6 Kreisbewegung - physica.ch
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6 <strong>Kreisbewegung</strong><br />
Ein einäugiges Monster? Eine Kaffeemühle?<br />
Nein, eine Zentrifuge für Astronauten.<br />
Warum die NASA ihre Astronauten dur<strong>ch</strong>s<strong>ch</strong>leudert<br />
und was die Astronauten dabei<br />
dur<strong>ch</strong>ma<strong>ch</strong>en – dies erfahren Sie in diesem<br />
Kapitel<br />
Quelle: images.jsc.nasa.gov
Inhaltsverzei<strong>ch</strong>nis<br />
6 <strong>Kreisbewegung</strong> .................................................................................................... 1<br />
6.1 <strong>Kreisbewegung</strong>en ......................................................................................... 3<br />
6.2 Die Wahl des optimalen Koordinatensystems .............................................. 3<br />
6.2.1 Das Bogenmass .................................................................................... 3<br />
6.2.2 Die Winkelges<strong>ch</strong>windigkeit .................................................................... 4<br />
6.3 Die glei<strong>ch</strong>förmige <strong>Kreisbewegung</strong> ................................................................ 4<br />
6.3.1 Die Zentripetalbes<strong>ch</strong>leunigung .............................................................. 5<br />
6.4 Die Zentripetalkraft ....................................................................................... 6<br />
6.4.1 Ursa<strong>ch</strong>en der Zentripetalkraft ................................................................ 6<br />
6.4.2 Experimentelle Überprüfung der bisherigen Theorie ............................. 7<br />
6.4.3 Einfa<strong>ch</strong>e Anwendungen ........................................................................ 8<br />
6.4.4 S<strong>ch</strong>wierigere Anwendungen ................................................................ 10<br />
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2
6.1 <strong>Kreisbewegung</strong>en<br />
Das folgende Kapitel bes<strong>ch</strong>äftigt si<strong>ch</strong> mit Bewegungen von Körpern, wel<strong>ch</strong>e einer<br />
Kreisbahn folgen. Diese Situation tritt sehr häufig auf: Überall, wo rotierende Objekte<br />
auftreten (Räder, S<strong>ch</strong>wungmassen, Gyroskope, etc…) bewegen si<strong>ch</strong> Massepunkte<br />
auf Kreisbahnen. Immer dann, wenn Fahr- oder Flugzeuge eine Kurve bes<strong>ch</strong>reiben,<br />
bewegen sie si<strong>ch</strong> teilweise auf einer Kreisbahn. Die na<strong>ch</strong>folgenden Abs<strong>ch</strong>nitte sollen<br />
die Grundlagen zur Bes<strong>ch</strong>reibung sol<strong>ch</strong>er Bewegungen liefern.<br />
6.2 Die Wahl des optimalen Koordinatensystems<br />
Anders als bisher handelt es si<strong>ch</strong> bei einer <strong>Kreisbewegung</strong> um<br />
zweidimensionale Bewegungen, was sie Sa<strong>ch</strong>e ein wenig<br />
kompliziert ma<strong>ch</strong>t. So zeigt Abbildung 1a ein Auto, das si<strong>ch</strong> auf<br />
einer kreisförmigen Bahn bewegt. Darübergelegt sieht man ein<br />
Koordinatengitter. Die Position P(x/y) des Fahrzeugs kann jederzeit<br />
einfa<strong>ch</strong> angegeben werden, man muss nur die Koordinaten<br />
x und y kennen. Aber genau hier liegt die S<strong>ch</strong>wierigkeit:<br />
Sowohl die Ortskoordinate x wie au<strong>ch</strong> y sind zeitabhängig! Um<br />
uns das Leben zu vereinfa<strong>ch</strong>en, überlegen wir mal, ob es hier<br />
ni<strong>ch</strong>t ein besseres System zur Bes<strong>ch</strong>reibung der Position gäbe.<br />
Eigentli<strong>ch</strong> ist es do<strong>ch</strong> so, dass das Fahrzeug einen Abstand r<br />
vom Ursprung des x-y Koordinatensystems hat, wie in<br />
Abbildung 1b) gezeigt ist. Zusätzli<strong>ch</strong> s<strong>ch</strong>liesst r mit der x-<br />
A<strong>ch</strong>se einen Winkel � ein. Somit ist die Position P(r/�) des<br />
Fahrzeugs dur<strong>ch</strong> die Angabe des Abstandes r vom Ursprung<br />
und den Winkel � ebenfalls eindeutig bestimmt. Man spri<strong>ch</strong>t<br />
au<strong>ch</strong> von Polar- oder Kreiskoordinaten.<br />
Für uns vereinfa<strong>ch</strong>t si<strong>ch</strong> die Sa<strong>ch</strong>e nun: Da der Mittelpunkt der<br />
<strong>Kreisbewegung</strong> im Koordinatenursprung liegt, verändert si<strong>ch</strong> der Abstand r ni<strong>ch</strong>t<br />
und entspri<strong>ch</strong>t au<strong>ch</strong> glei<strong>ch</strong> no<strong>ch</strong> dem Radius der Kreisbahn. Die einzige zeitabhängige<br />
Grösse ist der Winkel � .<br />
6.2.1 Das Bogenmass<br />
Speziell an diesem Winkel � ist eigentli<strong>ch</strong> nur, dass er im Bogenmass<br />
angegeben werden muss! Aber au<strong>ch</strong> das ist nur halb<br />
so kompliziert, wie es si<strong>ch</strong> anhört. Die Winkelangabe im Bogenmass<br />
ist definiert als das Verhältnis von Bogenlänge zu<br />
Radius (vgl Abbildung 2)<br />
Der Vollwinkel entspri<strong>ch</strong>t damit<br />
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b<br />
� � . (6.1)<br />
r<br />
Abbildung 1 Die Wahl<br />
des optimalen<br />
Koordinatensystems ist<br />
ents<strong>ch</strong>eidend für eine<br />
einfa<strong>ch</strong>e Bearbeitung.<br />
Abbildung 2 Zur<br />
Definition des<br />
Bogenmasses.<br />
Umfang 2�r<br />
� � 2�<br />
. (6.2)<br />
Radius r<br />
3
6.2.2 Die Winkelges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
Wir befassen uns mit Bewegungen, bei denen ein Objekt<br />
mit einer Ges<strong>ch</strong>windigkeit v auf der Kreisbahn unterwegs<br />
ist, wie in Abbildung 3 dargestellt. Mit der Zeit ändert si<strong>ch</strong><br />
der Winkel � natürli<strong>ch</strong>, was der Mathematiker so s<strong>ch</strong>reibt:<br />
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�<br />
�<br />
t<br />
�<br />
� . (6.3)<br />
�<br />
Der Physiker identifiziert die Grösse � eindeutig als eine<br />
Ges<strong>ch</strong>windigkeit und nennt sie entspre<strong>ch</strong>end Winkelges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
mit der Einheit<br />
��� ���� �� �<br />
1<br />
� �<br />
t s<br />
(6.4)<br />
Au<strong>ch</strong> die Beziehung zwis<strong>ch</strong>en der Ges<strong>ch</strong>windigkeit v und der Winkelges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
� ist s<strong>ch</strong>nell gefunden:<br />
�� �b �b<br />
����r· ���v.<br />
(6.5)<br />
�t �t· r �t<br />
Zusätzli<strong>ch</strong> tau<strong>ch</strong>t in diesem Zusammenhang die Zeitspanne � t auf, wel<strong>ch</strong>e ein Objekt<br />
für eine volle Umdrehung brau<strong>ch</strong>t. Man nennt sie die Umlaufzeit 1 T und für sie<br />
gilt<br />
6.3 Die glei<strong>ch</strong>förmige <strong>Kreisbewegung</strong><br />
Abbildung 3 Zur<br />
Bes<strong>ch</strong>reibung der<br />
glei<strong>ch</strong>förmigen<br />
<strong>Kreisbewegung</strong>.<br />
Umfang 2�r 2�r<br />
v���T� . (6.6)<br />
benötigte Zeit T v<br />
Genau wie bei der Kinematik wollen wir uns zunä<strong>ch</strong>st mit <strong>Kreisbewegung</strong>en befassen,<br />
bei denen das Objekt mit konstanter Ges<strong>ch</strong>windigkeit v auf der Kreisbahn unterwegs<br />
ist. Dementspre<strong>ch</strong>end wird au<strong>ch</strong> die Winkelges<strong>ch</strong>windigkeit � konstant sein.<br />
Man spri<strong>ch</strong>t dann von glei<strong>ch</strong>förmiger <strong>Kreisbewegung</strong>.<br />
Interessant ist aber die Tatsa<strong>ch</strong>e, dass das Objekt ständig seine Ri<strong>ch</strong>tung ändert –<br />
es muss deshalb eine Kraft auf das kreisende Objekt einwirken. Da die Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
v jedo<strong>ch</strong> konstant ist, muss die Kraft zwingend senkre<strong>ch</strong>t zum Ges<strong>ch</strong>windigkeitsvektor<br />
stehen – sie zeigt somit zum Kreismittelpunkt hin. Wir wollen nun ermitteln,<br />
wie gross die aufgrund der Kraft erzeugte Bes<strong>ch</strong>leunigung ist.<br />
1 In späteren Zusammenhängen au<strong>ch</strong> Periodendauer oder einfa<strong>ch</strong> Periode genannt.<br />
4
6.3.1 Die Zentripetalbes<strong>ch</strong>leunigung<br />
Ohne die wirkende Kraft würde si<strong>ch</strong> das Auto in Abbildung 4 in<br />
der Zeit � t von Punkt P 1 na<strong>ch</strong> Punkt P 2 bewegen. Tatsä<strong>ch</strong>li<strong>ch</strong><br />
'<br />
befindet es si<strong>ch</strong> na<strong>ch</strong> der Zeit � t aber im Punkt P 2 , der auf der<br />
Kreisbahn liegt. Die wirkende Kraft hat also dafür gesorgt,<br />
dass der Wagen ni<strong>ch</strong>t um die Strecke � s na<strong>ch</strong> aussen geruts<strong>ch</strong>t<br />
ist. Wir bere<strong>ch</strong>nen das re<strong>ch</strong>twinklige Dreieck mit den<br />
Seiten v· � t,<br />
r und r� s.<br />
aufgelöst ergibt si<strong>ch</strong><br />
oder<br />
( r s) ( v· t) r<br />
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2 2 2<br />
�� � � � (6.7)<br />
� � 2<br />
r �2�sr ��s �v �t � r<br />
2 2 2 2<br />
� � 2<br />
2<br />
�s(2 r ��s) �v � t . (6.8)<br />
Wenn man nur sehr kleine Zeiten � t betra<strong>ch</strong>tet, so ist die Strecke � s sehr viel kleiner<br />
als der Radius r . Damit wird die linke Klammer in (6.8) vereinfa<strong>ch</strong>t zu<br />
2r��s� 2rund<br />
man erhält<br />
� �<br />
respektive<br />
� � 2<br />
2<br />
2r s v t<br />
� � � (6.9)<br />
2 � �<br />
1 v 2<br />
�s�� ���<br />
t�.<br />
(6.10)<br />
2 � r �<br />
Zusätzli<strong>ch</strong> wissen wir, dass im Problem eine konstante Bes<strong>ch</strong>leunigung vorliegt, so<br />
dass für die Strecke<br />
� � 2 1<br />
�s�a� t<br />
(6.11)<br />
2<br />
gilt. Verglei<strong>ch</strong>t man (6.10) mit (6.11), so stellt man fest, dass für die Bes<strong>ch</strong>leunigung<br />
des Autos zum Kreismittelpunkt hin<br />
2<br />
v<br />
a�<br />
(6.12)<br />
r<br />
ges<strong>ch</strong>rieben werden kann. Jedes Objekt, wel<strong>ch</strong>es<br />
si<strong>ch</strong> glei<strong>ch</strong>förmig auf einer Kreisbahn bewegt, erfährt<br />
also eine Bes<strong>ch</strong>leunigung, wel<strong>ch</strong>e quadratis<strong>ch</strong><br />
mit der Ges<strong>ch</strong>windigkeit steigt, proportional<br />
zum Radius sinkt und stets zum Kreismittelpunkt<br />
hin geri<strong>ch</strong>tet ist. Man nennt diese Bes<strong>ch</strong>leunigung<br />
Zentripetalbes<strong>ch</strong>leunigung.<br />
Die NASA oder das Deuts<strong>ch</strong>e Zentrum für Luft-<br />
und Raumfahrt testen ihre zukünftigen Astronauten<br />
in riesigen Zentrifugen, wie in Abbildung 5 ge-<br />
Abbildung 4 Zur<br />
Herleitung der Zentripetalbes<strong>ch</strong>leunigung.<br />
Abbildung 5 Zentrifuge zum<br />
S<strong>ch</strong>leudern von Astronauten. Quelle:<br />
www.lrt.mw.turm.de<br />
5
zeigt. Dadur<strong>ch</strong> simuliert man die beim Start der Rakete auftretenden Kräfte. Der Astronaut<br />
erfährt dabei eine Zentripetalbes<strong>ch</strong>leunigung, wel<strong>ch</strong>e ein Mehrfa<strong>ch</strong>es der<br />
Erdbes<strong>ch</strong>leunigung beträgt. Bei sol<strong>ch</strong>en Bes<strong>ch</strong>leunigungen (meistens in vielfa<strong>ch</strong>en<br />
von g angegeben), ruts<strong>ch</strong>en z.B. die Organe und das Blut na<strong>ch</strong> unten (oder na<strong>ch</strong><br />
oben). Dies kann so weit gehen, dass das Gehirn ni<strong>ch</strong>t mehr genügend dur<strong>ch</strong>blutet<br />
wird und der Astronaut in die Bewusstlosigkeit fällt (bei etwa 10g).<br />
Beispiel: Wel<strong>ch</strong>e Bes<strong>ch</strong>leunigung erfährt ein Astronaut in einer Zentrifuge, wenn er 5<br />
m vom Drehzentrum entfernt platziert wird und mit 21 Umdrehungen pro Minute ges<strong>ch</strong>leudert<br />
wird?<br />
Lösung: Die Periodendauer beträgt<br />
gung<br />
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60<br />
T� s.<br />
Es folgt für die Zentripetalbes<strong>ch</strong>leuni-<br />
21<br />
2 2 2<br />
2<br />
v � · r 2 �2· � � m<br />
�<br />
2<br />
a� � � · r � · r 24.2 2.5g<br />
r r<br />
� � �<br />
T<br />
�<br />
.<br />
� � s<br />
Mit T bezei<strong>ch</strong>net man die Umlaufzeit. Aufgrund der auftretenden Zentripetalbes<strong>ch</strong>leunigungen<br />
haben Piloten von Kampfjets spezielle Anzüge, wel<strong>ch</strong>e sie vor den<br />
auftretenden g – Kräften und damit vor einem g-LOC (g-induced Loss Of Consciousness<br />
/ Bewusstlosigkeit) s<strong>ch</strong>ützen sollen.<br />
6.4 Die Zentripetalkraft<br />
Die Formel für die Zentripetalbes<strong>ch</strong>leunigung wurde mit (6.12) hergeleitet. In Kombination<br />
mit dem 2. Newton’s<strong>ch</strong>en Axiom erhalten wir für die zum Kreismittelpunkt hin<br />
geri<strong>ch</strong>tete Zentripetalkraft F Z die Beziehung<br />
6.4.1 Ursa<strong>ch</strong>en der Zentripetalkraft<br />
2<br />
v 2<br />
FZ �m· a�m· � m· � · r . (6.13)<br />
r<br />
Interessant ist die Tatsa<strong>ch</strong>e, dass mit (6.13) eine Beziehung zur Bes<strong>ch</strong>reibung der<br />
bei der glei<strong>ch</strong>förmigen <strong>Kreisbewegung</strong> zum Kreismittelpunkt hin zeigenden Kraft gefunden<br />
wurde, ohne dass wir uns dabei Gedanken gema<strong>ch</strong>t haben, was denn eigentli<strong>ch</strong><br />
die Ursa<strong>ch</strong>e dieser Kraft ist, wel<strong>ch</strong>e Kraft also für die Kreisbahn sorgt. Das wollen<br />
wir nun na<strong>ch</strong>holen.<br />
Dazu kommen wir no<strong>ch</strong> einmal zurück auf unser Auto,<br />
das eine Kreisbahn bes<strong>ch</strong>reibt. Zusätzli<strong>ch</strong> tragen wir<br />
no<strong>ch</strong> alle wirkenden Kräfte ein, wie das in Abbildung 6<br />
gezeigt ist. Es wirken fünf Kräfte auf das Fahrzeug<br />
ein: Die Motorenkraft F Motor (Antrieb) und die Fahrwiderstandskraft<br />
F Fahrwiderstand (Reibungskräfte in Fahrtri<strong>ch</strong>tung,<br />
Luftwiderstand, etc.), wel<strong>ch</strong>e si<strong>ch</strong> aufheben,<br />
Abbildung 6 Auf Fahrzeug<br />
wirkende Kräfte während einer<br />
Kurvenfahrt.<br />
6
die Gewi<strong>ch</strong>tskraft F G und die Normalkraft F N , wel<strong>ch</strong>e si<strong>ch</strong> ebenfalls aufheben und<br />
eine Haftreibungskraft F R , wel<strong>ch</strong>e dafür sorgt, dass das Auto während der Kurvenfahrt<br />
haftet und zum Mittelpunkt der Kreisbahn hin zeigt. Die Summe aller angreifenden<br />
Kräfte gibt<br />
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FRes �F Motor � FFahrwiderstand�FG�FN�FR� FR<br />
(6.14)<br />
Somit ist klar, dass die Haftreibungskraft F R dafür verantwortli<strong>ch</strong> ist, dass das Auto<br />
die Kurve überhaupt gefahren werden kann (man stelle si<strong>ch</strong> einfa<strong>ch</strong> vor, dass die<br />
Kurve auf Glatteis bes<strong>ch</strong>rieben werden soll…). Die Haftreibungskraft F R ist somit<br />
glei<strong>ch</strong> der Zentripetalkraft und (6.14) kann au<strong>ch</strong><br />
FRes�FR� FZ<br />
(6.15)<br />
ges<strong>ch</strong>rieben werden. Bei der glei<strong>ch</strong>förmigen <strong>Kreisbewegung</strong> ist F Z somit einfa<strong>ch</strong><br />
eine andere Bezei<strong>ch</strong>nung für die resultierende Kraft.<br />
Bei der glei<strong>ch</strong>förmigen <strong>Kreisbewegung</strong> entspri<strong>ch</strong>t die Zentripetalkraft<br />
gerade der resultierenden Kraft!<br />
6.4.2 Experimentelle Überprüfung der bisherigen Theorie<br />
Die Beziehungen (6.12) respektive (6.13) sind aufgrund von Überlegungen entstanden<br />
und bisher ni<strong>ch</strong>t experimentell überprüft. Das soll nun na<strong>ch</strong>geholt werden.<br />
Versu<strong>ch</strong>saufbau Kräftebilanz<br />
7
Resultate<br />
Messung #1 #2<br />
m [kg]<br />
10·T [s]<br />
T[s]<br />
r [m]<br />
FF [N]<br />
FZ, bere<strong>ch</strong>net [N]<br />
� [%]<br />
6.4.3 Einfa<strong>ch</strong>e Anwendungen<br />
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Analyse und Diskussion<br />
Na<strong>ch</strong>dem die Zusammenhänge nun au<strong>ch</strong> experimentell bestätigt wurden, konzentrieren<br />
wir uns nun auf einfa<strong>ch</strong>e Problemstellungen. Einfa<strong>ch</strong> bezieht si<strong>ch</strong> dabei auf die<br />
Tatsa<strong>ch</strong>e, dass alle am Körper angreifenden Kräfte (anti-)parallel oder senkre<strong>ch</strong>t zueinander<br />
stehen sollen.<br />
Dazu kommen wir no<strong>ch</strong> einmal auf ein Fahrzeug in einer Kurve zurück.<br />
Beispiel: Ein Auto fahre in eine Kurve, deren Radius 30 m beträgt. Dur<strong>ch</strong> Reibung<br />
trete eine Zentripetalbes<strong>ch</strong>leunigung von maximal 5 m/s 2 auf. Mit wel<strong>ch</strong>er maximalen<br />
Ges<strong>ch</strong>windigkeit wird das Auto die Kurve dur<strong>ch</strong>fahren können?<br />
Lösung: Wir fertigen eine Skizze an und tragen alle Kräfte ein. Ans<strong>ch</strong>liessend wird<br />
die resultierende Kraft ermittelt.<br />
FRes �F Motor � FFahrwiderstand�FG�FN�FR� FR<br />
Oder in Betragss<strong>ch</strong>reibweise<br />
F �F� F .<br />
Res R Z<br />
v<br />
2<br />
max<br />
m· amax � m<br />
r<br />
v � r· a<br />
max max<br />
� � � �<br />
2<br />
30 5 / 12.2 / 44 km<br />
m m s m s<br />
Interessand ist dabei die Tatsa<strong>ch</strong>e, dass die Masse keine (s<strong>ch</strong>einbar) Rolle spielt!<br />
h<br />
8
Satelliten umrunden die Erde auf nahezu kreisförmigen Bahnen. Ein Beispiel nun<br />
dazu.<br />
Beispiel: Ein Satellit bewege si<strong>ch</strong> 200 km über der Erdoberflä<strong>ch</strong>e mit konstanter Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
auf einer Kreisbahn um den Erdmittelpunkt. Wel<strong>ch</strong>e Ges<strong>ch</strong>windigkeit<br />
besitzt er, wenn wir annehmen, dass die Erdanziehungskraft in dieser Höhe um 6 %<br />
geringer ist als direkt auf der Erdoberflä<strong>ch</strong>e? Wie lange benötigt er für einen Umlauf?<br />
m m<br />
Lösung: Gegeben sind die Bes<strong>ch</strong>leunigung dur<strong>ch</strong> g1�a�0.94·9.81� 9.22 und der<br />
2 2<br />
s s<br />
6<br />
Radius der Kreisbahn r�r Erde �h� 6370km �200km � 6570km � 6.57·10 m.<br />
Eine Skizze<br />
und die Kräftebilanz geben folgendes:<br />
6.4.3.1 Die Fallbes<strong>ch</strong>leunigung am Äquator<br />
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FRes �FG� FZ<br />
Oder in Betragss<strong>ch</strong>reibweise<br />
FRes �FG� FZ<br />
v<br />
2<br />
mg1 � m<br />
r<br />
· 1 7780 m<br />
v� r g � .<br />
s<br />
Im Themenberei<strong>ch</strong> der Kinematik haben sie gelernt, dass die<br />
Fallbes<strong>ch</strong>leunigung ortsabhängig ist. Ursa<strong>ch</strong>en sind die Tatsa<strong>ch</strong>en,<br />
dass die Erde keine Kugel ist und ihre Masse au<strong>ch</strong><br />
ni<strong>ch</strong>t homogen verteilt ist. Ein weiterer Grund ist aber au<strong>ch</strong><br />
die Rotation der Erde um ihre A<strong>ch</strong>se. Wie hängt denn die<br />
Fallbes<strong>ch</strong>leunigung Äquator von der Rotation der Erde ab?<br />
Die Skizze in Abbildung 7 liefert den Ansatz für die Kräftebilanz.<br />
Am Äquator wirkt auf einen Körper die Gewi<strong>ch</strong>tskraft<br />
(erzeugt von der Erde) und die Normalkraft. Letztere ist aufgrund<br />
der Rotation aber etwas kleiner als die Gewi<strong>ch</strong>tskraft.<br />
Die Differenz entspri<strong>ch</strong>t der Zentripetalkraft.<br />
Oder in Betragss<strong>ch</strong>reibweise<br />
FRes �FG� FN<br />
Aequator.<br />
(6.16)<br />
FRes �FG � FN � FZ<br />
(6.17)<br />
Das lösen wir nun na<strong>ch</strong> der Fallbes<strong>ch</strong>leunigung g Aequator auf:<br />
Abbildung 7 Zur Herleitung<br />
der Fallbes<strong>ch</strong>leunigung am<br />
9
F �F�F G N Z<br />
2<br />
mg0 �mgAequator�m rErde<br />
Aequator<br />
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v<br />
2<br />
v<br />
2<br />
�2�rErde� �<br />
T<br />
�<br />
� �<br />
2<br />
4�<br />
rErde<br />
0<br />
rErde 0<br />
rErde 0 2<br />
T<br />
g � g � � g � � g �<br />
(6.18)<br />
6<br />
Als Umlaufzeit setzen wir T �23h56min� 86160s<br />
, für den Erdradius rErde� 6.3782·10 m<br />
und für die Fallbes<strong>ch</strong>leunigung 0 9.80665 2<br />
m<br />
g � und erhalten<br />
s<br />
m m m<br />
m<br />
gAequator<br />
�9.8067�0.0339� 9.7728 . Der ri<strong>ch</strong>tige Wert beträgt g 9.7803<br />
2 2 2<br />
Aequator � . 2<br />
s s s<br />
Verblüffend, ni<strong>ch</strong>t wahr? Dur<strong>ch</strong> die Erdrotation ist die Fallbes<strong>ch</strong>leunigung am Äquator<br />
also niedriger als an den beiden Polen. Deshalb stehen Raketenabs<strong>ch</strong>ussrampen in<br />
Äquatornähe, weil man so au<strong>ch</strong> weniger Sprit brau<strong>ch</strong>t.<br />
6.4.4 S<strong>ch</strong>wierigere Anwendungen<br />
Mit wel<strong>ch</strong>em Winkel muss si<strong>ch</strong> ein Fahrradfahrer in die Kurve legen, wenn er mit einer<br />
gewissen Ges<strong>ch</strong>windigkeit eine Kurve von gegebenem Radius fahren will? Wel<strong>ch</strong>e<br />
Zentripetalkraft tritt au<strong>ch</strong>, wenn ein Flugzeug einen Bogen mit einer gegebenen<br />
konstanten Ges<strong>ch</strong>windigkeit fliegt?<br />
Au<strong>ch</strong> wenn diese Probleme von s<strong>ch</strong>einbar völlig<br />
unters<strong>ch</strong>iedli<strong>ch</strong>er Natur sind, so ist au<strong>ch</strong> hier das<br />
Vorgehen wieder glei<strong>ch</strong> wie bei den vorherigen<br />
Aufgaben. Man bestimmt die Resultierende Kraft.<br />
Diese muss – sofern es si<strong>ch</strong> um eine glei<strong>ch</strong>förmige<br />
<strong>Kreisbewegung</strong> handelt – zum Mittelpunkt<br />
der Kreisbahn hin zeigen. Man muss ledigli<strong>ch</strong> die<br />
Kräfte ges<strong>ch</strong>ickt zerlegen.<br />
6.4.4.1 Flugzeug auf Kurvenflug<br />
Fliegt ein Flugzeug in konstanter Höhe, so halten<br />
si<strong>ch</strong> die Gewi<strong>ch</strong>tskraft und die Auftriebskraft die<br />
Waage, wie in Abbildung 8 a) gezeigt ist. Legt<br />
si<strong>ch</strong> das Flugzeug in eine Kurve (die Höhe soll<br />
immer dabei glei<strong>ch</strong> bleiben), so sind immer no<strong>ch</strong><br />
dieselben zwei Kräfte wirksam – nur sind sie<br />
eben ni<strong>ch</strong>t mehr antiparallel und die resultierende<br />
Kraft ist darum grösser als null. Die Situation der<br />
Kräfte am Flugzeug sieht dann aus, wie in<br />
Abbildung 8 b) gezeigt ist. Zur Addition zerlegen<br />
wir die Auftriebskraft in zwei Komponenten: Eine<br />
antiparallel zur Gewi<strong>ch</strong>tskraft und eine senkre<strong>ch</strong>t<br />
dazu, wie in Abbildung 8 c) dargestellt.<br />
Abbildung 8 Flugzeug auf Kurvenflug<br />
s<br />
10
Für die resultierende Kraft ergibt si<strong>ch</strong><br />
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FRes FGFA FGFA,<br />
F A,<br />
�<br />
� � � � � . (6.19)<br />
Man erkennt in Abbildung 8, dass si<strong>ch</strong> F A,<br />
und F G aufheben müssen, wenn das<br />
Flugzeug während des Kurvenflugs seine Höhe ni<strong>ch</strong>t ändert. Es bleibt als resultie-<br />
F � übrig. Es gilt also (Beträge)<br />
rende Kraft – und somit Zentripetalkraft – nur no<strong>ch</strong> A,<br />
FRes �FA, � � FZ<br />
. (6.20)<br />
Man erkennt ebenfalls in Abbildung 8, dass für den Winkel zwis<strong>ch</strong>en F A und der Ver-<br />
FA,<br />
�<br />
tikalen, nennen wir ihn einmal � , die Beziehung tan�<br />
� gilt. Somit ist ein Aus-<br />
F<br />
druck für A,<br />
F � gefunden und kann in (6.20) eingesetzt werden:<br />
F F<br />
A, � � Z<br />
v<br />
2<br />
FA, ·tan�<br />
�m<br />
r<br />
2<br />
v<br />
FG·tan��m 2<br />
2<br />
v<br />
mg·tan� �m<br />
r<br />
A,<br />
(6.21)<br />
Dabei hat man no<strong>ch</strong> FG� FA,<br />
berücksi<strong>ch</strong>tigt. Die letzte Glei<strong>ch</strong>ung in (6.21) kann nun<br />
na<strong>ch</strong> der jeweiligen gesu<strong>ch</strong>ten Grösse aufgelöst werden.<br />
Dieses Beispiel mit dem Flugzeug steht<br />
stellvertretend für alle Probleme mit<br />
Winkeln im Zusammenhang mit der<br />
glei<strong>ch</strong>förmigen <strong>Kreisbewegung</strong>. Die<br />
Skizzen bleiben jeweils glei<strong>ch</strong>, nur das<br />
Objekt und die Kräftebezei<strong>ch</strong>nungen<br />
ändern si<strong>ch</strong>, wie das in Abbildung 9 gezeigt<br />
ist.<br />
a) b)<br />
Abbildung 9 Kräfteverhältnisse für einen Zug (a),<br />
respektive einen Jetski in der Kurve (b).<br />
11