Monte-Carlo Simulation - TU Berlin

Methoden der Statistischen Physik
Karsten Gorling
kgorling@physik.tu.berlin.de
TU-Berlin
Methoden der Statistischen Physik – p. 1

Inhalt
erster Termin Monte Carlo Simulation
zweiter Termin Molekulardynamik
Methoden der Statistischen Physik – p. 2

Monte Carlo
• Grundlagen der stat. Physik
• Motivation der Monte Carlo Methode
• Konkrete Probleme der Anwendung
• Problematik der Zufallszahlen
• Das Ising-Modell
Methoden der Statistischen Physik – p. 3

Grundlagen
Ratengleichung der stat. Physik
(1)
dω µ
dt
= ∑ ν
[ω ν (t)R(ν → µ) − ω µ (t)R(µ → ν)]
• ω ν (t) Wahrscheinlichkeit für Zustand ν
• R(µ → ν) Wahrscheinlich für Übergang µ → ν
(2)
Normierungsbedingung für ω ν
∑
ω ν (t) = 1
ν
Methoden der Statistischen Physik – p. 4

Grundlagen
Für Größe Q gilt dann
(3)
〈Q〉 = ∑ ν
Q ν ω ν (t)
Im Gleichgewicht gilt
dω ν
dt = 0
(4)
Besetzungwahrscheinlichkeit p µ
(5)
p µ = lim ω µ (t) nach Gibbs p µ = 1
t→∞ Z e −E µ
kT
Methoden der Statistischen Physik – p. 5

Grundlagen
In vorheriger Gleichung ist Z die kanonische
Zustandssumme
(6)
Z = ∑ µ
e −E µ
kT
Für beob. Größe gilt dann
(7)
〈Q〉 = ∑ µ
Q µ p µ
Methoden der Statistischen Physik – p. 6

Motivation
• Untersuche ∫ x
0 sin( 1 y )2 dy
• Integral lässt sich nicht analytisch lösen
• Mit MC aber
• Für jedes x wähle zufälligen Punkt (v,h), für
den gilt 0 ≤ v ≤ x und 0 ≤ h ≤ 1
• Prüfe ob gilt h ≤ f(v) wenn ja erhöhe Zähler
• Für Integral gilt dann I(x) = lim N→∞
Mx
N
Methoden der Statistischen Physik – p. 7

Motivation
1,1
1
0,9
Funktion f(x)
Sampling mit 1000
Sampling mit 10000
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 0,5 1 1,5 2
Methoden der Statistischen Physik – p. 8

Motivation
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5 1 1.5 2
Methoden der Statistischen Physik – p. 9

Anwendung auf Physik
• Ziel Bestimmung von physikalischen Größe
∑
µ
〈Q〉 =
Q µe −βE µ
(8)
∑
µ e−βE µ
• Lässt sich nicht analytisch lösen
• Problem: Zuviele mögliche Zustände:
Einschränkung finden
• Lösung: nur über wichtige Zustände summieren
Methoden der Statistischen Physik – p. 10

important Sampling
• Einschränkung auf M Zustände {µ 1 · · · µ M }
ergibt Abschätzung
(9)
Q M =
∑ M
i=1 Q µ i
p −1
µ i
e −βE µ i
∑ M
j=1 p−1 µ j
e −βEµ j
• Idee: bestimmte Zustände sind wahrscheinlicher
als andere, diese Bevorzugen
• Approximation durch wenige Zustände verändert,
bei gut gewählten Gewichten nicht das Ergebnis
Methoden der Statistischen Physik – p. 11

important Sampling
Wahrscheinlichkeit für einen Zustand aus der
Boltzmannverteilung nehmen
(10)
p µ = Z − 1e −βE µ
Q M = 1 M
M∑
Q µi
i=1
Methoden der Statistischen Physik – p. 12

important Sampling
Wie wählt man jetzt die Zustände
• Markovkette: Man erzeugt Startzustand
• Berechnet varierten Zustand
• legt Übergangswahrscheinlichkeit P (µ → ν) fest
• Mit der Zeit wird System in td. Gleichgewicht
relaxieren
• Dazu müssen zwei Bedingungen erfüllt werden
Ergodizität und “Dtailed Balance”
Methoden der Statistischen Physik – p. 13

important Sampling
Übergangswahrscheinlichkeit P (µ → ν) müssen
folgende Bedingungen gelten
• Ergodizität bezeichnet jeder Zustand ν ist vom
Zustand µ erreichbar
• Detailed Balance: Im Gleichgewicht soll die
Boltzmannverteilung erreicht werden erfüllt
P (µ → ν)
P (ν → µ) = e−β(E ν−E µ )
• Normierung: ∑ ν
P (µ → ν) = 1
• Noch zu bestimmen:
Übergangswahrscheinlichkeit
Methoden der Statistischen Physik – p. 14

important Sampling
• Man führt Trennung ein zwischen
Wahrscheinlichkeit
• das ein Zustand von der Simulation
ausgewürfelt wird
• dieser neue Zustand angenommen wird
(11)
P (µ → ν)
P (ν → µ)
=
g(µ → ν)A(µ → ν)
g(ν → µ)A(ν → µ)
Methoden der Statistischen Physik – p. 15

Metropolis
Der Metropolisalgorithmus setzt dies um
(12) A(µ → ν) =
{ e
−β(E ν −E µ )
ifE ν − E µ > 0
1 sonst
Methoden der Statistischen Physik – p. 16

Bedeutung des Zufalls
• gute Zufallszahlen müssen vorliegen,
unvoreingenommene Auswahl der Zustände
• Im Computer gibt es nur Pseudozufallszahlen
• D.h. werden berechnet, häufig nach
Y n+1 = Z(Y n )
• Man bezeichnet Y 0 als Seed
• Gleiche Zufallsreihen für gleiches Seed
• Man muss sich über die Qualität seinen
Zufallszahlengenerators im klaren sein
• Rechnung sollte mit verschiedenen Generatoren
geprüft werden
Methoden der Statistischen Physik – p. 17

ISING-Modell
• Simulation eines Magneten
• Hier 2D-Gitter, Spin-Zustände
• Hamilton: H = −J ∑ 〈ij〉 s is j − B ∑ i s i
• Das Gitter liegt auf einer Torusoberfläche
Methoden der Statistischen Physik – p. 18

ISING-Modell
• Untersuchung für Phasenübergänge bei
Ferromagneten
• Auch für andere Modelle mit binären Zellen
Methoden der Statistischen Physik – p. 19