Folgen und Reihen - Bkonzepte.de

Folgen und Reihen.............................................................................3
Einleitung und Motivation................................................................................ 3
Folgen..............................................................................................................5
Definition...................................................................................................... 5
Erläuterung................................................................................................... 5
Denkübungen zur Folgenergänzung................................................................... 5
Bildungsvorschriften von Folgen....................................................................... 6
Auswertung der Denkübung.......................................................................... 6
Arten von Bildungsvorschriften...................................................................... 6
Explizite Bildungsvorschriften.................................................................... 6
Rekursive Bildungsvorschriften.................................................................. 6
Hausaufgabe.............................................................................................. 7
Spezielle Folgen............................................................................................. 8
Erläuterndes Beispiel................................................................................... 8
Arithmetische Folgen...................................................................................... 8
Rekursive Bildungsvorschrift......................................................................... 9
Explizite Zuordnungsvorschrift...................................................................... 9
Hausaufgaben:.......................................................................................... 10
Formelumstellungen.................................................................................. 10
Geometrische Folgen..................................................................................... 11
Rekursive Zuordnungsvorschrift:................................................................. 11
Explizite Zuordnungsvorschrift.................................................................... 11
Formelumstellungen.................................................................................. 12
Reihen........................................................................................................... 13
Einstiegsaufgabe.......................................................................................... 13
Definition..................................................................................................... 13
Arithmetische Reihen.................................................................................... 13
Definition................................................................................................. 13
Formelentwicklung..................................................................................... 13
Übungsaufgaben....................................................................................... 14
Geometrische Reihen.................................................................................... 15
Definition................................................................................................. 15
Beispielaufgabe......................................................................................... 15
Formelherleitung....................................................................................... 15
Übungsaufgaben....................................................................................... 16
Das Verhalten von Zahlenfolgen im Unendlichen........................................... 17
Beschränktheit und Schranke......................................................................... 18
Monotonie................................................................................................... 19
Nachweis von Schranken und Monotonie.......................................................... 19
Konvergenz von Zahlenfolgen (Grenzwerte)..................................................... 21
Empirisches Erfassen des Begriffs „Grenzwert“.............................................. 21
Die Begriffe „Konvergent“ „Divergent“ und „Nullfolge“.................................... 22
Mathematisch korrekte Definition des Begriffes „Grenzwert“............................ 22
Nachweis eines Grenzwertes....................................................................... 22
Mathematische Schreibweise von Grenzwerten.............................................. 23
Bestimmung des Grenzwertes..................................................................... 23
Aufstellen einer Vermutung und Überprüfung............................................. 23
Anwendung von Grenzwertsätzen............................................................. 25
Grenzwertsätze...................................................................................... 25
Zusammenfassende Aufgaben..................................................................... 26

Folgen und Reihen
Einleitung und Motivation
Funktionen sind mit den unterschiedlichsten Definitionsmengen denkbar. Bisher haben wir
Funktionen betrachtet, die als Definitionsbereich die reellen Zahlen hatten.
Eine klassische Anwendung, die davon abweicht, ist die Zins- und Zinseszinsrechnung.
Dort wird meist gefragt, wie groß sind die Zinsen nach einem Jahr, nach zwei Jahren, .... oder
wie groß ist das Guthaben nach beliebig vielen Jahren.
Das Konto wächst nicht kontinuierlich, sondern von Jahr zu Jahr oder etwas genauer
von Tag zu Tag.
Wie wir in der Finanzmathematik genauer sehen werden, war das Durchzeichnen des Grafen
zwischen den ganzen Jahren in der Zinseszinsrechnung sogar fehlerhaft – eine genau
genommen unzulässige Vereinfachung. Auch wenn der Fehler sehr klein ist.
Zur Erinnerung: Wir haben bei der Zinseszinsrechnung einige Stützstellen (meist die
vollen Jahre) berechnet und den Grafen gezeichnet, indem wir die Punkte möglichst rund und
kontinuierlich verbanden.
Im nebenstehenden Bild gehört der rote
Graf zur Funktion
f(x) = 1000 * 1,25 x .
Diese Funktion haben wir bisher auf
folgenden Sachverhalt angewendet: Ein
Wertpapier von 1000,-€ liefert eine
Rendite von 25% p.a., die thesaurierend
(also immer wieder neu) angelegt
werden.
Da die Verzinsung aber erst am
Jahresende vorgenommen wird und
nicht kontinuierlich, gilt die
Funktionsgleichung nicht zwischen
den Jahren.
Wie aus anderen Fächern bekannt sein
dürfte, wird der Zinszuwachs innerhalb
eines Jahres taggenau durch die
p · t
Gleichung K t=K 0·
100·360
beschrieben. Innerhalb einer Jahres (einer Zinsperiode) wächst das Guthaben also nicht
exponentiell sondern linear.
Die blauen Linien des linearen Wachstums zeigen den geringen Unterschied der realen
Wertsteigerung.
Zwischen den einzelnen Tagen wächst das Guthaben überhaupt nicht. Es ist egal, ob das
Guthaben 08:00 oder 19:00 abgefragt wird. Es wird der gleiche Kontostand ausgewiesen.
Den Definitionsbereich für Funktionen, die Sachverhalte beschreiben sollten, die nicht
kontinuierlich verlaufen, sollten also korrekterweise nicht die gesamten reellen Zahlen
bilden.
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I. Böhm Seite 2 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Weitere Beispiele: Die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen eines Turnschuhverkäufers.
Die Erlösfunktion mag okay sein E(x) = 100x, wenn ein Paar Schuhe = x
100 € kosten.
Jedoch wird keiner ernsthaft nachfragen, wie hoch die Kosten für 10,5 Paar
oder gar 10,7 Paar Schuhe oder erst recht –7/9 Schuhe sind.
In einem Parkhaus zahlt man für das Reinfahren und die erste Stunde
parken 80 Ct. Jede weitere angebrochene Stunde kostet ebenfalls 80 Ct.
Die Funktionsgleichung des Preises in Abhängigkeit der Parkzeit t heißt
dann:
f(t) = 0,8·t → Falsch, weil bereits nach einer Sekunde also bereits bei
1/100000 Stunde 80 Ct fällig werden.
f(t) = 0,8·t + 0,8 → Ebenfalls falsch, weil beispielsweise bei
0,5 Stunden auch nur 0,8 € anfallen,
genau wie bei 0,75 Stunden.
Der Graf der Funktion mag einfach zu zeichnen sein.
Die Funktionsgleichung dürfte zumindest nerven:
f t=0,8; 0≤t1;
1,6;1≤t2 ;
2,4;2≤t3usw
Den Ausweg aus solchem Dilemma und den unpräzisen
Funktionsbeschreibungen bieten die Folgen.
Der Definitionsbereich wird einfach nur aus der Menge
natürlichen Zahlen gebildet. Der Funktionswerte sind
weiterhin alle reellen Zahlen.
der
Auch die Grafiken ändern sich dann:
Gut ha be ne nt wi c k l ung
Parkgebühren
Gut habenent wicklung
10
10000
9
10000
9000
8
9000
8000
7
6
5
4
8000
7000
6000
5000
4000
7000
6000
5000
4000
3
2
3000
2000
1000
3000
2000
1000
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Stunden
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Jahre
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Jahre
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Folgen – Bildungsvorschriften
Folgen
Definition
Folgen sind Funktionen, bei denen der Definitionsbereich aus der Menge der natürlichen
Zahlen besteht und der Wertebereich aus reellen Zahlen.
Erläuterung
Folgen bestehen aus einzelnen Gliedern und deren Werten.
Dies ist dann klar, wenn man bedenkt, dass der Definitionsbereich eine abzählbare
Menge ist. Der erste Wert der zweite Wert, usw.
Das erste Glied hat dann einen Wert z.B.: 0,8 → f(1) = 0,8
Das zweite Glied hat auch einen Wert → f(2) = 1,6
Das dritte Glied hat auch einen Wert → f(3) = 2,4
Kürzer schreibt man f = {0,8 ; 1,6; 2,4; ........} also einfach die Werte der ersten
Glieder und überlässt es der Intelligenz des Lesers die weiteren (unendlich vielen)
Glieder zu ergänzen.
Apropos Intelligenz: Ergänzen Sie die nächsten Werte der nächsten drei Glieder der vorstehenden Folge!
Denkübungen zur Folgenergänzung
1. Schreiben Sie die Werte der nächsten drei Glieder folgender Zahlenfolgen auf!
a) f(n) = 1; 4; 9; 16; ...
b) f(n) = 3; 5; 7; 9; ...
c) f(n) = 0; 4; 8; 12; 16; ...
d) f(n) = 1; 3; 9; 27; ...
e) f(n) = 2; 6; 18; 54; ...
f) f n = 1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; 4 5 ;...
g) f(n) = 1; 3; 6; 10; 15; ...
2. Formulieren Sie eine logische Erklärung, und/oder finden Sie einen mathematischen Ausdruck
(Formel), wodurch eindeutig klar wird, wie der Wert jedes weiteren oder jedes beliebigen Gliedes der
Folgen aus Aufgabe 2 ermittelt wird!
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I. Böhm Seite 4 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Bildungsvorschriften von Folgen
Auswertung der Denkübung
3. Geben Sie die nächsten drei Glieder der Folgen an und beschreiben Sie mit einer Formel oder verbal,
wie Sie diese ermittelt haben:
a) f(n) = 1; 4; 9; 16; ...
b) f(n) = 3; 5; 7; 9; ...
c) f(n) = 0; 4; 8; 12; 16; ...
d) f(n) = 1; 3; 9; 27; ...
e) f(n) = 2; 6; 18; 54; ...
f(n) = n² f(1) = 1² = 1; f(2) = 2² = 4; f(3) = 3²
= 9 usw.
f(1) = 3; f(n+1) = f(n) + 2 oder f(n) = f(n-1) +2
oder f(n) = 3 + 2·(n-1)
f(n) = f(n-1) +4 oder f(n) = 4(n-1)
f(1) = 1; f(n) = f(n-1) · 3
f(1) = 2; f(n) = f(n-1) · 3
f) f n = 1 2 ; 2 3 ; 3 4 ; 4 n
;... f n =
5 n1
f(n) = f(n-1) + n
g) f(n) = 1; 3; 6; 10; 15; ...
Arten von Bildungsvorschriften
Mathematische Terme, mit denen man alle Glieder einer Folge bestimmen kann, nennt man
Bildungsvorschriften. In der Übung haben wir also bereits Bildungsvorschriften von Folgen
ermittelt.
Man unterscheidet zwei Arten von Bildungsvorschriften:
explizite Bildungsvorschriften und rekursive Bildungsvorschriften
Explizite Bildungsvorschriften
(explicare = erklären)
Aus diesen Bildungsvorschriften ist der Wert eines jeden Folgengliedes sofort
bestimmbar.
z.B.: f(n) = n²
Will man den Wert des 100. Folgengliedes bestimmen: f(100) = 100² = 10000, so ist dies sehr
einfach.
Rekursive Bildungsvorschriften
(recurrere = ständig aus dem Vorgänger gebildet).
Man kann immer nur das nächste Folgenglied berechnen, wenn der Wert des vorherigen
bereits bekannt ist.
z.B.: f(n) = f(n-1) + 4; f(5) = 16 f(6) = 20; f(7) = 24; ...
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I. Böhm Seite 5 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Das 100. Folgenglied f(100) mit einer solchen Bildungsvorschrift zu bestimmen setzt die
Berechnung der fehlenden 92 Glieder voraus. Rekursive Bildungsvorschriften lassen sich
dagegen oft schneller finden, wie die Übung gezeigt hat.
Hausaufgabe
4. Bestimmen Sie von den Folgen die nächsten drei Glieder und eine Bildungsvorschrift:
a) 0; 3; 8; 15; 24; 35; 48
b) 1; ½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6; 1/7; 1/8
c) 0,25; 0,5; 1; 2; 4; 8; 16
d) 0,65; 0,75; 0,85; 0,95
e) –1; 2; -4; 8; -16; 32; -64; 128; -216
f(n) = n²-1
f(n) = 1/n
f(n) = f(n-1)·2
f(n) = f(n-1) + 0,1
f(n+1) = f(n) · (-2)
f) 1; ¾; 5/9; 7/16; 9/25; 11/36; 13/49; 15/64 f n = 2n−1
n²
g) 3; 7; 13; 21; 31; 43; 57; 73
f(n) = n·(n+1)+1 = n² + n + 1
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Spezielle Folgen
Erläuterndes Beispiel
Ein Vater bietet einen Zuschuss zu einem Moped an. Er stellt zwei Varianten zur Auswahl:
Variante 1: Am ersten Tag werden 15,- € gezahlt. Jeden weiteren Tag erhältst du 5,-€. Am
14. Tag werden die Zahlungen eingestellt.
Variante 2: Am ersten Tag erhältst du einen Pfennig. An jedem weiteren Tag wird der Betrag
verdreifacht. Am zehnten Tag endet die Berechnung und der Betrag wird ausgezahlt.
Für welche Zahlung würdest du dich entscheiden Wertetabelle und Grafen erstellen!
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
R1
Da Folgen als Definitionswerte nur natürliche Zahlen haben, ist es sinnvoll, Grafen durch nicht
durch geschlossene Linien darzustellen, sondern durch Punktdiagramme oder
Säulendiagramme.
Im Bild sehen wir zwei Arten von Folgen. Eine die konstant wächst und einer linearen Funktion
sehr ähnlich ist und eine, deren Wachstum immer schneller voranschreitet und einer
Exponentialfunktion ähnelt.
Folgen, deren Wachstum konstant bleibt, ähneln linearen Funktionen.
Man nennt sie arithmetische Folgen.
Folgen, bei denen der Wert des nächsthöheren Gliedes immer durch Multiplikation mit
dem gleichen Faktor errechnet werden kann, ähneln Exponentialfunktionen.
Man nennt sie geometrische Folgen.
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I. Böhm Seite 7 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Arithmetische Folgen
Arithmetische Folgen entsehen, wenn der Wert eines Gliedes ermittelt wird, indem man
zum Vorgängerglied einen konstanten Wert addiert.
Die Differenz zwei benachbarter Glieder hat damit immer denselben Wert.
Definition:
Eine Zahlenfolge heißt arithmetische Folge, wenn es eine Zahl d (Differenz) gibt, sodass sich jedes
Folgeglied aus seinem Vorgänger + d errechnet:f ((n+1) = f(n)+d.
Rekursive Bildungsvorschrift
f n1 =f n doder f n =f n−1 d
Man nennt diese Bildungsvorschrift rekursiv
(recurrere = ständig aus dem Vorgänger gebildet).
z.B(A).: die Folge aller durch 3 teilbaren Zahlen: 3; 6; 9; 12; ...
f(1) = 3
f(2) = 6
f(3) = 9
f(4) = 12
Die rekursive Bildungsvorschrift dieser Reihe heißt dann:
f(n+1) = f(n)+3
z.B(B).:
die Folge 1; 4; 7; 10; 13; .... hat die gleiche Bildungsvorschrift.
Es ist also außerdem notwendig für eine Rekursive Bildungsvorschrift das Anfangsglied,
oder in einigen Ausnahmefällen auch ein beliebiges anderes Glied der Folge anzugeben.
Die rekursiven Bildungsvorschriften der beiden letzten Folgen heißen demnach:
(A): f(1) = 3 f(n+1) = f(n)+3
(B): f(1) = 1 f(n+1) = f(n)+3
Übungsaufgaben:
5. Geben Sie jeweils drei weitere Glieder der arithmetischen Folgen und die rekursive Bildungsvorschrift
an!
a) 2; 7; 12; .... b) 15; 7,5; 0; .... c) -1; -3;
6. Berechnen Sie die ersten sechs Glieder der Folgen!
a) f(1) = 4; f(n+1) = f(n) - 8 b) f(3) = 15; f(n+1) = f(n) + 5 c) f(5) = 0; d = 12
Natürlich ist die Rekursive Bildungsvorschrift aufwendig, wenn man das 100ste Glied
bestimmen will.
Berechnen Sie das Taschengeld, würde der Vater aus der Einstiegsaufgabe die Variante 1
einhundert Tage lang bezahlen.
15+99*5 =510
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I. Böhm Seite 8 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Explizite Zuordnungsvorschrift
Aus der rekursiven Bildungsvorschrift ist leicht die explizite Bildungsvorschrift zu
finden. (explicare = erklären)
f n =f 1d⋅ n−1
z.B.: Taschengeld:
Tage 1 2 3 4
Geld 15 20 25 30
f(n) = f(1) + d * (n-1)
f(2) = 15 + 5 * 1 = 20
f(3) = 15 + 5 * 2 = 25
Vergleiche mit linearer Funktion.: y = mx+n
Hausaufgaben:
7. Berechnen Sie die ersten sechs Glieder der arithmetischen Folge f(n), von der Sie die folgenden
Werte kennen! Bestimmen Sie außerdem auch f(15) und f(27).
a) f(2) = 7; d = -1,5 b) f(5) = 25; d = -0,01
c) f(3) = 11; f(8) = 31 d) f(13) = -6; f(22) = -9
e)
Formelumstellungen
f n-1 = f n - d
f n −f m
d=
n−m
f 1 =f n−d n−1
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I. Böhm Seite 9 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Geometrische Folgen
Geometrische Folgen entsehen, wenn der Wert eines Gliedes ermittelt wird, indem man
zum Vorgängerglied einen konstanten Wert multipliziert.
Der Quotient aus jedem beliebigen Folgeglied und seinem Nachfolgeglied hat damit
immer denselben Wert.
Definition:
Eine Zahlenfolge heißt geometrische Folge, wenn es eine Zahl q (Quotient) gibt, sodass sich
jedes Folgeglied aus seinem Vorgänger * q errechnet: f(n+1) = f(n)*q.
Rekursive Zuordnungsvorschrift:
Übungsaufgaben:
f n1 =f n ⋅q oder f n=f n−1⋅q
8. Geben Sie jeweils die ersten sechs Glieder der geometrischen Folgen und die rekursive
Bildungsvorschrift an!
a) 2; 6; 18; .... b) 3; 9; 27; ... c) 4; 2; 1; ....
9. Berechnen Sie die ersten sechs Glieder der Folgen!
a) f(1) = 2; f(n+1) = f(n)*1,1 b) f(1) = 3; f(n+1) = f(n)*1,1 c) f(5) = 0,2; q = 5
Natürlich ist es auch für geometrische Folgen sinnvoll, die explizite Bildungsvorschrift zu
finden, wenn weit entfernte Folgeglieder ermittelt werden sollen.
Berechnen Sie das Taschengeld, würde der Vater aus der Einstiegsaufgabe die Variante 2
auf 20 Tage ausdehnen.
Explizite Zuordnungsvorschrift
0.01*3 19 =11 622 614,67
Aus der rekursiven Bildungsvorschrift ist leicht die explizite Bildungsvorschrift zu
finden.
f n =f 1⋅q n−1
Beachte den Unterschied zur bisherigen Formel der Zinseszinsrechnung:
K n =K0⋅q n Die unterschiedlichen Exponenten n und (n-1) entstehen durch die
unterschiedliche Bezeichnung der ersten Folgeglieder. Bei der Zinseszinsrechnung haben
wir mit der Einzahlung im Jahr 0 begonnen K(0). Die Explizite Zuordnungsvorschrift
beginnt mit dem Folgeglied f(1). Aufgabenformulierungen beachten!
Hausaufgaben Lehrbuch S. 121 Nr. 6; 7; 8a)
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I. Böhm Seite 10 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Formelumstellungen
q= f n
f n−1 = f n1
f n
n=log q
f n 1
f n−1 = f n
q
q= f m
f n 1
m−n = m−n
f m
f n
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I. Böhm Seite 11 18.01.2006

Reihen
Einstiegsaufgabe
In einem runden Zirkuszelt besteht die innerste Sitzplatzreihe aus 100 Sitzplätzen. In jedem weiteren Rund
kommen jeweils 2 Sitzplätze hinzu. Insgesamt hat der Zirkus 15 Zuschauerreihen.
a) Geben Sie die Sitzplätze der ersten fünf Runden an! (100; 102; 104; 106; 108)
b) Geben Sie die Zahl der Sitzplätze im äußersten Rund an! (f(15) = 128 = 100+2*14)
c) Wie viele Sitzplätze fasst der Zirkus insgesamt
(100+102+104+...+128 = 1710)
Definition
Eine Reihe ist die Teilsumme (Partialsumme) der ersten n Glieder einer Folge.
s(n) = f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)
s(1) = f(1) = 100
s(2) = s(1) + f(2) = 100+102 = 202
s(3) = s(2) + f(3) = 202+104 = 306
s(4) = s(3) + f(4) = 306+106 = 412
s(n) = s(n-1)+f(n)
Letztlich ist die Summe einer Folge selbst wieder eine Folge.
Arithmetische Reihen
Definition
Eine arithmetische Reihe s(n) ist die Teilsumme (Partialsumme) der ersten n Glieder einer
arithmetischen Folge f(n) = f(1) + d*(n-1) .
Formelentwicklung
Es ist mühsam, die Summen stets durch fortgesetzte Addition zu finden.
Addieren Sie alle natürlichen Zahlen von 1 bis 100!
1+2+3+4+...+100 =
Der Knabe Carl Friedrich Gauss verblüffte seinen Lehrer als er ihm, bereits nach wenigen
Minuten, die Lösung präsentierte, ohne Nutzung eines Taschenrechners. (etwa im Jahr 1787)
Lösungsansatz:
1+100 = 101; 2+99 = 101; 3+98 = 101; .... ; 50+51 = 101 50*101 = 5050
Carl Friedrich Gauss, deutscher Mathematiker, Physiker und Astronom,
* 30. 4. 1777 Braunschweig, † 23. 2. 1855 Göttingen; dort seit 1807 Direktor der Sternwarte;
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I. Böhm Seite 12 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
bahnbrechend auf fast allen Gebieten der Mathematik; fand 1796 die Konstruktion des
regelmäßigen 17-Ecks; Arbeiten aus der Algebra (Fundamentalsatz der Algebra). Sein Hauptwerk
„Disquisitiones arithmeticae” 1801 wurde maßgebend für die moderne Zahlentheorie; ferner
Abhandlungen über das Parallelaxiom, Berechnung von Planetenbahnen, Arbeiten über
Landesvermessung (Ausführung der Landestriangulation von Hannover mit dem Physiker W. Weber)
und über Erdmagnetismus und Elektrizität, Verfeinerung von Messverfahren, Konstruktion des
ersten elektromagnetischen Telegrafen (1833), Berechnung der Lage des magnetischen Nordpols,
Zurückführung aller Maßeinheiten auf die Einheiten der 3 Grundgrößen Länge, Zeit, Masse.
Die Aufgabe mit den Stuhlreihen lässt sich ähnlich bearbeiten.
228*7 + 114 = 1710
Die Sache geht hier nicht so schön auf, wie bei Gauss, weil die Zahl der Folgenglieder
ungerade ist. (15 Sitzreihen)
Trotzdem funktioniert die Verwendung der Formel für alle arithmetische Summen:
s n =[f 1 f n ]⋅ n 2
Für die Darstellung von Summen verwendet man das Summenzeichen.
Übungsaufgaben
n
. sn =∑
k=1
f 1d⋅k−1=[f 1 f n]⋅ n 2
Für Bodenuntersuchungen werden Bohrarbeiten an eine Spezialfirma vergeben, die für den ersten Meter
25,--€ und für den weiteren Meter 5,--€ mehr als für den jeweils vorhergehenden Meter verlangt.
Mit welchen Kosten muss der Auftraggeber rechnen, wenn 40 Meter tief gebohrt werden soll
f(1) = 25 f(40) = 25+39*5 = 222
s(40) = (25+220)*20 = 4900 Die Kosten belaufen sich auf 4900,-- €.
Hausaufgaben:
10. Gegeben ist die Folge aller ungeraden natürlichen Zahlen.
a) Berechnen Sie die Summe aller ungeraden natürlichen Zahlen von 1 bis 199!
b) Berechnen Sie die Summe aller ungeraden natürlichen Zahlen von 1 bis 9!
c) Über wie viele Folgenglieder muss die Summe gebildet werden, um die Summe 2500 zu
erreichen
d) Welchen Wert hat das Folgenglied aus Aufgabe c)
(Bis zu welcher natürlichen Zahl muss addiert werden, um 2500 zu erreichen)
11. Eine endliche arithmetische Folge hat die Differenz -2 und als letztes Glied die Zahl 17.
a) Wie viele Glieder hat die Folge, wenn die Summe aller Glieder 897 beträgt
b) Das wievielte Glied ist 43, wenn die Folge 50 Glieder hat
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I. Böhm Seite 13 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Geometrische Reihen
Definition
Eine geometrische Reihe s(n) ist die Teilsumme (Partialsumme) der ersten n Glieder einer
geometrischen Folge f(n) = f(1)*q (n-1) .
Beispielaufgabe
12. Für Bodenuntersuchungen werden Bohrarbeiten an eine Spezialfirma vergeben, die für den ersten
Meter 20,--€ und für jeden weiteren Meter 10% mehr als für den jeweils vorhergehenden Meter
verlangt.
Mit welchen Kosten muss der Auftraggeber rechnen, wenn 40 Meter tief gebohrt werden soll
Lösungsansatz:
Folge:
f(1) = 20,-- € f(n+1) = f(n) * 1,1 ;oder f(n) = f(1) * q (n-1)
20,00; 22,00; 24,2; 26,62; ..... ; 822,90
Auch hier interessiert weniger der Preis jedes einzelnen Meters, sondern der Preis der
gesamten Bohrung, also die Summe der Folge, die Reihe.
s(1) = f(1) = 20 = 20
s(2) = s(1) + f(2) = 20+22 = 42 = 20 + 20 * 1,1
s(3) = s(2) + f(3) = 42+24,2 = 66,2 = 20 + 20 * 1,1 + 20 * 1,1²
s(4) = s(3) + f(4) = 66,2+26,62 = 92,82 = 20 (1 + 1,1 + 1,1² +
1,1³)
s(n) = s(n-1)+f(n)
Formelherleitung
Die Formelherleitung ist dem Lehrbuch auf S. 120 anhand dieses Beispiels zu entnehmen.
Wir verwenden einfach aus Tabellenbüchern die Formel für geometrische Reihen:
sn =f 1⋅ qn −1
q−1 = 1−qn
1−q
im Beispiel:
s 40= 1,140 −1
1,1−1 = 1,140 −1
=8851,85
0,1
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I. Böhm Seite 14 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Übungsaufgaben
13. Das Grundstück für ein Hochhaus kostet 500.000€. Die Baukosten für die unterste Etage betragen
200.000€. Für jede weitere Etage steigen die Baukosten um 12% gegenüber der darunter liegenden.
a) Wie hoch sind die Baukosten für 12 Etagen
b) Wie hoch kann mit einem Etat von 30,6 Mill. Euro gebaut werden
14. Die Eltern eines Kindes richten bei dessen Geburt ein Konto von 1000,--€ ein und zahlen an jedem
Geburtstag weitere 1000,--€ ein. Das Guthaben wird über die gesamte Laufzeit mit 4% verzinst. Wie
hoch ist das Guthaben am 18. Geburtstag des Kindes
Eine schwere Aufgabe:
15. Am 18. Geburtstag erhält eine Jugendliche von ihren Eltern ein Guthaben von 27.671,23 € geschenkt.
Das Guthaben wird mit 4% verzinst. Welcher Betrag kann zu diesem und jedem folgenden Geburtstag
entnommen werden, wenn das Guthaben am 25. Geburtstag genau aufgebraucht sein soll
16. Es soll ein Turm aus immer kleiner werdenden Quadraten gebaut werden. Das erste Quadrat hat die
Seitenlänge 32cm, das zweite nur die halbe Seitenlänge 16cm, das nächste wieder nur die halbe
Seitenlänge 8cm usw.
a) Welche Fläche hat ein solcher Turm nach 10 Quadraten
b) Welche Fläche hat ein solcher Turm nach 100 Quadraten
c) Mit Excel kann die Fläche immer weiter berechnet werden. Was stellen Sie fest
17. Es soll ein Turm aus immer kleiner werdenden Würfeln gebaut werden. Der erste Würfel hat die
Kantenlänge 32cm, der zweite nur die halbe Kantenlänge 16cm, der nächste wieder nur die halbe
Kantenlänge 8cm usw.
a) Welches Volumen hat ein solcher Turm nach 10 Würfeln
b) Welches Volumen hat ein solcher Turm nach 100 Würfeln
c) Mit Excel kann die Fläche immer weiter berechnet werden. Was stellen Sie fest
18. Angenommen: Eine Bank zahlt für das Guthaben von einem Euro jährlich 100% Zinsen, dann ist das
Guthaben am Ende des Jahres auf 2 Euro gewachsen.
a) Wie hoch ist das Guthaben am Jahresende, wenn die Bank vierteljährlich 25% Zinsen und
Zinseszinsen zahlt
b) Wie entwickelt sich das Guthaben, wenn die Bank in immer kleineren Zinsperioden verzinst,
wobei der Zinssatz jener Teil von 100% ist, den die Zinsperiode an einem ganzen Jahr
einnimmt.
Beispiel: Zinsperiode 1 Monat → Zinssatz: 100% / 12 ≈ 8,333%
Das Verhalten von Zahlenfolgen im Unendlichen
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I. Böhm Seite 15 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Bisher haben wir endliche Folgen und Reihen anhand von Problemstellungen, meist der
Finanzmathematik, betrachtet. (Wie groß ist das Kapital/der Buchwert nach 25 Jahren)
Im Folgenden werden immer mehr innermathematische Probleme von Zahlenfolgen
behandelt werden. Dabei beginnen wir, Kennwerte von unendlichen Folgen zu
untersuchen.
Folgen, welche N * als Definitionsbereich haben, sind unendliche Folgen.
Beispiel: Eine Maschine mit dem Anschaffungswert von 100.000,00 € wird mit 20%
degressiv abgeschrieben.
Aufgabe:
120000
110000
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
Stellen Sie die Buchwerte der Maschine am Jahresende über die ersten 20 Jahre in
einem geeigneten Diagramm dar!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Fragen: 1. Welchen Restbuchwert hat die Maschine nach unendlich vielen Jahren
2. Wie verhalten sich die Glieder gegenüber ihrem Vorgänger
3. Gibt es einen größten und einen kleinsten Wert, zwischen dem alle
Folgenglieder liegen
Antworten:
1. Der Buchwert der Maschine rückt der ‚0‘ immer näher, ohne diese jemals zu
erreichen.
Man sagt die Folge hat im Unendlichen den Grenzwert 0.
2. a) Jedes Folgeglied ist kleiner als sein Vorgänger.
B) Man sagt, die Folge ist streng monoton fallend.
3. Der größte Wert ist 80.000 und der kleinste Wert 0.
Man nennt die Folge beschränkt.
Die Folge ist nach oben beschränkt durch 80.000.
Die Folge ist nach unten beschränkt durch 0.
Anschaulich heißt dies, die Folge verläuft in dem Streifen von 80.000 und 0.
Jeder Wert ab 80.000 oder oberhalb heißt obere Schranke der Folge.
Jeder Wert unterhalb der 0 und die Null selbst ist untere Schranke der Folge.
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I. Böhm Seite 16 18.01.2006

1
- 1
0
Folgen – Bildungsvorschriften
Beschränktheit und Schranke
Eine Folge heißt nach oben beschränkt, wenn kein Wert der Folge größer ist als eine
bestimmte Zahl S 0. S≥f n n∈N ¿
Die Zahl S 0 heißt obere Schranke.
Jede Zahl, die größer als S 0 ist, ist ebenfalls eine obere Schranke.
Finden Sie die Definition für untere Schranke S u!
Sinngemäß heißt eine Folge nach unten beschränkt, ....
Beispiel: Gegeben ist die Folge f n = 3 n
−1
Geben Sie die ersten 5 Glieder der Folge an!
Stellen Sie die Folge grafisch dar!
Geben Sie mindestens 5 obere und 5 untere Schranken an!
Folgenglieder: − 1 3 ; 1 9 ;− 1
27 ; 1
81 ;− 1
243 ;...
Darstellungsmöglichkeiten:
Koordinatensystem:
0,15
0,1
0,05
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
-0,3
-0,35
-0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Zahlenstrahl:
obere Schranke
untere Schranke
-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2
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I. Böhm Seite 17 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Monotonie
Eine Folge heißt streng monoton steigend, wenn der Wert jedes Folgegliedes größer ist
als sein Vorgänger. f n1 f n
Eine Folge heißt streng monoton fallend, wenn der Wert jedes Folgengliedes kleiner ist
als sein Vorgänger. f n1 f n
Beispiel: Die Folge f n = −1 3 n ist weder monoton steigend noch monoton fallend. Sie
heißt alternierende Folge.
Beispiel:
Untersuchen wir die Folge f n = 2n−1
n1
auf Monotonie.
Folge: 0,5; 1; 1,25; 1,4; 1,5; .....
streng monoton wachsend: f(n+1) > f(n)
Aufgaben:
Lb. S. 153 Nr.: 3 b, c, d
Nachweis von Schranken und Monotonie
Bisher haben wir die Schranken und die Monotonie der Folgen untersucht, indem wir uns
einige wenige Glieder der Folgen ansahen und dann auf die Schranken und die Monotonie
geschlossen haben.
Ein mathematisch korrekter Nachweis beinhaltet aber die Untersuchung aller Glieder!
Sehen wir uns die Nachweise am Beispiel der letzten Aufgaben an!
Lb. S. 153 Nr. 3b)
f n =5− 1 n
Behauptung: f n 5n∈N ¿
Beweis:
5− 1 n 5 −1 0 −10
n
Behauptung: f n ≥4n∈N ¿
Beweis:
5− 1 n ≥4 − 1 ≥−1 −1≥−n; n∈N¿
n
Behauptung:
Beweis:
f n1 f n
5− 1 n1 5−1 n −1 n1 −1 n −n−n1
nn1
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I. Böhm Seite 18 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Umstellungsregel für Ungleichungen:
Bei Multiplikation und Division mit ungeraden Zahlen ist das Vergleichszeichen
umzukehren!
Die folgenden beiden Nachweise führen Sie bitte selbst!
3c) f n =
n1
2n
Behauptung:
Beweis:
Behauptung:
Beweis:
Behauptung:
Beweis:
n1
2n 0
n1 n1
0
2n 2n 0n10
n1
2n ≤1
n1
2n
n1
≤1 ≤1 n1≤2n1≤n
2n
f n1 f n
n1 1
n1
2n1 2n
n2
2n2 n1 2n n2n12n2
2n
2n²4n2n²4n2
3d) f n =3n−1 n
Behauptung:
Beweis:
Behauptung:
Beweis:
3n−1 n ≥2
3n−2≥±1
f(n+1)>f(n)
3 n1−1 n1 3n−1 n 3n33n30
Aufgaben:
19. Untersuchen Sie die Folgen auf Schranken und Monotonie:
a) f(n) = n² – 25n
b) f n = n²
n−25,5
20. Lb. S. 153 Nr. 5. und 6.
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I. Böhm Seite 19 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Konvergenz von Zahlenfolgen (Grenzwerte)
Empirisches Erfassen des Begriffs „Grenzwert“
Ein Wirtschaftsgut mit
einem Neupreis von
100.000 € wird jährlich mit
20% degressiv
abgeschrieben. Die
Restbuchwerte der
einzelnen Jahre entsprechen
der Folge:
f n=100000·0,8 n−1
Diese Folge wird immer
niedrigere Werte annehmen.
Dennoch wird sie niemals
Null erreichen.
120000
110000
100000
90000
80000
70000
60000
50000
40000
30000
20000
10000
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ε
ε
Die Werte der Folgenglieder unterschreiten, mit größer werdendem n (n → ∞), jeden Abstand
von dem Wert 0. Sie nähern sich dem Wert 0 beliebig dicht.
Die Folge f(n) = 100000 · 0,8 n-1 hat den Grenzwert 0.
Abgesehen von wenigen ersten
Gliedern der Folge, liegen alle
weiteren Werte der Folge in einem
schmalen Streifen um den Wert 0.
Mathematische Definition des Begriffs „Grenzwert“
lim
n ∞
100000·0,8 n−1 =0
Die Größe des Abstandes vom Grenzwert g, nennt man üblicherweise ε (Epsilon).
Die Streifenbreite ist 2·ε. Diesen Streifen um den Grenzwert g nennt man
Epsilonumgebung.
Nähern sich die Werte einer Folge immer enger und beliebig dicht (ohne das ein Abstand
bleibt) einem bestimmten Wert an, heißt dieser Wert Grenzwert der Folge.
Mengenschreibweise für ε-Umgebung = {x| g-ε < x < g+ε} = {x| |x-g| < ε}
Aus der ε-Umgebung folgt die Definition des Grenzwertes:
Wenn es zu jeder ε-Umgebung ein Folgenglied gibt, ab dem alle weiteren Folgenglieder in der
ε−Umgebung liegen, dann hat die Folge einen Grenzwert (in der Mitte der ε-Umgebung).
Äquivalent dazu ist: g ist Grenzwert der Folge f, wenn zu jeder reellen Zahl ε mit ε > 0 eine natürliche
Zahl für n(ε) > 0 gibt, so dass für alle n > n(ε) gilt: |f(n) - g| < ε.
Anders ausgedrückt: Wenn ich sage eine Folge hat einen Grenzwert, dann bin ich in der Lage,
zu jedem Wert ε, so klein der auch ist, ein Folgenglied anzugeben, ab dem alle weiteren
Glieder weniger weit vom Grenzwert entfernt sind als ε.
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I. Böhm Seite 20 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Mit dieser Logik wird auch der Nachweis über einen Grenzwert geführt: →
Beweis von Grenzwerten
Behauptung: f(n) =100000*0,8 n-1 hat den Grenzwert 0.
Anschauung: Wir wählen ε = 0,001 |f(n)-g| < ε |100000*0,8 n-1 -0| = 0,001
|100000*0,8 n-1 | < 0,001 log 0,8 0,001
100000 1n83 ,55 n≥84
Beweis:
|f(n)-g| < ε |100000*0,8 n-1 -0| < ε
ε
ε
ε
100000 0,8n−1 log 0,8
ln
100000 1≤n ≥ 100000
1
ln0,8
q.e.d
Die Begriffe „Konvergent“ „Divergent“ und „Nullfolge“
Jede Folge, die einem Grenzwert zustrebt, heißt konvergent.
Jede Folge, die keinem Grenzwert zustrebt, heißt divergent.
Jede Folge, die dem Grenzwert Null zustrebt, heißt Nullfolge.
Mathematische Schreibweise von Grenzwerten
Im Lateinischen heißt Grenze Limes.
Wenn man schreiben will, dass die Folge f n=100000·0,8 n−1 den Grenzwert 0 hat, macht
man dies so:
lim f n = lim 100000· 0,8 n−1 =0
n∞ n∞
Man sagt: Limes für n gegen Unendlich der Folge ....... ist 0.
Übung zum Beweis von Grenzwerten
Bestimmung des Grenzwertes
Die Formeln für die ε-Umgebung ermöglichen es nicht Grenzwerte zu berechnen. Man kann
lediglich beweisen, dass eine Zahl von der man vermutet, dass sie der Grenzwert sei, wirklich
der Grenzwert ist.
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I. Böhm Seite 21 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Aufstellen einer Vermutung und Überprüfung
Häufig versucht man einen Grenzwert zu finden, indem man große Zahlen für n einsetzt,
und anschließend seine Vermutung überprüft.
21. Gegeben ist die Zahlenfolge f n = 4n
n3
a) Stellen Sie eine Vermutung über den Grenzwert auf!
b) Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Nachweisführung!
c) Weisen Sie nach, dass 3 kein Grenzwert der Folge ist!
Aufgabe 2:
Gegeben ist die Zahlenfolge f n = n²
5−4n²
1. Stellen Sie eine Vermutung über den Grenzwert auf!
2. Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Nachweisführung!
3. Weisen Sie nach, dass -0,5 kein Grenzwert der Folge ist!
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I. Böhm Seite 22 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Anwendung von Grenzwertsätzen
Anstatt die Existenz und die Lage von Grenzwerten jedesmal durch einen neuerlichen
Beweis anzustreben, kann man statt dessen Grenzwertsätze anwenden.
Mit Hilfe der Grenzwertsätze nutzt man bereits bekannte Grenzwerte, um damit auf
weitere Kompliziertere zu schließen.
Beispiel:
Gesucht ist der Grenzwert der Folge:
f n = 2n−1
n1
Die Polynomdivision liefert: f n =2− 3
n1
Grenzwertbestimmung:
3
lim f n = lim 2− lim
n∞ n∞ n ∞n1
¿ lim 2− lim 3·1
n∞ n∞ n1
¿2−3·0=0
Unbewiesen haben wir hier bereits Grenzwertsätze verwendet, die logisch und plausibel sind.
Auf einen Beweis der verwendeten, wie auch auf den Beweis anderer Grenzwertsätze soll hier
verzichtet werden.
Grenzwertsätze
Wenn lim f 1
n =g 1
und lim f 2
n=g 2
existieren ,
n∞
n ∞
dann gilt : lim [ f 1
n f 2
n ]= lim
n∞ n∞
und auch : lim
n∞ [ f 1 n ·f 2 n ]= lim
n∞
f 1
n lim f 2
n=g 1
g 2
n∞
f 2 n=g 1·g 2
f 1 n· lim
n∞
Wenn lim f 1
n =g 1
und lim f 2
n =g 2
mit g 2
≠0 existieren,
n∞
n∞
f
dann gilt : lim 1
n
lim f 1
n lim f 1
n
n0 f 2
n = n ∞
lim f 2
n = n ∞
lim f 2
n =g 1
g 2
n ∞
n ∞
Wenn lim f n =gexistiert und c∈R ist ,
n∞
dann gilt : lim
n∞
[c · f n ]=c · lim f n =c ·g
n∞
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I. Böhm Seite 23 18.01.2006

Folgen – Bildungsvorschriften
Zusammenfassende Aufgaben
1. Beweisen Sie lim f n = lim
n∞ n∞ 1 n =0
2. Ermitteln Sie g und beweisen Sie! lim
n∞ 5 1 n =g
Bestimmen Sie die Monotonie und weißen Sie Ihre Aussage nach!
3. Ermitteln Sie g und beweisen Sie! lim
n∞ n² 5− 1 =g
Bestimmen Sie die Monotonie und weißen Sie Ihre Aussage nach!
4. Ermitteln Sie g und beweisen Sie! lim n²=g
n∞
Bestimmen Sie die Monotonie und weißen Sie Ihre Aussage nach!
5. Ermitteln Sie g und beweisen Sie! lim
n∞ n²15 3n³ =g
Bestimmen Sie die Monotonie und weißen Sie Ihre Aussage nach!
6. Geben Sie von den Folgen
- obere und untere Schranke
- Monotonie
- Grenzwert
an und führen Sie die entsprechenden Nachweise!
Bestimmen Sie jeweils das Folgenglied, ab dem die Folgenwerte in der ε-Umgebung von
10 -6 liegen!
f n = n²−1
n1 ²
f n = 3n−1
n1
f n = 2n²−1
n1 ²
f n = 3n4 −2n²1
n²3
f n = 1 1 n n
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I. Böhm Seite 24 18.01.2006