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12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007
Leistung im Wechselstromkreis
a) Ohmscher Widerstand
( ) = ˆ ⋅ ( ω ) u ( t) = uˆ
⋅sin ( ω t)
i t i sin t
2
( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ( )
P t = u t ⋅ i t = u ⋅ i ⋅sin ω t Momentane Leistung
i(t)
R
u(t)
1 cos ( 2 t)
( ) uˆ
ˆ
− ⋅ω
= ⋅i
⋅ Additionstheorem: 2⋅sin 2
( α ) = 1− cos( 2⋅α
)
P t
2
û ⋅ˆi
Bei P(t) handelt es sich um eine um nach „oben“ verschobene, sinusförmige Funktion.
2
Der zeitliche Mittelwert von P(t) über eine Periodendauer T wird als sogenannte elektrische
Wirkleistung definiert. Die Wirkung dieser elektrischen Wirkleistung besteht in der
Erwärmung des Widerstands. Die gesamte elektrische Leistung am Widerstand wird in
Wärmeleistung umgesetzt.
Da die beiden schraffierten Flächen gleich groß sind, beträgt der zeitliche Mittelwert der
û ⋅ˆi
Leistung: .
2
Die Wirkleistung an einem ohmschen Widerstand im elektrischen Wechselstromkreis beträgt
û ⋅ˆi
also PW
= .
2
Da ein Wechselspannungsmessgerät (bzw. ein Wechselstrommessgerät) nicht den
Scheitelwert û (bzw. î ) misst, sondern den sogenannten Effektivwert U eff der Spannung
(bzw. I eff des Stroms), ist es nützlich zu wissen, welchen Zusammenhang es zwischen dem
Effektiv- und dem Scheitelwert einer Wechselspannung (bzw. eines Wechselstroms) gibt.

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Die Effektivwerte für Spannung und Strom werden so definiert, dass ihr Produkt Ueff ⋅ Ieff
û ⋅ˆi
dem zeitlichen Mittelwert der Leistung P(t) entspricht. Es gilt also: = Ueff ⋅ Ieff
.
2
Nach dem ohmschen Gesetz, welches auch für den Fall des ohmschen Widerstands im
Wechselstromkreis gültig ist (experimentell bestätigt), gilt: U = R ⋅ I und û = R ⋅ ˆi
.
û ⋅ˆi
Zusammen mit = Ueff ⋅ Ieff
ergeben sich die folgenden Beziehungen:
2
û
î
Ueff
= und Ieff
= .
2
2
Die Wirkleistung an einem ohmschen Widerstand im elektrischen Wechselstromkreis beträgt
û ⋅ˆi
also PW = = Ueff ⋅ Ieff
.
2
b) Induktivität (Spule)
Betrachtet wird zunächst eine ideale Spule (ohne
ohmschen Widerstand). Da die Spannung u(t) im Fall der
Spule dem Strom i(t) vorauseilt, ergeben sich folgende
Beziehungen für den Spannungs- und den Stromverlauf.
i(t)
L
u(t)
( ) = ˆ ⋅ ( ω ) ( ) ˆ
i t i sin t
⎛ π ⎞
u t = u ⋅sin ⎜ ω t + ⎟
⎝ 2 ⎠
Da die Spannung dem Strom
vorauseilt, muss die Spannung
nach „links“ verschoben sein.
Die momentane (zeitabhängige) Leistung beträgt dann:
( ) ˆ
⎛ π ⎞
P t = i ⋅sin ( ωt) ⋅ uˆ
⋅sin t ˆ
⎜ω + ⎟ = i ⋅sin ( ωt) ⋅ uˆ
⋅cos( ω⋅ t)
⎝ 2 ⎠
û ⋅ˆi
Mit dem Additionstheorem sin 2α = 2⋅sin α ⋅cos
α ergibt sich: P( t) = ⋅sin ( 2ω
t)
2
Der zeitliche Mittelwert dieser Leistung ist Null, da die Flächen zwischen einer Sinuskurve
und der Zeitachse, über eine Periodendauer T gesehen, sich zu Null addieren. (Im Gegensatz
zum ohmschen Widerstand, bei dem zu jedem Zeitpunkt die momentane Leistung P(t) immer
ein positives Vorzeichen hat, können bei der Spule auch negative Werte auftreten.
An einer idealen Spule wird also keine Wirkleistung umgesetzt, d.h. die Spule gibt keine
elektrische Energie in Form von Wärme nach außen ab. Stattdessen nimmt die Spule zwar
Energie zum Aufbau des Magnetfeldes auf (positive Momentanleistung), gibt diese aber auch
wieder an den Stromkreis ab, während das Magnetfeld abgebaut wird (negative
Momentanleistung).
Das Produkt aus U eff und I eff kann dementsprechend nicht für die Wirkleistung stehen.
Stattdessen wird dieses Produkt als sogenannte Blindleistung Q definiert: Q = Ueff ⋅ Ieff
.

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c) Kapazität (Kondensator)
Für den idealen Kondensator (ohne ohmschen Widerstand) ergibt sich eine ähnliche
Rechnung. Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Spannung hier dem Strom nacheilt:
⎛ π ⎞
u ( t) = uˆ
⋅sin ⎜ ωt
− ⎟ . Die Spannung ist hier also nach „rechts“ verschoben.
⎝ 2 ⎠
Auch der ideale Kondensator gibt wie die ideale Spule keine Energie nach außen ab. Für den
Aufbau des elektrischen Feldes nimmt er Energie vom Stromkreis auf, die er aber beim
Abbau des Feldes auch wieder an den Stromkreis abgibt.
Das Produkt aus U eff und I eff kann steht also auch hier für die Blindleistung : Q = Ueff ⋅ Ieff
.
d) Zusammenfassung: Ohmscher Widerstand, ideale Spule, idealer Kondensator
Ohmscher Ideale Idealer
Widerstand Spule Kondensator
Wirkleistung P = U ⋅ I 0 0
Blindleistung 0 Q = U ⋅ I Q = U ⋅ I
Phasenverschiebung
zwischen Strom und ϕ = 0
Spannung
π
ϕ = +
2
π
ϕ = −
2
Phasendiagramm
i
u
u
i
i
u
e) Reihenschaltung aus Spule und Widerstand
In diesem Fall wird die Phasenverschiebung
L
R
zwischen u und i nicht 2
π betragen, sondern
kleiner sein (siehe Beispiel-Zeigerdiagramm an
der Tafel).
i(t)
u(t)
Allgemein gilt dann: i( t) = ˆi ⋅sin ( ω t)
u ( t) = uˆ
⋅sin ( ω t + ϕ )
Für die momentane Leistung ergibt sich dann:
P t = u ⋅ i = uˆ
⋅ˆi ⋅sin ωt ⋅sin ω t + ϕ
( ) ( ) ( )

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Mit Hilfe eines weiteren Additionstheorems sin ( α + β ) = sin α cosβ + cos αsinβ folgt:
P( t) = uˆ
⋅ˆi ⋅sin ( ωt) ⋅( sin ( ωt) ⋅cos ϕ + cos( ωt)
sin ϕ)
2
P( t) = uˆ
⋅ˆi ⋅sin ( ωt) ⋅cos ϕ + uˆ
⋅ˆi ⋅sin ( ωt) ⋅cos ( ωt)
⋅sin
ϕ
Wieder wird der zeitliche Mittelwert über eine Periodendauer T gebildet.
Für den ersten Summanden ist das zeitliche Mittel von Null verschieden (siehe
2
sin − Funktion für den ohmschen Widerstand). Dieser Summand muss somit den Wirkanteil
der Leistung enthalten.
Für den zweiten Summanden ist das zeitliche Mittel gleich Null. Dieser Summand muss somit
den Blindanteil der Leistung enthalten.
Aus dem ersten Summanden ergibt sich mit den Effektivwerten U und I und dem Faktor
cos ϕ dann die Wirkleistung P für einen Wechselstromwiderstand für beliebige
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung: P = U⋅ I⋅cos
ϕ
Aus dem zweiten Summanden ergibt sich mit den Effektivwerten U und I und dem Faktor
sin ϕ dann die Blindleistung Q für einen Wechselstromwiderstand für beliebige
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung: Q = U ⋅I⋅cos
ϕ
Multipliziert man dennoch die Effektivwerte U und I miteinander, ohne die
Phasenverschiebung ϕ zu beachten (dies tun die Messgeräte nämlich nicht), so erhält man die
sogenannte Scheinleistung S: S = U ⋅ I
Zwischen den Leistungen gibt es zudem folgenden Zusammenhang:
2 2 2
S = P + Q
Wechselstromwiderstände
In einem Wechselstromkreis können neben ohmschen auch induktive Widerstände (Spulen)
und kapazitive Widerstände (Kondensatoren) enthalten sein. Es wird somit in der Regel eine
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung vorhanden sein, die gemessen oder mit
Hilfe eines Zeigerdiagrammes ermittelt werden kann.
gegeben: Stromfluss i = ˆ i ⋅sin ( ω t)
gemessen: Spannung u = uˆ
⋅sin ( ω t + ϕ )
Wechselstromwiderstände werden allgemein mit dem Buchstaben Z abgekürzt. Für konstante
Frequenzen kann folgende Beziehung definiert werden:
û U
Z = = = const. ( wenn f = const. )
î I
Die Spule und der Kondensator zeigen allerdings ein frequenzabhängiges Widerstandsverhalten.
Hier wird von sogenannten induktiven bzw. kapazitiven Widerständen gesprochen.

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Diese können leicht wie folgt berechnet werden:
kapazitiver Widerstand
Q = C⋅
U
( )
u = uˆ
⋅sin ω⋅ t
dQ
i = = ω⋅C⋅ uˆ
⋅cos ω t
dt
ˆi
= ω⋅C⋅
uˆ
uˆ
uˆ
1
R = C
î = ωC uˆ
= ωC
( )
( )
induktiver Widerstand
di
ui
= −L ⋅ dt
i = ˆi ⋅sin ω t
L
( )
u = −ω⋅ L⋅ˆi ⋅cos ω t
û = ω Lˆi
û ωLˆi
R
L
= = = ω L
î î