Der Vortrag als PDF - ferber-scientific
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π<br />
π π<br />
π π<br />
Mit Pi-zza durchs All:<br />
Mathematik nicht nur für Außerirdische<br />
<strong>Vortrag</strong> zum Jahr der Mathematik<br />
Jahrestagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung<br />
18. September 2008<br />
Thomas Ferber<br />
Forschung und Lehre<br />
Sun Microsystems GmbH<br />
1
Stand 13. September 2008: Wir kennen 309 Planeten außerhalb unseres<br />
Sonnensystems.<br />
Introduction<br />
Photo: ESO 2008<br />
Photo: ESO 18a-06<br />
Photo: ESO 2007<br />
Photo: ESA/ NASA/ UCL (G. Tinetti), Extrasolar planet HD 189733b<br />
2
Es gibt Planeten außerhalb unseres Sonnensystems.<br />
Es gibt erdähnliche Planeten außerhalb unseres Sonnensystems!<br />
Gibt es auch außerirdisches Leben<br />
Und dann auch noch intelligentes Leben<br />
Photo: ESO 18a-06 3
Unsere Galaxie<br />
Die Milchstraße<br />
100 -300 Milliarden Sterne<br />
100.000 Lichtjahre Durchmesser<br />
3.000 -13.000 Lichtjahre dick<br />
Photo: ESO phot-41-99<br />
Es gibt ca. 100 Milliarden Galaxien im<br />
Universum<br />
Photo: NASA<br />
4
Anzahl der technischen, intelligenten<br />
Zivilisationen in unserer Galaxie<br />
Drake-Gleichung<br />
N = R · f S · f p · n e · f l<br />
· f i<br />
· f c · L<br />
Photo: ESO phot-41-99<br />
5
Anzahl der technischen, intelligenten<br />
Zivilisationen in unserer Galaxie<br />
Drake-Gleichung<br />
N = R · f S · f p · n e · f l<br />
· f i<br />
· f c · L<br />
R = Sternentstehungsrate pro Jahr in unserer Galaxie ≈ 10 ... 20<br />
f S<br />
= Anteil sonnenähnlicher Sterne ≈ 10%<br />
F p<br />
= Anteil Sterne mit Planeten = 0% ... 100%<br />
...<br />
Photo: ESO phot-41-99<br />
6
Anzahl der technischen, intelligenten<br />
Zivilisationen in unserer Galaxie<br />
Drake-Gleichung<br />
N = R x f S<br />
x f p<br />
x n e<br />
x f l<br />
x f i<br />
x f c<br />
x L<br />
Dies ist eine Abschätzung und ergibt je nach<br />
eingesetzten Werten Ergebnisse zwischen 1<br />
und 4.000.000<br />
Zivilisationen in unserer Galaxie.<br />
Photo: ESO phot-41-99<br />
7
Fermi Paradox<br />
Enrico Fermi: “Where is everybody”<br />
8
Nehmen wir doch einfach einmal an ...<br />
es gäbe außerirdisches Leben,<br />
es gäbe intelligentes außerirdisches Leben.<br />
Doch wie wollen wir miteinander kommunizieren<br />
Auf Deutsch, Englisch, Latein, .... Chinesisch, ....<br />
9
Und wie ist es mit der Mathematik ...<br />
Betreiben unsere hypothetischen intelligenten<br />
Außerirdischen überhaupt die gleiche Mathematik wie wir<br />
Am Beispiel der Zahlen möchte ich zeigen, das die<br />
Mathematik universell ist und auch in einem anderen Teil<br />
der Galaxis “gesprochen” wird.<br />
Photo: ESO phot-37d-98<br />
10
Sind die Zahlen universell<br />
11
Natürliche Zahlen<br />
Wir betrachten die AnZAHLEN beliebiger Objekte.<br />
Z.B Äpfel<br />
...<br />
12
Natürliche Zahlen<br />
N ={ , , , . . .}<br />
Damit haben wir die Menge der natürlichen Zahlen gefunden. Und es ist völlig gleich, ob wir <strong>als</strong> Objekte<br />
Äpfel, Eier, pangalaktische Donnergurgler oder Sandkörner auf Gliese 581c oder Aldebaran nehmen.<br />
N = { 1, 2, 3, 4, . . . }<br />
13
Rechnen mit natürlichen Zahlen<br />
+ =<br />
+ =<br />
...<br />
+ =<br />
14
Multiplikation<br />
15
Quadratzahlen<br />
16
Rechnen mit natürlichen Zahlen<br />
Die Addition alleine reicht aber nicht aus, wir benötigen auch die<br />
Subtraktion, d.h. wir geben etwas her, wir ziehen etwas ab.<br />
- =<br />
- =<br />
17
Rechnen mit natürlichen Zahlen<br />
- = <br />
Jetzt haben wir ein Problem. Die Menge der natürlichen<br />
Zahlen reicht nicht aus.<br />
18
Die Null<br />
Wir führen ein neues Zahlenelement ein,<br />
die Null, und erweitern die Menge der<br />
natürlichen Zahlen um die Zahl Null.<br />
N 0<br />
= N + { 0 }<br />
- = 0<br />
19
Von den natürlichen zu den ganzen Zahlen<br />
Doch was ist mit Subtraktionsaufgaben des folgenden Typs, bei dem wir mehr abziehen <strong>als</strong> wir<br />
haben<br />
- = <br />
Wir führen weitere neue Zahlenelemente ein, die negativen Zahlen, und erweitern<br />
die Menge der natürlichen Zahlen inklusive der Zahl Null mit den negativen Zahlen<br />
und nennen diese neue Menge die Menge der ganzen Zahlen.<br />
Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }<br />
20
Die ganzen Zahlen<br />
Z = { . . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }<br />
Mit den ganzen Zahlen können wir nun nach Herzenslust rechnen. Ob Addition<br />
oder Subtraktion, jede Zahlenkombination ist möglich. Eine beliebige ganze Zahl<br />
mit einer beliebigen ganzen Zahl addiert oder subtrahiert ergibt wieder eine ganze<br />
Zahl.<br />
Damit könnten wir jetzt aufhören, wenn nicht ....<br />
21
Die rationalen Zahlen<br />
: =<br />
22
Die rationalen Zahlen<br />
¼<br />
½<br />
¾<br />
Q = { m/n | m, n ε Z, n≠0 }<br />
23
Von den natürlichen zu den rationalen<br />
Zahlen<br />
17/4<br />
5/3<br />
1/2<br />
N<br />
N<br />
Q Z 0 1, 2, 3, 4, ...<br />
-3/2<br />
0<br />
m/n<br />
-1, -2, -3, ...<br />
24
Primzahlen<br />
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei<br />
natürlichen Zahlen <strong>als</strong> Teiler,nämlich der Zahl 1 und sich selbst.<br />
25
Das “Wurzel von zwei”-Problem<br />
√2<br />
1<br />
√2 = p/q<br />
1<br />
26
Die irrationalen Zahlen<br />
√2 = 1,41...<br />
Irrational, weil nicht rational darstellbar. D. h. nicht <strong>als</strong><br />
Bruch darstellbar.<br />
π = 3,141592653589793...<br />
27
Indirekter Beweis<br />
Annahme des Gegenteils:<br />
√2 =<br />
p<br />
q<br />
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen<br />
28
Indirekter Beweis<br />
Annahme des Gegenteils:<br />
√2 =<br />
p<br />
q<br />
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen<br />
2 =<br />
p 2<br />
2 q 2 = p 2<br />
q 2<br />
29
Indirekter Beweis<br />
Annahme des Gegenteils:<br />
√2 =<br />
p<br />
q<br />
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen<br />
2 =<br />
p 2<br />
2 q 2 = p 2<br />
q 2<br />
p 2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl<br />
30
Indirekter Beweis<br />
Annahme des Gegenteils:<br />
√2 =<br />
p<br />
q<br />
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen<br />
2 =<br />
p 2<br />
2 q 2 = p 2<br />
q 2<br />
p 2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl<br />
p = 2a (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)<br />
31
Indirekter Beweis<br />
Annahme des Gegenteils:<br />
√2 =<br />
p<br />
q<br />
p,q sind teilerfremde, ganze Zahlen<br />
2 =<br />
p 2<br />
2 q 2 = p 2<br />
q 2<br />
p 2 ist eine gerade Zahl -> p ist eine gerade Zahl<br />
p = 2a (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)<br />
2q 2 = (2a) 2<br />
q 2 = 2a 2<br />
32
Indirekter Beweis<br />
q 2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl<br />
33
Indirekter Beweis<br />
q 2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl<br />
q = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)<br />
34
Indirekter Beweis<br />
q 2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl<br />
q = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)<br />
Damit sind sowohl p <strong>als</strong> auch q gerade Zahlen und damit<br />
durch zwei teilbar. Dies steht im Widerspruch zur<br />
Annahme der Teilerfremdheit.<br />
35
Indirekter Beweis<br />
q 2 ist eine gerade Zahl -> q ist eine gerade Zahl<br />
q = 2b (allgemeine Darstellung einer geraden Zahl)<br />
Damit sind sowohl p <strong>als</strong> auch q gerade Zahlen und damit<br />
durch zwei teilbar. Dies steht im Widerspruch zur<br />
Annahme der Teilerfremdheit.<br />
√2 ist nicht <strong>als</strong> rationale Zahl darstellbar<br />
36
Die reellen Zahlen<br />
Das heißt, dass wir die Menge der Brüche (rationalen Zahlen) Q um alle<br />
irrationalen Zahlen (nicht <strong>als</strong> Brüche darstellbar) erweitern müssen.<br />
Wir gelangen zur Menge der reellen Zahlen<br />
R = Q + { irrationale Zahlen }<br />
37
Die Zahlen sind universell.<br />
Die Mathematik ist universell.<br />
Photo: ESO phot-37d-98<br />
Foto: ESO eso9846a<br />
38
Und was bringt uns das<br />
Foto: ESO eso9846a<br />
39
Und was bringt uns das<br />
LINCOS: Design of a Language for Cosmic Intercourse<br />
Hans Freudenthal<br />
Wikimedia Commons: Hans_Freudenthal.jpg, Urheber: Konrad Jacobs, Erlangen; Quelle: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach<br />
40
LINCOS: Design of a Language for Cosmic Intercourse<br />
Lincos Bedeutung<br />
X O X 1 = 1<br />
XX O XX 2 = 2<br />
XXX O XXX 3 = 3<br />
X OO XX 1 < 2<br />
X OO XXX 1 < 3<br />
XX OO XXX 2 < 3<br />
XX OOO X 2 > 1<br />
XXX OOO XX 3 > 2<br />
41
Bilder sagen mehr <strong>als</strong> tausend Worte<br />
11110000011100011111110........11011110001<br />
14.111 Bits<br />
14.111 = 137 x 103<br />
1<br />
0<br />
3<br />
137<br />
103<br />
13<br />
7<br />
42
Versuch 1<br />
Versuch 2<br />
Versuch 3<br />
43
7.109.411 = 3.079 x 2.309<br />
44
Photo: NASA, J. Bell (Cornell U.) and M.<br />
Wolff (SSI)<br />
Photo: EUMETSAT/DLR<br />
45
Zahlensysteme - Additionssysteme<br />
1, 2, 3, 4, 5<br />
1, 2, 3, 4, 5<br />
1, 2, 3, 4, 5<br />
1, 10, 100, 1.000, ...<br />
46
Additionssysteme – römische Zahlen<br />
I = 1<br />
V = 5<br />
X = 10<br />
L = 50<br />
C = 100<br />
D = 500<br />
M =1.000<br />
V = 5.000<br />
X = 10.000<br />
C = 100.000<br />
M = 1.000.000<br />
M = 1.000.000.000<br />
...<br />
47
Additionssysteme – römische Zahlen<br />
MMMMMMMMMMCCCXXVM = <br />
48
Sol<br />
systemi pusilli<br />
Additionssysteme – römische Zahlen<br />
MMMMMMMMMMCCCXXVM =<br />
10 x 1.000.000 = 10.000.000<br />
+ 3 x 100.000 = 300.000<br />
+ 2 x 10.000 = 20.000<br />
+ 1 x 5.000 = 5.000<br />
+ 1 x 1.000 = 1.000<br />
10.326.000<br />
49
Zahlensysteme - Stellenwertsystem<br />
Dezim<strong>als</strong>ystem<br />
Wikimedia Commons, Arabic_numer<strong>als</strong>-de.svg<br />
853 = 8·100 + 5·10 + 3·1<br />
50
Zahlensysteme - Stellenwertsystem<br />
Du<strong>als</strong>ystem: Basis = 2<br />
Ternärsystem: Basis = 3<br />
Quinärsystem: Basis = 5<br />
Hex<strong>als</strong>ystem: Basis = 6<br />
Okt<strong>als</strong>ystem: Basis = 8<br />
Dezim<strong>als</strong>ystem: Basis = 10<br />
Duodezim<strong>als</strong>ystem: Basis = 12<br />
Hexadezim<strong>als</strong>ystem: Basis = 16<br />
Sexagesim<strong>als</strong>ystem: Basis = 60<br />
51
π-zza π-kant<br />
52
Die π-zza-Salami-Methode<br />
53
π = 3,141592653589793...<br />
Umfang = π * Durchmesser<br />
π =<br />
Umfang<br />
Durchmesser<br />
22 Salamischeiben<br />
7 Salamischeiben<br />
= 3,1428.....<br />
Man nehme eine Pizza und eine Salami von geeigneter Größe (7 x Durchmesser der Salami =<br />
Durchmesser der Pizza). Von der Salami schneidet man 29 Stücke ab. Das Verhältnis Umfang<br />
zu Durchmesser ergibt mit der π-zza-Salami-Methode schon ein sehr gutes Ergebnis. Die<br />
beiden ersten Nachkommastellen sind richtig.<br />
54
Pizzeria Italia<br />
chiuso<br />
55
π mit der Stäbchen-Methode<br />
56
Wir brauchen:<br />
Zwei Essstäbchen der Länge a.<br />
Eine Fläche mit parallelen Linien mit Abstand b.<br />
57
Wahrscheinlichkeit(Linie wird geschnitten) =<br />
Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unserer<br />
Versuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm<br />
280mm<br />
58
Die Essstäbchen sind exakt 220 mm lang. In unserer<br />
Versuchsanordnung malen wir parallele Striche mit Abstand 280 mm<br />
280mm<br />
59
π mit der Stäbchen-Methode – <strong>Der</strong> Film<br />
60
Wenn genau die Hälfte der Stäbchen die Linie berührt<br />
2<br />
220 mm<br />
1<br />
280 mm<br />
= 2 x 2 x 220/280<br />
= 4 x 0,7857...<br />
= 3,14..<br />
61
Wenn alle Stäbchen die Linie berühren<br />
2<br />
220 mm<br />
2<br />
280 mm<br />
= 2 x 1 x 220/280<br />
= 2 x 0,7857...<br />
= 1,57..<br />
62
Wenn kein Stäbchen die Linie berührt<br />
2<br />
220 mm<br />
0<br />
280 mm<br />
63