Exponential- und Logarithmusfunktionen - Bkonzepte.de

Exponential- und Logarithmusfunktionen
Exponential- und Logarithmusfunktionen......................................................................... 2
Exponentialfunktion ................................................................................................... 2
Einstiegsaufgaben................................................................................................... 2
Allgemeine Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen........................................... 3
Theorieaufgaben..................................................................................................... 3
Anwendungsaufgaben.............................................................................................. 5
Zinseszinsrechnung.............................................................................................. 5
Degressive Abschreibung ...................................................................................... 5
Anwendung der Zinseszinsformel in Natur, Gesellschaft; Technik ............................... 6
Übungsaufgaben..................................................................................................... 6
Logarithmus.............................................................................................................. 7
Beispielaufgaben..................................................................................................... 7
Taschenrechnerlösung .......................................................................................... 7
Definitionen:........................................................................................................ 8
Dekadischer Logarithmus: .................................................................................. 8
Natürlicher Logarithmus:.................................................................................... 8
Dualer Logarithmus:.......................................................................................... 8
Gesetze: ............................................................................................................. 8
Übungsaufgaben..................................................................................................... 8
Basis der Exponentialfunktion wechseln........................................................................ 9
Die Grundlagen....................................................................................................... 9
Beispielaufgaben..................................................................................................... 9
Übungsaufgaben..................................................................................................... 9

Exponential- und Logarithmusfunktionen
Exponentialfunktion
Einstiegsaufgaben
1. 1. Seetang ist eine schnell wachsende Art der Rotalge.
In speziellen Meeresbecken wird Seetang in 30m Tiefe
gezüchtet. Zu Beginn hat eine Alge eine Höhe von
1cm. Jede Woche verdreifacht sich ihre Höhe.
a) Stellen Sie eine Wertetabelle für das Wachstum der
Alge auf!
b) Zeichnen Sie den Grafen der Funktion!
c) Nach wie vielen Wochen erreicht die Alge die
Wasseroberfläche
d) Geben Sie die Funktionsgleichung an!
Algenhöhe
Algenwachstum
70
60
50
40
30
20
10
0
0 2 4 6 8 10
Zeit in Wochen
G In gleichen Zeiträumen werden die Werte immer mit gleichem Faktor q vervielfacht.
Dies beschreibt ein Wachstum, dass sich immer mehr
beschleunigt.
Entwicklung der Weltbevölkerung
2. Im Jahre 1977 lebten ca. 4 Mrd. Menschen auf der
Erde. Die jährliche Wachstumsrate beträgt etwa 1,9%.
Welcher Weltbevölkerung im Jahre 2000 entspricht
das
Geben Sie die Funktionsgleichung an!
y = f ( x)
= 4⋅10
9 ⋅1,
019
x
Weltbevölkerung
in Mrd.
12
10
8
6
4
2
0
1975 1995 2015 Jahr
3. Bei radioaktiven Stoffen gibt man die Halbwertzeit an,
um zu beschreiben, in welchem Zeitraum die
Strahlengefahr eines solchen Stoffes abnimmt.
Die Halbwertzeit, ist jene Zeitspanne, in der die Hälfte
einer Menge radioaktiven Stoffes zerfällt.
Strontium-90 hat eine Halbwertzeit von etwa 20 Jahren.
Zeichnen Sie die Zerfallskurve von 100g Strontium-90
für 100 Jahre!
x
1
· x
20 20
= 100·0,5 ≈
y = f ( x)
= 100·0,5
100·0, 966
Exponentialfunktionen beschreiben Wachstums- und
Abnahmeprozesse in Natur, Technik und Ökonomie.
x
Masse in Gramm
Strontiumzerfall
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 20 40 60 80 100
Jahre

Exponentialfunktionen
Allgemeine Funktionsgleichung von Exponentialfunktionen
y = f ( x)
=
a ... Startwert (Schnittpunkt mit der y-Achse)
q ... Wachstumsfaktor
Theorieaufgaben
a ⋅
x
q
4. Zeichnen Sie die Grafen folgender Funktionen im Intervall
− 4 ≤ x ≤ 4 !
Geben Sie die Achsenschnittpunkte an!
a) y = f(x) = 2 x
b) y = f(x) = 3 x
c) y = f(x) = 0,5 x
d) y = f(x) = (2/3) x
e) y = f(x) = (3/2) x
kein Schnittpunkt mit der x-Achse!
Schnittpunkt mit der y-Achse S y [ 0 | 1 ]
5. Zeichnen Sie die Grafen der Funktionen!
Geben Sie die Achsenschnittpunkte an!
a) y = f(x) = 2 -x
b) y = f(x) = 3 -x
c) y = f(x) = 0,5 -x
kein Schnittpunkt mit der x-Achse!
Schnittpunkt mit der y-Achse S y [ 0 | 1 ]
6. Zeichnen Sie die Grafen der Funktionen!
Geben Sie die Achsenschnittpunkte an!
a) y = f(x) = 0,5·2 x
b) y = f(x) = 2·0,5 x
kein Schnittpunkt mit der x-Achse!
Schnittpunkt mit der y-Achse Sy [ 0 | 0,5 ] bzw. S y [ 0 | 0,5 ]
www.bkonzepte.de
Böhm Seite 3 05.11.2005

Exponentialfunktionen
7. Zeichnen Sie die Grafen der Funktionen!
Geben Sie die Achsenschnittpunkte an!
a) y = f(x) = - 2 x
b) y = f(x) = - 0,5 x
kein Schnittpunkt mit der x-Achse!
Schnittpunkt mit der y-Achse Sy [ 0 | -1 ]
8. Geben Sie den Einfluss der Parameter a und q auf den Verlauf des Grafen einer Exponentialfunktion
x
vom Typ f ( x)
= a·
q an!
q > 1 ... Funktion mit x→∞ immer schneller wachsend. Je größer q desto schneller der
Anstieg.
Funktion für x → -∞ immer größere Näherung an f(x) = 0, ohne die x-Achse jemals zu
berühren.
q < 1 ∩ q > 0 ... Funktion fällt immer langsamer mit größerem x.
Für x → ∞ immer größere Näherung an f(x) = 0, ohne die x-Achse jemals zu
berühren
q < 0 ... Funktion y=1/2 x spiegelt y=2 x an der y-Achse (Ordinate).
x
⎛ ⎞
Allgemein: Die Funktiong( x)
= ⎜
1 ⎟ spiegelt die Funktion
⎝ q ⎠
x
f ( x)
= q an der y-Achse!
a ... Schnittpunkt des Grafen mit der Ordinate (y-Achse).
Ist a > 1 so wird die Funktion gesteckt.
Ist a < 1 ∩ a > 0 (also 0

Exponentialfunktionen
Anwendungsaufgaben
Zinseszinsrechnung
10. Ein Kapital von 5000,--€ wird bei einem Zinssatz von 5% zu Beginn eines Jahres angelegt.
Die Zinsen werden jeweils am Jahresende dem Konto gutgeschrieben und, vom nächsten Jahr an,
mitverzinst.
a) Wie groß ist das Guthaben nach einem Jahr
b) Wie groß ist das Guthaben nach zwei Jahren
c) Wie groß ist das Guthaben nach drei Jahren
d) Wie groß ist das Guthaben nach fünf Jahren
e) Wie groß ist das Guthaben nach 10 Jahren
f) Wie groß müsste das Anfangsguthaben sein, damit nach 10 Jahren das Konto bei 10.000 € steht
g) Wie groß müsste die Verzinsung sein, damit nach 10 Jahren das Konto bei 10.000 € steht, bei einem
Startguthaben von 5000€
5%
Z = 5000· = 5000·0,05 = 250 → K1
= K
100%
→ K = 5000 + 5000·0,05 = 5000·
K
2
→ K
1
= K + Z
2
1
0
2
= K + K ·0,05 = K ·
1
= K ·1,051· ,05 = 5512,50 = K
1
1
0
+ Z → K
1
( 1+
0,05) = 5000·1,05 = 5250 = K1
( 1+
0,05)
2
= 5250·1,05 = 5512,50
1
= 5000 + 250 = 5250
K
3
3 = K 0·1,051·
,051· ,05 = 5000·1,05 =
5788,125
Zinseszinsformel:
K
K
n
n
n
⎛ p ⎞
= K 0·
⎜1
+ ⎟
⎝ 100 ⎠
n
= K 0·
q ;
47
p
q = 1+
100%
5
⎛ 5 ⎞
K
10
5 = 5000· ⎜1
+ ⎟ = 5000·1,05 = 8144,
⎝ 100 ⎠
10
⎛ 5 ⎞
K
10
10 = 5000· ⎜1
+ ⎟ = 5000·1,05 = 8144, 47
⎝ 100 ⎠
10 10000
10000 = K0 = 1,05 → K0
= = 6139, 13
10
1,05
10
10 10
p
10000 = 5000· q → 2 = q → q = 2 = 1,07177 q = 1+
→ p = 7,177%
100
Degressive Abschreibung
11. Ein Gebäude mit dem Neupreis von 1.000.000 € wird mit 20% degressiv abgeschrieben und verliert
damit in jedem Jahr 20% des seines jeweiligen Restwertes. Welchen Buchwert hat das Gebäude
nach 20 Jahren
⎛ − 20 ⎞
K 20 = 1.000.000· ⎜1+
⎟ = 1.000.000·0, 8
⎝ 100 ⎠
20
20
=
www.bkonzepte.de
Böhm Seite 5 05.11.2005

Exponentialfunktionen
12. Ein PKW hat in 4 Jahren die Hälfte seines Wertes eingebüßt. Welcher degressive Abschreibungssatz
ist demnach für gleichartige PKW sinnvoll anzusetzen.
4 4
p
2 = 1· q → q = 2 = 1,1892 ; q = 1+
= 1,1892 → p = 18,92%
100
Anwendung der Zinseszinsformel in Natur, Gesellschaft; Technik
13. Im Jahre 2004 lebten auf der Erde etwa 6,4 Mrd. Menschen. Es wird eine jährliche Steigerung um
etwa 1,28% erwartet. Welcher Weltbevölkerung im Jahre 2010 (2020) entspräche das
14. Licht, das in eine dicke Schicht aus Glas eintritt, wird in exponentieller Weise abgeschwächt. In einem
konkreten Fall nimmt Intensität des Lichts, pro im Glas, zurückgelegtem Zentimeter um 3% ab.
a) Auf wie viel Prozent wird die Intensität des Lichts durch eine 9 cm dicke Glasscheibe abgeschwächt
b) Skizzieren Sie die Funktion!
Eine andere Glasart bewirkt, dass eine 9 cm dicke Scheibe 50% des Lichts absorbiert.
c) Um wie viel Prozent pro Zentimeter nimmt die Intensität des Lichts bei dieser zweiten Glasart ab
d) Skizieren Sie die Funktion!
Übungsaufgaben
siehe Aufgaben-Dateien:
Aufgaben zu Exponentialfunktionen (Mathematische Grundlagen)
Aufgaben zu Exponentialfunktionen in Natur, Gesellschaft und Technik (Grundlagen)
Aufgaben zu Exponentialfunktionen in der Ökonomie
www.bkonzepte.de
Böhm Seite 6 05.11.2005

Logarithmus
Die Umkehrung der Potenz nach dem Exponenten heißt Logarithmierung.
ab = c b = log a c
Man nennt
a die Basis des Logarithmus,
c den Numerus,
b den Logarithmus.
Bsp.: log 2 8 = 3 log 10 10000 = 4
Beispielaufgaben
log 2 16 = log 2 32 =
log 10 10000 = log 3 2187 =
log 4 1 = log 1,5 38 =
log 2 2= log 1,04 1,48 =
Ganzzahlige Logarithmen findet man durch Nachdenken oder Suchen des Exponenten.
Auf den Taschenrechner gibt es keine Taste, die den Logarithmus verschiedener Basen auf einfache
Weise ermittelt. Man muss das passende Logarithmengesetz kennen und anwenden, um mittels TR
zur Lösung zu gelangen.
Taschenrechnerlösung
G Beliebige Logarithmen lassen sich mit dem TR auf Grund des Logarithmen-Gesetzes [1] lösen:
(siehe Abschnitt Logarithmengesetze oder im Tabellenbuch)
U Zurück zur Aufgabe mit dem Luftdruck in größeren Höhen: y = 1013*0,88 x = 483
→
483
1013
= 0,4768 = 0,88
x
→ x = log
ln 0,4768
0,4768 =
ln 0,88
0 ,88
=
5,79km
15. Testaufgaben:
log 2 256 = log 1020000 = log 4 1 = log a1953125=9
log 10
10000000 = log 10
1 = log 2 2= log 6 b = 60 446 176
F:\SCHULE\Mathe\Assists\wExpLog.doc
Böhm Seite 7 05.11.2005

Logarithmus
Definitionen und Logarithmengesetze
Definitionen:
Dekadischer Logarithmus:
Logarithmus zur Basis 10 heißt "Dekadischer Logarithmus".
log 10 a = lg a
Natürlicher Logarithmus:
Logarithmus zur Basis e heißt "Natürlicher Logarithmus".
'e' ist eine Konstante der Mathematik wie PI. Ihre Größe beträgt 2,71828128.
log e a = ln a
Dualer Logarithmus:
Logarithmus zur Basis 2 heißt "Dualer Logarithmus".
log 2 a = lb a
Gesetze:
+ Die Logarithmengesetze dürfen einfach geglaubt werden. Ein Beweis zieht den Beweis des stützenden
Satzes nach sich usw.
Siehe Tabellenbücher:
& Bsp.:
[1]
Dieser Beweis stützt sich aber auf einen weiteren Satz:
x
[2] log b = x·log
b , denn b x = b ⋅ b·.... ⋅ b , log ( b ⋅...
⋅b)
= logb
+ logb
+ ... + logb
= x ⋅log
b
a
a
Dieser Nachweis stützt sich nun aber wieder auf den dritten Satz:
a
a
[3]
Woraus dieser Satz hergeleitet wird entnehme man bitte den Weiten des Internets oder einschlägiger
Literatur.
Übungsaufgaben
Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusfunktionen (Mathematische Grundlagen)
Aufgaben zu Exponentialfunktionen in Natur, Gesellschaft und Technik (Grundlagen)
Aufgaben zu Exponentialfunktionen in der Ökonomie
www.bkonzepte.de
Böhm Seite 8 05.11.2005

Basis der Exponentialfunktion wechseln
Die Grundlagen
Prinzipiell lässt sich jede Exponentialfunktion einer Basis durch eine Exponentialfunktion mit anderer
Basis ersetzen. Es ist dann lediglich der Ausdruck im Exponenten mit einem passenden Faktor
anzupassen.
c · a = c·
b → c·
b = c·
a
x dx
d
x
Behauptung: ( )
→ a =
x d
Umformung: ( ) x
Koeffizientenvergleich:
Umformung:
d
a = b
d = log
c
b
b
a
x
· a =
c·
b
b
Allgemeine Erkenntnis:
Damit lässt sich jede Exponentialfunktion mit einer beliebigen Basis a zu einer Exponentialfunktion
mit der einheitlichen Basis e (zur e-Funktion) umformen:
c
x
· a =
x
x·log
c·
e
a
x·ln
a
& Wer jetzt wissen will, warum man gerade die Basis e (eine irrationale Zahl 2,718281828...)
besonders häufig zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen verwendet, sollte sich den
Script „Warum eigentlich e-Funktionen“ anschauen
Beispielaufgaben
16. Schreiben Sie die Funktionen f(x) = 2 x f(x) = 3 x f(x) = 0,5 x f(x) = 2·0,5 x f(x) = 0,5·2 x
als e-Funktionen (Exponentialfunktionen mit der Basis e)!
Zeigen Sie anhand einer Wertetabelle, dass beide e-Funktionen, die gleichen Werte liefern, wie die
Ausgangsfunktionen!
f(x) = e ln2·x = e 0,693x f(x) = e 1,0986x f(x) = e -0,693x f(x) = 2· e -0,693x f(x) = 0,5·e 0,693x
17. Im Jahre 1977 lebten ca. 4 Mrd. Menschen auf der Erde. Die jährliche Wachstumsrate beträgt etwa
1,9%.
a) Geben Sie die Funktionsgleichung der Weltbevölkerung in Abhängigkeit der Folgejahre an!
b) Beschreiben Sie das exponentielle Wachstum der Weltbevölkerung durch eine e-Funktion!
c) Zeigen Sie, dass beide Exponentialfunktionen den gleichen Wert für die Jahre 2010 und 2050
liefern!
y = f ( x)
= 4⋅10
9 ⋅1,
019
x
9
ln1,019· x
f ( x)
= 4·10 · e = 4·10
9
· e
0,0188218 x
Übungsaufgaben
18. Schreiben Sie alle Exponentialfunktionen, die Sie in den bisherigen Übungsaufgaben verwendet
haben als e-Funktionen um!
F:\SCHULE\Mathe\Assists\wExpLog.doc
Böhm Seite 9 05.11.2005