Rechtecke zusammen!
d) Wiederholen Sie Ihre Rechnung mit Rechtecken der Breite 1!
7.3 Das Integral
Elkes Berechnungen haben den Flächeninhalt nur näherungsweise bestimmen können.
Um einen genauen Wert zu bekommen, bietet es sich an, schrittweise die Breite der
Rechtecke zu verringern, die Gesamtfläche der Rechtecke zu berechnen und zu bestimmen,
welchem Grenzwert sich die berechneten Flächeninhalte annähern, wenn die
Breite der Rechtecke immer kleiner wird.
Dieses Vorgehen wollen wir mathematisch exakt formulieren. Vorgegeben sei eine Funktion
f und ein Intervall [ a | b ] .
Bei Elkes Überlegungen zerlegen die Ecken der Rechtecke, die sich auf der x -Achse befinden,
das Intervall [ 0 |15 ] in einzelne, gleich große Teile. In jedem der Teile wurde der
Mittelpunkt verwendet, um dort den Funktionswert zu bestimmen, der die Höhe des
Rechtecks festlegt.
Im allgemeinen Fall wählen wir für jede natürliche Zahl N Stellen x 0
, x 1
, , x N
mit
a = x
0
< x
1
< < x
N
= b , die das Intervall [ a | b ] in gleich große Teilintervalle [ 0 1 ]
[ x
1
| x
2 ] bis [ x
N − 1
| x
N ] zerlegen. In jedem der Intervalle [ x
0
x
1 ] bis [ ]
wir den Mittelpunkt mit z 1
, , z N
. Das heißt, 1
Mittelpunkt von [ x
1
| x
2 ] und so weiter.
z ist der Mittelpunkt von [ 0
|
1 ]
x | x ,
x
N − 1
| x
N
bezeichnen
x x , z 2
ist der
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
z
7
a = x 0
x
1 x
2
x
3
x
4
5
x
6
x b = x
7
Hieraus entstehen insgesamt N Rechtecke mit folgenden Maßen:
• die untere Kante des ersten Rechtecks ist x 1
− x 0
lang und es ist f ( z
1 ) hoch;
• die untere Kante des zweiten Rechtecks ist x 2
− x 1
lang und es ist f ( z
2 ) hoch;
• die untere Kante des dritten Rechtecks ist x 3
− x 2
lang und es ist f ( z
3 ) hoch
und so weiter.
Burghardt – RWB 10/11
|

7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 79
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
z
7
a = x 0
x
1 x
2
x
3
x
4
5
x
6
x b = x
7
Für jedes der insgesamt N Rechtecke ergibt sich deshalb folgender Flächeninhalt
• das ersten Rechteck hat den Flächeninhalt f ( z
1 ) ⋅ ( x
1
− x
0 ) ;
• das zweite Rechteck hat den Flächeninhalt f ( z
2 ) ⋅ ( x
2
− x
1 ) ;
• das dritte Rechteck hat den Flächeninhalt f ( z
3 ) ⋅ ( x
3
− x
2 ) ;
und so weiter.
Die Fläche aller Rechtecke zusammen ist deshalb die Summe
( ; ) = ( ) ⋅ ( − ) + ( ) ⋅ ( − ) + + ( ) ⋅ ( − )
S f N f z x x f z x x f z x x −
b
a 1 1 0 2 2 1 N N N 1
Mit Hilfe des Summenzeichens kann dies kürzer geschrieben werden als
N
1
.
( ; ) ( ) ( )
S f N f z x x −
= ⋅ −
=
b
a k k k
k
1
Diese Summe nennt man auch eine Riemannsche Summe, benannt nach dem deutschen
Mathematiker Bernhard Riemann (geb. 17. September 1826, gest. 20. Juli 1866).
Betrachtet man Riemannsche Summen mit mehr und mehr Zerlegungspunkten, so nähern
sich die Summen mehr und mehr einem gemeinsamen Grenzwert an:
Satz und Definition. Wenn f eine auf dem Intervall [ a | b ] stetige Funktion ist, dann nä-
b
hern sich für wachsendes N die Werte ( ; )
S f N immer weiter einem Grenzwert an. Dieser
Grenzwert wird das Integral von f über dem Intervall [ a | b ] genannt und mit
bezeichnet:
b
a
a
( )
f x dx
b N
a
b
( ) = lim ( ; ) = lim ( ) ⋅ ( −
1 )
f x dx S f N f z x x −
.
a k k k
N N
→∞ →∞ =
Die Funktion f nennt man auch den Integrand, a heißt untere Grenze und b heißt o-
bere Grenze.
k
1
Zur Notation:
Burghardt – RWB 10/11
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 80
b
• In der Schreibweise f ( x ) dx ist das Integralzeichen
a
ein stilisiertes S und erinnert
daran, dass das Integral von Summenbildungen herstammt, nämlich – in unserem
Aufbau der Integralrechnung – von den Riemannschen Summen.
• Die Summanden der Riemannschen Summen sind alle von der Art f ( x )( x
i
− x
i − 1 ) . Für
den Ausdruck ( )
x
i
− x
i − 1
schreibt man auch manchmal symbolisch ∆ x (Delta- x , Delta
für „Differenz“, also ∆ x für „Differenz der x -Werte“). Die Summanden der Riemannschen
Summen sind also alle von der Form f ( x ) ∆ x ; hieran erinnert die Schreibweise
f ( x ) dx unter dem Integralzeichen.
• Die Variable x in dx legt die Variable fest, bezüglich der integriert wird. Tauscht man
in der Funktion die Variable x gegen die Variable t oder die Variable u aus, so muss
man auch in dx die Variable x gegen die Variable t oder die Variable u austauschen:
b b b
f ( x ) dx = f ( t ) dt = f ( u ) du
a a a
Erinnerung: Dass eine Funktion f an der Stelle x 0
stetig ist, kann auf verschiedene Weisen
ausgedrückt werden:
• Wenn x 1
nahe bei x 0
liegt, dann ist f ( x
1 ) nahe bei f ( x
0 ) .
• Wenn h nahe bei Null ist, dann gilt f ( x
0
+ h ) ≈ f ( x
0 ) .
• Es gilt f ( x h ) f ( x )
h
0
lim
→
+ = .
0 0
Wir wissen, dass alle ganzrationalen Funktionen stetig sind. Jede differenzierbare Funktion
ist stetig, aber es gibt stetige Funktionen, die nicht differenzierbar sind – zum Beispiel
die durch f ( x ) = | x | gegebene Betragsfunktion.
7.4 Übungen
1
7.4.1 Berechnen Sie für f ( x ) = x die Riemannschen Summen
0 ( ;1 )
1
und S
0 ( f ;10 ) . Welchen Wert vermuten Sie für ( )
1
0
f x dx
S f , S ( f ) , ( )
1
0
;2
S 1
0
f ;5
2
7.4.2 Berechnen Sie für f ( x ) = x die Riemannschen Summen S 1
− 1 ( f ;1 ) , S 1
1 ( f ;2 )
− 1 ( ;5 ) und S 1
− 1 ( f ;10 ) . Welchen Wert vermuten Sie für ( )
1
S f
1
−
f u du
1
−
,
Burghardt – RWB 10/11

7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 81
7.5 Eigenschaften des Integrals
Satz. Das Integral stetiger Funktionen hat folgende Eigenschaften:
b b
1. Homogenität: ( α ⋅ f ( x ) ) dx = α ⋅ f ( x ) dx für jede reelle Zahl α .
a a
Das heißt: Multiplikative Konstanten bleiben beim Integrieren erhalten.
b b b
2. Linearität: ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx
a a a
Das heißt: Integrale können summandenweise berechnet werden.
3. Intervalladditivität: Wenn a c b
b c b
< < gilt, dann ist f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx .
a a c
BEWEIS. Die Linearität und die Homogenität ergeben sich daraus, dass die entsprechenden
Eigenschaften für Riemannsche Summen gelten:
( α ; ) = α ( 1 ) ⋅ ( 1
−
0 ) + + α ( ) ⋅ ( −
− 1 )
= α ( f ( z
1 ) ⋅ ( x
1
− x
0 ) + + f ( z
N ) ⋅ ( x
N
− x
N − 1 ) )
b
= α S ( f ; N )
S f N f z x x f z x x
b
a N N N
a
und
S f + g ; N = f z + g z ⋅ x − x + + f z + g z ⋅ x − x
( ) ( ( 1 ) ( 1 ) ) ( 1 0 ) ( ( ) ( ) ) ( − 1 )
= f ( z
1 ) ⋅ ( x
1
− x
0 ) + g ( z
1 ) ⋅ ( x
1
− x
0 ) + + f ( z
N ) ⋅ ( x
N
− x
N − 1 ) + g ( z
N ) ⋅ ( x
N
− x
N − 1 )
= f ( z
1 ) ⋅ ( x
1
− x
0 ) + + f ( z
N ) ⋅ ( x
N
− x
N − 1 )
+ g ( z
1 ) ⋅ ( x
1
− x
0 ) + + g ( z
N ) ⋅ ( x
N
− x
N − 1 )
= S ( f ; N ) + S ( g ; N )
b
a N N N N
b b
a a
Die Intervalladditivität beweisen wir nicht, wir veranschaulichen sie nur an einer Skizze:
= +
b
a
c
a
f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx
b
c
7.6 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und die Berechnung
von Integralen
Die Integralrechnung hängt auf verblüffende Weise mit der Differentialrechnung zusammen.
Wie, das sagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Burghardt – RWB 10/11
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 82
Satz. Wenn f eine auf dem Intervall [ a | b ] stetige Funktion ist, dann ist die Funktion
x
F ( x ) = f ( u ) du ,
a
die jedem x aus dem Intervall [ a | b ] den Wert des Integrals der Funktion f von a bis zu
diesem x zuordnet, differenzierbar und es gilt
F ′ ( x ) = f ( x ) .
Wir wollen überlegen, warum der Hauptsatz richtig ist. Wir müssen zeigen, dass
F ( x
0
+ h ) − F ( x
0 )
lim
= f ( x
0 )
h → 0 h
für alle x 0
aus dem Intervall [ a | b ] ist. Hierzu untersuchen wir zuerst den Nenner des Differenzenquotienten:
+
+ − = −
x 0 h x 0
( 0 ) ( 0 ) ( ) ( ) .
F x h F x f u du f u du
a a
Um die Grundidee des Beweises nicht mit zu vielen technischen Problemen zu verschleiern,
nehmen wir an, dass h > 0 ist und dass stets f ( x ) ≥ 0 gilt. 7
Wegen der Intervalladditivität des Integrals gilt dann
Damit ergibt sich
x 0 h x 0 x 0 h
+ +
f u du = f u du + f u du
( ) ( ) ( ) .
a a x
x 0 h x 0
( 0
+ ) − ( 0 ) = ( ) − ( )
F x h F x f u du f u du
+
a a
+
x 0 x 0 h x 0
( ) ( ) ( )
= f u du + f u du − f u du
a x a
.
Wir müssen somit den Term
untersuchen und zeigen, dass
x + h
x
lim
=
( )
x h
x
+
( )
f u du
1
=
h h
f u du
0
gilt. In der folgenden Skizze entspricht ( )
h
→
0
1
h
x + h
x
x + h
x
x + h
x
( )
f u du
( ) = ( )
f u du f x
0
f u du der gepunktet eingezeichneten Fläche.
7 Der Beweis kann mit den hier verwendeten Ideen leicht ohne jede Zusatzannahme zu einem in allen
Punkten formal korrekten Beweis des Hauptsatzes präzisiert werden.
Burghardt – RWB 10/11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 83
Aus der Tatsache, dass f eine stetige Funktion ist, kann man folgern, dass es zwischen
x
0
und 0
( )
x + h zwei Zahlen x 1
und x 2
gibt, sodass f ( x
1 ) der kleinste Funktionswert und
f x
2
der größte Funktionswert zwischen 0
x x
0
0
+ h
x und x 0
+ h ist
( )
f x
( )
f x
2
1
Wir betrachten nun das Rechteck, dessen untere Seite von x 0
bis x 0
+ h verläuft und das
f x
1
hat:
die Höhe ( )
x x
0
0
+ h
( )
f x
1
Dieses Rechteck hat den Flächeninhalt ( )
0
der gepunktete Bereich, also als ( )
und damit
x + h
x
x x
0
0
+ h
f x
1
h , und dieser ist (siehe Skizze) kleiner als
f u du . Dies bedeutet
0
( ) ( )
1
x + h
f x h ≤ f u du ,
x
Burghardt – RWB 10/11
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 84
1 x + h
0
( ) ( )
f x
1
≤ f u du
h
.
Dagegen hat das Rechteck, dessen untere Seite ebenfalls von x 0
bis x 0
+ h verläuft, das
f x
2
hat:
aber die Höhe ( )
x
( )
f x
2
x x
0
0
+ h
0
einen Flächeninhalt, der größer als ( )
also
Insgesamt finden wir die Ungleichungskette
x + h
x
f u du ist:
x + h
f ( u ) du ≤ f ( x
2 ) h ,
x
1 x + h
f ( u ) du ≤ f ( x
2 ) .
h
x
1 x + h
1 2
( ) ≤ ( ) ≤ ( )
f x f u du f x
h
.
x
Was passiert nun hier beim Grenzübergang h → 0 Da x 1
und x 2
zwischen x 0
und x 0
+ h
liegen, liegen sie im Fall, dass h sehr nahe bei 0 ist, natürlich sehr nah an x 0
. Da f stetig
ist, gilt beim Grenzübergang 0
h → also f ( x
1 ) f ( x
0 )
Grenzübergang h → 0 wird deshalb Ungleichungskette
zu
1 x + h
1 2
( ) ≤ ( ) ≤ ( )
f x f u du f x
h
x
x + h
1
f ( x
0 ) ≤ lim f ( u ) du ≤ f ( x
0 )
h → 0 h
.
Also müssen hier in Wirklichkeit alle Werte gleich sein:
x + h
1
lim f ( u ) du = f ( x
0 )
h → 0 h
.
x
x
≈ und f ( x
2 ) ≈ f ( x
0 ) . Beim
Dies war zu zeigen.
Der Hauptsatz sagt unter anderem aus, dass jede stetige Funktion f ( x ) die Ableitung
einer Funktion F ( x ) ist: F ′ ( x ) = f ( x ) .
Burghardt – RWB 10/11
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 85
Definition. Eine Funktion F ist eine Stammfunktion zur Funktion f , falls F ′ ( x ) = f ( x )
gilt.
Aus dem Hauptsatz ergibt sich: Jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion. Wir werden
sehen:
Stammfunktionen liefern den Schlüssel zur Berechnung von Integralen!
Aus diesem Grund werden wir uns zunächst mit Stammfunktionen und ihren Eigenschaften
beschäftigen.
Satz. Zwei Stammfunktionen zu einer Funktion f unterscheiden sich höchstens um eine
additive Konstante: Sind F 1
und F 2
Stammfunktionen der Funktion f , so gibt es eine
Konstante c mit F
1 ( x ) = F
2 ( x ) + c für alle x .
BEWEIS. Die Funktion ∆ ( x ) = F
1 ( x ) − F
2 ( x ) ist die Differenz der beiden Stammfunktionen.
Wir müssen zeigen, dass ∆ ( x ) konstant, also ∆ ( x ) = c für alle x ist. Denn dann ist
F
1 ( x ) − F
2 ( x ) = c , also F
1 ( x ) = F
2 ( x ) + c .
Um zu zeigen, dass ∆ ( x ) konstant ist, leiten wir ∆ ( x ) ab:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∆ x = F ′
1
x − F ′
2
x = f x − f x = 0
Die Funktion ∆ ( x ) hat also überall die Tangentensteigung Null. Die einzigen Funktionen,
die dies erfüllen, sind diejenigen, deren Funktionsgraph eine Parallele zur x -Achse ist.
Solche Funktionen weisen jedem x -Wert denselben y -Wert zu, sie sind also konstant.
Dies war zu beweisen.
Nun können wir beweisen, wie man mit Hilfe von Stammfunktionen Integrale berechnen
kann.
Satz. (Berechnung von Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen)
Wenn f eine auf dem Intervall [ a | b ] stetige Funktion und F eine Stammfunktion zu f
ist, dann gilt
b
a
( ) ( ) ( )
f x dx = F b − F a ,
Man schreibt auch manchmal kurz f ( x ) dx = F ( x )
b
a
b
a
BEWEIS. Nach dem Hauptsatz ist neben F auch die durch
Burghardt – RWB 10/11
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 86
x
( ) = ( )
G x f u du
a
gegebene Funktion G eine Stammfunktion zu f . Die Funktionen F und G unterscheiden
sich deshalb nur um eine additive Konstante c : G ( x ) = F ( x ) + c . Wie groß ist
die Konstante Um dies herauszufinden, setzen wir in die Gleichung G ( x ) = F ( x ) + c für
x den Wert a ein: G ( a ) = F ( a ) + c .
Wegen
a
( ) ( ) 0
G a = f u du =
a
bedeutet dies 0 = F ( a ) + c , also c = − F ( a ) . Wir haben also G ( x ) = F ( x ) − F ( a ) . Nun setzen
wir hier für x die Zahl b ein: G ( b ) = F ( b ) − F ( a ) . Wegen
bedeutet dies
b b
G ( b ) = f ( u ) du = f ( x ) dx
b
a
a a
( ) ( ) ( )
f x dx = F b − F a .
Das war zu beweisen.
Das Integral einer stetigen Funktion f zu berechnen ist unproblematisch, wenn man eine
Stammfunktion bestimmen kann. Dies ist in vielen (aber bei weitem nicht in allen!) Fällen
möglich. Es sollen nun in einfachen Fällen Stammfunktionen bestimmt werden. Wir vereinbaren
folgende Schreibweise, die durch den Hauptsatz motiviert wird:
Wir schreiben
f ( x ) dx = F ( x )
um anzudeuten, dass F eine Stammfunktion zu f ist. Die Schreibweise ist nützlich aber
auch problematisch, da f viele verschiedene Stammfunktionen hat (die sich alle jeweils
um eine additive Konstante unterscheiden), wohingegen die Schreibweise
f ( x ) dx = F ( x )
zu implizieren scheint, dass es nur eine Stammfunktion gebe.
f ( x ) dx nennt man auch das unbestimmte Integral von f .
Satz. (Integration von Potenzen) Für jede reelle Zahl α ≠ − 1 gilt
1
α α +
=
α + 1
x dx x 1
.
1
F x = x α
α + 1
Funktion mit der (allgemeinen) Potenzregel der Differentialrechnung:
1
α α
F ′ ( x ) = ⋅ ( α + 1 ) x = x .
α + 1
+ 1
BEWEIS. Der Beweis geschieht durch Ableiten der durch ( )
gegebenen
Burghardt – RWB 10/11
′

7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 87
1
F x = x α
α + 1
+ 1
Also ist ( )
eine Stammfunktion zu f ( x ) = x α .
Beispiele:
1. Um das Integral
2
zu f ( x ) = x . Eine solche ist
Dann ergibt sich
1
2
2. Um ( − + 4 + 5 )
−
1
( )
2
5
0
5
0
2
x dx zu berechnen, bestimmt man zunächst eine Stammfunktion
2 1 3
.
5
0
x dx = x
3
2 x dx = 1 x 3 = 1 ⋅ 3 5 − 1 ⋅ 0 3 = 125
= 41, 6
3 3 3 3
x x dx zu berechnen, bestimmt man eine Stammfunktion zu
f x = − x + 4 x + 5 , was summandenweise geschehen kann, weil summandenweise
2 1 3 2
differenziert wird: ( )
Dann ergibt sich
1
−
1
( )
− x + 4 x + 5 dx = − x + 2 x + 5 x .
3
− + 4 + 5 = − 1
+ 2 + 5
3
2 3 2
x x dx x x x
1
1
1 3 2 1 3 2
= − ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 1 − − ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ ( − 1 ) + 5 ⋅ ( − 1 )
3 3
=
=
20 8
= − −
3 3
28
3
9, 3
−
2
2
3 4 4
3. x dx x
( )
−
2
1 1 1 4
= = ⋅ − ⋅ − = − =
2 2 4 4 0
4 4 4
−
2
Was ist in Beispiel 3 passiert Wieso kann ist
der Flächeninhalt hier Null Dies stimmt offenbar
nicht mit der Realität überein, wenn wir eine
3
Skizze des Graphen der Funktion f ( x ) = x zu
Rate ziehen:
8
6
4
2
0
-2 -1 0 1 2
-2
-4
-6
-8
Die Lösung des Problems ist folgendes:
Burghardt – RWB 10/11
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 88
• Das Integral ( )
b
a
f x dx stimmt nur dann mit dem Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraph
und der x -Achse im Bereich von a bis b überein, wenn zwischen a und
b stets f ( x ) ≥ 0 ist.
• Ist zwischen a und b stets f ( x ) ≤ 0 , so ist ( )
b
a
f x dx das Negative des Inhalts der
b
Fläche zwischen dem Funktionsgraph und der x -Achse im Bereich von a bis b .
• Ändert f zwischen a und b ein- oder mehrmals sein Vorzeichen, so heben sich die
Inhalte verschiedener Flächenstücke teilweise oder ganz gegenseitig weg und das Integral
( )
a
f x dx kann nicht mehr als Flächeninhalt interpretiert werden.
Um deshalb den Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen der Funktion f und
der x -Achse im Bereich von a bis b zu berechnen, müssen zuerst die zwischen a und b
liegenden Nullstellen von f bestimmt werden. Man berechnet dann die Integrale
• von a bis zur ersten Nullstelle,
• zwischen allen direkt aufeinander folgenden Nullstellen und
• zwischen der letzten Nullstelle und b
Abschließend müssen die einzelnen Integralwerte addiert werden, wobei negative Werte
mit einem positiven Vorzeichen genommen werden müssen.
Beispiele.
3
1. Wie groß ist die Fläche, die der Graph der Funktion f ( x ) = x zwischen − 2 und 2
mit der x -Achse einschließt
Lösung: Zuerst werden die Nullstellen der Funktion f ( x ) = x 3
berechnet, die zwischen
− 2 und 2 liegen. Dies ist x = 0 .
Nun werden die Integrale berechnet.
•
0
0
3 4 4
• x dx x
( )
2
0
−
2
1 1 1 4
= = ⋅ − ⋅ − = − = −
0 2 0 4 4
4 4 4
2
0
−
2
3 x dx = 1 x 4 = 1 ⋅ 2 4 − 1 ⋅ 0 4
= 4 − 0 = 4
4 4 4
Zum Abschluss werden die Integralwerte addiert, wobei negative Werte mit einem
positiven Vorzeichen genommen werden müssen: Der Flächeninhalt ist 4 + 4 = 8 .
4 2
2. Wie groß ist die Fläche, die der Graph der Funktion ( )
f x = x − 10 x + 9 zwischen − 4
und 2 mit der x -Achse einschließt
Lösung: Zuerst werden die Nullstellen der Funktion f ( x ) = x 4 − 10 x 2
+ 9 berechnet.
Mit Hilfe der Substitutionsmethode findet man die Nullstellen − 3 , − 1 , 1 und 3. Da 3
nicht mehr zu dem Bereich gehört, über dem die Fläche berechnet werden muss, ist
diese Nullstelle nicht von Interesse. Es müssen die folgenden Integrale berechnet
werden:
−
−
3
f ( x ) dx ; f ( x ) dx ; f ( x ) dx ; . ( )
4
−
−
1
3
1
−
1
2
1
f x dx
Burghardt – RWB 10/11

7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 89
1 5 10 3
Mit der Stammfunktion ( )
−
3
• ( )
− 4
− 1
f x dx
• ( )
− 3
1
f x dx
• ( )
− 1
2
f x dx
• ( )
1
=
= −
=
41,86
20, 26
11,73
f x dx = −8,13
f x dx = x − x + 9 x findet man:
5 3
Um den Inhalt der Fläche zu bestimmen, müssen die Werte jeweils mit positivem
Vorzeichen addiert werden: 41,86 + 20, 26 + 11,73 + 8,13 = 82 .
Zum Vergleich: ( )
2
−
f x dx = 25,2 .
4
7.7 Übungen
7.7.1 Bestimmen Sie zu den durch die Gleichungen angegebenen Funktionen je eine
Stammfunktion.
Tipps: 1 − α
= x ;
x
α
a) f ( x ) x
2
b) f ( x ) x
1
n x = x n
;
m
n x m = x
n
= i) f ( x )
2
= j) f ( x )
3
1
= q) f ( x ) = x
x
2
3
= r) f ( x ) = x
c) f ( x ) = 4
k) f ( x ) = − s) f ( x )
4
3
1 3
1
d) f ( x ) = 2 x
l) f ( x ) = + t) f ( x ) =
5 2
4
2
e) f ( x ) 3 x 5 x
= − + m) f ( x )
4
4 3
f) f ( x ) 5 x 2 x 6
x
8
x
x x
1
2 x
= + − n) f ( x )
4 3
= u) f ( x ) = x
3
2 3
5 x 4 x
= − v) ( ) 4
f x = x
3
1 5
x x
2
g) f ( x ) = 0
o) f ( x ) = 3 x − + w) ( )
4 3
3 5
9 6 2
4
h) f ( x ) = 10 x + 5 x − 8 x p) f ( x ) x
2 6
3 x 7 x
f x
f x
= − − + x) ( ) 4 2
3 3 2
=
=
1
x
x
1
x
5 1
= −
4
x x
7.7.2 Berechnen Sie die folgenden Integrale!
a) xdx
e) xdx
i)
0
− 2
3
2
27
1
3 1
x − dx
x
3
Burghardt – RWB 10/11
7 Flächeninhaltsberechnungen – Das Integral 90
2
2
x − dx
f) ( )
b) ( 3 2 )
0
1
4 2
3
c) ( x + 3 x + x ) dx g) ( )
x + x dx
j)
0
4
−
− 2
2
− 1
3
3 2
d) ( − 2 − 5 + 6 )
1
x − x dx k)
x x x dx
3 5
h) ( x )
2 − x 4 dx l)
−
1
1
0
1
1
1 1
+
2 3 dx
x x
1 2
−
2 3 dx
x x
3 4 2
1
x − 3 x − 5
x
2
dx
7.7.3 Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl n gilt:
n
• Falls n ungerade ist, so gilt x dx = 0 für jede Zahl a > 0 .
• Falls n gerade ist, so gilt
−
−
a
a
a a
n n
Deuten Sie die Ergebnisse geometrisch!
x dx = 2 ⋅ x dx für jede Zahl a > 0 .
a
0
2 2
4 3 4
Begründen Sie dann mit den Ergebnissen, dass ( 3 x + x − 5 x ) dx = 2 ⋅ 3 x dx ist.
−
2 0
Berechnen Sie abschließend möglichst geschickt die folgenden Integrale:
1
7 5 4
4 3 2
a) ( 2 x − x + x + 3 x + 1 ) dx c) ( − 2 + 6 + 5 )
− 1
3
2
−
2
x x x x dx
5 3 2
b) ( − 3 x − 4 x + 3 x − 5 x + 1 ) dx
7 5 3
d) ( − 2 − + 2 )
−
3
10
−
10
x x x x dx
7.7.4 Berechnen Sie die Größe der Fläche, die im Bereich des Intervalls I zwischen dem
Graphen von f und der x -Achse liegt!
a) f ( x ) = 4 x − 2 , I = [ 0 |1 ]
g) f ( x ) = ( x − 1 )( x + 2 )( x − 3 ) , I = [ − 2 | 3 ]
2
2
b) f ( x ) = x − 4 , I = [ − 3 | 3 ] h) f ( x ) = ( x − 1 )( x − 4 ) , I = [ − 3 | 3 ]
2
4 3 2
c) f ( x ) = x − 10 x + 21 , I = [ − 1|1 ] i) f ( x ) = x − 2 x + x − 2 x , I = [ − 1| 2 ]
3
4 2
d) f ( x ) = x + 3 x + 4 , I = [ − 2 |1 ] j) f ( x ) = x − 5 x + 4 , I = [ 0 | 2 ]
3
e) f ( x ) = x − 3 x + 2 , I = [ 0 |1 ] k) f ( x ) = x − x , I = [ 0 | 3 ]
3 2
3
f) f ( x ) = x − 4 x + x + 6 , I = [ − 1| 3 ] l) f ( x ) x x
= − , I = [ 0 | 2 ]
Burghardt – RWB 10/11

8 Integrationsmethoden 91
8 Integrationsmethoden
Unter Integrationsmethoden werden Verfahren zur Bestimmung von Stammfunktionen
verstanden. Diese ergeben sich in vielen Fällen aus Regeln zum Differenzieren von Funktionen.
Zwei Integrationsmethoden werden hier vorgestellt: die partielle Integration und die
Substitutionsregel.
8.1 Partielle Integration (Produktintegration): Auf und Ab
x
Wie lautet eine Stammfunktion zu f ( x ) = x ⋅ e In vielen Fällen, in denen die zu integrierende
Funktion Produkt zweier Funktionen ist, hilft partielle Integration weiter.
Satz. (Partielle Integration) Wenn die Funktionen g und h differenzierbar sind, gilt
g ( x ) ⋅ h ′ ( x ) dx = g ( x ) ⋅ h ( x ) − g ′ ( x ) ⋅ h ( x ) dx .
BEWEIS. Nach der Produktregel gilt ( g ( x ) h ( x )
′
) = g ′ ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ′ ( x ) . Dies bedeutet:
g ( x ) h ( x ) ist eine Stammfunktion zu g ′ ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ′ ( x ) :
( g ′ ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ′ ( x ) ) dx = g ( x ) h ( x )
.
Da summandenweise integriert und differenziert werden kann, ist hier die linke Seite
g ′ x h x dx + g x h ′ x dx
gleich ( ) ( ) ( ) ( ) , sodass sich
g ′ ( x ) h ( x ) dx + g ( x ) h ′ ( x ) dx = g ( x ) h ( x )
ergibt. Indem man auf beiden Seiten g ′ ( x ) h ( x ) dx abzieht, ergibt sich die angegebene
Regel.
Wir verwenden jetzt die Regel der partiellen Integration, um eine Stammfunktion zu
x
x ⋅ e wir
x
f ( x ) = x ⋅ e zu finden. Wir legen zunächst fest, welchen Faktor des Produkts
ableiten und welchen wir „aufleiten“ wollen. Da der Faktor x beim ableiten zu 1 wird und
x
wir außerdem eine Stammfunktion zu e kennen (nämlich e
x ), ist es sinnvoll, den Faktor
x
x abzuleiten und den Faktor e „aufzuleiten“. Wir markieren den abzuleitenden Faktor mit
einem Ab-Pfeil und den aufzuleitenden Faktor mit einem Auf-Pfeil:
.
x
x ⋅ e dx
↓ ↑
Die Regel besagt nun, dass wir zunächst den aufzuleitenden Faktor aufleiten und dann
den abzuleitenden Faktor ableiten müssen
x x x
x ⋅ e dx = x ⋅ e − 1 ⋅ e dx
Da 1 ⋅ e x dx = e x dx = e
x ist, ergibt sich ( 1 )
↓ ↑
x ⋅ e x dx = x ⋅ e x − e x = x − ⋅ e x .
Burghardt – RWB 10/11
8 Integrationsmethoden 92
8.2 Integration des natürlichen Logarithmus
Bei der Einführung des natürlichen Logarithmus haben wir gesehen, dass F ( x ) = ln x die
Ableitung f ( x ) = 1 x hat. Ausgedrückt mit dem Begriff der Stammfunktion bedeutet dies:
F ( x ) = ln x ist eine Stammfunktion zu f ( x )
= 1
.
x
Mit Hilfe der partiellen Integration können wir nun seinerseits eine Stammfunktion zu
F ( x ) = ln x finden. Hierzu schreiben wir ln x = ln x ⋅ 1 (ein Trick, auf den man nicht so leicht
kommt!) und legen fest
Mit partieller Integration ergibt sich jetzt
Also:
ln x ⋅ 1 dx .
↓
1
ln x dx = ln x ⋅ 1 dx = ln x ⋅ x − ⋅ x dx = ln x ⋅ x − 1 dx = ln x ⋅ x − x
.
↓
↑
x
↑
F ( x ) = x ⋅ ln x − x ist eine Stammfunktion zu f ( x ) = ln x .
8.3 Substitutionsregel
2
Wie lautet eine Stammfunktion zu f ( x ) = 2 x ⋅ 1 + x Hier fällt auf: Einer der beiden Faktoren,
nämlich
1 x
2
+ , ist durch eine Verkettung entstanden, nämlich ( )
g u = u mit
2
h ( x ) = 1 + x , und die Ableitung der inneren Funktion dieser Verkettung, nämlich h ′ ( x ) , ist
der zweite Faktor, nämlich 2x . Die zu integrierende Funktion ist also von der Form
( ( ) ) ( )
g h x h x
⋅ ′ . In solchen Fällen hilft oft die Substitutionsregel weiter, die wir in einer Version
hier vorstellen:
Satz. (Version der Substitutionsregel) Die Funktion h sei differenzierbar und G sei
eine Stammfunktion der Funktion g . Dann gilt g ( h ( x ) ) ⋅ h ( x ) dx = G ( h ( x ) ) .
BEWEIS. Nach der Kettenregel ist ( ( ) )
( G h x ) G ( h ( x ) ) h ( x )
zu g ist, gilt G ′ ( x ) = g ( x ) . Damit ergibt sich dann ( ( ) )
= ′ ⋅ ′ . Da G eine Stammfunktion
( G h x ) g ( h ( x ) ) h ( x )
= ⋅ ′ . Also ist
G ( h ( x ) ) eine Stammfunktion zu g ( h ( x ) ) ⋅ h ′ ( x ) . Dies wurde behauptet.
Der Name „Substitutionsregel“ erklärt sich so: Um ( ( ) ) ⋅ ( )
g h x h x dx zu berechnen, muss
man g ( u ) du bestimmen und dann darin u durch h ( x ) ersetzen („substituieren“).
Burghardt – RWB 10/11
′
′
′
′

8 Integrationsmethoden 93
2
Mit der Substitutionsregel können wir nun eine Stammfunktion zu f ( x ) = 2 x ⋅ 1 + x fin-
2
den: Mit h ( x ) = 1 + x und g ( u ) = u ist f ( x ) = g ( h ( x ) ) ⋅ h ′ ( x ) ; eine Stammfunktion zu
1
g ( u ) = u = u 2 ist ( )
G u 2 u 2
2
u
3 3
3
3
= = . Nach der Substitutionsregel ist
2
2
( ) ( ( ) ) ( 1 ) 3
.
f x dx = G h x = + x
3
In manchen Fällen muss zunächst die Funktion etwas umgeformt werden, bevor die Substitutionsregel
angewendet werden kann. Die Funktion ( )
2
f x = x ⋅ 1 + x ist noch nicht von
der Form, dass die Substitutionsregel verwendet werden kann: Es fehlt der Faktor 2 . In
diesem Fall ergänzt man den fehlenden Faktor zunächst und teilt die gefundene Stammfunktion
am Ende durch den zunächst hinzugefügten Faktor: Da – wie oben überlegt –
F x 2
x
3
2
( ) ( 1 ) 3
f x 2 x 1 x
= + eine Stammfunktion zu ( )
2
1
2
eine Stammfunktion zu ( ) 1
2 f x = x ⋅ + x .
1 1
2 3
2
= ⋅ + ist, ist F ( x ) = ( 1 + x ) 3
8.4 Übungen
8.4.1 Berechnen Sie zu den folgenden Funktionen Stammfunktionen mit Hilfe partieller
Integration! Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Differenzieren! Für welche Werte von x
sind die Funktionen definiert
a) f ( x ) 2 xe
x
= g) ( ) = ( 3 − + )
f x x 2 x 1 ln x
2 x
b) f ( x ) = x e
h) f ( x ) = x ln x
1 f x ln x
x
c) f ( x ) = ( 1 − x ) e
i) ( ) =
2
3
d) f ( x ) = ( 2 x − x + 1 ) e
x
j) ( )
e) f ( x ) x ln x
x
1 f x = ln x
= k) ( ) ( ) 2
2
f) f ( x ) = x ln x
l) ( )
x
f x = ln x
1 f x = ln x
x
8.4.2 Berechnen Sie zu den folgenden Funktionen Stammfunktionen mit Hilfe der Substitutionsregel!
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Differenzieren! Für welche Werte von x
sind die Funktionen definiert
= + g) f ( x )
2
a) f ( x ) 2 x ( 1 x ) 10
2
b) f ( x ) 2 x ( 1 x ) 10
=
1
( 1 + x ) 2
m) ( )
= − h) f ( x ) = n) ( )
− 2
c) f ( x ) = ( 1 − x ) 10
i)
f ( x )
d) f ( x ) = 1 − x
j) f ( x ) =
2
=
1
x
x
x
2
( 1 + x ) 3
x + 5
x + 10 x + 30
o) ( )
2 x
f x = xe −
f x = xe
x
1 f x = ln x
x
1 ln
x
p) f ( x ) = ( x ) 3
Burghardt – RWB 10/11
8 Integrationsmethoden 94
3 x
e) f ( x ) = 1 + x
k) f ( x ) = e −
q) ( )
f) f ( x )
1
1
= + l) ( )
x
1
f x e
x
1 e
= x
r) f ( x )
+
1 f x = ln x
x
1 1
= ⋅
x x
( 1 + ln ) 4
8.4.3 Berechnen Sie die folgenden Integrale!
2
3
1 − x dx
g)
a) ( )
b)
c)
d)
0
0
2
1
dx
4
h)
1
−
1
−
0
1
( 1 + x )
1 − x dx
i)
3
x ⋅ 1 + x dx
j)
1
2
e) ( 1 + )
−
1
10
x x dx k)
1
2
f) ( 1 − )
0
x x 10
dx l)
1
0
2
x ⋅ 1 − x dx
3
m) ( + − )
1
−
2
x ⋅ 1 − x dx n)
1
0,5
x
dx
o)
− 0,5 1 − x
3
( )
2
0 2
x
dx
2
p)
2 1
− − x
1
0
x
xe dx
q)
1
−
2
0
1
−
2
1
9
1
1
10
1
x 4 x 1 e x dx
x
xe dx
−
xe dx
1
x
2
1 x
e dx
x
ln x dx
x 2
e x
dx
r) ln ( ln 1 )
1
e
e
x
x ⋅ x x − dx
8.5 Numerische Integration
Viele Funktionen können nicht mit Hilfe einer Stammfunktion integriert werden, da eine
Stammfunktion nicht bekannt ist. Ein Beispiel hierfür ist die durch ( )
f x = e − x gegebene
Funktion, die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung von großer Bedeutung ist. Um ein Integral
näherungsweise zu berechnen, kann natürlich auf seine Definition zurückgegangen
werden und der Wert des Integrals durch eine Riemannsche Summe mit genügende vielen
Teilintervallen approximiert werden. Hierbei wird das Integral als Summe von Rechtecken
angenähert. Der Nachteil ist, dass die Rechtecke in aller Regel deutlich über die
gesuchte Fläche hinausragen bzw. relativ große Flächenteile nicht abdecken, da der
Funktionsgraph gebogen, die Seiten des Rechtecks aber stets gerade sind und die Höhe
eines jeden Rechtecks nur von einem Punkt auf dem Graphen bestimmt wird.
Im Folgenden werden drei Methoden der numerischen Integration vorgestellt, die diese
Fehler zu minimieren versuchen.
8.5.1 Die Sehnentrapezregel
Um eine Funktion f mit der Sehnentrapezregel über einem Intervall [ a | b ] zu integrieren,
zerlegt man – wie bei der Berechnung von Riemannschen Summen – das Intervall [ a | b ]
in N gleich große Teilintervalle. Mit
h
=
b − a
N
Burghardt – RWB 10/11
2
2
2
2
2
2

8 Integrationsmethoden 95
bezeichnen wir die Länge der Teilintervalle. Bei der Berechnung einer Riemannschen
Summe haben wir nun über jedem Teilintervall ein Rechteck errichtet, das dessen Höhe
durch den Wert der Funktion an einer Stelle – dem Mittelpunkt des Teilintervalls – bestimmt
war. Für die Sehnentrapezregel verbinden wir jedoch jeweils die Punkte auf dem
Graphen, die sich an den Grenzen jedes Teilintervalls befinden, mit einer Geraden:
Sehne
Approximation bei einer
Riemannscher Summe
Approximation bei der
Sehnentrapezregel
Über jedem Teilintervall entsteht so ein Trapez. Indem man die Flächen dieser Trapeze
addiert, erhält man die Sehnentrapezregel:
b
a
h
f ( x ) dx f ( a ) f ( b ) 2 ( f ( a h ) f ( a 2 h ) f ( a 3 h ) f ( a ( N 1 ) h ) )
≈ ⋅ + + ⋅ + + + + + + + + −
2
In der Summe werden also addiert:
• der Funktionswerte an den Intervallgrenzen und
• das jeweils doppelte der Funktionswerte an den Teilpunkten im Inneren des Integrationsintervalls.
Wir berechnen
Teilintervallen:
1
0
e − x
dx mit Hilfe der Sehnentrapezregel bei der Verwendung von N = 4
1
0
( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )
− x
e dx ≈ 0,125 ⋅
f 0 + f 1 + 2 ⋅ f 0, 25 + f 0,5 + f 0,75
( )
− 1 − 0,0625 − 0,25 − 0,5625
= 0,125 ⋅
1 + e + 2 ⋅ e + e + e
= 0,742984097
8.5.2 Die Simpsonregel
Anders als bei der Sehnentrapezregel wird bei der Simpsonregel nicht zwischen zwei Teilpunkten
mit einer Sehne sondern zwischen drei aufeinander folgenden Teilpunkten mit
einem Parabelbogen interpoliert. Da jeweils zwei Teilintervalle zu einem Parabelbogen
führen, muss hier Integrationsintervall in eine gerade Anzahl von N gleich großen Teilintervallen
zerlegt werden. Wenn wieder
h
=
b − a
N
Burghardt – RWB 10/11
8 Integrationsmethoden 96
die Länge der einzelnen Teilintervalle bezeichnet, so erhält man nach Addition der einzelnen
an einer Seite durch einen Parabelbogen begrenzten Flächenstücke die Simpsonregel
8 b
h
f ( x ) dx f ( a ) f ( b )
a
≈ ⋅
3 + +
+ 2 ⋅ + 2 + + 4 + + + − 2 +
( f ( a h ) f ( a h ) f ( a ( N ) h ) )
f ( a h ) f ( a h ) f ( a ( N ) h )
( )
+ 4 ⋅ + + + 3 + + + − 1
In der Summe werden also addiert:
• die Funktionswerte an den Intervallgrenzen und
• das Doppelte der Funktionswerte an den „geraden“ Teilpunkten im Inneren des Integrationsintervalls
und
• das Vierfache der Funktionswerte an den „ungeraden“ Teilpunkten im inneren des Integrationsintervalls.
N = Teil-
Wir berechnen
intervallen.
1
0
e − x
dx mit Hilfe der Simpsonregel bei der Verwendung von 4
1
0
− x 0, 25
e dx ≈ ⋅ f ( 0 ) + f ( 1 ) + 2 ⋅ f ( 0,5 ) + 4 ⋅ ( f ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) )
3
0, 25 1 2 4
3
0,746855379
( )
− 1 − 0,25 − 0,0625 − 0,5625
= ⋅
+ e + ⋅ e + ⋅ e + e
8.5.3 Die Keplersche Fassregel
Eine einfache – und ältere Version – der Simpsonregel ist die Keplersche Fassregel. Sie
wurde von Johannes Kepler (geboren 27. Dezember 1571, gestorben 15. November
1630) ursprünglich entwickelt, um das Volumen von Weinfässern zu berechnen. Bei der
Keplerschen Fassregel wird das Integrationsintervall nur in zwei gleich große Teilintervalle
zerlegt. Diese werden dann gebildet von der linken Intervallgrenze a des Integrationsintervalls,
dem Mittelpunkt des Integrationsintervalls ( a + b ) 2 und der rechten Intervallgrenze
b des Integrationsintervalls. Die Keplersche Fassregel lautet dann:
b
a
b a a b
f ( x ) dx −
f ( a ) 4 f +
≈ ⋅ f ( b )
6
+ ⋅ +
2
8 Thomas Simpson (geboren 20. August 1710, gestorben 14. Mai 1761)
Burghardt – RWB 10/11
2
2
2
2

8 Integrationsmethoden 97
Wir berechnen abschließend
1
0
1
0
e − x
dx mit Hilfe der Keplerschen Fassregel:
1 1
( ) ( ) ( )
6 6
x
0,25 1
e − dx ≈ ⋅ f 0 + 4 ⋅ f 0,5 + f 1 = ⋅ 1 + 4 ⋅ e − + e −
= 0,747180428 .
8.6 Übungen
8.6.1 Berechnen Sie die folgenden Integrale mit der Sehnentrapez-, der Simpson- und der
Keplerschen Fassregel. Verwenden Sie bei der Sehnentrapez- und der Simpsonregel
jeweils 4 Teilintervalle.
a)
b)
c)
1
0
e − x
dx
d)
0
−
e x
− dx
e)
1
1 3
0
x + 1
dx
3
f)
2 x + 1
1
1
0
0
1
x
e x + 1
0
1
1
+ e −
2
1
dx
x dx
( )
1 + ln x + 1 dx
Burghardt – RWB 10/11
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 98
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung
9.1 Fläche zwischen Graphen
Der Sandkasten der Kindertagesstätte Regenbogen hat die Form eines stilisierten Fisches:
Im Sandkasten sollen 15 Kinder der Kindertagesstätte spielen. Eine neue städtische Vorschrift
besagt, dass jedes Kind im Sandkasten mindestens 2 m² Platz haben muss. Die
Leiterin der Kindertagesstätte muss überprüfen, ob der Sandkasten in der gegenwärtigen
Form weiterhin genutzt werden kann oder ob eine Vergrößerung notwendig ist. Die Umrisse
des Sandkastens werden hierzu in eine maßstabsgerechte Zeichnung übertragen:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5
Alle Einheiten sind in Metern angegeben. Die obere und untere Begrenzung entsprechen
den Graphen zweier Funktionen f und g , die durch die folgenden Gleichungen gegeben
sind:
3 2
f ( x ) = 0,125 x − 1,125 x + 3 x + 5 ,
3 2
g ( x ) = − 0,125 x + 1,125 x − 3 x + 3 .
Burghardt – RWB 10/11
3
2
2
2

9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 99
Zu berechnen ist die über dem Intervall [ 0 | 5 ] zwischen den beiden Graphen liegende
Fläche:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Diese Fläche ist die Differenz aus der Fläche unter der Funktion f
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
und der Fläche unter der Funktion g
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Burghardt – RWB 10/11
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 100
Im vorliegenden Fall können beide Flächen mithilfe der jeweiligen Integrale berechnet
werden. Für den gesuchten Flächeneinhalt A gilt also
5 5 5
A = f ( x ) dx − g ( x ) dx = ( f ( x ) − g ( x ) ) dx .
0 0 0
Diese Regel gilt ganz allgemein:
Satz. Liegt für zwei Funktionen f und g im Intervall [ a | b ] der Graph von f nie unter
dem Graphen von g , dann kann der Inhalt A der Fläche, die über dem Intervall [ a | b ]
zwischen den beiden Graphen liegt, mit der Formel
b
a
( ( ) ( ) )
A = f x − g x dx
berechnet werden.
Für den Sandkasten der Kindertagesstätte ergibt sich
5
0
5
0
5
0
( ( ) ( ) )
A = f x − g x dx
3 2 3 2
( 0,125 1,125 3 5 ( 0,125 1,125 3 3 ) )
= x − x + x + − − x + x − x + dx
3 2
( 0,25 2,25 6 2 )
= x − x + x + dx
4 3 2
= 0,0625 x − 0,75 x + 3 x + 2 x
=
30,3125
5
0
Für jedes Kind stehen also 30,3125 15 ≈ 2,02 m² zur Verfügung. Der Sandkasten genügt
also den neuen Vorschriften.
9.2 Volumenberechnung: Senkrechte Zylinder
Der Sand im fischförmigen Sandkasten der Kindertagesstätte Regenbogen muss erneuert
werden. Der Sandkasten ist überall 0,5 m tief.
Um die Menge des benötigten Sandes zu bestimmen,
muss das Volumen des
Grundfläche
Sandkastens
berechnet werden.
Der Sandkasten stellt einen senkrechten Zylinder
dar: Ein senkrechter Zylinder ist ein Körper, der
von zwei gleichen, parallel liegenden Flächen
(Grundflächen) und der senkrecht zu diesen stehenden
Mantelflächen gebildet wird. Das einfachste
Beispiel eines senkrechten Zylinders ist
der senkrechte Kreiszylinder, dessen Grundfläche
ein Kreis ist.
Mantelfläche
senkrechter Kreiszylinder
Burghardt – RWB 10/11

9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 101
Grundfläche = Fläche des Sandkastens
Sandkasten als senkrechter Zylinder, dessen Grundfläche
die Sandkastenoberfläche ist
Um die Fläche dieses Zylinders zu berechnen, gehen wir ähnlich vor wie bei der Berechnung
des Integrals über Riemannsche Summen: Um die Sandkastenoberfläche zu
berechnen, ist
5
0
( ( ) ( ) )
A = f x − g x dx
zu berechnen. Dieser Wert wird durch Riemannsche Summen approximiert:
( ; ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( N ) ( N ) ) ( N N )
5
S
0
f − g N = f z
1
− g z
1
⋅ x
1
− x
0
+ + f z − g z ⋅ x − x − 1
.
Jeder einzelne Summand ist hierbei die Fläche eines Rechtecks. Ein solches ist in der
folgenden Skizze schraffiert:
Multipliziert man die Rechteckfläche mit der Tiefe des Sandkastens, erhält man das Volumen
des Quaders, der sich von Rechtecksfläche bis zum Boden des Sandkastens erstreckt.
Die Summation der Volumina all dieser Quader liefert eine Approximation an das
Volumen des Sandkastens, die umso besser wird, je mehr Quader für die Berechnung
herangezogen werden, je größer also N ist. Die Summe der Volumina der Quader ist
5
( f ( z
1 ) g ( z
1 ) ) ( x
1
x
0 ) ( f ( z
N ) g ( z
N ) ) ( x
N
x
N − 1 ) S
0 ( f g N )
0,5 ⋅ − ⋅ − + + 0,5 ⋅ − ⋅ − = 0,5 ⋅ − ;
Burghardt – RWB 10/11
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 102
Beim Grenzübergang N → ∞ wird S 5
0 ( f − g ; N ) zu ( ( ) ( ) )
Sandkastens ist also
5
0
f x − g x dx . Das Volumen des
5
0
( ( ) ( ) )
V = 0,5 ⋅ f x − g x dx = 15,15625
Dies gilt auch im Allgemeinen.
Satz. Liegt für zwei Funktionen f und g im Intervall [ a | b ] der Graph von f nie unter
dem Graphen von g , dann kann das Volumen V des senkrechten Zylinders, dessen
Grundfläche die zwischen a und b liegende Fläche zwischen den Funktionsgraphen ist
und der die Höhe h hat, mit der Formel
b
a
( ( ) ( ) )
V = h ⋅ f x − g x dx
berechnet werden.
9.3 Volumenberechnung: Rotationskörper
Eine Behindertenwerkstatt stellt Holzbecher her. Die Form der Holzbecher erhält man,
5 3
wenn man den Graphen der durch ( )
x = 10 um die x -Achse rotieren lässt:
f x = 0,0001 x − 0,01 x + 3 im Bereich von x = 0 bis
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Hierbei sind alle Einheiten in cm angegeben. Mit ähnlichen Überlegungen wie beim senkrechten
Zylinder (der Unterschied: Das Volumen wird nicht durch schmale Quader, sondern
durch schmale Kreiszylinder mit Radius ( ) f x approximiert) kommt man für das Volumen
eines Rotationskörpers auf die folgende Formel:
Burghardt – RWB 10/11

9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 103
Satz. Das Volumen des Rotationskörpers, dessen Mantelfläche durch Rotation des Graphen
der Funktion f im Bereich des Intervalls [ a | b ] um die x -Achse entsteht, kann mit
der Formel
b
a
( ( ) ) 2
V = π ⋅ f x dx
berechnet werden.
Für die Becher der Behindertenwerkstatt berechnen wir:
10
0
10
0
5 3
( 0,0001 0,01 3 )
V = π ⋅ x − x + dx
10 8 6 5 3
( 0,0000001 0,00002 0,001 0,0006 0,06 9 )
11 9 7 6 4
10
( 0,000000009 x 0,000002222 x 0,000142857 x 0,0001 x 0,015 x 9 x
0
)
( 909,091 2222,222 1428,571 100 150 90 )
= 155 ⋅ π = 4 88,329
2
= π ⋅ x − x + x + x − x + dx
= π ⋅ − + + − +
= π ⋅ − + + − +
Der Holzbecher fasst also 488,329 cm³, also rund einen halben Liter.
9.4 Mittelwerte
Nach Aufzeichnungen eines Wetterdienstes haben sich die Temperaturen in einem Ort im
Lauf eines Jahres gemäß der folgenden Kurve entwickelt:
25
20
15
10
5
0
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Hierbei wurde – der Einfachheit halber – das Jahr mit 360 Tagen und jeder Monat mit 30
Tagen angenommen. Es soll die Durchschnittstemperatur für diesen Ort ermittelt werden.
In einem ersten Schritt tun wir so, als wären die Temperaturen in jedem Monat konstant
Burghardt – RWB 10/11
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 104
etwa in der Mitte der für jeden Monat ermittelten Werte. Dadurch rechnen wir zumindest
eine erste Näherung an den tatsächlichen Jahresmittelwert aus:
25
20
15
10
5
0
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
Für Jahresmittelwert erhalten wir jetzt die folgende Annäherung:
1
M
30
= ⋅ ( 2,3 ⋅ 30 + 5,3 ⋅ 30 + 9,9 ⋅ 30 + 16,8 ⋅ 30 + 18,3 ⋅ 30 + 20,3 ⋅ 30
360
= + 20,3 ⋅ 30 + 18,3 ⋅ 30 + 16,8 ⋅ 30 + 9,9 ⋅ 30 + 5,3 ⋅ 30 + 2,3 ⋅ 30
= 9,1
)
Der Term in der Klammer ist hierbei nichts anderes, als eine Riemannsche Summe für die
Funktion f , deren Graph über dem Intervall [ 0 | 360 ] die Jahrestemperaturkurve ist. Für
die Riemannsche Summe haben wir das Intervall [ 0 | 360 ] in 12 Teilintervalle der Länge 30
zerlegt:
1 360
M
30
= S
0
f
360
( ;12 )
Verkleinern wir hierbei die Bereiche, in denen wir die Temperatur als konstant annehmen
– äquivalent: erhöhen wir die Anzahl N der Teilintervalle immer weiter – wird die Approximation
immer genauer. Da für wachsendes N die Riemannschen Summen
360
360
S
0 ( f ; N ) gegen ( )
Temperaturen
0
f x dx konvergieren, erhalten wir als Mittelwert M der
1
360
360
0
( )
M = ⋅ f x dx .
Allgemein gilt:
Satz. Ist die Funktion f über dem Intervall [ a | b ] stetig, dann ist
Burghardt – RWB 10/11

9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 105
der Mittelwert von f über [ a | b ] .
1
M = ⋅ f ( x ) dx
b − a
b
a
Die untersuchte Temperaturkurve ist der Graph der durch
0,001 4 0,04 3 2
( )
f x = x − x + x +
54000 3000
0,0024 1,44
gegebenen Funktion. Als Mittelwert der Temperaturen ergibt sich nun
360
1 0,001 4 0,04 3 2
M = ⋅ x − x + x + dx
0,0024 1, 44
360 54000 3000
0
360
5 4 3
1 0,001 0,01
= ⋅ x − x + 0,0008 x + 1, 44 x
360 270000 3000
= 11,808
0
Die Durchschnittstemperatur ist also ungefähr 11,8 Grad.
9.5 Gesamtänderung einer Größe
Der CO2-Ausstoß von Pkws wird seit vielen Jahren in der Gesellschaft diskutiert. Wir
wollen annehmen, dass für ein bestimmtes Fahrzeugmodell der momentane CO2-Ausstoß
x Sekunden nach dem Starten des Motors mithilfe der durch
( )
f x
= 04 +
0,4
( 0,01 x + 1 ) 2
gegebenen Funktion modelliert werden kann. Der CO2-Ausstoß wird dabei in Gramm pro
Sekunde gemessen. Wie viel CO2 wird dann bei einer einstündigen Autofahrt an die
Umwelt abgegeben
Um diese Frage zu beantworten, berechnen wir zunächst, welche CO2-Menge während
dieser 3600 Sekunden ( 60 ⋅ 60 = 3600 ) durchschnittlich je Sekunde abgegeben werden.
Dies ist nach dem im letzten Abschnitt gefundenen Resultat
3600
1 0, 4
M = ⋅ 4 +
dx
2
3600 − 0
0 ( 0,01 x + 1 )
Gramm. Indem wir die durchschnittlich je Sekunde ausgestoßene CO2-Menge mit der Anzahl
der verstrichenen Sekunden multiplizieren, erhalten wir dann die insgesamt ausgestoßene
CO2-Menge. Diese ist also gleich
3600 3600
1 0, 4 0,4
3600 M
3600 4 4
2 2
3600
0 ( 0,01 1 ) dx
⋅ = ⋅ ⋅ + = +
x
+
0 ( 0,01 x + 1 )
dx
Burghardt – RWB 10/11
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 106
Gramm. Diese Überlegungen kann man auch ganz allgemein durchführen und erhält:
Satz. Angenommen, die Veränderung einer Größe G zwischen zwei Zeitpunkten a und
b kann mithilfe einer stetigen Funktion f berechnet werden, das heißt, f ( x ) ist die
momentane Veränderung von G zum Zeitpunkt x . Dann ist
b
a
( )
f x dx
die Gesamtänderung von G im Zeitraum von a bis b .
Um die während einer einstündigen Autofahrt abgegebene CO2-Menge zu berechnen,
bestimmen wir zunächst eine Stammfunktion der durch
( )
f x
= 4 +
0, 4
( 0,01 x + 1 ) 2
gegebenen Funktion:
0,4
0, 4 0,01
dx x dx
2 2
0,4
= x + ⋅ − x +
4 4
+ ( 0,01 x 1 )
= − 0,01
⋅
+ ( 0,01 x + 1 )
( )( )
4 1 0,01 1
0,01
40
4
x
= −
0,01 x + 1
−
1
Damit ergibt sich
3600
0
3600
0, 4
40
4 dx 4 x
14438,919
2
+ ( 0,01 x + 1 ) = − 0,01 x + 1
= ,
0
also rund 14.440 Gramm. Dieser Wert ist nicht unrealistisch: Zum Beispiel stoßen heutige
Diesel-PKW der Mittelklasse je Kilometer eine CO2-Menge von 130 bis 160 g aus. Fährt
man eine Stunde mit 100 km/h, so ergibt sich ein CO2-Ausstoß von 13.000 g bis 16.000 g.
Der berechnete Wert liegt in diesem Bereich.
9.6 Bogenlänge
Wie kann die Länge eines Funktionsgraphen über einem Intervall [ ] | a b bestimmt werden
Untersuchen wir zunächst den Fall, dass die Funktion eine lineare Funktion ist:
Burghardt – RWB 10/11

9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 107
Q = ( b | f ( b ) )
P = ( a | f ( a ) )
f ( b ) − f ( a )
b − a
a b
In diesem Fall ist die Länge der Strecke c von P nach Q zu bestimmen. Nach dem Satz
des Pythagoras gilt in dem eingezeichneten (Steigungs-)Dreieck:
( ) 2
( ( ) ( ) ) 2
c
2 = b − a + f b − f a
P = ( a | f a ) und
Durch Wurzelziehen erhält man für die Strecke zwischen den Punkten ( )
Q = ( b | f ( b ) ) :
c = ( b − a ) 2
+ ( f ( b ) − f ( a ) ) 2
.
Wie sieht es nun bei einer beliebigen Funktion aus Um die Länge L des Graphen zwischen
a und b zu approximieren, zerlegen wir das Intervall wie bei der Definition des Integrals
über Riemannsche Summen in N Teilintervalle. Statt die Länge des Funktionsgraphen
zu berechnen, berechnen wir in jedem Teilintervall die Länge der Sekante, die
durch die Punkte auf dem Graphen an den Intervall-Enden läuft:
= ( k − 1 ( k − 1 ) )
Q = ( x
k
| f ( x
k ) )
P x f x
x
k − 1
x
k
Wie wir eben gesehen haben, kann diese Strecke berechnet werden durch den Term
( ) ( ( ) ( ) ) 2
x 2
k
− x
k − 1
+ f x
k
− f x
k − 1
.
Wir formen dies wie folgt um:
Burghardt – RWB 10/11
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 108
( x
k
x
k − ) ( f ( x
k ) f ( x
k − ) ) ( x
k
x
k − )
( x x )
( f ( x
k ) − f ( x
k − ) )
( x − x )
2
2 2
2 1
−
1
+ −
1
= −
1
⋅ 1 +
2
k k − 1
1
( ) − ( )
f x f x
k k − 1
=
k
−
k − 1
⋅ +
x
k
− x
k − 1
Nach einem wichtigen Satz der Differentialrechnung – dem Mittelwertsatz – kann man im
Intervall [ ]
x
k − 1
| x
k
eine Stelle z k
finden, sodass
ist. Im Intervall [ ]
( ) − ( )
f x f x
k k
x − x
k k
−
1
−
1
=
f z
( )
x
k − 1
| x
k
wird also die Länge des Graphen durch den Term
( x ) ( ( ) ) 2
k
− x
k − 1
⋅ 1 + f ′ z
k
angenähert. Die Länge des Graphen zwischen a und b wird dann durch die Summe dieser
Werte, also durch
( 1 0 ) 1 ( ( 1 ) ) ( 2 1 ) 1 ( ( 2 ) ) ( − 1 ) 1 ( ( ) )
k
2 2 2
L = x − x ⋅ + f ′ z + x − x ⋅ + f ′ z + + x − x ⋅ + f ′ z
N N N N
approximiert. L N
ist nichts anderes als eine Riemannsche Summe für die durch
( ) = 1 + ( ( ) ) 2
g x f x
gegebene Funktion. Durch die Erhöhung der Zahl N der Teilintervalle wird die Annäherung
L
N
an die Länge des Graphen immer genauer. Andererseits streben die
Riemannschen Summen gegen das Integral 1 + ( ( ) ) 2
b
a
f x dx . Dies bedeutet:
2
Satz. Angenommen, die Funktion f ist über dem Intervall [ a | b ] differenzierbar und die
Ableitung f ′ ist über dem Intervall [ a | b ] stetig. Dann ist
b
( ( ) ) 2
L = 1 + f x dx
die Länge des Graphen von f über dem Intervall [ a | b ] .
a
9.7 Übungen
9.7.1 Bei den Übungen dieses Abschnitts ist manchmal die folgenden Formeln nützlich:
2 2 2 2
( )
2 2 2 2 2
( )
a + b + c = a + b + c + 2 ab + 2 ac + 2 bc
a + b + c + d = a + b + c + d + 2 ab + 2 ac + 2 ad + 2 bc + 2 bd + 2 cd .
Beweisen Sie sie.
9.7.2 Hühnereier aus biologischer Haltung werden mehr und mehr nachgefragt. Neben
vielen anderen Bedingungen verlangt das Prädikat „aus biologischer Landwirtschaft“, dass
Burghardt – RWB 10/11
|
′
′
′
′

9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 109
die Hühner frei laufen können, wobei für jedes Tier mindestens 4 m² Fläche zur Verfügung
stehen müssen. Ein Landwirt plant, auf einem freien Gelände Hühner zu halten, um dort
nach Bio-Kriterien Hühnereier zu produzieren. Das Gelände kann mathematisch modelliert
werden als die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen mit den Gleichungen
( )
2
f x = − 0,019 x + 1,52 x + 5
(Nordbegrenzung) und
( )
3 2
g x = − 0,0005 x + 0,0525 x − 0,9 x + 5
(Südbegrenzung). Hierbei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. Die y -Achse weist
nach Norden.
a) Bestimmen Sie, wie viele Hühner der Bauer auf der Fläche halten darf.
b) Dort, wo der Abstand von Nord- zu Südbegrenzung am größten ist, soll genau in der
Mitte zwischen beiden Begrenzungen ein Unterstand mit Futterstation errichtet
werden. Berechnen Sie, wo der Unterstand gebaut werden muss. Bestimmen Sie
auch den durchschnittlichen Abstand von Nord- zu Südbegrenzung.
c) Das Gelände soll mit einem Zaun eingefriedet werden, dessen Errichtung 25 € je
Meter kostet. Ermitteln Sie, mit welchen Kosten der Landwirt ungefähr rechnen
muss.
9.7.3. Für Open-Air-Veranstaltungen will die Stadt Bonn eine 120 Meter lange Freifläche
ausweisen. Die nördliche Begrenzung der Freifläche kann dargestellt werden durch den
im Bereich [ 0 |120 ] liegenden Teil des Graphen der Funktion f mit
3 2
f ( x ) = 0,0001 x − 0,0237 x + 1,368 x + 11 .
Die südliche Grenze entspricht dem im selben Bereich liegenden Teil des Graphen der
Funktion g mit
2
g ( x ) = 0,01 x − 1, 2 x − 7, 2 .
Hierbei entsprechen eine x - und eine y -Einheit jeweils einem Meter. Die y -Achse weist
nach Norden.
a) Bestimmen Sie, für wie viele Menschen die Fläche höchstens freigegeben werden
darf, wenn für zwei Menschen mindestens 1 m² zur Verfügung stehen muss.
b) Neben dem Haupteingang an der der Westseite soll aus Sicherheitsgründen an der
breitesten Stelle der Freifläche jeweils ein Notausgang an der Nord- und der Südseite
angelegt werden. Berechnen Sie, wo dies ist. Bestimmen Sie auch die durchschnittliche
Breite der Freifläche.
c) Das Gelände soll mit einem Zaun eingefriedet werden, dessen Errichtung 28,50 € je
Meter kostet. Ermitteln Sie, mit welchen Kosten ungefähr zu rechnen ist.
9.7.4 Beim Fußballspielen der Jugendgruppe in der Turnhalle schießt Florian den Ball
quer durch die Halle. Die Flugkurve kann mit Hilfe der durch
( )
3 2
f x = − 0,00625 x + 0,1125 x
Burghardt – RWB 10/11
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 110
gegebenen Funktion modelliert werden, wobei x und f ( x ) in Metern gemessen werden.
a) Jeder, der einen Ball an die Hallendecke schießt, muss 50 Cent Strafe in die
Gruppenkasse zahlen. Untersuchen Sie, ob Florian etwas zahlen muss. Die Halle ist
6 Meter hoch.
b) Berechnen Sie, wie weit der Ball fliegt, bei welcher Entfernung er am stärksten steigt
und wie groß die durchschnittliche Flughöhe ist.
c) Ermitteln Sie die ungefähre Länge der Strecke, die der Ball in der Luft zurücklegt.
9.7.5 Hervorgerufen durch einen zu feuchten Sommer vermehrt sich die Anzahl eines
Schädlings in einem Wald exponentiell. Nach einer Zählung von Botanikern der Uni Bonn
befinden sich in dem Wald im Moment rund 20.000 Schädlinge bei einer täglichen
Wachstumsrate von 0,1. Jeden Tag vertilgt jeder Schädling eine Blattfläche von 4 cm².
Berechnen Sie, welche Blattfläche nach 3 Wochen vernichtet sein wird.
9.7.6 Die Blätter eines Ahornbaumes produzieren abhängig von der Sonneneinstrahlung
Sauerstoff. Die von einem Quadratmeter Blattfläche an einem wolkenlosen Sommertag
zwischen 6 Uhr und 21 Uhr je Stunde produzierte Sauerstoffmenge kann näherungsweise
mit der durch
( )
f x = 500 ⋅ e
( x − 12 ) 4
−
360
für x ∈ [ 6 | 21 ] definierten Funktion f modelliert werden. Dabei wird die Sauerstoffmenge
in Milliliter gemessen.
a) Berechnen Sie, um welche Uhrzeit die Sauerstoffproduktion am höchsten ist, und
wann sie am stärksten ansteigt sowie am stärksten abfällt.
b) Ein Ahornbaum hat ungefähr 100.000 Blätter und jedes Blatt hat eine Oberfläche von
55 cm². Ermitteln Sie, wie viel Sauerstoff der Ahornbaum ungefähr im Lauf eines
wolkenlosen Sommertags produziert.
9.7.7. Der Querschnitt durch ein Tal in der Eifel von West nach Ost kann näherungsweise
beschrieben werden durch den über dem Intervall [ − 4 | 3 ] liegenden Teil des Graphen der
Funktion f mit
3 2
f ( x ) = 0,125 x + 0,75 x − 3 .
Dabei entspricht eine Längeneinheit 50 m. In West-Ost-Richtung durchzieht das Tal ein
Bergwanderweg.
a) Zeichnen Sie den Querschnitt des Tales.
b) Berechnen Sie das größte Gefälle und die größte Steigung des Bergwanderwegs.
c) Ermitteln Sie die ungefähre Länge des Bergwanderwegs. Bestimmen Sie auch, nach
wie viel Kilometern das größte Gefälle und nach wie viel Kilometern der tiefste Punkt
des Bergwanderwegs erreicht werden.
d) Entlang des Bergwanderwegs soll für eine neue Talsperre eine Staumauer errichtet
werden, die vom tiefsten Punkt des Tales aus gemessen 150 m hoch ist. Bestimmen
Sie die Breite der geplanten Staumauer an der Oberkante.
e) Bestimmen Sie die Fläche der geplanten Staumauer.
f) Hinter der geplanten Staumauer erstreckt sich das Tal noch weitere 400 m mit im
Burghardt – RWB 10/11

9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 111
Wesentlichen unveränderten Querschnitt und endet dann an einer nahezu senkrechten
Bergwand. Berechnen Sie das Fassungsvermögen der geplanten Talsperre.
9.7.8 Eine Bürgerinitiative protestiert gegen den Bau eines Stausees in den Alpen. Um
fundiert argumentieren zu können, studieren die Aktivisten die vom Freistaat Bayern veröffentlichten
Pläne des Stausee-Projekts.
Der Querschnitt des Tals, das durch den Bau einer Staumauer zum Wasserbecken des
Stausees werden soll, kann näherungsweise durch die Funktion f mit
3 2
f ( x ) = − 15 x + 115 x − 25 x +
8
64 64 8 5
beschrieben werden, wobei eine Längeneinheit 50 m entspricht. Dabei beginnt die Krone
der Staumauer im Hochpunkt des Graphen und endet in gleicher Höhe auf der gegenüberliegenden
Tal-Seite.
a) Berechnen Sie die Länge der Krone der Staumauer.
b) Das Tal hat eine Länge von 2 km und schließt dann mit einer nahezu senkrechten
Felswand ab. Sein Querschnitt bleibt auf die gesamte Länge im Wesentlichen unverändert.
Bestimmen Sie, wie viel Wasser das Staubecken fassen wird.
c) Die Staumauer ist im Schnitt 8 m dick. 80 % ihres Volumens wird aus Beton bestehen.
Der Beton soll von Lkws, die 15 t laden können, zur Baustelle gebracht
werden. Ermitteln Sie, wie viele Lkw-Fahrten zur Baustelle nötig sind, wenn 1 m³ Beton
2.400 kg wiegen.
9.7.9 Der Verlauf der Küste zwischen zwei Häfen am Nordfriesischen Wattenmeer kann
näherungsweise dargestellt werden durch den Teil des Graphen der Funktion f mit
3 2
f ( x ) = − x + 6 x − 9 x + 4 ,
der zwischen seinem Schnittpunkt S mit der y -Achse und seinem Hochpunkt H liegt.
Hierbei entspricht eine Längeneinheit 2,5 km.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f über dem Intervall [ 0 | 4 ]
b) Ermitteln Sie die ungefähre Länge des Küstenstreifens.
c) Zwischen S und H befindet sich am Tiefpunkt T des Graphen von f ein beliebter
Ferienort. Der Tourismusverein überlegt, von hier aus Tagestouren mit Wattwagen
zum nächstgelegenen Punkt auf einer vorgelagerten Insel anzubieten. Die Küstenlinie
der Insel kann im in Frage kommenden Bereich ungefähr durch den Graphen
der durch
( )
2
g x = 0,1 x + 0, 2 x + 5
gegebenen Funktion beschrieben werden. Stellen Sie diese Funktion über dem
Intervall [ 0 | 4 ] im Koordinatensystem aus a) dar und berechnen Sie dann unter der
Annahme, dass die Wagen eine gerade Strecke fahren können, die Länge der Fahrstrecke.
d) Der heutige Küstenverlauf unterscheidet sich von dem Küstenverlauf in früheren
Jahrhunderten. Die damalige Küstenlinie zwischen T und H kann beschrieben
werden mithilfe der durch
Burghardt – RWB 10/11
9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 112
( )
2
h x = x − 2 x + 1
gegebenen Funktion. Untersuchen Sie, ob es durch die Veränderung der Küstenlinie
zu einem Landgewinn oder einem Landverlust kam, und berechnen Sie, wie hoch
dieser war.
9.7.10. Eine Kaffeebohne ähnelt dem Rotationskörper, der entsteht, wenn die Parabel mit
der Gleichung
1
( ) ( 7 )
f x = − x ⋅ x −
6
zwischen den Nullstellen um die x -Achse rotiert. Hierbei werden x und f ( x ) in Millimetern
gemessen. Berechnen Sie das Volumen der Kaffeebohne.
9.7.11 Die Mantelfläche eines 80 m hohen, runden Kühlturms
eines Kraftwerks kann modelliert werden durch Rotation des
Graphen der Funktion f mit
( )
3 2
f x = 0,01 x − 0,09 x + 3
um die x -Achse. Hierbei entspricht eine Einheit 10 m.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f .
b) Ermitteln Sie, in welcher Höhe der Turm den kleinsten Umfang hat, und berechnen
Sie den Umfang in dieser Höhe.
c) Berechnen Sie das Volumen des Kühlturms.
d) Die Wandstärke des Kühlturms beträgt 0,5 m. Bestimmen Sie das Volumen der
Wand.
9.7.12 Der Kelch eines Weinglases entsteht durch Rotation des Graphen einer Funktion
f um die x -Achse, wobei f wie folgt gegeben ist:
• Für 0 x 4
• Für 4 x 12
≤ ≤ ist f ( x ) = x .
≤ ≤ stimmt ( )
g ( x ) = x gezeichneten Tangente überein.
Eine Längeneinheit entspricht hierbei 1 cm.
f x mit der an der Stelle 4 an den Graphen der Funktion
a) Überprüfen Sie, dass die Tangente die Gleichung ( )
t x x
4
1
= + 1 hat.
b) Das Weinglas wird bis zur Höhe x = 4 mit Wein gefüllt. Berechnen Sie, wie viel Liter
Wein im Glas sind.
c) Berechnen Sie, wie viel Liter Wein sich im Glas befinden, wenn das Glas bis zur
Höhe x = 5 , x = 8 bzw. x = 12 gefüllt wird.
d) Weisen Sie nach, dass das Flüssigkeitsvolumen in Abhängigkeit von der Einfüllhöhe
x für 4 ≤ x ≤ 12 berechnet werden kann mithilfe der durch
3 2
V ( x ) = π ⋅ 1 x + 1 x + x −
4
48 4 3
Burghardt – RWB 10/11

9 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 113
gegebenen Funktion.
e) Das Weinglas soll einen Eichstrich bei der Füllhöhe 250 ml bekommen. Bestimmen
Sie, in welcher Höhe der Eichstrich gesetzt werden muss.
Burghardt – RWB 10/11