klassisch vs. quantenmechanisch

§4: Quantenphysik 

Vorlesung: 

Physik des Universums

§4 Quantenphysik 

• Entstehung der Quantenmechanik 

• Klassische vs. Quanten-Physik 

• Quantenmechanischer Meßprozess 

• Unschärferelation und Atombau 

• Identität von elementaren Teilchen 

• Strahlung von Atomen 

• Teilchen-Welle Dualismus 

• Tunnelprozesse









• Tunnelprozesse

Gültigkeitsbereich der 

Quantenmechanik: Systeme mit 

mikroskoopischer Struktur

Quantenphysik: Überall 

• Radioaktivität 

• Kernenergie 

• Sonnenenergie 

• Halbleiter 

• Laser 

• Röntgenstrahlung 

• Kernspintomographie 

• Festplatten 

• Liquid Crystal Displays 

• Transistor 

• Mikrowellen 

• Nano-Physik 

• Chemie 

• Pharmazie

Entstehung der Quantenmechanik 

(1900-1927) 

• Planck 1900: Energie wird ausgestrahlt und absorbiert 

in diskreten Einheiten proportional Wirkungsquantum 

• Einstein 1905: Photoelektrischer Effekt 

• Bohr 1913: Modell für Atomspektren 

• Pauli 1925: Ausschließungsprinzip 

• Schrödinger 1926: Gleichung für Wellenfunktion 

• Bohr Heisenberg 1926: Wahrscheinlichkeitsinterpretation 

der Wellenfunktion 

• Heisenberg 1927: Unschärfe-Relation

Quantenmechanik: Neues 

Zeitalter 

• Planck 1900: Strahlung 

• Einstein 1905: Photoelektrischer Effekt 

• Bohr 1913: Modell für Atomspektren 

• Pauli 1925: Ausschließungsprinzip 

• Schrödinger 1926: Gleichung 

• Bohr Heisenberg 1926: Kopenhagener Deutung 

• Heisenberg 1927: Unschärfe-Relation

Planck: 

Strahlung des 

Schwarzen 

Körpers 

Wiens Theorie 

(1896) 

Plancks Theorie 

(1900) 

Wärmestrahlung 

Temperatur 

h 

Neue Naturkonstante: h = 

2π 

Plancksches Wirkungsquantum 

= Energie * Zeit 

[ ] 

Ofen 

Experiment









• Tunnelprozesse

Klassische Mechanik vs. Quantenmechanik 

• Klassische Mechanik 

• Bahnkurve Punktteilchen 

• Newtons Bewegungsgleichung 

• Determinismus 

• Keine Interpretation nötig 

• Messung stört nicht System 

• Ort und Impuls scharf 

• Welle oder Teilchen 

• keine Identität 

• kein Pauliprinzip 

• Quantenmechanik 

• Wellenfunktion 

• Schrödinger-Gleichung 

• Wahrscheinlichkeiten 

• Interpretation nötig 

• Messung stört System 

• Unschärferelation 

• Welle und Teilchen 

• Identität von Teilchen 

• Pauli-Prinzip

Atom: 

Klassische Mechanik: Atom 

+ 

- 

Problem: Beschleunigte 

Ladung strahlt 

- 

+ 

Antenne strahlender Dipol

Klassische 

Elektrodynamik: 

Atom 

Atom: 

Problem: Beschleunigte 

Ladung strahlt 

Kreisen: 

Bedeutet 

Beschleunigung 

, bedeutet 

Abstrahlulng 

Entgegengesetzte Ladungen kreisen 

umeinander: Elektromagnetische 

Wellen

Klassisch: Keine stabilen Atome 

Zerstrahlung eines 

Atoms in 10**(-9) sec

Klassisch: Bahnkurve 

 

Teilchen sei punktförmig Bahnkurve r r( 

t) 

= ) 

( t 1 

) 

Im ganzen Raum wirkt 

 

das Kraftfeld K = K( 

r 

r ) 

( t 2 

Auf das Teilchen wirkt 

zur Zeit t die Kraft : 

 

K = K( 

r( 

t)) 

r ) 

r ( t 3

Quantenmech: Wellenfunktion 

Teilchen sei punktförmig. Wellenfunktion ist im ganzen Raum 

definiert und i.a. ausgedehnt. 

ψ ( r , t1) 

ψ ( r , t2) 

Im ganzen Raum 

wirkt das 

Potential V(r) 

bzw. das 

Kraftfeld K(r) 

ψ ( r , t3)

Quantenmech: Wellenfunktion 

Teilchen sei punktförmig. Wellenfunktion ist im ganzen Raum 

definiert und i.a. ausgedehnt. 

ψ ( r , t1) 

Minimale Größe 

des Bereichs 

gegeben durch 

Unschärferelation 

ψ ( r , t2) 

ψ ( r , t3) 

 

ψ ( rt , ) ist zur Zeit t= 

t1 

überall fast gleich Null, nur 

in diesem Bereich nicht. 

Im ganzen Raum 

wirkt das 

Potential V(r) 

bzw. das 

Kraftfeld K(r)

Klassisch vs. quantenmechanisch 

Klassische _ Mechanik 

Information _ enthalten _ in 

Bahnkurve _ eines _ Teilchens : 

 

r( 

t) 

Bewegungsgleichung 

Newton _( Lagrange, 

Hamilton, 

etc.) 

d 

m 

dt 

2 

2 

 

r( 

t) 

 

= K( 

r( 

t)) 

Relevante Fragen: 

Ist die Theorie widerspruchsfrei 

: 

: 

Quantenmechanik 

Information _ enthalten _ in 

Wellenfunktion _ eines _ Teilchens : 

 

ψ ( r, 

t) 

Bewegungsgleichung 

Schrödingergleichung 

2 2 2 2 

h/ 

⎡d ψ( r, t) d ψ( r, t) d ψ( r, t) 

⎤ d 

− + + Vr ( ) ψ( rt , ) = ih/ 

ψ( rt , ) 

2 2 2 

2m ⎢ 

dx dy dz 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

dt 

 

 

dV ( r ) 

Kr ( ) =− 

dr 

Wie kann man experimentell zugängliche Information aus der Theorie 

erhalten 

Beschreibt die Theorie die Experimente 

: 

: 

Ja









• Tunnelprozesse

Fernsehröhre 

Glühwendel 

Detektoren für 

Ortsmessung 

Wellenfkt 

0.1 mm 

Wellenfkt 

0.2 mm

100 Ortsmessungen 

ab c de fg hi jkl m


ab c de fg hi jkl m


ab c de fg hi jkl m


ab c de fg hi jkl m


ab c de fg hi jkl m


a b c d e f g h i j k l m 

1 2 4 7 15 16 14 12 10 6 4 2 0 

Anzahl der „Counts“

P( x0 , t) 

= ψ ( x0, 

t) 

Wahrscheinlichkeit, daß 

das Meßinstrument im 

⎡ dx dx ⎤ 

Bereich 

⎢ 

x 

0 

− ,x0 

+ 

⎣ 2 2 ⎥ 

⎦ 

anspricht. 

2 

dx 


a b c d e f g h i j k l m 

1 2 4 7 15 16 14 12 10 6 4 2 0 

Anzahl der „Counts“ 

dx 

+∞ 

∫ 

−∞ 

ψ ( x, 

t) 

2 

dx 

= 1 

x 0

Zustandsreduktion 

x 0 

Direkt 

vor der 

Messung 

Px ( , t) = ψ ( x, t) 

dx 

0 0 

Wahrscheinlichkeit, daß 

das Meßinstrument im 

Bereich dx an 

x= 

x 

0 

anspricht. 

2 

dx 

x 0 

Direkt 

nach der 

Messung 

dx 

+∞ 

∫ 

−∞ 

ψ ( x, 

t) 

= 1 

Gilt vor und nach Messung 

2 

dx 

Eine weitere sofortige Messung 

muss das Elektron hier zeigen

Wellenfunktion im Ortsraum und 

Impulsraum 

1 

⎡ipx 

⎤ 

2 

ψ ( x, t) = dpϕ( p, t)exp ψ( x, t) dx = 1 

2π 

 

∫ 

⎢ 

⎣ ⎥ ∫ 

⎦ 

1 

⎡ ipx ⎤ 

2 

ϕ( p, t) = dxψ( x, t)exp − ϕ( p, t) dp = 1 

2π 

 

∫ 

⎢ 

⎣ ⎥ ∫ 

⎦ 

2 

2 

ψ ( xt , ) 

+∞ +∞ 

−∞ 

+∞ +∞ 

−∞ 

Fourier-Transformation 

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 

←⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯ 

[ xx+ 

dx] 

ϕ( pt , ) 

ψ ( xt , ) dx= 

Wahrscheinlichkeit das Teilchen zur Zeit t 

im Orts-Intervall , zu finden 

ϕ( pt , ) dp= 

Wahrscheinlichkeit das Teilchen zur Zeit t 

[ pp+ 

dp] 

im Impuls-Intervall , zu finden 

−∞ 

−∞

Wahrscheinlichkeiten im 

Ortsraum und Impulsraum 

Wahrscheinlichkeitsverteilung 

im Impulsraum 


im Ortsraum 

ϕ( pt , ) 

2 

ψ ( xt , ) 

2 

∆p 

⋅ ∆x 

≥ 

2

Streuung an Barriere 

Scattering at potential step: coordinate and momentum space 

http://vqm.uni-graz.at 

(Visual Quantum Mechanics) 

Movies 

Samples from visual QM 

Potential Step in Momentum Space

Welle: Reflektion und Refraktion

Mehrfache Reflektionen am 

Potentialwall 



Movies 

Supplimentary material 

Multiple reflections at both ends of the well

Kollision von zwei Teilchen 

Superposition of two Gaussian wavefunctions 



Movies 


Superposition of Gaussian States in 2D









• Tunnelprozesse

Heisenberg 

∆ 

x 

∗ 

∆ 

p 

≥ 

h 

2 π

Wahrscheinlichkeiten im 

Ortsraum und Impulsraum 


im Impulsraum 


im Ortsraum 

ϕ( pt , ) 

2 

ψ ( xt , ) 

2 

∆p 

⋅ ∆x 

≥ 

2

Unschärferelation: Ort - Impuls 

• Messung des Ortes eines Teilchens mit der 

Genauigkeit ∆x 

• Messung des Impulses eines Teilchens mit der 

Genauigkeit ∆p 

• Ein Wellenfunktion als Lösung der Schrödinger 

Gleichung erfüllt die Unschärferelation 

Ortsmessung: x 

Impulsmessung: 

± ∆x 

p±∆p 

Unschärferelation: ∆x* 

∆p≥ 

2

Ortsmessung 

λ 

2 

Bereich, in dem sich 

das Elektron 

aufhält: Wellenfkt. 

ungleich Null 

λ 

2 

λ ≈∆x 

∆x 

Licht der Wellenlänge λ: 

2π 

p= k k = 

λ 

Impuls eines Photons 

λ 

2 

Je kleiner die 

Wellenlänge 

desto besser die 

Ortsauflösung 

Je kleiner die 

Wellenlänge 

desto grösser der 

Photon-Impuls

Unschärferelation 

∆ 

x 

∗ 

∆ 

p 

≥ 

 

2 

Messung des Ortes verleiht 

Teilchen unscharfen Impuls 

Je kleiner die Wellenlänge des Lichtes, desto besser die 

Ortsauflösung 

Je kleiner die Wellenlänge des Lichtes, desto grösser seine 

Frequenz, desto größer sein Impuls 

Je grösser der Impuls des Lichtes, desto stärker wird der Impuls des 

Teilchens gestört, desto unschärfer wird dessen Impuls

Stationäre und nichtstationäre 

Zustände 

Nicht-stationäre Bewegung, 

offene Bahn, keine 

periodische Bewegung, 

Streuzustand 

Stationäre Bewegung, 

geschlossene Bahn, 

periodisch, Orbit

UnschärferelationAtome: Stabiler 

Grundzustand 

∆ x 

∗ 

∆ 

p 

≥ 

 

2 

Spiralbewegung: 

Ort wird beliebig genau 

festgelegt, weil Spirale immer 

enger wird Ortsunschärfe 

gegen Null. 

Impuls bleibt beschränkt weil 

Gesamtenergie beschränkt ist 

Unbegrenzte Spiralbewegung widerspricht 

der quantenmechanischen Unschärferelation 

Die Unschärferelation sorgt für ein stabiles Atom

Atom: Stationäre Zustände 

Klassische stationäre 

Elektronenbahnen der 

Energie E, periodisch 

Quantenmechanische 

Elektronenbahnen der 

Energie E, periodisch 

∆ x ∗ 

2 2 2 2 

h/ 

⎡dψ( rt , ) dψ( rt , ) dψ( rt , ) ⎤ d 

− + + V( r) ψ( r, t) = ih/ 

ψ( r, t) 

2 2 2 

2m ⎢ 

dx dy dz 

⎥ 

⎣ 

⎦ 

dt 

∆ p 

h 

≥ 

2 π 

2 2 2 2 

h/ 

⎡dψ( rt , ) dψ( rt , ) dψ( rt , ) ⎤ 

− + + V( r) ψ( r, t) = Eψ( r, t) 

2 2 2 

2m ⎢ 

dx dy dz 

⎥ 

⎣ 

⎦

Quantenmechanisches Atom 

„Bahn“ verträglich mit 

Unschärferelation: 

Grundzustand 

Angeregte atomare 

Zustände: Können 

zerfallen in Grundzustand

Quantenmechanisches Atom 

∆ x 

∗ 

∆ 

p 

≥ 

 

2

Energie [eV] 

H-Atom: Zustände des Elektrons 

0 

Ungebundene 

Einteilchen 

Zustände 

-13.6 

Gebundene 

Einteilchen 

Zustände

Wasserstoff- 

Atom: 

Einteilchen 

zustände 

Jeder einzelne Zustand 

ist polarisiert 

Farbe=Vorzeichen

Energie [eV] 

Quantisierte Zustände 

2 

ψ ( r 

) 

2 

ψ ( r 

) 

ψ ( r 

) gibt die Wahrscheinlichkeit an, 

 

das Elektron am Ort r anzutreffen.

Gebundene Zustände 



Movies 

Supplementary material 

Bound states 

Je breiter das Potential, desto mehr 

gebundene Zustände existieren 

Je tiefer das Potential, desto mehr 

gebundene Zustände existieren









• Tunnelprozesse

Identität: 

Klassisch vs. quantenmechanisch 

Ein quantenmechanisches Teilchen kann prinzipiell nicht individuell 

gekennzeichnet werden. Es gibt dafür keinen physikalischen Prozess.

Mehrelektronenatom: 

klassisch vs. 

quantenmechanisch 

Klassisch: 2 verschiedene Zustände des Atoms 

Quantenmechanisch: 1 Zustand

Identische Teilchen 

• Fermionen 

• Spin= 1/2, 3/2, 5/2, .... 

• Elektronen 

• Positronen 

• Protonen 

• Neutronen 

• Quarks (up, down,...) 

• Neutrinos 

• Materie 

• Bosonen 

• Spin=0, 1, 2, ... 

• Photonen 

• Strahlung 

• W-, Z-Bosonen 

• Gluonen 

• Higgs-Teilchen

Pauli-Prinzip zwischen Fermionen 

verboten 

erlaubt 

In einem Einteilchenzustand kann nur ein (oder kein) Elektron sitzen

Spin des Elektrons 

Elektronen 

haben zwei 

Spin-Zustände: 

S=up und 

S=down 

In einem Zustand kann nur ein (oder kein) 

Elektron eines gegebenen Spins sitzen 

Eigendrehimpuls: 

Spin ist quantisiert: 

1 

up : S = + 

2 

1 

down : S = − 

2

Pauliprinzip zwischen Elektronen 

und Atombau 

Elektronen haben 

Spin = 1/2 

Grundzustand ist 

stabil: Elektronen 

können nicht in tiefere 

Zustände springen, weil 

diese besetzt sind. 

Ein Zustand kann maximal mit zwei Elektronen besetzt werden

Molekül 

CO 

CO 2 

Gemeinsame Elektronenbahnen 

binden Atome zu Molekülen

Festkörper 

Ein Festkörper besteht aus periodisch angeordneten dicht gepackten 

Atomen. Bei Metallen erstrecken sich die Wellenfunktionen der 

Elektronen über den gesamten Festkörper: Leitungsband

Makroskopische 

Materie 

Der Festkörper besteht aus Punkt-Teilchen, bekommt seine 

Ausdehnung nur durch Unschärferelation und Pauli-Prinzip 

Gilt für jede Materie

Konstruktionsprinzipien 

der Materie 

• Wechselwirkung 


• Pauliprinzip









• Tunnelprozesse

Atom mit mehreren Elektronen 

Coulombpotential 

Ze 

V ( r) 

= − 

r 

2 

Zustände der 

Elektronen 

Elektron in 

stationärem 

Zustand 

∆ x 

∗ 

∆ 

p 

≥ 

h 

2 π 

Atomkern 

Dieses Atom ist stationär 

und zerfällt nicht durch 

Strahlung

Grundzustand und angeregte Zustände 

Grundzustand 

angeregter Zustand

Absorption und Emission von Strahlung 

Absorption 

Emission 

Elektromagnetische Strahlung: Photonen

Ionisation durch auftreffendes 

Photon

H-Atom: Strahlung 

und Absorption 

Stabile Energien und Zustände des 

Elektrons im Atom: n=1,2,3, ..... 

Diskrete Strahlung des H-Atoms 

experimentell nachgewiesen: 

Quantenmechanik ist korrekt

Atombau 

http://bouman.chem.georgetown.edu/S02/lect11/lect11.htm 

(Structure of Matter) 

Hydrogen atomic orbitals 

Movie 

Molecular orbital energy diagram -- Movie

Spektrallinien 

http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl 

Physics 2000 

Quantum atom 

Spectral lines 

Etc. (emission and absorption)

Emissions-Spektren

Gaswolken 

im Kosmos 

(Atome)

Atomarer Wasserstoff: Spin-Flip 

Freie H-Atome bilden Gaswolken im Kosmos

Molekularer Wasserstoff H 2 : 

Rotations- und Vibrationsanregungen 

H 2 -Moleküle bilden 

Molekülwolken im Kosmos

Molekülwolken 

C 

O 

CO 

CO 2

Elektromagnetisches Spektrum 

Hohe Energien 

Niedrige Energien 

Jeder physikalische Prozess emittiert die für ihn spezifische 

elektromagnetische Strahlung. 

Wenn man diese beobachtet, lernt man etwas über den Prozess

Milchstrasse im Optischen

Multiwavelength Milky Way









• Tunnelprozesse

Elektromagnetische Welle: 

Aufbau 

http://www.walter-fendt.de 

Electrodynamics 

Electrodynamic wave

Teilchen-Welle-Dualismus 

Teilchen mit grossem Impuls 

Teilchen mit geringem Impuls 

De Broglie: Wellenlänge eines Teilchens 

λ = 

h 

p

De Broglie - Wellenlänge 

λ = 

h 

p 

 

p 

k 

= 

= 

 

k 

2π 

λ 

h = Plancksches Wirkungsquantum 

p = mv =Impuls des Teichens 

Nachweis der Wellennatur durch Interferenzeffekte 

Materiewellen gemessen bei Elektronen, 

Protonen, Neutronen, Atomkernen. 

Neutronenstreuung an Festkörperatomen: 

Etablierte Untersuchungsmethode für Gitterstrukturen

Klassisch: Teilchen am Doppelspalt 

x 

: 

x 

x 

x 

x 

: 

x

Licht am Doppelspalt 

http.//www.colorado.edu/physics/2000/index.pl 

Table of contents 

The atomic lab 

Interference experiments 

Classic two-slit experiment

Interferenz 

Konstruktiv: 

Wellenberg trifft 

auf Wellenberg 

Destruktiv: 

Wellenberg trifft 

auf Wellental

Wellenfunktion: 

Interferenz 

Doppelspalt

Interferenz 

Wellenpaket bei Streuung am 

Doppelspalt 

http://vqm.uni-graz.at (Visual quantum mechanics) 

Movies 


Double Slit Experiment

Interferenz 

Strahlung 

Elektronen

Beugungsbilder 

Elektronen-Strahlen 

Röntgen-Strahlen









• Tunnelprozesse

Magritte: 

Tunneleffekt

Welle: Reflektion und Refraktion

Tunneleffekt

Frustrierte Totalreflektion von Wellen 

Eindringen einer Welle in ein totalreflektierendes Medium. 

Stroboskopische Aufnahme von Ultraschallwellen

Potentialbarriere 

Tunneleffekt 



Movies 


Tunelling through a barrier

Tunnelprozeß 

Mean energy 99% of barrier height 

Mean energy 40% of barrier height

Teilchenstrom auf Barriere 

klassisch 

quantenmechanisch

Quantenmechanik: Wesentliches 

• Relevant für mikroskopische Systeme 

• Teilchen-Welle-Dualismus 


• Tunneleffekt 

• Identität mikroskopischer Teilchen 

• Objekt wird bei Messung zerstört 

• Stabilität der Atome durch Unschärferelation und 

Pauliprinzip 

• Grosse Wirkung auf makroskopische Systeme

Klassische Mechanik vs. Quantenmechanik 

• Klassische Mechanik 

• Bahnkurve Punktteilchen 

• Newtons Bewegungsgleichung 

• Determinismus 

• Keine Interpretation nötig 

• Messung stört nicht System 

• Ort und Impuls scharf 

• Welle oder Teilchen 

• keine Identität 

• kein Pauliprinzip 

• Quantenmechanik 

• Wellenfunktion 

• Schrödinger-Gleichung 

• Wahrscheinlichkeiten 

• Interpretation nötig 

• Messung stört System 


• Welle und Teilchen 

• Identität von Teilchen 

• Pauli-Prinzip

§4: Quantenphysik - Ende 

Vorlesung: 

Physik des Universums

klassisch vs. quantenmechanisch

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