Bruchrechnung

Bruchrechnung
1. Kürzen und Erweitern
Brüche kann man kürzen, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl
dividiert.
Beispiele: 14 2
2
7x
7x
=
7x
21 3
x = 1
=
Beachten Sie: In Differenzen und in Summen kürzen nur die Dummen!
x + 7
Beispiel: kann nicht gekürzt werden, wohl aber 3 ⋅( x + 1)
=
3 !
7
5⋅( x + 1) 5
Brüche kann man erweitern, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl
multipliziert.
Beispiele: 3 3 ⋅ 4 12
7⋅2 14
= =
7 = =
5 5⋅4 20
2 2
2. Addition und Subtraktion von Brüchen
Zwei Brüche können addiert oder subtrahiert werden, wenn sie den gleichen
Nenner besitzen.
Beispiele: 3 4 7 4 5 1
+ =
− = −
5 5 5 7 7 7
Sind die Nenner nicht gleich, muss das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner
gesucht und entsprechend erweitert werden.
2 4 2 5 3 4 10 12 22
Beispiele: ⋅ ⋅
2 2 7 2 7⋅3 2 21 19
+ = + = + =
− 7 = − = − = − = −
3 5 3⋅5 5⋅3 15 15 15 3 3 1 3 1⋅3 3 3 3
3. Multiplikation und Division von Brüchen
Zwei Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner
miteinander multipliziert werden.
Beispiele: 2 4 2 ⋅ 4 8
2 2 5 2⋅5 10
⋅ = =
⋅ 5 = ⋅ = =
3 5 3⋅5 15
3 3 1 3⋅1 3
Durch einen Bruch wird dividiert, indem mit dem Kehrwert multipliziert wird.
2
4 5
Beispiele: 3 2 2 2⋅5 10 5
4 4 4 4 1 4
= : = ⋅ = = =
:5
5 1 ⋅
= : = ⋅ = =
4 3 5 3 4 3⋅4 12 6
7 7 1 7 5 7⋅5
3 5
5

Vereinfachen bzw. berechnen Sie!
1) 12
24
9)
2) 63
9
3 1
5 ⋅ 2
10) 3
2 7
17) 3 1
7
23) 2 3
⋅ ⋅ 1 24)
7 8 5
Lösungen
1)
5)
8)
11)
14)
17)
19)
21)
22)
24)
26)
3) 4 a
2
⋅ 11)
18) 16 − 1 19)
3 7
4
7
1
3
1
2
4) 5 a + 2
2
Übungsaufgaben
5)
1 12
4 − 12) : 4
6 5
+ 25)
a
a
2 5
3− + 20) 5 : 2 5 6 7
1 3
+
2 5
4
5
4
6)
x + 7
x − 7
13) 1 3
2 7
1
⋅ 14) 3
2
6
21)
1 1
+
26) 8 4 ⋅5
3 1
−
7 2
11
7) 5
3 ⋅ 8) 17 4
2 + 2
4
15) 2 7
3 ⋅ 16) 7
6
3 4
5
2 ⋅ 10
+ 22) ⎛ 3 1 ⎞
⎜ − ⎟⋅9
⎝ 4 5 ⎠
12 1
24 = 2
2) 63
9 = 7 3) 4a 2
2 5a + 2
= a 4) kann nicht gekürzt werden!
2
5
a a ⋅ a ⋅a ⋅ a ⋅a
x + 7
11 11 5 11⋅5 55
4
= = a 6) kann nicht gekürzt werden! 7) ⋅ 5 = ⋅ = =
a a ⋅a ⋅ a ⋅ a x − 7
3 3 1 3⋅1 3
17 4 21
2 + 2 = 2
9) 3 1 3⋅1 3 3 2 3 2⋅3 6
⋅ = = 10) 2⋅ = ⋅ = =
5 2 5⋅2 10 7 1 7 1 ⋅ 7 7
1 4 1 4⋅6 1 24 1 23 12 12 1 12 3
4 − = − = − = − = 12) : 4 = ⋅ = = 13) 1 ⋅ 3 =
3
6 1 6 1 ⋅ 6 6 6 6 6 5 5 4 20 5 2 7 14
1
4 4
3 1 6 6 1
2
= 3 ⋅ 2 = 6
= 15) 2 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 = 14 16) 7 4 1 4 2
= 7 = ⋅ = =
3 3 1 3 6 6 7 6 42 21
6
1
3
3 1 3 7
16 1 16
= = ⋅ = 21 18) ⋅ 7 1⋅3 112 3 109
− = − = − =
1 1 1 1
3 7 3⋅7 7⋅3 21 21 21
7 7
2 5 3⋅30 2⋅6 5⋅5 90 12 25 103 2 5 7 35
3 − + = − + = − + = 20) 5 :
5 6 1 ⋅ 30 5 ⋅ 6 6 ⋅ 5 30 30 30 30 7 = 1 ⋅ 2 = 2
3 4 12 5⋅20 12 100 112 28
⋅ + 5 = + = + = =
2 10 20 1⋅
20 20 20 20 5
⎛ 3 1 ⎞ ⎛ 3⋅5 1⋅
4 ⎞ ⎛ 15 4 ⎞ 11 9 99
⎜ − ⎟⋅ 9 = ⎜ − ⎟⋅ 9 = ⎜ − ⎟⋅ 9 = ⋅ = 23) 2 3 1 2 ⋅ 3 ⋅
⋅ ⋅ = 1 = 6 =
3
⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 4⋅5 5⋅
4 ⎠ ⎝ 20 20 ⎠ 20 1 20 7 8 5 7 ⋅8⋅5 280 140
4
1 3 5 6 11
+ +
7 1 4 3 1 12 1 24 7 31
+ = ⋅ + = + = + = 25) 2 5 11 1 11
= 10 10 = 10 = ⋅ =
1 2 7 1 2 7 2 14 14 14 4 4 4 10 4 40
3
1
1 1 1 1⋅2 1 2 3
+ + +
8 4 3 14 5 210 105
5 8 4 2 5 8 8 5 8 ⎛ ⎞
⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ 5 = ⋅ − ⋅ = − = −
3 1 3⋅2 1⋅7 6 7 1 ⎜ ⎟
− − − −
8 ⎝ 1 ⎠ 1 8 4
7 2 7⋅2 2⋅7 14 14 14
C. Herweg