9. Wellenoptik

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Wellenoptik
9. Wellenoptik
Alle Wellen breiten sich nach den gleichen
Gesetzen aus. Das erlaubt uns die Ausbreitung
des Lichtes auf sehr übersichtliche Weise am
Modell der Wasserwellen zu demonstrieren.
Dazu dient die unten skizziede Wellenwanne.
Die Rolle der Lichtquelle spielt dabei ein punktoder
linienförmiger Stift, der periodisch in das
llache Wasserbecken tippt.
dadurch bestimmen, dass man die Einhüllende
d e r Eleme ntarwel le n konst ru ie ft .
c6t
Ausbrei tungs-
ri thtung
ex'i s ti e ren de
rilel I enf ront
Einhüllende
(neue l,lel I enfron
4
J
Ausgangspunkt
einer Huygensschen
Elementar
blele
Mit Hilfe dieses Prinzips können alle beobachteten
Phänomene der Wellenoptik erklärt werden.
9. 1. Das Prinzip von Huygens
Wir haben gelernt, dass wenn eine Primärwelle auf
ein kleines Hindernis auftrift, dieses als Antenne
wirkt und eine von ihm ausgehende Sekundärwelle
erzeugt; das ist im Fall von Wasserwellen
eine Kreiswelle, die sich mit der Primärwelle
zusammen ausbreitet. Bei einer räumlichen Welle
wäre diese Sekundärwelle eine Kuoelwelle.
9. 2. Reflexion und Brechung
Das Ref lexionsgesetz
Die Front einer ebenen Welle, die unter einem
Winkel a aut eine ebene Grenzfläche (Spiegel)
auftrifft, führt zuerst in A zur Erregung einer
Das Prinzip von Huygens (1629-1695) geht einen
Schritt weiter und sagt:
Jeder Punkt des Raumes der von der Wellenfront
einer Primärwelle getroffen wird, kann als
Ursprung einer Kugelwelle (Elementarwelle)
betrachtet werden .
Die Amplitude der Wtelle an irgend einem Punkt
vor dieser Wellenfront erhält man durch
Übertagerung (Superposition) dieser Elementarwellen.
Wenn man von einer gegebenen Weltenfront
beim Zeitpunkt t ausgeht, dann kann man die
Wellenfront zu jedem späteren Zeitpunkt t + Lt
Elementarwelle. Die Front dieser Elementarwelle
ist bis zum Punkt C vorgedrungen, wenn der
linke Randpunkt B der Einfallenden Welle eine
Erregung in D erzeugen kann. Der Weg BD ist
gleich dem Weg rc, da die ein- und ausfallende
Welle dieselbe Geschwindigkeit c haben. Die
beiden Dreiecke ADC und ADB sind somit
kongruent, und es folgt das Reflexionsgeselz:
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
d=d'

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Wellenoptik
Das Brechungsgesetz
Wenn man einen Stab schräg in einen mit Wasser
gefüllten Aquariumtank stellt, dann erscheint es
als wäre er an der Flüssigkeitsgrenze gebrochen:
läuft die Wellenfront der einfallenden Welle im
Medium (1) von B nach D. Aus
und
r c A C A D
Al--=n).-=n2.-.stna2
c 2 - c - c
BD BD AD
AI--=n1.-=n1 .-.slnal
C , ' C ' C
folgt unmittelbar das Brechungsgesetz von
Snellius (1580-1626):
Dieses Phänomen folgt, wie wir sehen werden,
aus der Tatsache dass sich das Licht im Wasser,
oder allgemein in jedem durchsichtigen Medium,
langsamer ausbreitet als im Vakuum. Wenn c die
Fortpflanzungsgeschwindigkeit im Vakuum ist,
dann ist sie in einem Medium mit der Dielektrizitätskonstante:
c
,, =i mit n =^[i .
n ist der Brechungsindex des Mediums.
Wir betrachten eine, in einem Medium mit dem
Brechungsindex n., unter einem Winkel a, auf die
ebene Grenzfläche zu einem Medium mit dem
Brechungsindex n, > n' einfallend ebene Welle,
und suchen den Ausfallwinkel ar.
sin a' _ na
stn a2 n1
Bei nr> n, ertolgt die Brechung zum Lot hin,
bei nr> n, erfolgt die Brechung vom Lot weg.
Das Medium mit dem grösseren Brechungsindex
nennt man optisch dichter.1
Jetzt ist auch der Grund der eingangs erwähnten
optischen lllusion klar: Die, von den im Wasser
versenkten Teilen des Stabes ausgesandten
Wellen, werden an der Grenzfläche zwischen
Wasser und Luft vom Lot weg gebrochen, da
nLort 1 ffwasse, , und somit sieht das Auge diesen
Teil des Stabes oberhalb seiner tatsächlichen
Lage:
o2tfl1
In derZeit Af , in der die in A erzeugte Elementarwelle
die Strecke nC im Medium (2) zurücklegt,
lBei sog. Kapillarwellen in Seichtwasser, wie wir
sie in den Demonstrationen brauchen, entspricht
ein grösserer Brechungsindex einer geringeren
Wassertiefe h; es gilt c * "J h .

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Wellenoptik
Totalref lexion
Wenn wir unter Wasser schwimmen und schräg
nach oben schauen, dann erscheint uns ab einem
gewissen Winkel die Wasseroberfläche wie ein
glänzender Spiegel. Dieses Phänomen der Totalreflexion
kann mit Hilfe des Brechungsgesetzes
sehr einfach verstanden werden. Es kommt immer
dann vor, wenn Licht von einem optisch dichteren
in ein optisch dünneres Medium übertritt, also bei
frz < Dt'
Beim Übergang vom Wasser zur Luft, wird das
Licht weg vom Lot gebrochen. Der Ausfallswinkel
a, darl jedoch 90o nicht überschreiten, da sonst
die Welle das Wasser qar nicht verlässst:
Nach Snellius ergibt sich also nur dann eine
durchgehende Teilwelle, wenn der Einlallswinkel
a, kleiner ist als ein Grenzwert a, der gegeben
ist durch:
der Stirnfläche der Faser eingegebene Licht kann
nur am anderen Ende wieder heraus: Auf den
Seitenflächen trifft es immer nur Winkel jenseits
des Grenzwinkels der Totalreflexion. Noch
wichtiger ist die Anwendung in der Nachrichtentechnik,
wo Glasfasern immer mehr die "alten"
Kupferkabel ersetzen.
Dispersion
Wir haben bisher von der Ausbreitungsgeschwindigkeit
von Licht in einem Medium
gesprochen. Diese Formulierung ist nur dann
richtig, wenn man von monochromatischem Licht
spricht. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von
Licht in einem Medium und somit der Brechungsindex
hängen von der Wellenlänge ab. Diese
Abhängigkeit nennt man Dispersion. Sie ist im
Allgemeinen nicht sehr gross, wie die nächste
Figur lür den Fall von Flintglas zeigt.
1720
SlIlGT
172
n1
x
1.700
1 ARfl
a, ist der Grenzwinkel der Totalreflexion, und für
den Übergang von Wasser (Dw"rrr", =nr =1.33)
zu Luft (t1tun= nz =1.00) beträgt er, nach der
oben angegebenen Formel, ca. 49o.
Die Totalreflexion wird bei der Refraktometrie, der
Bestimmung von Brechungsindexen, verwendet.
lhre wichtigste technische Anwendung ist jedoch
die Lichtleiterfaser. ln der Medizin werden mit
Lichtleitern Körperhöhlen wie z. B. der Magen für
photographische Zwecke ausgeleuchtet. Das an
!
cg
1.660
C
)E
3 1,6/'0
d)
1.620
1.600
300 /.00 500 600 700 800 900
Wellentönge ,\/nm
Trotzdem hat sie wichtige praktische Folgen: die
Dispersion führt zu Linsenfehlern (chromatische
Aberration), kann aber auch dazu benutzt werden,
um die spektrale Zusammensetzung von Licht zu

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Wellenoptik
bestimmen, wie mit einem Prismenspektrograph
leicht demonstriert werden kann. ln der nächsten
Figur sieht man ein Parallellichtbündel, welches
einPrisma mit dem Prismenwinkel y=600 symmetrisch
durchsetzt2. Die zweifache Anwendung
des Brechungsgesetzes für diese Geometrie
führt zu folgender Beziehung zwischen dem
Prismenwinkel Tund dem Ablenkwinkel ö:
'"(f)="''"(ä)
Da der Brechungsindex vor-r der Wellenlänge l.
abhängt, kann die beschriel'ene Situation nur für
eine ganz bestimmte Wafrl von.l,, d. h. mit monochromatischem
Licht realisiert werden. Lässt man
aber ein schmales Bündel "weisses" Licht von
einer Bogenlampe auf das Prisma fallen, so wird
es kontinuierlich
alle Farben des Regenbogens
aufgespalten; es wird spektral zerlegt .
Gas zwischen verschiedenen quantenmechanischen
Energieniveaus entsprechen.
9.3. Interferenz
lnterferenzen lielern einen eindrücklichen Beweis
der Wellennatur des Lichtes. Sie sind dann zu
beobachten, wenn zwei Wellenzüge der gleichen
Wellenlänge und Frequenz sich überlagern.
Einer solchen Situation sind wir bereits bei der
Konstruktion einer stehenden Welle als Superposition
von zwei gleichen, aber in entgegengesetzte
Richtung lauf enden harmonischen
Wellen begegnet (Seite MWe - 5). Etwas
spektakulärer gestaltet sich die Interferenz von
Kreiswellen, deren Wellenzentren geringfügig
gegeneinander verschoben sind. Das kann am
Beispiel von Wasserwellen in einer Wellenwanne
mit zwei synchron arbeitenden, punktförmigen
Tauchstiften sehr einfach demonstriert werden.
Die folgende Figur zeigt eine Momentaufnahme.
Tut man dasselbe für eine Gasentladung, dann
findet man im Spektrum lauter schar{e Linien, die
den elektronischen Übergängen der Atome im
2D. h. der Einfallswinkel a wird so gewählt, dass
der Strahl im Prisma parallel zur Basis läuft. Wie
leicht zu sehen ist, beträgt der Ausfallswinkel p
im Prisma fürdieseWahl immer y/2.
An Orten wo Wellenberge (Wellentäler) der
beiden Kreiswellen zusammenkommen, addieren
sich ihre Amplituden zu einem Maximum; man
spricht von konstruktiver lnterferenz . Dorl hingegen
wo ein Wellental der einen Kreiswelle mit dem
Wellenberg der anderen Kreiswelle zusammentrifft,
verschwindet die resultierende Amplitude;
man hat dann eine destruktive lnterlerenz. Die Art

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Wellenoptik
der Interferenz hängt vom Unterschieder Laufwege
zwischen den beiden Quellpunkten und
dem Beobachtungspunkt. Die nächste Figur zeigt
die von den beiden Quellpunkten ausgesandlen
letzten Seite leicht erkennbar.
Kohärenz
Wenn wir .lwei Lampen, die "weisses" Llchl
aussenden, nebqneinander stellen, beobachten
wir nirgenclwc in ihrer Nähe eine Auslöscrrung
durch desliul

Wellenoptik
aus einer Folge kurzer Wellenzügen, aber diese
Folge ist in beiden Bündeln die gleiche. Wie in der
nächsten Figur illustriert, verstärken (a) oder
schwächen (b) sie sich, je nach Gangunterschied,
auf Dauer. lm oberen Bildteil sind jeweils die
Wellenzüge, im unteren das Quadrat ihrer Summe
und dessen Mittelwed, die Intensität angegeben.
und daher das Geschehen bestimmt. Um die
Interferenzbedingung herauzufinden, müssen wir
den opflschen Gangunterschied zwischen den
beiden Teilwellen bestimmen. Das Glimmerplättchen
hat eine Dicke d und einen Brechungsindex
n. Die an der Vorderseite reflektierte Welle
erleidet einen Phasensprung von ft (Glimmer ist
optisch dichter als Luft, analog zur harten Wand in
der Reflexion von Seilwellen, Seite MWe.- 4) . Der
optische Weg den sie hinter sich bringt, bevor sie
sich mit ihrer Partnerwelle überlagert ist somit
Lr+)./2 (sieheFigur).
Detailansicht:
.-{-At-
Ilwo-6
Wat'-
i*^tm
1r2rnnnt
2'o p*i4Lt
(b)
+l-^t
'n AfL
..'ffia-
Wie die Figur es andeutet, darf dabei der
Gangunterschied zwischen den beiden Teilwellen
die (mittlere) Länge eines Wellenzuges, die sog.
Kohärenzlänge 4, nicht überschreiten, da sonst
der eine Teilwellenzug seinen Partner nicht mehr
triJft!
In unserem Experiment, teilen wir den Lichtbündel
einer Quecksilberdampflampe durch
Reflexion an der Vorder- und Rückseite eines
Glimmerplättchens5. Das Licht der Hg-Lampe
erscheint zwar grellweiss, enthält aber bei einer
Wellenlänge von 546 nm eine sehr starke Linie,
die im Maximum der Augenempfindlichkeit liegt
4 Für eine Na-Dampflampe bei Raumtemperatur
beträgt die Kohärenzlängetwa 12 cm. In einem
LASER kann sie mehrere Meter lang sein.
Sclimmer lässt sich gut auf eine Dicke von 0.1 mm
spalten.
Die an der Rückseite reflektierte Teilwelle pflanzt
sich im Glimmer mit der Geschwindigkeit c I n tort.
Sie braucht also n mal mehr Zeit als im Vakuum
um eine gewisse Distanz hinter sich zu bringen,
und somit ist der entsprechende oplrsche Weg
n.L,.
L2 kann aus der angegebenen Geometrie
berechnet werden; zur Bestimmung von A1
braucht es noch das Brechungsgesetz.
Schlussendlich findet man die Bedingung für
konstruktive lnterferenzen:
zd.^[n\"in3 o =W-]l'l
, (m=1,2,.....).
Jedem Wert von m entspricht ein Winkel c, und
wir erwarten also lauter konzentrische Kreise, was
vom Experiment bestätigt wird, wie die Figur auf
der nächsten Seite zeiqt.

I-
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Wellenoptik
Seifenschicht reflekierten Teilwelle, welche zu
einer destruktiven lnterferenz für alle Wellenlängen
fühd.
Beugung
lnterferenz an dünnen Filmen
Wer hat nicht schon die schönen Farben bewundert,
die entstehen, wenn weisses Sonnenlicht
auf eine mit einem dünnen Ölfilm bedeckte Pfütze
oder auf eine Seifenblase scheint Auch Sie
kommen durch lnterferenz der an der Unter- und
Oberfläche des Öl- oder Seifenfilms reflektierten
Teilwellen zustande. Da die verschiedenfarbigen
Jedesmalwenn eine Welle auf ein Hindernis trifft,
entsteht, gemäss dem Prinzip von Huygens, an
jedem Punkt seiner Oberflächeine Elementarwelle.
Die Gesamtwelle zu einem späteren
Zeitpunkt resultiert aus der Überlagerung all
dieser Elementarwellen und dem Teil der einfallenden
Welle, welcher von der geometrischen Anordnung
erlaubt ist. Man sagt, die einfallende
Welle wird am Hindernis gebeugt, und das
Beugungsbild entsteht aus der lnterferenz aller
obenerwähnten Teilwellen.
In den folgenden Experimenten, werden wir nicht
mit Hindernissen, sondern mit Öffnungen in
absorbierenden Wänden arbeiten. und da hilft das
Theorem von Babinet (1794-1872) :
Bei der Beugung an einem Hindernis ist die
lntensitätsverteilung dieselbe wie bei der
Beugung an der komplementären Öffnung.
Teilwellen verschiedene Wellenlängen besitzen,
legen sie im Film verschiedene optische Wege
zurück ( Dispersion). Wenn unter einem Winkel a
die Bedingung für destruktive Interferenz gerade
für blaues Licht erfüllt wird, ist sie es für rot,
welches eine grössere Wellenlänge besitzt noch
nicht, und das Licht erscheint rot. Unter anderen
Winkeln erscheinen andere Farben.
Bei Seifenblasen sieht man oft, gerade bevor sie
platzen, einen schwarzen Fleck. Das ist das Zei-.
chen, dass die Dicke der Seifenschicht viel kleiner
ist als die Wellenlänge des Lichtes, und es bleibt
nur noch die Phasenverschiebung zr zwischen
der an der Aussen- und der auf der lnnenseite der
Die Beugung einer Welle an einem Punktförmigen
Hindernis ergibt also dasselbe Beugungsbild,
wie eine Punktförmige Öffnung in einer
Wand. Als erstes Beispiel betrachten wir die
Beugung am Doppelspalt
Zwei schmale Schlitze werden parallel zueinander
in ein Blech geschnitten und von einer Seite des
Bleches mit monochromatischem Licht beleuchtet.
Auf der anderen Seite wirken sie als Sekundärstrahler
für den ganzen Halbraum. Wenn ihr
Abstand kleiner ist als die Kohärenzlänge des
einfallenden Lichtes. dann strahlen sie kohärent.
Am Punkt B in der nächsten Figur schwingen die

WO- B
Wellenoptik
den das Maximum n-ter Ordnung gegenüber
diesem versetzt ist, lässt sich für grosse Abstände
leicht anhan der nächsten Figur ausrechnen:
t.4i
.ia
;9;
3
li
i'i
Die beiden beim fernen Aufpunkt interferierenden
Teilwellen verlassen die Schlitze praktisch
parallel; ihren Gangunterschied x bis zum
Treffpunkt findet man, indem man von einem
Schlitz ein Lot auf den Strahl des anderen fällt.
Zwischen diesem Lot und der Verbindungslinie
der Schlitze liegt der gleiche Winkel d, wie
zwischen der Richtung der Strahlen und der gestrichelt
gezeichneten Symmetrieebene zwischen
den beiden Schlitzen. Aus der Definition
die beiden Wellen in Phase. Daher ist dort die
Amplitude der resultierenden Welle maximal, und
auf dem Bildschirm beobachtet man Helligkeit.
Etwas neben B, am Punkt C, schwingen die
beiden Wellen genau in Gegenphase. Daher ist
dort die resullierende Amplitude Null und man
beobachtet auf dem Schirm Dunkelheit, usw. Auf
dem Schirm erscheinl ein regelmässiges Muster
von hellen und dunkeln Streifen:
der Winkelfunktionen im rechtwinkliqen Dreieck
folgt dann:
sinc., = x ld
( d= Abstand der Schlitze). Mit x = n. L ergibt sich
als Bedingung für das Maximum n -ter Ordnung:
. L
Sllldn = /'7
Aus dieser Beziehung kann man die Wellenlänge
2 bestimmen, wenn man d.n und d gemessen
hat. Um Spektroskopie zu treiben, d. h. um benachbarte
Wellenlängen im Spektrum des einfallendenen
Lichtes voneinander zu trennen,
genügt der Dopplespalt allerdings nicht, da die
Interferenzstreifen zu breit sind, was nur eine
Das Maximum am Punkt B ist das Maximum 0.
Ordnung, da dort der Gangunterschied zwischen
den beiden Wellen Null ist. Der Winkel an, um
sehr grobe Auflösung nach Wellenlängen erlaubt.
Den Übergang zum Präzisionsinstrument schafft
man, indem man nicht nur zwei, sondern sehr
viele (typischerweise mehrere Tausend pro cm)

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Wellenoptik
Spalte in gleichem Abstand voneinander aufstellt.
Damit erhält man ein
Beugungs- oder Strichgitter
10
ffi$tltffiililfi
250
Die nächste Figur zeigt schematisch was nun im
Beim Ubergang vom Doppelspalt zum Beugungsgitter
hat sich an den Richtungen der Interferenzmaxima
nichts geändert, und es gilt nach wie vor
die Bedingung
. A
SlnAn = n'A
Während jedoch beim Dopplespalt für die Auslöschung
zwischen den Maxima ein Gangunterschied
von I / 2 (oder einem ungeradzahligen
Vielfachen davon) zwischen den beiden Teilwellen
notwendig war, genügt z. B. in einem Gitter
mit 1000 Spalten ein Tausendstel ,1 zwischen
Nachbarn, denn dies bedeutet eine halbe Wellenlänge
Gangunterschied zwischen den Spalten 1
und 501, zwischen 2 und 502, usw.: Zu jedem
Wellenzug aus einem Spalt findet sich bereits ein
zweiter, der die zur destruktiven Interferenz
notwendige halbe Wellenlänge Ganguntgrschied
mit sich bringt. Man beobachtet folgendes:
Mit wachsender Spaltzahl N werden die Maxima
immer schärfer und intensiver. Dazwischen liegen
N-2 sog. Nebenmaxima, deren lntensität mit
wachsendem N rapide abnimmt, so dass die
Maxima schon bei einigen hundeft Spalten durch
breite dunkle Streifen getrennt sind. Das unten
abgebildete Negativ (hell

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Wellenoptik
da jeder Punkt der Öffnung, nach Huygens, der
Ursprung einer Elementarwelle ist, und die Welle
nach dem Schirm aus der Summe all dieser
Elementarwellen besteht. Die entsprechenden
Beugungsmrnma lassen sich mit Hilfe der nächsten
Figur sehr leicht angeben. Man denkl sich den
1
Irel
0,5
Spalt der Breite s in zwei Hälften unterteilt. Wenn
die von den Spalträndern unter dem Winkel a
ausgehenden Teilwellen gerade eine Wegdifferenz
von einem ganzen Vielfachen der
Wellenlänge aufweisen, wenn also
s.sina = fft.),
(m=1,2,3,,..,
ist, findet jede Teilwelle aus der einen Spalthälfte
eine andere aus der zweiten Spalthälfte, mit der
sie destruktiv interferieren kann. Das erste Minimum
liegt also beim Winkel a., für den
SlIl 6[1 =
Da in der Regeldie Spaltbreite s viel kleiner ist als
der Abstand d zwischen den Spalten, erwarten
wir, dass innerhalb des zentralen Beugungsmaximums
für den Spalt, welches von *ar begrenzt
ist, mehrere Beugungsmaxima für das ideale Gitter
erscheinen. Die resultierende lntensitätsverteilung
ist in der nächsten Figur für ein Gitter mit 6
Spalten und für d=4.s dargestellt. Die Spaltbeugungsfunktion
ist gestrichelt eingezeichnet.
L
s
Wenn bei der Beugung am einzelnen Spalt die
Spaltbreite viel grösser wird als die Wellenlänge
des Lichtes, erwarten wir, dass der grösste Teil
der Einfallenden Welle ungestört den Schirm
durchquert. Das Experiment mit der Wellenwanne
bestätigt diesen Tatbestand. Nur in der Schattenzone
in unmittelbarer Nähe der Ränder entstehen
schwache Beugungsstreifen. Die Entwicklung der
Beugung am Spalt als Funktion der Spaltbreite ist
-<
_-\
si, s ),1
..))
t):
in der nächsten Figur schematisch zusammengefasst.
,)))llir
ll
tl
IL
il
tl
il