Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung in Statistik I und II

Technische Universität Dresden, Professur für Verkehrsökonometrie und -statistik
Trainingsaufgaben zur Klausurvorbereitung
in Statistik I und II
Geburtstagsparadoxon
Auf einer Party kommen n Leute zusammen. Wir stellen uns die Frage, wie hoch die
Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass mindestens 2 Leute am gleichen Tag Geburtstag haben.
Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass keiner am 29. Februar Geburtstag hat und alle
Geburtstage gleichwahrscheinlich sind.
(a) Zunächst ist die Party mit n = 6 Personen noch klein. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
dass mindestens 2 Leute am gleichen Tag Geburtstag haben Um wieviel
ist diese Wahrscheinlichkeit höher als bei n = 2 Personen
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P n für beliebige n. Sie können für kleine x von
der Näherung
1 − x ≈ e −x
Gebrauch machen. Praktisch ist auch noch die Gauß’sche Summenformel
1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) =
n(n − 1)
.
2
(c) Ab wieviel Leuten ist P n ≥ 0.5, d.h. wann lohnt es sich zu wetten
Lösung: Geburtstagsparadoxon
Kurze Variante:
Person A hat mit der Wahrscheinlichkeit 1/365 am 1. Januar Geburtstag. Dementsprechend
ist die Wahrscheinlichkeit für nicht am 1. Januar Geburtstag 364/365. Dass
Person B an einem anderen Tag als Person A Geburtstag hat, hat die Wahrscheinlichkeit
364/365. Die Wahrscheinlichkeit für Person C an einem anderen Tag als A oder
B ist 363/365 etc. Mit dem Ereignis A = “n Leuten haben an verschiedenen Tagen
Geburtstag” ergibt sich durch Multiplikation
Bevor wir losrechnen, gibt es noch den
P(A) = 365
365 · 364
365 · 363 365 − (n − 1)
· . . .
365 365
(1)
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0.1 Ausführlichen, formalisierten Ansatz:
Zunächst müssen wir versuchen, ein geeignetes Ereignis zu definieren. Die Aufgabe zielt
darauf ab, die Wahrscheinlichkeit P zu messen von
A(n) = “mind. 2 von n Leuten haben am gleichen Tag Geburtstag”. (2)
Wir betrachten das Komplement
A(n) = “n Leute haben an verschiedenen Tagen Geburtstag”. (3)
Das Ereignis A(n) kann man aufbröseln, indem man es zerlegt in die Ereignisse mit
durchnummerierten Personen
(a) A 12 “Wahrscheinlichkeit, dass Person 1 und 2 an verschiedenen Tagen Geburtstag
haben”,
(b) A 123 “Wahrscheinlichkeit, dass Person 1,2 und 3 an verschiedenen Tagen Geburtstag
haben”,
(c) . . .,
n. A 123...n “Wahrscheinlichkeit, dass Person 1, 2, 3 . . .n an verschiedenen Tagen Geburtstag
haben”.
Dafür lassen sich intuitiv bedingte Wahrscheinlichkeiten angeben (die Bedingungen stellen
sicher, dass wirklich alle Personen an verschiedenen Tagen Geburtstag haben):
P(A 12 |A 1 ) = 364
365
P(A 123 |A 1 ∩ A 12 ) = 363
365
365 − (n − 1)
P(A 12...n |A 1 ∩ A 12 ∩ · · · ∩ A 12...n ) =
365
Jetzt kann man die formale Rechnung beginnen, wobei wir die Verallgemeinerung des
Multiplikationstheorems verwenden 1
P(A(n)) = P(A 1 ∩ A 12 ∩ A 123 ∩ . . .A 123...n )
= P(A 1 ) · P(A 12 |A 1 ) · · · · · P(A 12...n |A 1 ∩ A 12 . . .A 12...(n−1) ).
Die Wahrscheinlichkeiten P(A 12 |A 1 ) etc. haben wir uns schon überlegt. Bleibt noch
P(A 1 ). Dazu stellen wir uns den Fall mit n = 1 vor. Welchen Wert würde man P(A(1))
1 Es gilt
P(A 1 ∩A 2 ∩A 3 ∩. . . A n) = P(A 1) ·P(A 2|A 1) ·P(A 3|A 1 ∩A 2) · · · P(A n|A 1 ∩A 2 ∩. . . A 12...(n−1) ), (4)
was man durch Ausschreiben der bedingten Wahrscheinlichkeiten der rechten Seite und anschliessendes
Kürzen leicht sieht.
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sinnvollerweise zuordnen Damit die Aufgabe nicht trivial wird (man selbst hat immer
am gleichen Tag wie man selbst Geburtstag), definieren wir P(A(1)) ≡ P(A 1 ) = 0 und
entsprechend P(A 1 ) = 1 − P(A 1 ) = 1. Man erhält also das Produkt
P ( A (n) ) = 1 · 364
365 · 363 365 − (n − 1)
· . . .
(
365 365
= 1 · 1 − 1 ) (
· 1 − 2 ) (
· · · · · 1 − n − 1 )
365 365 365
Unf jetzt die Näherung:
Für größere n oder den Aufgabenteil 3 ist dieser Ausdruck zu umständlich. Wir wollen
durch eine Näherung das Produkt vereinfachen, indem wir ausnutzten, dass man für
kleine x auch schreiben kann
1 − x ≈ e −x . (5)
Damit lautet der Ausdruck
P(A(n)) ≈
1 · e −1/365 · e −2/365 · . . .e −(n−1)/365
= e − 1
365 (1+2+3+...+(n−1))
= e − 1
365 · n(n−1)
2 ,
wobei wir im letzten Schritt die Gauss’sche Summenformel
1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) =
n(n − 1)
2
verwendet haben. Damit erhält man also die Näherungsformel
(6)
P(A(n)) = 1 − P(A(n))
≈ 1 − e − 1 n(n−1)
365 2 .
Party mit 6 Leuten
Berechnen wir erstmal mit der eben gewonnenen Formel die Wahrscheinlichkeiten für
n = 6 und n = 2 aus:
P(A(6)) = 1 − e − 6·5
730 ≈ 0.04026
P(A(2)) = 1 − e − 2·1
730 ≈ 0.002735
Aus dem Verhältnis der Zahlen ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeit um ca. den
Faktor 15 erhöht ist. Auf den ersten Blick paradox, oder 2 Wir könnten uns auch die
Mühe machen und die Ergebnisse exakt, d.h. ohne Näherung berechnen:
P (A (2)) = 1 − 1 · 364
365
≈ 0.002740.
2 Dieses Problem wird gerne als Paradoxie bezeichnet, aber es ist eher gegen die Intuition als wirklich
paradox.
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P (A (6)) = 1 − 1 · 364
365 · 363
365 · 362
365 · 361
365 · 360
365
≈ 0.04046
Der Fehler durch die Näherung ist also (zumindest für n ≤ 6) klein.
Wann ist P(A(n)) ≥ 0.5
Wir können die Bestimmungsgleichung für n hinschreiben:
1 − e − 1 n(n−1)
365 2 ≥ 1 2 . (7)
Logarithmieren der Gleichung und ln1/2 = − ln2 führen auf
− ln2 ≥ −
n(n − 1)
. (8)
730
Multiplizieren mit −1 dreht das Ungleichheitszeichen um und es ergibt sich die quadratische
Gleichung
0 ≤ n 2 − n − 730 ln2. (9)
Lösung mit der “pq”-Formel 3 (wobei nur die positive Lösung sinnvoll ist):
n = 1 2 + √730 ln2 + 1 4
≈ 22.98. (11)
Also ist für eine Gruppe mit n ≥ 23 die Wahrscheinlichkeit größer als 50%, dass zwei
Leute am gleichen Tag Geburtstag haben. Man kann noch das Ergebnis der Näherung
mit der “richtigen Lösung” ohne Näherung vergleichen, indem man einen Computer
befragt:
P(A(23)) exakt ≈ 0.507
P(A(23)) genaehrt ≈ 0.500
Die Näherung führt also – wenn auch knapp – zum gleichen n.
3 Eher für mich als für den Rest der Welt: x 2 + px + q = 0 wird gelöst durch
x 1/2 = − p r
p
2 ± 2
− q. (10)
4
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1
0.8
P(Doppelgeburtstag)
0.6
0.4
0.2
0
n
pDoppel(n)
n
pDoppelNaeh(n)
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Groesse n der Gruppe
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