Distributivgesetz / Binomische Formeln

Distributivgesetz / Binomische Formeln
1. Distributivgesetz
Auflösen von Klammern: a ⋅ ( b + c)
= a ⋅ b + a ⋅ c
Beispiele: 5 ⋅ ( a + b) − 2 ⋅( a − 4 b) = 5a + 5b − 2a + 8b = 3a + 13b
−(3 − 2 ) = − 3 + 2
a b a b
Sind mehrere Klammern geschachtelt, werden die Klammern von innen nach außen
aufgelöst.
Beispiel: ( )
4 ⋅(3x − 4y + 3 ) = 4 ⋅(3x − 4y − 3) = 12x −16y
− 12
( a + b) ⋅ ( c + d)
= a ⋅ c + a⋅ d + b⋅ c + b⋅
d
Beispiele: (2 + x) ⋅( y − 3) = 2⋅ y + 2 ⋅( − 3) + x⋅ y + x⋅( − 3)
2 2 2
(2x + x −1) ⋅( x − 3) = 2x ⋅ x + 2 x ⋅( − 3) + x⋅ x + x⋅( − 3) + ( −1) ⋅ x + ( −1) ⋅( − 3)
Ausklammern ist die Umkehrung zum Auflösen von Klammern. Faktoren, die in
jedem Summanden enthalten sind. können ausgeklammert werden.
3 2 2 2 2 2 2
Beispiele: 7x + 7 y = 7⋅ ( x + y)
2x y − 6x y + 2 xy = 2xy ( x − 3x
+ 1)
2. Binomische Formeln
2 2 2
( a + b)
= a + 2ab
+ b
2 2 2
( a − b)
= a − 2ab
+ b
( a + b)
⋅( a − b)
= a −b
2 2
Beispiele:
2
x + 5) =
2
x
2
5
2
x x
− 4 y) = (3 x) (4 y)
2 2
(2 x + 4 y) ⋅(2x − 4 y) = 4x
−16y
( x + 2⋅ ⋅ 5 + = + 10 + 25
(3x − 2⋅3x ⋅ 4y + = 3 x − 24xy + 4 y = 9x − 24xy + 16y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Faktorisieren mit Hilfe der binomischen Formeln:
Überprüfen Sie anschließend durch Ausmultiplizieren, ob das Binom korrekt ist.
2
Beispiel 1: x + 6x
+ 9 Ziehen Sie jeweils aus dem ersten und letzten Summanden
2
2
die Wurzel: x = x; 9 = 3 Als Lösung kommt nur (x + 3) in Frage.
Überprüfen Sie durch Ausmultiplizieren, ob das Binom korrekt ist:
2 2 2
( x + 3) = x + 2⋅3⋅ x + 9 = x + 6x
+ 9 √
2
2 2 2 2 2
Beispiel 2: x − 3x
+ 4 x = x; 4 = 2 ; ( x − 2) = x − 2⋅ 2x + 4 = x − 4x + 4 ≠ x − 3x
+ 4
Eine Faktorisierung ist hier also nicht möglich.
2
Beispiel 3: x − 16 Da nur zwei Summanden vorhanden sind, kommt nur die dritte
2 2
binomische Formel in Frage: x = x; 16 = 4; x − 16 = ( x + 4) ( x − 4)

Übungsaufgaben
1. Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie zusammen!
a) (6b −3 a) − (8a + 7 b) + (2b + 6 a) − ( a −10 − b)
b) (7x − 2 y) − (8x + 8 y) + (3x + 9 y) − (2x −12 − y)
c) 42 a − (39 b − (2a − 3 b) − (14 a − (17 b − a)))
d) 15(2( a + b − c) + 4( a − b − c)) −18( a − b − c) + 32a
e)
1
(8u 3 v)(12v
u )
2
h)
2
2
2
− − f) (3a + 2a −1)(2a
− 1) g) ( 1, 2x − 1,5 y)
⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 ⎞
⎜ x − x + 1⎟⎜ x − 2⎟
⎝ 2 4 ⎠⎝ 2 ⎠
2 2
i) (x + 3) j)
⎛ 1
⎜
⎝
2 3 2
6
3 a b − a b
⎞
⎟
⎠
2
k) ( 0,5x + 2 y)(0,5x − 2 y)
2. Klammern Sie aus!
3 2 1 2 1
a) 4x + xy b) 24xy
+ 18yz
c) x + d)
2 2
4
x
3
x
2
x
8 4 8
x − −
3 2 2 3 2 2
− + e) 12a b 3ab x 6ab x
3. Faktorisieren Sie mit Hilfe der binomischen Formeln!
1 1 1
11 11 44
2
2 2
2
2 2
2
a) u − 4 b) 9a − 6ab + b c) 0,25x
+ x + 1 d) a + ab + b e)
z − 1
Lösungen
1. a) (6b −3 a) − (8a + 7 b) + (2b + 6 a) − ( a −10 − b) = 6b −3a −8a − 7b + 2b + 6a − a + 10 + b
= − 6a
+ 2b
+ 10
b) (7x − 2 y) − (8x + 8 y) + (3x + 9 y) − (2x −12 − y) = 7x − 2y −8x − 8y + 3x + 9y − 2x + 12 + y
= 12
c) 42a − ( 39b − ( 2a −3b)
− ( 14a − ( 17b − a)
)) = 42a − ( 39b − 2a + 3b − ( 14a − 17b + a)
)
= 42a − ( 39b − 2a + 3b − 14a + 17b − a)
= 42a − 39b + 2a − 3b + 14a − 17b + a) = 59a −59b
d) 15(2( a + b − c) + 4 ( a −b − c)
) −18( a −b − c) + 32a
= 15(2a + 2b − 2c + 4a − 4b − 4 c) − 18a + 18b + 18c + 32a
= 30a + 30b − 30c + 60a − 60b − 60c − 18a + 18b + 18c + 32a = 104a −12b − 72c
1 ) 96 4 36 1,5 4 97,5 36
2
(3a
+ 2a −1)(2a − 1) = 6a − 3a
+ 4a − 2a − 2a + 1 = 6a + a − 4a
+ 1
( 1, 2x − 1,5 y) = (1, 2 x) − 2⋅1, 2x ⋅ 1,5 y + (1,5 y) = 1,44 x − 3,6xy + 2,25y
2 2 2 2
e) (8u −3 v)(12 v − u = uv − u − v + uv = − u + uv − v
2 3 2 2 3 2
f)
2 2 2 2 2
g)
⎛ 1 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 1 1 1 1 9
⎜ x − x + 1⎟⎜ x − 2⎟
= x − x − x + x + x − 2 = x − x + x − 2
⎝ 2 4 ⎠⎝ 2 ⎠ 4 8 2 2 4 8
( x + 3) = ( x ) + 2⋅ x ⋅ 3 + 3 = x + 6x
+ 9
h)
2 3 2 2 3 2
i)
2 2 2 2 2 2 4 2
2 2
2 3 2 2 3 2 3 2 2
2
4 6 4 4 4 2
1 1 1 1
⎜ a b − 6a b⎟ = ⎜ a b ⎟ − 2⋅ a b ⋅ 6a b + 6a b = a b − 4a b + 36a b
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 3 9
( 0,5x + 2 y)(0,5x − 2 y) = (0,5 x) − (2 y) = 0,25x − 4y
3 2 2 2 2 2
x + xy
= x + y b) 24xy + 18yz = 6⋅ 4⋅ x ⋅ y ⋅ y + 3 ⋅6⋅ y ⋅ z = 6y(4xy + 3 z )
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
j) ( )
k)
2 2 2 2
2. a) 4 (4 )
1 1 1 ( 1)
2 x + 2
= 2 x + d) 4 3 2 2 2 2 2 2 2
x x x x ⋅x x ⋅x
x ⋅1 x ⎛ x 1⎞
− + = − + = ⎜ − x+
⎟
8 4 8 4⋅2 4 4⋅2 4 ⎝ 2 2⎠
2 2 2
u − 4 = ( u + 2)( u − 2) b) 9a 6 ab b (3 a b)
0, 25x + x + 1 = (0,5x
+ 1)
c)
2 2
3. a)
2
d)
1 2 1 1 2 1 ⎛ 2 1 2 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞
a + ab + b = ⎜ a + ab + b ⎟ = ⎜ a + b⎟
11 11 44 11⎝ 4 ⎠ 11⎝ 2 ⎠
2 2
e) 3abx (4a − bx − 2b)
− + = − c)
2 2
2
e)
2
z − 1 = ( z + 1)( z − 1)
C. Herweg