Potenzfunktionen - pc-roehrig.de

Mathematik
Gk 11 / roe
Schuljahr 06/07
1. Steckbriefe von Potenzfunktionen
Wie bei quadratischen Funktionen können wir die Funktionsgraphen nach oben oder unten, nach
links oder rechts verschieben und auch an der x-Achse spiegeln.
Die Funktionsgleichungen dieser transformierten (veränderten) Funktionen lassen sich dann
auch ganz analog aufstellen.
Im Folgenden findet Ihr "Steckbriefe" von Funktionsgraphen, die zu solchen "transformierten"
Potenzfunktionen gehören.
A. Lest Sie Euch durch und versucht zunächst, den Graphen zu skizzieren, der dazu passen
könnte. Die Ergebnisse sind nicht eindeutig!
i) Der Graph ist punktsymmetrisch zu P(2/1). Er steigt überall monoton.
ii) Der Graph ist achsensymmetrsich zu x = 3. Für den W(ertebereich) gilt: y ≥ 2. Der Graph
fällt monoton für x < 3 und steigt monoton für x ≥ 3.
iii) Der Graph fällt monoton für x < -1 und steigt monoton für x ≥ -1. Der Punkt P ( 0/ 1) liegt
auf dem Graphen.
iv) Der Graph verläuft durch die Quadranten I, II und IV, er ist punktsymmetrisch zu Q (0/ 4).
B. Beschreibe jeweils das Verhalten für betragsgroße x.
C. Man kann auch die Funktionsgleichung für die Funktionen angeben. Alle Funktionsgleichun
gen lassen sich in der Form y = ± ( x ± a) n + b darstellen.
Überlege, was die Veränderung der Parameter a und b bewirken.
2. Vom Graph zur
Funktionsgleichung.
A. Gib' die Eigenschaften
der 4 Funktionsgraphen
an.
B. Gib' die
Funktionsgleichung der
vier Funktionen an.
C. Skizziere den Verlauf der
Graphen folgender
Funktionen. Beschreibe
auch ihre Eigenschaften:
12

i) y = (x-2)³ +5
ii) y = -(x+2) 4 +3
iii) y = (x+3) 6 - 6
iv) y = - (x+3) 5 +2
Mathematik
Gk 11 / roe
Schuljahr 06/07
3. Zur "Normalform"
Bei den quadratischen Funktionen ließ sich die Scheitelpunktform durch Ausmultiplizieren der
Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln zur Normalform verwandeln,
das geht auch für Potenzfunktionen, z.B. Es ist f(x) = (x-3)³.
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² +b³
(a+b) 4 = a 4 + 4a³b + 6a²b² +4ab³ +b 4 .
(a+b) 5 = a 5 + 5a 4 b +
und die 2. bin. Formel
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a-b) 4 =a 4 - 4a³b .......
(x+3)³ = (x+3)² · (x+3) = [ x² +6x +9 ] · (x+3) = x³ +3x² +6x² +18x +9x +27 = x³ + 9x² +27x +27.
Das kann man nun " von Hand " für alle Funktionen machen, das kann auch ein gutes Computerprogramm
(zum Beispiel DERIVE). Hilfreich ist sich klarzumachen, wie man die binomischen
Formeln erweitern kann:
Die Zahlen vor den Variablen heissen Koeffizienten, bei Ihrer Berechnung kann das Pascalsche
Dreieck helfen :
n
1 0
1 1 1
1 2 1 2
1 3 3 1 3
1 4 6 4 1 4
1 5 10 10 5 1 5
1 6 15 20 15 6 1 6
1 7 21 35 35 21 7 1 7
1 8 1 8
1 9 1 9
A. Vervollständige das Dreieck um die fehlenden Zahlen.
B. Gib' die Formel für (a+b) 6 an. Wie sieht die für (a-b) 7 aus
C. Gib' die Normalform an für dolgende Funktionsgleichungen:
i) y = (x+2)³ ii) y = (x+3) 4 iii) y = (x-2)³ iv) (x+5) 5
D. Und nun
i) y = (x+1)³+3 ii) y = (x+3) 4 -2 iii) y = (x-2)³ +9 iv) - (x+5) 5 .
13