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A.2 2D-Fouriertransformation 291<br />
A.2 2D-Fouriertransformation<br />
Die analoge Definition für die zweidimensionalen Funktionen lautet<br />
A 1<br />
00<br />
J<br />
f(k) = ( 2 1r) 2 d 2 x exp( -ik:r:)f(:r:). (A.7)<br />
-00<br />
Dabei ist k der Wellenvektor, dessen Betrag durch die Wellenlänge,\<br />
(A.8)<br />
bestimmt wird. Die 2D-Fouriertransformation zerlegt also die 2D-Bildfunktion in periodische<br />
Strukturen unterschiedlicher Wellenlänge und Richtung.<br />
Welche Beziehung besteht nun zur lD-Fouriertransformation Das Skalarprodukt<br />
k:r: im Exponenten können wir in Komponenten auftrennen:<br />
Dadurch können wir den Kern als Produkt schreiben:<br />
(A.9)<br />
Der Kern ist damit in den kartesischen Koordinaten separabel. Daraus resultiert<br />
unmittelbar, daß wir die 2D-Fouriertransformation in zwei aufeinanderfolgende In<br />
Transformationen zerlegen können:<br />
(A.lO)<br />
Zeilentransformation<br />
Das innere Integral stellt eine Transformation in xrRichtung dar (Zeilentransformation)<br />
und liefert eine Funktion mit den Variablen k 1 und x 2 • Das äußere Integral führt eine<br />
Transformation in x 2-Richtung aus und liefert schließlich die 2D-Fouriertransformierte.<br />
Die inverse 2D-Fouriertransformation ist gegeben durch<br />
00<br />
f(:r:) = j d 2 k ](k)exp(ik:r:). (A.ll)<br />
-oo
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