Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur

(6) Zum Themengebiet Geometrie
(Schwerpunkt Jahrgangsstufe 8)
Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
Vorschlag Nr. 6.1: Firmenlogos........................................................................3
Einführung oder Vertiefung von Symmetriebetrachtungen anhand verschiedener Firmenlogos
Vorschlag Nr. 6.2: Haus der Vierecke...............................................................5
Wiederholung bekannter und Einführung neuer Vierecke mit dem Ziel der Systematisierung
Vorschlag Nr. 6.3: Projekt Vierecke .................................................................7
Selbstständige Erarbeitung der Eigenschaften verschiedener Vierecke
Vorschlag Nr. 6.4: Was muss gegeben sein, um ein ... konstruieren zu
können?.............................................................................................................8
Untersuchung der notwendigen Stücke, um ein Viereck eindeutig konstruieren zu können
Vorschlag Nr. 6.5: Flächeninhaltsformel des Parallelogramms........................9
Selbstständige Erarbeitung der Flächeninhaltsformel des Parallelogramms
Vorschlag Nr. 6.6: Mathematische Erkundung eines Neubaugebietes ...........11
Fächerübergreifende und handlungsorientierte Behandlung von geometrischen Figuren im
Alltag
Vorschlag Nr. 6.7: Kino- und Theatersäle ......................................................12
Einstieg in die Behandlung von Sätzen am Kreis
Vorschlag Nr. 6.8: Umfang des Fahrradreifens..............................................14
Näherungsweise Bestimmung von π
Vorschlag Nr. 6.9: Körpereigenschaften.........................................................15
Anhand einer Tabelle sollen verschiedene Körper auf selbstgewählte Eigenschaften
untersucht werden
Vorschlag Nr. 6.10: Verpackungen.................................................................16
Anhand von Verpackungen sollen Körper auf ihre unterschiedlich großen Oberflächen und
dem damit in der Realität damit verbundenen Materialverbrauch untersucht werden
Vorschlag Nr. 6.11: Toblerone-Packung.........................................................17
Untersuchung der Toblerone-Packung (mit Variationen) zur Anwendung der Volumenformel
von Prismen

Vorschlag Nr. 6.12: Gelenkvierecke............................................................... 18
Mithilfe eines selbstgebauten Pantographen sollen Zeichnungen vergrößert bzw. verkleinert
werden
Vorschlag Nr. 6.13: Maßstäbe.........................................................................19
Anhand verschiedener Bilder sollen Maßstäbe geschätzt werden
Vorschlag Nr. 6.14: Fliegende Häuser............................................................20
Verbindung von geometrischen Figuren in der Architektur
Vorschlag Nr. 6.15: Parkette...........................................................................21
Bei Parkettierungen wird die ästhetische Komponente der Mathematik besonders deutlich
Vorschlag Nr. 6.16: Scheibenwischer..............................................................23
Beobachtung von Mechanismen mit Gelenkvierecken in der Realität und Simulation am
Computer
Vorschlag Nr. 6.17: Aufgaben zur Anwendung ..............................................24
Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung geometrischer Inhalte
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
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Vorschlag 6.1: Firmenlogos
1. Wie ist dieses Logo aufgebaut? Beschreibe es so genau, dass
dein Nachbar es zeichnen könnte, ohne es zu sehen.
2. Wie groß sind Inhalt und Umfang bestimmter Teilflächen?
3. Ist dieses Logo schön? Begründe deine Antwort möglichst
vielfältig.
Quelle: Hörniger, E.: Firmenlogos. In der BLK-Lieferung vom November 1999
3

Firmenlogos: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziele:
• Einführung oder Festigung von Symmetrieeigenschaften
• Am Ende einer Einheit als praktische Anwendung des Gelernten
• Vernetzungen
Variationen der Aufgabe:
• (2) Inhalt und Umfang absolut und auch relativ – als Anteil bzw. Prozentsatz – zur
Gesamtfläche
• Schüler produzieren selbst Logos aus geometrischen Figuren
• Schüler suchen selber zusätzliche Firmenlogos oder ein Arbeitsblatt mit weiteren Logos
wird ausgeteilt (siehe vorne)
• Welche Logos sind dargestellt? Gibt es Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede? Wie groß ist
der Anteil an achsensymmetrischen (punktsymmetrischen) Figuren (als Bruch oder in
Prozent)?
• Fächerverbindenes Arbeiten mit Kunst bedenken
(Mögliche) Lösungen:
• Anhand von Logos verschiedener (Automobil-)Konzerne lassen sich
Symmetriebetrachtungen durchführen. Das folgende Diagramm verdeutlicht die dabei
möglicherweise interessanten Aspekte bei der Behandlung des BMW-Logos.
• Das BMW-Logo besteht aus vier Kreissegmenten und einem äußeren konzentrischem
Kreis mit größerem Radius.
• Der äußere Kreis nimmt ca. 56%, die Kreissegmente jeweils 11% der Gesamtfläche ein.
• Da sowohl Punkt- als auch Achsensymmetrie vorliegt und sich infolgedessen ein
„harmonisches“ Bild bietet, wird das Logo i.a. als schön empfunden.
...
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- bzw. Partnerarbeit
• (Umfangreichere) Hausaufgabe
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
• „Die Schüler waren sehr motiviert. Die Hausaufgabe, weitere Firmenlogos o.ä. zu finden,
wurde von den Schülern mit großer Beispielvielfalt erledigt.“
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Vorschlag 6.2: Haus der Vierecke
a)
.
.
b)
1. Übertrage die oben abgebildeten Teilfiguren in dein Heft.
2. Ergänze sie jeweils zu einem Viereck. Welche Möglichkeiten findest du?
Welche besonderen Vierecke kannst du jeweils herstellen?
3. Ordne den jeweiligen Figuren (eventuell mit Hilfe einer
Formelsammlung) den zugehörigen Standard-Namen zu.
4. Überlege Dir, welche Charakteristika die Vierecke aufweisen. Du
kannst für deine Mitschüler dazu “Steckbriefe“ aufschreiben, z.B.:
• Gesucht ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Welche
Möglichkeiten gibt es?
• Gesucht ist ein Viereck, bei dem jeweils zwei gegenüberliegende
Seiten parallel sind.
5. Aufgabe 4 zeigt dir, was verschiedene Vierecke gemeinsam haben
und was sie unterscheidet. Versuche nun, die Vierecke nach
gewissen Eigenschaften zu sortieren. Beginne mit dem Quadrat.
c)
d)
5

Haus der Vierecke: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Wiederholung bekannter und Kennenlernen neuer Vierecke
• Verbalisierung / Beschreibung von Eigenschaften
• Eigenständige Klassifizierung durch die Schüler
• Erkenntnis, dass verschiedene Klassifizierungen möglich sind
Variationen der Aufgabe:
• Verwendung eines Nagel- oder Geobrettes
• Vierecke in Gruppen anfertigen und ausschneiden lassen. Zur Ergebnissicherung Vierecke
auf Moosgummi vorbereiten (Moosgummi haftet über Stunden an der Tafel, wenn man es
leicht befeuchtet). Gruppen stellen ihre Ergebnisse vor.
• Ergänzung: „Welche Drei- oder Vierecke lassen sich mit zwei gegebenen kongruenten
Dreiecken legen?“ Kann auch auf kongruente rechtwinklige Dreiecke beschränkt werden.
(Mögliche) Lösungen:
• Ordnungsprinzipien:
Vierecke mit einem, zwei oder vier rechten
Winkeln, Anzahl der von einander
unabhängigen Besonderheiten, Anzahl der
zur eindeutigen Konstruktion benötigten
Stücke
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Anfangs Einzelarbeit, dann Partner- bzw.
Gruppenarbeit
• Präsentation der Ergebnisse durch die Schüler (z.B. in Gruppen an der Tafel)
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
• „Die Schüler-Reaktionen waren positiv. Sie waren überrascht, wie viele Möglichkeiten
zum Ergänzen es gibt“
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Vorschlag 6.3: Projekt Vierecke
Alternativ zu Vorschlag 6.2 bietet sich an, dass die Schüler arbeitsteilig
Eigenschaften verschiedener Vierecke (z.B. Trapezeigenschaften)
erarbeiten und im Anschluss daran ihre Ergebnisse präsentieren.
(Vgl. Reiß, Angelika: Das Projekt „Vierecke“ in einer 8.Klasse, in: MU (1999) Heft 6, S. 23-31.)
Projekt Vierecke: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Verschiedene Unterrichtsmethoden (auch Gruppenarbeit)
• Vielfältige Schüleraktivitäten
• Wahl einer adäquaten Darstellung der erarbeiteten Inhalte
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Projektarbeit über einen längeren Zeitraum
• Overhead: Schüler fertigen Folien an
• Auch für schwächere Lerngruppen
• Expertengruppe (s.u.)
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
• „Es wurden drei Stunden gearbeitet, danach erfolgte die Präsentation (sieben Stunden). Die
Schüler haben gut zusammengearbeitet, teilweise auch am Nachmittag zu Hause. Es
wurden vielfältige Arbeitsmaterialien eingesetzt (Arbeitsblätter, Folien mit der Hand
gezeichnet oder am Computer erstellt, Tafel). Der mathematische Gehalt einiger Vorträge
war sehr dürftig“
• „Schüler kritisieren sich untereinander“
• „Lernen ist ernsthafter, müssen Produkt vorstellen“
• „Bei der Einführung der Flächeninhaltsformel für Parallelogramm, Trapez, Dreieck und
Raute hat sich bewährt, in einer Doppelstunde die Methode »Expertengruppe« zu
verwenden. Vorgehen: Jeder Schüler bekommt eine zufällig gezogene Spielkarte
(Skatspiel); es werden Expertengruppen gebildet (7er und 8er Parallelogramm; 9er und
10er Dreieck, etc.), die sich (z.B. aus dem Schulbuch) ihr Expertenwissen aneignen,
aufschreiben, wie die Herleitung geht, und Übungsaufgaben dazu heraussuchen (und
lösen). Dauer: ca. 30 Minuten. Danach werden vier Gruppen (Herz, Karo, Pik, Kreuz)
gebildet, in denen jetzt Experten für alle Formeln sitzen. Diese Experten haben
nacheinander die Aufgabe, den anderen der Gruppe ihre Formel nahe zu bringen und die
Aufgaben zu stellen. Je Gruppe ca. 10 Minuten. Hausaufgabe: Eintrag ins Regelheft (z.T.
bereits während der Gruppenarbeit) und die Flächeninhaltsberechnung eines n-Ecks, das
durch Zerlegen in o.g. Teilflächen zerfällt.“
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Vorschlag 6.4: Was muss gegeben sein, um ein ... konstruieren zu können?
Was muss eigentlich gegeben sein, um ein Quadrat konstruieren zu
können? Klar, es genügt die Angabe einer Seitenlänge, denn die Seiten
sind alle gleich lang und wir wissen, dass alle Winkel im Quadrat 90°
groß sind.
Aber wie ist das beim Rechteck, bei einer Raute, bei einem Drachen...?
Dabei bezeichnen wir Seitenlängen und Winkel allgemein als Stücke.
Was muss gegeben sein, um ein ... konstruieren zu können?: Anregungen
für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Wiederholung oder Erarbeitung von Kongruenzsätzen
• Vielfältige Schüleraktivitäten
(Mögliche) Lösungen:
- Parallelogramm: 3 Stücke (z.B.: nach SWS, Rest aufgrund Parallelität)
- Trapez: 4 Stücke (z.B.: nach SWS, dann noch ein Winkel erforderlich, es
sei denn Trapez ist gleichschenklig)
- Rechteck: 2 Stücke (Seitenlängen, z.B.: nach SWS, wobei W 90° ist, Rest
aufgrund Parallelität)
- Quadrat: 1 Stück (Seitenlänge, z.B.: nach SWS, wobei W 90° und 2. Seite
gleich lang ist, Rest aufgrund Parallelität)
- Raute: 2 Stücke (Seitenlänge und einer der Winkel, z.B. nach SWS,
wobei 2. Seite gleich lang ist, Rest aufgrund Parallelität)
- Drachenviereck: 3 Stücke (z.B. nach SWS, wobei 2. Seite gleich lang ist,
und dann noch eine davon verschiedene Seite nach SSS)
Hierbei können insbesondere die Kongruenzsätze SWS und SSS integriert wiederholt werden.
Außerdem können die S. selbst Konstruktions-Aufgaben erfinden und z.B. von anderen S.
lösen lassen (eine Idee wäre: Erfinde vier Konstruktionsaufgaben, davon sollen zwei nicht
eindeutig lösbar sein).
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Vorschlag 6.5: Flächeninhaltsformel des Parallelogramms
Zeichnet man ein Parallelogramm an die Tafel und fragt die Schüler
nach dem Flächeninhalt, so wird man sehr schnell als Antwort a· b
erhalten.
Damit die Schüler eine Möglichkeit erhalten, ihre Vermutung zu
überprüfen, könnte man ihnen folgenden Arbeitsauftrag erteilen:
„Zeichnet ein Parallelogramm mit a = 3cm und b = 5cm und bestimmt
den Flächeninhalt, indem ihr die Kästchen zählt (Kästchen links und
rechts werden zu ganzen Kästchen zusammengefügt)“.
Als alternativer Einstieg in die Unterrichtsstunde ist auch eine
Abwandlung des eben erwähnten Arbeitsauftrags möglich, wobei die
Schüler lediglich den Auftrag erhalten, den Flächeninhalt zu bestimmen,
nicht aber auf welche Art und Weise dies geschehen soll.
Da man davon ausgehen kann, dass nicht alle Schüler kongruente
Parallelogramme zeichnen, ist mit verschiedenen Flächeninhalten als
Lösung zu rechnen, so dass die vermutete Formel a·b verworfen werden
muss.
Durch die verschiedenen Lösungen wird aber die Frage aufgeworfen,
welche Angaben man über ein Parallelogramm benötigt, so dass damit
nur kongruente Figuren entstehen können? Bei der Diskussion mit den
Schülern sollte herauskommen, dass anscheinend nicht nur die
Seitenlängen, sondern auch die Höhe von Bedeutung ist und somit auch
diese in die Formel zur der Berechnung des Flächeninhaltes eines
Parallelogramms mit einfließen muss.
Sollte an dieser Stelle keiner der Schüler eine weiterführende Idee
haben, so muss man sie eventuell darauf aufmerksam machen, dass es
bei einem Problem von Nutzen sein kann, wenn man versucht, es auf
etwas Bekanntes zurückzuführen. In diesem Fall wäre dies der
Flächeninhalt eines Rechtecks, wodurch die Schüler nun relativ schnell
sehen sollten, dass man die eine Seite des
Parallelogramms ’abschneiden’ kann und,
wenn man sie an der anderen anfügt, ein
ha
Rechteck erhält mit dem Flächeninhalt ha·b b
(Durchführen!!!, d.h. ein Parallelogramm
ausschneiden, teilweise abschneiden und
a
an der anderen Seite wieder anfügen).
Quelle: Michael Arendt (Gesamtschule Obersberg, Bad Hersfeld)
a
b
9

Flächeninhaltsformel des Parallelogramms: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Flächeninhaltsformel des Parallelogramms selbstständig ermitteln
Variationen der Aufgabe:
• Auslegen des Parallelogramms mit kleinen Quadraten oder Dreiecken mit bekanntem
Flächeninhalt
(Mögliche) Lösungen:
• AParallelogramm = Grundseite ⋅ Höhe
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Gruppen- bzw. Partnerarbeit
• Unsinnigkeit von a ⋅ b mit Hilfe eines Zollstocks verdeutlichen. Dabei wird unmittelbar
anschaulich klar, dass bei gleichen Seitenlängen die Flächeninhalte nicht gleich groß sein
müssen.
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
• „Auslegen mit Quadraten aufwendig“
• „Kann in der Unterrichtseinheit später aufgegriffen werden“
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Vorschlag 6.6: Mathematischer Erkundung eines Neubaugebietes
Mithilfe eines Zollstocks, einer Schreibunterlage, Papier, eines Bleistifts
und eventuell eines Kassettenrecorders (für Interviews) kann man eine
mathematische Erkundung eines
Neubaugebietes durchführen.
Ziel der Erkundung soll das
Erstellen von bemaßten Skizzen,
Lesen von Bauplänen und das
Berechnen von auftauchenden
Fragestellungen sein (z.B. Preis
pro Quadratmeter etc.).
(Vgl. Vaupel, Dieter: Tigerenten und Neubaugebiete, in: Praxis Schule (1996) Heft 3.)
Mathematischer Erkundung eines Neubaugebietes: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Anwendung der gelernten Formeln
• Vernetzung (Gesellschaftslehre, Maßstab, Flächeninhalt, Prozentrechnung,...)
Variationen der Aufgabe:
• Vor (oder statt) dem Ausflug in ein Neubaugebiet können
zunächst ähnliche vorgegebene Aufgaben gelöst werden.
z.B.:
- Berechne die Größe jedes einzelnen Grundstücks
- Der Grundstückpreis beträgt 62,50 DM pro m 2 .
Wie viel muss ein Wohnungsbauunternehmen
bezahlen, wenn es alle Grundstücke aufkaufen
will?
- Das Unternehmen will nur dann Grund-
stücke an Privatleute wieder verkaufen,
wenn sie dabei 20% Gewinn machen.
Wie teuer wären in diesem Fall die
Grundstücke A2 und A5?
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Ausflug in ein Neubaugebiet
• Interviews mit Bauarbeitern
• Längerfristiges Projekt
• Als Partner- oder Kleingruppenarbeit
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
• „außerschulischer Lernort wäre schön und motivierend“
• „Die Aufgaben sind leicht, auch die %-Aufgaben und die proportionalen Zuordnungen“
(bezieht sich auf die Aufgaben aus Praxis Schule (1996) Heft 3 S. 14f.)
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Vorschlag 6.7: Kino- und Theatersäle
1. Dir stehen nur noch Sitzplätze in der 10. Reihe des Kinos zur
Verfügung. (Abstand zur 12,5 m breiten Leinwand ≈ 9,5 m)
Welchen Platz wählst Du? Begründe!
2. Überlege Dir eine sinnvolle Preisstaffelung für die verschiedenen
Sitze unter Berücksichtigung der aus Aufgabe 1 gewonnenen
Erkenntnisse.
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3. Im Marcellus-Theater in Rom (11500 Plätze; 11 v.Chr.; erbaut von
Augustus) wurde in der gesamten dreizehnten Sitzreihe derselbe
Preis verlangt, obwohl die Sitzplätze unterschiedlich weit von der
Bühne entfernt waren. Was könnte der Grund dafür gewesen sein?
Kino- und Theatersäle: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einführung in die Behandlung von Winkelsätzen am Kreis
Variationen der Aufgabe:
• Reale Pläne und Preise von Theater bzw. Kinosälen mit den in dieser Aufgabe angestellten
Überlegungen vergleichen oder gar anstelle dieser beiden Beispiele einsetzen.
(Mögliche) Lösungen:
• (1) Sinnvoll ist es einen Platz in der Mitte am Gang in Reihe 5 oder 6 zu wählen, da man
dadurch fast die gesamte Leinwand im Blickfeld hat. Der Sehwinkel kann leicht ermittelt
werden (Vernetzung Kongruenzsätze). Sichtbreite messen, Entfernungen vom Auge
messen, Dreieck zeichnen, Sehwinkel ausmessen)
• (2) Von der Sitzreihe 1 bzw. 11 zur Mitte hin ansteigen. Eventuell prozentual nach dem
Anteil an Leinwand im Blickfeld. Aber: Mathematik kann die Beliebtheit der Plätze nur
unzureichend beschreiben.
• (3) Obwohl die äußeren Sitzplätze der Reihe 13 sehr nah an der Bühne waren und die
inneren relativ weit weg, hatten alle aufgrund der kreisförmigen Anordnung der Sitzreihe
den gleichen Anteil an Bühne im Blickfeld.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- oder Gruppenarbeit
• Vielfältige Schüleraktivitäten
Bühne
Sitzreihe 13
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Vorschlag 6.8: Umfang des Fahrradreifens
Das glaub ich
nicht. Höchstens
1,5 m so
anstrengend wie
das ist.
a) Betrachte das Bild. Was meinst du, wer hat recht?
b) Schätze: Wie oft passt der Durchmesser in die Strecke, die man
mit einer Umdrehung zurücklegt? Überprüfe bei einem Rad, ob du
richtig vermutet hast.
Umfang des Fahrradreifens: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Experimentelle Bestimmung eines möglichst guten Näherungswerts für π
Variationen der Aufgabe:
• Untersuchung weiterer Gegenstände aus dem Alltag (z.B. Dosen, Markstücke etc.), indem
man um sie ein Seil wickelt. Diskussion der Messmöglichkeiten
• Größe des Rades (wie üblich) in Zoll angegeben. Handelsüblich sind 26’’ (ca. 66cm) und
28’’ (ca. 71 cm) Reifen
• Vernetzung der Längenangaben
(Mögliche) Lösungen:
• a) “Natürlich“ hat der Erwachsene recht, da ca. 2,2 m das richtige Ergebnis ist.
• b) Der Durchmesser passt genau π-mal in den Umfang. Näherungsformel für die Praxis:
U ≈ 3 1, ⋅ d bzw. U ≈ 3 ⋅d
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partnerarbeit
• Stationenarbeit mit verschiedenen Gegenständen
„Das Rad hat einen
Durchmesser von 70 cm. Mit
einer Umdrehung fahren wir
mindestens 2 m.“
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Vorschlag 6.9: Körpereigenschaften
„Eigenschaften der Körper“
Zwei gegenüberliegende Flächen sind parallel.
Alle gegenüberliegenden Flächen sind parallel.
Zwei gegenüberliegende Flächen sind
deckungsgleich.
Die Seitenflächen stehen senkrecht zu den
Grundflächen.
Der Körper ist ein Prisma.
Kreuzt an, auf welche Körper die vorgegebene Eigenschaft zutrifft.
Überlegt euch dann selbst andere geometrische Eigenschaften
Quelle: Mathematik – Denken und Rechnen 8 Hessen (1988), S. 81 (verändert).
Körpereigenschaften: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Vertiefung von Körpereigenschaften
• Verbalisierung
Variationen der Aufgabe:
• Körper bauen lassen (Strohhalme und Pfeifenreiniger)
• Aufgabe: Baut möglichst verschiedene Körper
• Analog zum Vorschlag „Haus der Vierecke“ können die Körper nach verschiedenen
Kriterien klassifiziert werden
• So kann man auch bei Vierecken und anderen Polygonen vorgehen
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- oder Gruppenarbeit
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Vorschlag 6.10: Verpackungen
a) Beschreibe die Körper, in denen Flüssigkeiten „verpackt“ werden
b) In welchem Behälter ist die Flüssigkeit umweltfreundlich verpackt?
c) Warum werden Flüssigkeiten in weniger umweltfreundlichen
Verpackungen verkauft?
d) Unter allen Quadern mit gleichen Volumen hat der Würfel die kleinste
Oberfläche. Kennst du Lebensmittel, die in Würfelform verpackt sind?
Warum sind Flüssigkeiten oft nicht in Würfelform verpackt?
In dem Zehnerpack mit Orangengetränken enthält jedes Päckchen 0,2l.
a) Der Zehnerpack kostet 1,13 €. In der
1-l-Packung kostet dasselbe Getränk
0,45€. Vergleiche!
b) Vergleiche auch den Bedarf an
Verpackungsmaterial.
Verpackungen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Vernetzung (Zuordnungen, Prozentrechnung)
(Quelle: Welt der Zahl (1994), S. 103.)
Variationen der Aufgabe:
• „Wie verpacke ich 20 Pralinen mit möglichst wenig Abfall?“ (siehe Aufgabe „Toblerone“)
• Analyse von Verpackungen, wenn z.B. die Werbung sagt: „um 20% mehr“: „Wie wird dies
auf der Verpackung dargestellt?“
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Material sammeln lassen
• Partner- oder Gruppenarbeit
• Vielfältige Schüleraktivitäten
• Gegenstände sollten präsent sein
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Vorschlag 6.11: Toblerone-Packung
25 cm
a) Was kannst du an der vorliegenden Toblerone-Packung berechnen?
b) Gib 2 vierseitige Prismen mit der gleichen Höhe an, die das gleiche
Volumen wie die Toblerone-Packung besitzen. Vergleiche die
Oberflächen!
c) Welche Prismen besitzen eine andere Höhe als die Toblerone-
Packung und trotzdem das gleiche Volumen? Vergleiche die
Oberfläche!
Toblerone-Packung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Anwendung der Formel zur Berechnung des Volumens von Prismen
• Erkennen des Zusammenhangs zwischen gleichen Volumen und unterschiedlichen
Oberflächeninhalten
Variationen der Aufgabe:
• Vergleich mit anderen Verpackungen von Süßigkeiten wie z.B. Duplo oder Hanuta.
• Vergleich Volumen der Verpackungen mit dem tatsächlichen Inhalt (selbst in die
kompakte Hanuta-Verpackung würden theoretisch 13 statt 12 Hanutas passen!)
Rückmeldungen von (Modellversuchs-)Lehrern:
• „Einige Gruppen benötigen Hilfestellungen bei der Suche nach einem zu dem Dreieck
flächeninhaltsgleichen Viereck“
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Vorschlag 6.12: Gelenkvierecke
Der Pantograph, der „Alleszeichner“,
auch Storchenschnabel
genannt, ist ein Gerät, mit dem
Zeichnungen vergrößert bzw. verkleinert
werden können.
Versucht nicht gleich das auf dem
Foto abgebildete Profimodell
nachzubauen. Die Löcher haben
nämlich nicht die gleichen
Abstände voneinander. Deshalb
baut aus Kartonstreifen mit drei bzw. zwei Löchern einen einfachen
Pantographen bzw. eine Doppelraute und probiert sie aus. Die beiden
folgenden Skizzen sollen euch den Bau und die Benutzung der beiden
Geräte ermöglichen:
Gerät 1:
a) Suche dir eine Zeichnung und versuche, sie wie auf dem Bild
dargestellt zu vergrößern bzw. zu verkleinern.
Wie vergrößert man? Wie verkleinert man?
b) Versuch zu erklären, warum mit den beiden Geräten vergrößert
bzw. verkleinert wird.
c) In welchem Maßstab wird bei dieser Doppelraute eine Zeichnung
vergrößert?
d) Versucht anhand der eben angestellten Überlegungen selbst ein
Gerät zu konstruieren, mit dem eine Zeichnung dreimal so groß
gezeichnet werden kann.
e) Schaut in eurer Umwelt, wo in alltäglichen
Dingen Gelenkvierecke eine Rolle spielen, und
versucht, deren Funktionsweise zu beschreiben.
Quelle: MatheLive 8 (2001), S. 78f.
Gerät 2:
18

Vorschlag 6.13: Maßstäbe
Schätze den Maßstab der jeweiligen Abbildung!
Quelle: MatheNetz 8 (2000), S. 163.
Maßstäbe: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Behandlung von maßstabsgetreuen Darstellungen
Variationen der Aufgabe:
• Maßstabsgetreue Zeichnungen anfertigen
(Mögliche) Lösungen:
• Gepard – 1 : 60
Euro – 1 : 1
Karte – 1 : 18000
Zelle – 1 : 8000
Chip – 2 : 1
Zimmer – 1 : 100
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Einzel- oder Partnerarbeit
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Vorschlag 6.14: Fliegende Häuser
Die hier abgebildeten Häuser sind so konstruiert, dass sie mit einem
speziellen Hubschrauber von einem Ort zum anderen transportiert
werden können. Um ihnen auf dem Boden genug Standfestigkeit zu
geben, gibt es in der Mittelsäule und in den Decken ein Röhrensystem,
das mit Wasser gefüllt wird und so das Haus schwer genug macht. Die
wassergefüllten Rohre dienen gleichzeitig als Heizungs- und Kühlsystem.
a) Überlegt euch, welche Zimmerformen bei solchen sechseckigen
Häusern möglich sind.
b) Entwerft ein solch sechseckiges Haus in dem alle wichtigen Räume
(Küche, Bad, etc.) vorhanden sind und zeichnet einen maßstäblichen
Grundriss zu euren Ideen.
c) Berechnet die Quadratmeteranzahl der einzelnen Zimmer und der
gesamten Wohnung.
d) Baut aus Pappe und anderen Materialien ein Modell eures
fliegenden Hauses im Maßstab 1:50.
Quelle: MatheLive 8 (2001), S. 118f.
Fliegende Häuser: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Anwendung und Handlungsorientierung
• Wiederholung von n-Ecken
Variationen der Aufgabe:
• Hausumriss vorgeben (z.B. Viereck, Trapez, etc.) und lediglich Zimmer einzeichnen lassen
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- oder Kleingruppenarbeit
• Projekt- oder umfangreiche Hausarbeit
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Vorschlag 6.15: Parkette
Parkette aus Quadraten oder Rechtecken sind für den Betrachter nichts
Besonderes. Aber auch
Parallelogramme oder
andere symmetrische
Vierecke lassen sich
lückenlos aneinanderlegen.
Sogar mit Drachen kann
parkettiert werden.
Man kann aber nicht nur mit gleichartigen (d.h.
untereinander kongruenten Objekten eine
Ebene parkettieren, sondern auch mit
verschiedenartigen geometrischen Figuren,
wie z.B. mit einem großen und einem kleinen
Quadrat.
a) Erklärt, wie das Prinzip der Parkettierung
bei Vierecken funktioniert.
Info: Es geht mit beliebigen Vierecken.
b) Versucht selber eine Parkettierung der Ebene
mit Vierecken zu zeichnen oder mit Papierschnipseln
zu legen.
c) Das nebenstehende Bild einer Parkettierung
hat der Künstler M.C. Escher entworfen. Die
beiden unten abgebildeten Grafiken zeigen,
wie diese sogenannten Escher-Bilder aus
symmetrischen Figuren entstehen. Versucht
ebenfalls eine Parkettierung der Ebene mit
nicht symmetrischen Figuren zu erstellen.
Wenn ihr alle Ecken mit gleichen
Winkeln in derselben Farbe markiert,
könnt ihr etwas über die Winkelsumme
im Viereck aussagen und das hinter der
Parkettierung stehende Prinzip
herausfinden.
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Parkette: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Anwendung und Handlungsorientierung
• Wiederholung von verschiedenen geometrischen Körpern mit dem Ziel der Parkettierung
• Darstellung der Mathematik als ästhetisches Mittel
Variationen der Aufgabe:
• Untersuchung realer Parkettierungen
• Aus einem „Werbetext“ des Mathematikmuseums:
Im Eingangsbereich des Mathematikmuseum wird ein
mathematisches Kunstwerk entstehen, nämlich ein "Penrose-
Parkett". Das ist eine besonders attraktive und interessante
Überdeckung der Ebene durch "Fliesen", die erst 1974 von
dem englischen Physiker und Mathematiker Sir Roger
Penrose entdeckt wurde. Der Reiz dieses Parkett, das aus
schmalen und großen Rauten aufgebaut ist, besteht in der
Spannung aus vielen lokalen Symmetrien und seiner globalen
Asymmetrie.
Im Mathematikmuseum wird ein großer Ausschnitt dieses
Parketts zu sehen sein, etwa 1000 Fliesen, aber die genaue
Anzahl der Fliesen werden Sie bestimmen! Diese Fliesen
können Sie nämlich erwerben. Die schmalen Rauten für DM
100,-.die großen für DM 200,- (oder mehr). Auf "Ihrer"
Fliese kann dann auch Ihr Name stehen. Damit zeigen Sie auf Dauer Ihre Verbundenheit
mit dem Mathematikmuseum.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- oder Gruppenarbeit
• Hausaufgabe
• Projektarbeit
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Vorschlag 6.16: Scheibenwischer
Das Skizzieren des Wischfeldes eines Scheibenwischers beim PKW
(auch bei zwei Wischerblättern) ist noch relativ
einfach. Schwieriger wird die Beschreibung, wie
ein Wischer angetrieben wird und wie das unter
der Motorhaube verborgene Gestänge aussieht.
Physikalisch-mechanisch steckt hinter dem
Scheibenwischermechanismus ein besonderes
Kurbelgetriebe, die Kurbelschwinge, die eine
Drehbewegung in eine „Hin- und Her“-Bewegung
umwandelt.
Die nebenstehende Skizze des Gelenkvierecks
soll den Mechanismus des Scheibenwischer
eines Autos darstellen. Dabei sind die Gelenke A
und B fest aber drehbar gelagert.
a) Konstruiere im Heft eine Figur mit folgenden
Maßen:
AD = 3cm; AB = 8cm;
BC = 4,
5cm;
CD = 8,
5cm.
b) Wie bewegt sich die Schwinge BC (und damit der Schweibenwischer),
wenn sich die Kurbel AD um A dreht? Skizziere die
Bewegung der Schwinge BC!
d) Konstruiere mit einem Geometrieprogramm (z.B. EUKLID) das
Modell eines Scheibenwischers, der von einem Elektromotor
angetrieben wird, und ermittle mit der Ortslinienfunktion den
Bereich, den dein Wischermodell putzt.
(Quelle: Schwarze, Monika: Von beweglichen Vierecken und Scheibenwischern, in: mathematik lehren
(1997) Heft 82, S. 9-12.)
Scheibenwischer: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Realitätsbezüge
• Behandlung von Gelenkvierecken
• Verdeutlichung von Eigenschaften geometrischer Figuren, auch mithilfe des Computers
Variationen der Aufgabe:
• Bauen eines Modells
• Simulation anderer mechanischer Prozesse mit Gelenkvierecken, z.B. →
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Partner- oder Gruppenarbeit
• Kleine Projektarbeit
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1
2
3
4
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Vorschlag 6.17: Aufgaben zur Anwendung
Zwei Läufer und zwei Springer eines Schachspiels
stehen so auf einem Schachbrett, dass sie durch ein
gedachte Verbindungslinien ein Quadrat bilden. Die
Springer werden so gesetzt: zwei Felder geradeaus
und eins nach rechts oder links.
Du darfst zwei beliebige Schachzüge durchführen.
Welche Vierecke können dabei entstehen?
Die Kurbel des Wagenhebers kann so lange gedreht
werden, bis das Stück d nur noch 10cm lang ist. Welche
Höhe vom Boden aus kann der Punkt c höchsten
erreichen?
Entscheide ob die Aussage wahr oder falsch ist. Begründe.
(1) Jedes Quadrat ist ein Trapez. (6) Jedes Trapez ist ein Parallelogramm.
(2) Es gibt Trapeze, die Rauten sind. (7) Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
(3) Manche Rauten sind Quadrate. (8) Es gibt Quadrate, die Rechtecke sind.
(4) Jede Raute ist ein Quadrat. (9) Manche Trapeze sind Quadrate.
(5) Jedes Quadrat ist ein Parallelogr. (10) Manche Drachenvierecke sind
Quadrate.
Finde die größt mögliche Anzahl von Rauten, die in dem Muster gesehen werden
können.
Maren, Inge und Silke wohnen in der Hauptstraße
Nr. 76, 77 und 79. In ihrem
Matheunterricht müssen sie die Größe ihres
Grundstücks berechnen. Dazu zeichnen sie
jeweils einen maßstabsgetreuen Plan ihre
Grundstücke. Die Maße entnehmen sie der
Flurkarte.
a) Wie viele Maße müssen sie mindestens
bestimmen?
b) Welche Art von Vierecken stellen die
Grundstücke jeweils dar?
d) Und dein Grundstück?
e) Wie genau kann man z.B. im Maßstab
1:1000 die Längen messen? Wie groß sind die (prozentualen) Abweichungen?
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Reichen Längenmessungen aus, um festzustellen, ob ein Vorfahrts-
schild ein Quadrat ist?
Beim nächsten Schulfest will die Klasse 8c ein selbst
erstelltes Quartett verkaufen. Auf den Spielkarten
sind die Personen doppelt abgebildet, entweder wie
in Bild 1 oder wie in Bild 2.
a) Durch welche Abbildung wird jeweils der obere
Teil der Karte auf den unteren abgebildet?
b) Warum ist es günstiger, die Karten so wie in Bild
2 zu gestalten?
Welche der Fahnen sind achsensymmetrisch, welche punktsymmetrisch?
Entwirf ein „Parkett“ aus Rauten und Quadraten. Wähle
auf Kästchenpapier ein Quadrat mit 4cm Seitenlänge, in
dem du eine Grundform entwirfst. Ein Beispiel, wie das
gestalten werden kann, siehst du hier.
In dieser Figur gibt es nur Winkel von 60° und 120°. Zeichne
die Figur in dein Heft. Dabei sollen alle Strecken 2cm lang
sein. Wenn du dieser Zeichnung intensiv betrachtest, kannst
du auch räumliche Darstellungen erkennen. Beschreibe, was
du erkennst.
Ideenwettbewerb:
Wer entwirft das schönste Muster aus 12
bis 20 kongruenten Parallelogrammen,
deren benachbarte Seiten 2cm bzw. 4cm
lang sind, und bei denen die spitzen
Winkel 30° betragen sollen? Zeichnet bis
zu 20 Parallelogramme auf Zeichenkarton
(kann auch farbig sein). Schneidet die
Figuren aus und legt sie zu
symmetrischen Figuren zusammen. Eine
mögliche Figur seht ihr hier abgebildet
(Eure Figuren müssen aber keine
Pflanzen oder Tiere darstellen, sondern
können auch symmetrische Muster sein).
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Ein Bücherregal soll aus Holz mit mehreren Regalböden gebaut werden.
a) Zunächst werden die Regalbretter und die beiden
Seitenwände zurechtgesägt. Man muss darauf achten,
dass die beiden Seitenwände die gleiche Länge und die
Bretter alle die gleiche Breite haben. Angenommen, wir
stellen das Regal so an die Wand. Steht es gut und sicher?
b) Um die (rechteckige) Form zu kontrollieren, misst man am
besten den Abstand von der Ecke links oben zur Ecke
rechts unten und von rechts oben nach links unten. Diese
beiden Maße müssen übereinstimmen. Warum? Welche
Vorteile hat dieses Verfahren?
c) Zur Stabilität werden meistens am Ende noch eine oder mehrere Latten diagonal
an der Rückseite befestigt. Welches geometrische Prinzip steckt dahinter?
In ein Einfamilienhaus wird eine Treppe
eingebaut. Da sie um eine rechtwinklige Ecke
herumführt, müssen mehrere Stufen besonders
angefertigt werden. Zeichne die Stufen
maßstabsgetreu für den Steinmetz.
In einem Mathematik-Lexikon findet man folgende Definition des Drachenvierecks:
Ein Viereck, in dem (wenigstens) zwei Paare gleich langer Nachbarseiten
vorkommen, heißt Drachenviereck.
Stelle alle Eigenschaften des Drachenvierecks zusammen. Mache weitere
Definitionsvorschläge.
Überprüfe die folgenden Definitionsvorschläge für den Begriff Raute daraufhin,
- ob sie den Begriff Raute auch tatsächlich definieren;
- falls ja, ob sie überflüssige Forderungen enthalten.
Ein Viereck heißt Raute,
(1) falls die Diagonalen einander halbieren;
(2) falls die beiden Diagonalgeraden Symmetrieachsen sind;
(3) falls die Diagonalen orthogonal zueinander sind und einander halbieren.
Zeichne das Viereck A (0/0), B(12/4), C(11/11), D(4/12) in ein Koordinatensystem
(1LE = 5mm). Gib die Art des Vierecks an und zeichne die Diagonalen ein.
a) Was für ein Viereck entsteht, wenn du die Mittelpunkte der Seiten verbindest?
b) Bestimme die Längen der Diagonalen.
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Quellen: MatheNetz 8 (2000), Lambacher Schweitzer 8 (1996), Schnittpunkt 8 (1994), Mathematik heute 8
(1995), Zahlen und Größen 8 (2000), Mathematik 8 (1994), Die Welt der Zahl (1994), Elemente der
Mathematik 8 (1994), Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek. I (2001).
Aufgaben zur Anwendung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übung / Anwendung
• Vertikale Vernetzung
(Mögliche) Lösungen:
• Blatt (1)
• (1) mögliche Springerfelder: C5-F5 oder A5-H5 oder D8-E8 oder D6-E6
(jeweils weiß-schwarz)
• (2) ungefähr 59 cm
• (3) 1. w 6. f
2. w 7. w
3. w 8. w
4. f 9. w
5. w 10. w
• (4) a) 21
b) 2
c) schwer zu entscheiden: 3
b) 14
• (5) Nr. 76 und 77 – Trapez mit 3 Maßen
Nr. 79 – Rechteck mit 2 Maßen
• Blatt (2)
• (1) Ja (Seiten- und Diagonalenlängen messen)
• (2) a) Bild 1-Spiegelung / Bild 2-Drehung
b) Man muss nur ein Bild pro Karte herstellen, da man es umgedreht aufkleben
kann.
• (3) Deutschland – achsensymmetrisch
Australien – keine Symmetrie
Tansania – keine Symmetrie
Jamaika – achsen- und punktsymmetrisch
Israel – achsen- und punktsymmetrisch
• (5) Man kann – je nach Blick – zwei oder drei Würfel sehen.
• Blatt (3)
• (3) Eine Diagonale ist Symmetrieachse des Vierecks
Winkelsumme ist gleich 360°
...
• (4) 1. keine Definition
2. Definition
3. Definition
• (5) Es entsteht ein Drachenviereck
a) Rechteck
b) BD = 5,
6cm
AC =
7,
8cm
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