Blatt 1 - M1 - TUM

3. Konvexe Optimierung und Variationsungleichungen: Seien X ⊆ R n konvex
und f : U → R konvex auf X sowie stetig dierenzierbar auf einer oenen Menge
U ⊇ X. Zeigen Sie: Der Punkt x ∗ lost das Problem ⊛ aus Aufgabe 1 genau dann,
wenn x ∗ die Variationsungleichung VI(∇f, X) lost, d.h.
x ∗ ∈ X und ∇f(x ∗ ) T (x − x ∗ ) ≥ 0 ∀ x ∈ X.
Tipp: Betrachten Sie einerseits den Quotienten f(x∗ +t(x−x ∗ ))−f(x ∗ )
im Grenzubergang
t ↘ 0, benutzen Sie andererseits die Konvexitat der Funktion
t
f.
4. Projektion auf abgeschlossene konvexe Mengen: Sei X ⊂ R n eine (nichtleere)
abgeschlossene und konvexe Menge. Ziel dieser Aufgabe ist der Nachweis, dass zu
jedem Punkt x ∈ R n ein eindeutiger Punkt y ∗ = P X (x) ∈ X, die Projektion von
x auf X, existiert, der die euklidische Norm ‖y − x‖ unter allen y ∈ X minimiert.
Weiter sollen die Eigenschaften von P X untersucht werden.
(a) Begrunden Sie, dass das Minimierungsproblem
min
y∈X
1
‖y − x‖2
2
eine eindeutige Losung y ∗ besitzt und dass deshalb der Projektionsoperator
P X : R n → X wohldeniert ist mit P X (x) = y ∗ .
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 3 und (a), dass fur x, y ∈ R n gilt:
y = P X (x) ⇐⇒ y ∈ X und (y − x) T (z − y) ≥ 0 ∀ z ∈ X.
(c) Zeigen Sie mittels (b), dass P X Lipschitz-stetig mit Konstante L = 1 ist:
∥ PX (x 1 ) − P X (x 2 ) ∥ ∥ ≤ ‖x1 − x 2 ‖ ∀ x 1 , x 2 ∈ R n .
Empfohlenes Vorgehen: Zeigen Sie mit u = x 1 − x 2 , v = P X (x 1 ) − P X (x 2 ) und
w 1,2 = x 1,2 − P X (x 1,2 ) zunachst
‖u‖ 2 = ‖v‖ 2 + ‖w 1 − w 2 ‖ 2 + 2(w 1 − w 2 ) T v,
wobei die Eigenschaften der euklidischen Norm zu nutzen sind.
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