Digitale Analyse, Leistungsbewertung und generative Modellierung ...

Digitale Analyse, Leistungsbewertung 

und generative Modellierung von 

WPAN-Verbindungen unter industriellen 

Ausbreitungsbedingungen 

Der Fakultät für Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik der 

Brandenburgischen Technischen Universität Cottbus vorgelegte 

Dissertation 

zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der 

Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) 

von 

Dipl.-Ing. (FH) 

Andreas Robert Vedral 

geboren am 14. März 1977

Kurzfassung 

Im Rahmen der vorliegenden Dissertation wurde die Problematik der digitalen Analyse, Leistungsbewertung 

und Modellierung von Wireless Personal Area Network (WPAN) Verbindungen 

unter industriellen Ausbreitungsbedingungen bearbeitet. Der Begriff ”digital” kennzeichnet in 

dieser Arbeit Funkkanäle auf Bit-, bzw. Paketebene, in denen ausschließlich digitalisierte Informationen 

verarbeitet werden. Er hängt somit neben physikalischen Eigenschaften der Umgebung 

auch von Technologiespezifika ab. 

Zur Aufgabenstellung zählte der Entwurf einer Methode, mit der die Leistungsfähigkeit digitaler 

Funkkanäle analysiert und statistisch bewertet werden kann, um u.a. die Einsatzfähigkeit 

von WPAN-Technologien in industriellen Applikationen beurteilen zu können. Mithilfe 

dieser neuen Methode sollen zukünftig empirisch aufgezeichnete digitale Funkkanäle exakter 

durch statistische Kenngrößen beschrieben werden, als es heutzutage in zahlreichen Untersuchungen 

der Fall ist. Als zweiten Schwerpunkt sah die Aufgabenstellung die Entwicklung eines 

generativen Modells zur Simulation dieser vor. Anhand der Simulationen soll die Entwicklung 

und Optimierung von Protokollen und Fehlerschutzmaßnahmen für aktuelle und zukünftige 

WPAN-Funktechnologien verbessert werden, die oberhalb der Physikalischen Schicht im 

OSI-Referenzmodell angeordnet sind. Demzufolge sollte das zu entwickelnde Modell sich dadurch 

auszeichnen, dass es die Eigenschaften digitaler Funkkanäle realistischer erfasst, als es 

der heutige Stand der Technik erlaubt. Dies ist besonders für die Entwicklung von Protokollen 

für Multi-Hop fähige Funktechnologien von großem Interesse, da deren Effizienz maßgeblich 

von einer adäquaten Abstimmung auf das Schwundverhalten zugrunde liegender Funkkanäle 

abhängt. 

Da beide Aufgabenstellungen zahlreiche Gemeinsamkeiten aufwiesen, wurde entschieden, 

ein hybrides Modell für die Simulation und die Leistungsbewertung digitaler Funkkanäle auf der 

Basis von Hidden Markov Modellen (HMM) zu entwickeln. Der Begriff ”hybrid” bezeichnet eine 

aus zwei HMMe bestehende Struktur, die einerseits Kanalfehler modelliert und andererseits 

das Paketverhalten beschreibt. Um die notwendigen strukturellen Eigenschaften des hybriden 

HMMs zu identifizieren, wurden digitale Funkkanäle mit verschiedenen WPAN-Technologien 

empirisch aufgezeichnet und analysiert. Es handelte sich dabei um die Funktechnologien nano- 

NET, IEEE 802.15.1 und IEEE 802.15.4. Die Aufzeichnungen fanden in zwei industriellen Umgebungen 

statt, in denen der Einfluss der Mehrwegeausbreitung durch den metallischen Umgebungsgehalt 

erheblich war. Anhand der Kanalaufzeichnungen wurden vor der Entwicklung des 

hybriden Modells erst einmal publizierte und wissenschaftlich etablierte digitale Modelle samt 

iii

ihrer Methoden zur Parameterschätzung untersucht und diskutiert. Dadurch konnten Schwächen 

identifiziert und neue Lösungsmöglichkeiten erarbeitet werden. 

Zur Modellierung des Kanalfehlerverhaltens wurde ein endliches HMM mit maximal 11 Zuständen 

herangezogen, welches ausschließlich den Inhalt fehlerhafter Datenpakete rekonstruiert. 

Die maximal 11 Zustände klassifizieren den digitalen Funkkanal für verschiedene Qualitätsgüten, 

die bereichsweise durch mittlere Kanalfehlerwahrscheinlichkeiten P e quantisiert werden. 

Im Gegensatz zu den bisher publizierten digitalen Modellen erfolgt die Schätzung eines ersten 

initialen Parametersatzes λ k0 für das kanalfehlerbeschreibende HMM, durch die Auswertung 

der Blockfehlermatrix BL (n) in der die Zufallsvariablen des Blockfehlerprozesses (BFP) {B (n) 

t } 

abgelegt sind. Dessen erzeugte Symbole (Blockfehler) ergeben sich nach Anwendung der Fenstermethode 

auf die in der Matrix E abgespeicherten Kanalfehler e ij . Die Interpretation der Quotienten 

b(n) ij 

n 

als mittlere Wahrscheinlichkeiten P ei, mit denen Kanalfehler in den Zuständen x i des 

HMMs generiert werden, eröffnete die Entwicklung einer neuen Methode zur systematischen 

Schätzung initaler Parametersätze λ 1 k0 . Demnach erzeugt jeder der Zustände x i Kanalfehler mit 

der Wahrscheinlichkeit P ei = b(n) ij 

n 

mit b ij ∈{0,...,n}. Unter diesem Gesichtspunkt können die 

Elemente der Übergangsmatrix P k durch die relativen Übergangshäufigkeiten zwischen den in 

der Matrix BL (n) abgespeicherten Blockfehlern b (n) 

ij adäquat geschätzt werden. Durch empirische 

Analysen konnte als Empfehlung für die Fensterbreite der Wert n = 10 angegeben werden. 

Infolgedessen besteht der zulässige Wertebereich der Blockfehler aus b (10) 

ij ∈{0,...,10}. 

Die Elemente der Ausgabematrix B (n) k entsprechen hingegen den mittleren Fehlerwahrscheinlichkeiten 

P ei = b(n) ij 

n , bzw. den Komplementen davon (1 − P ei). In der Regel liefert diese 

Vorgehensweise qualitativ gute Schätzwerte für initale Parametersätze λ k0 , die in der Optimierungsoberfläche 

eines Parameterraumes häufig nahe an einem guten lokalen oder gar globalen 

Maximum liegen. Um jedoch eine zusätzliche Leistungssteigerung zu erzielen, wurde zur weiteren 

Optimierung der initalen Parametersätze λ k0 der Baum-Welch (BW) Algorithmus angewandt, 

der als lokal maximierender Algorithmus noch näher diese Maxima erreichen kann. 

Das Paketverhalten, was häufig bei der Modellierung des Kanalfehlerverhaltens weniger stark 

Berücksichtigung findet, wird gesondert durch ein überlagertes unabhängiges HMM mit den drei 

Zuständen ”fehlerfreies”, ”fehlerhaftes” und ”verlorenes” Datenpaket nachgebildet. Während in 

den beiden Zuständen ”fehlerfreies” und ”verlorenes” Datenpaket nur Paketsymbole vom HMM 

emittiert werden, die diese Ereignisse in Form von Zufallsvariablen beschreiben, erfolgt zusätzlich 

im Zustand ”fehlerhaftetes” Datenpaket die Aktivierung des kanalfehlerbeschreibenden 

HMMs für exakt der Länge eines Datenpakets. Um dafür effizient und systematisch initale Parametersätze 

λ p0 zu schätzen, wurde die Festlegung getroffen, dass jeder dieser drei Zustände 

primär nur für die Ausgabe eines Paketsymbols p i verantwortlich ist, um damit den HMM- 

Charakter aufzuheben. Demzufolge besitzt die Ausgabematrix B p exakt die Form einer 3 × 3 

1 Die Subskripte k und p dienen der Unterscheidung initaler Parametersätzen λ k0 für das kanalfehlerbeschreibende 

HMM von initalen Parametersätzen λ p0 für das paketbeschreibende HMM. 

iv

Einheitsmatrix. Somit sind die Elemente der Übergangsmatrix P p einfach durch die relativen 

Übergangshäufigkeiten zwischen benachbarten Symbolen der empirisch aufgezeichneten Paketsymbolfolgen 

zu bestimmen. Jedoch stellte sich in Untersuchungen heraus, dass einige 

Kanalaufzeichnungen nicht zu vernachlässigende statistische Abhängigkeiten in den Positionen 

der Paketsymbole aufwiesen, die aufgrund der strukturellen Einschränkungen durch die 

besondere Form der Ausgabematrix B p mit dem Markov-Modell nicht realistisch charakterisierbar 

waren. Um diese strukturelle Einschränkung kompensieren zu können, wurde in jedem der 

drei Zustände die Ausgabe von Paketsymbolen, die zuvor ausschließlich in den anderen beiden 

Zustände erzeugt wurden, mit einer sehr geringen Wahrscheinlichkeit von 10 −3 zugelassen, 

um damit den HMM-Charakter des Modells wiederherzustellen. Diese Maßnahme begründete 

sich darin, dass der zur weiteren Optimierung herangezogene BW-Algorithmus alle Elemente 

der Ausgabematrix B p mit den Werten b ij = 0 nicht antastet und demnach die potentielle Optimierungsoberfläche 

kleiner ist, als wären die Elemente der Ausgabematrix B p alle b ij > 0. Die 

Wirksamkeit dieser Maßnahme konnte anhand der guten Übereinstimmung der empirischen und 

theoretisch berechneten Paketkorrelationsfunktionen R pp (ν) eindrucksvoll belegt werden. 

Die abschließende Gegenüberstellung diverser statistischer, digitaler Kanalkenngrößen, wie 

beispielsweise die komplementäre Fehlerabstandsverteilung (KFAV) Fa c (a) und die Blockfehlerdichte 

(BFD) P(m,n) mit den entsprechenden empirischen Kenngrößen, verdeutlichen die 

Qualität des neuen Modells und damit die Verbesserung des Stands der Technik. Ferner wird 

damit die Entwicklung eines weiteren digitalen Kanalmodells wissenschaftlich gerechtfertigt. 

Zusammenfassend zeichnet sich das neue Modell durch folgende Besonderheiten aus: 

1. In den statistischen Analysen zur Leistungsbewertung und Modellierung digitaler Funkkanäle 

wurde der Einfluss der paketweisen Kanalaufzeichnung, in der nur Aussschnitte 

aus der unendlichen Kanalfehlerfehlerfolge gewonnen werden können, berücksichtigt. 

2. Aufgrund der Problematik bei der statistischen Behandlung ausschnittsweiser aufgezeichneter 

Funkkanäle wurde ein hybrides Modell auf der Basis von HMMen zur unabhängigen 

Beschreibung von Kanalfehlern und Paketsymbolen entwickelt. Das kanalfehlerbeschreibende 

HMM gehört der Kategorie gedächtnisbehafteter und nicht-erneuernder Modelle 

an. 

3. Das kanalfehlerbeschreibende HMM charakterisiert ausschließlich die Struktur der Kanalfehlermuster 

aus fehlerhaften Datenpaketen. Die klassische Generierung langer fehlerfreier 

Phasen durch Nullen, wie diese von HMMen zur Charakterisierung der unendlichen 

Kanalfehlerfolge erzeugt werden, ist demnach nicht mehr notwendig. 

4. Die Modellierung der Kanalfehler und des Paketverhaltens durch zwei voneinander unabhängige 

HMMe erlaubt eine variablere Modellierung des für Funkkanäle typischen 

v

nicht-stationären Verhaltens. Im Gegensatz zu den klassischen kanalfehlerbeschreibenden 

Modellen wird durch die hybride Struktur des neuen Modells die allgemein bekannte 

stationäre Einschränkung von HMMen zum Teil kompensiert. 

5. Es wurden Methoden und Vorgehensweisen entwickelt, mit denen systematisch und effizient 

Parametersätze λ aus empirischen Kanalaufzeichnungen ermittelt werden können. 

6. Das Paketverlustverhalten, das bei der klassischen Beschreibung der unendlichen Kanalfehlerfolge 

prinzipiell mangelhaft zu charakterisieren war, wird durch das neue Modell 

adäquat beschrieben. Diese Eigenschaft ermöglicht dadurch eine realistische Leistungsbewertung 

von WPAN-Technologien, z.B. zur Beurteilung der Einsetzbarkeit in zeitkritischen 

Applikationen der industriellen Kommunikation. 

vi

Inhaltsverzeichnis 

Kurzfassung 

Abbildungsverzeichnis 

Tabellenverzeichnis 

Liste der verwendeten Abkürzungen und Symbole 

iii 

xi 

xv 

xvi 

1 Einleitung 1 

1.1 Motivation und Umfeld der Arbeit . . ...................... 1 

1.2 Aufgabenstellung ................................. 3 

1.3 Gliederung der Arbeit . . . ............................ 4 

2 WPAN-Funktechnologien für die experimentelle Analyse digitaler Funkkanäle 9 

2.1 IEEE 802.15.1 . . ................................. 9 

2.2 IEEE 802.15.4 . . ................................. 11 

2.3 nanoNET ..................................... 12 

2.4 Zusammenfassung ................................ 14 

3 Die Analyse und Charakterisierung von Funkkanälen 15 

3.1 Analoge Kenngrößen zur Charakterisierung von Funkkanälen .......... 15 

3.1.1 Physikalische Ausbreitungsphänomene bei EM-Wellen . . . ...... 15 

3.1.2 Analoge Prozesse . ............................ 17 

3.1.3 Das Systemmodell nach Bello ...................... 19 

3.1.4 Charakteristische Kenngrößen ...................... 21 

3.1.5 Klassifizierung von Funkkanälen ..................... 23 

3.2 Digitale Kenngrößen zur Charakterisierung von Funkkanälen .......... 24 

3.2.1 Der digitale Funkkanal .......................... 24 

3.2.2 Kanalbeschreibende, diskrete stochastische Prozesse .......... 25 

3.2.3 Zusammenhänge zwischen Kanalstatistiken der Prozesse FAP und BFP 31 

3.2.4 Statistische Kenngrößen stochastischer Prozessen und deren empirische 

Schätzung ................................. 32 

3.2.5 Statistische Tests zur Klassifizierung digitaler Funkkanäle . ...... 36 


vii

4 Generative Modelle für digitale, gedächtnisbehaftete Funkkanäle 39 

4.1 Endliche Hidden Markov Modelle ........................ 39 

4.1.1 Die Parameter von HMMen ....................... 39 

4.1.2 Die Autokorrelationsfunktion von HMMen . . ............. 42 

4.1.3 Die komplementäre Symbolabstandsverteilung von HMMen ...... 43 

4.1.4 Die Symbolblockdichte von HMMen .................. 44 

4.2 Das Gilbert Modell . . .............................. 45 

4.3 Das Gilbert-Elliott Modell ............................ 47 

4.4 Das Fritchman Modell .............................. 47 

4.5 Das McCullough Modell ............................. 50 

4.6 Zusammenfassung . . .............................. 53 

5 Zur Parameterschätzung generativer Modelle 55 

5.1 Segmentierung charakteristischer Symbolfolgen ................. 56 

5.1.1 Segmentierung durch die Burst Length Sequence ............ 56 

5.1.2 Segmentierung der Fehlerabstände . ................... 57 

5.2 Parameterschätzung durch Anwendung der Linearen Regression ........ 59 

5.3 Analytische Lösung der Rekursionsgleichungen ................. 62 

5.4 Suchverfahren im Parameterraum ........................ 63 

5.5 Der Baum-Welch Algorithmus . . ........................ 66 

5.5.1 Vorwärtsprozeduren . . . ........................ 67 

5.5.2 Rückwärtsprozeduren . . ........................ 68 

5.5.3 Lokale Maximierung der Produktionswahrscheinlichkeit ........ 69 


6 Empirische Analyse und Klassifikation digitaler Funkkanäle 73 

6.1 Topologie und Funktion des Analyseframeworks . . . ............. 73 

6.2 Besonderheiten der paketorientierten Kanalanalyse . . ............. 75 

6.2.1 Korrelationsanalyse ............................ 77 

6.2.2 Komplementäre Fehlerabstandsverteilung . . . ............. 78 

6.3 Aufzeichnung digitaler Funkkanäle unter industriellen Ausbreitungsbedingungen 83 

6.4 Die Analyse der Gedächtnisbehaftung digitaler Funkkanäle ........... 84 

6.5 Analyse des Erneuerungsverhaltens digitaler Funkkanäle ............ 87 

6.6 Auswirkungen der Kanalklassifikation auf die Modellierung von Kanalfehlern . 90 

6.6.1 Erneuerende Kanalmodelle ........................ 90 

6.6.2 Nicht-erneuernde Kanalmodelle . . ................... 96 

6.7 Analyse des Paketverhaltens von Funkkanälen .................. 99 


viii

7 Eine neue Methode zur generativen Modellierung digitaler Funkkanäle 105 

7.1 Diskussion grundlegender Erkenntnisse ..................... 106 

7.2 Vorstellung der neuen Modellstruktur ...................... 107 

7.3 Parametrierung des kanalfehlerbeschreibenden HMMs . . ........... 111 

7.3.1 Ermittlung initialer Parametersätze . . . ................. 111 

7.3.2 Optimierung initialer Parametersätze . ................. 114 

7.4 Parametrierung des paketbeschreibenden HMMs ................ 118 

7.4.1 Ermittlung initialer Parametersätze . . . ................. 118 

7.4.2 Optimierung initialer Parametersätze . ................. 120 

7.5 Kanalkenngrößen erster Ordnung zur Bewertung des neuen hybriden Kanalmodells 

....................................... 123 

7.5.1 Die Paketfehlerwahrscheinlichkeit . . . ................. 123 

7.5.2 Die Paketverlustwahrscheinlichkeit . . ................. 123 

7.5.3 Die Kanalfehlerwahrscheinlichkeit . . . ................. 124 

7.5.4 Bewertung der Modellkenngrößen . . . ................. 124 


8 Zusammenfassung und Ausblick 128 


8.2 Fazit und Ausblick ................................ 130 

Literaturverzeichnis 132 

A WPAN-Funksysteme zur empirischen Analyse digitaler Funkkanäle 138 

A.1 IEEE 802.15.1 – Mitsumi WML-C20 ...................... 138 

A.2 IEEE 802.15.4 – Freescale MC 13192-EVB . . ................. 141 

A.3 nanoNET - Panasonic PAN 5460 . . . ...................... 143 

B Beschreibung der industriellen Umgebungen 146 

B.1 Hochregallager . ................................. 146 

B.2 Maschinenhalle . ................................. 148 

C Definition der Messszenarien 152 

C.1 Hochregallager . ................................. 152 

C.2 Maschinenhalle . ................................. 153 

D Statistische Ergebnisse der Messszenarien 154 

D.1 Hochregallager . ................................. 155 

D.1.1 Szenario HRL-2m: ............................ 155 



ix

D.1.4 Szenario HRL-RAND: . . ........................ 156 

D.2 Maschinenhalle .................................. 157 

D.2.1 Szenario MH-10m: ............................ 157 

D.2.2 Szenario MH-20m: ............................ 157 

D.2.3 Szenario MH-30m: ............................ 158 

D.2.4 Szenario MH-40m: ............................ 158 

D.2.5 Szenario MH-RAND: . . ........................ 159 

D.2.6 Auswahl der Kanalaufzeichnungen zur empirischen Analyse und generative 

Modellierung ............................ 159 

E Ermittelte Parametersätze der Hidden Markov Modelle 160 

E.1 HMM-Parametersätze zu Abschnitt 6.6.2 . ................... 160 

E.1.1 HMM – 2 Zustände ............................ 160 

E.1.2 HMM – 4 Zustände ............................ 160 

E.1.3 HMM – 8 Zustände ............................ 161 

E.1.4 HMM – 16 Zustände . . . ........................ 162 

E.2 Parametersätze zu Abschnitt 7.3.2 ........................ 164 

E.2.1 Mitsumi WML-C20 – MH-30m ..................... 164 


E.2.3 Mitsumi WML-C20 – MH-RAND ................... 166 

E.2.4 Freescale MC 13192-EVB – MH-30m ................. 167 


E.2.6 Freescale MC 13192-EVB – MH-RAND ................ 169 

E.2.7 Panasonic PAN 5460 – MH-40m .................... 170 

E.2.8 Panasonic PAN 5460 – MH-RAND ................... 171 

E.3 Parametersätze zu Abschnitt 7.4.2 ........................ 172 



E.3.3 Mitsumi WML-C20 – MH-RAND ................... 173 



E.3.6 Freescale MC 13192-EVB – MH-RAND ................ 175 

E.3.7 Panasonic PAN 5460 – MH-40m .................... 176 

E.3.8 Panasonic PAN 5460 – MH-RAND ................... 176 

x

Abbildungsverzeichnis 

2.1 Spektraler Verlauf eines IEEE 802.15.1 konformen GFSK Signals, erzeugt mit 

dem Funkmodul Mitsumi WML-C20. ...................... 10 

2.2 Spektraler Verlauf eines IEEE 802.15.4 konformen O-QPSK Signals, erzeugt 

mit dem Transceiver Freescale MC 13192. . . . ................. 12 

2.3 Spektraler Verlauf eines Chirp-Signals, erzeugt mit dem nanoNET-Transceiver 

TRX-NA1TR8. . ................................. 13 

3.1 Die klassischen Ausbreitungsphänome bei EM-Wellen und die Mehrwegeausbreitung 

in einem typischen industriellen Umfeld. ................ 16 

3.2 Ein klassischer Amplituden- bzw. Dämpfungsverlauf eines Rayleigh-Kanals. . 18 

3.3 Zusammenhang der Systemfunktionen nach Bello [1] unter der Voraussetzung 

eines Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering (WSSUS) Funkkanals. 

(Quelle: [2]) . . . ................................. 20 

3.4 Klassifizierung eines Funkkanals durch die Beurteilung des Einflusses der Frequenzselektivität. 

................................. 23 

3.5 Klassifizierung eines Funkkanals durch die Beurteilung des Einflusses der Zeitselektivität. 

. . . ................................. 24 

3.6 Die digitale Abstrahierung von Funkkanälen. . ................. 25 

3.7 Ausschnitt einer Kanalfehlerfolge und daraus abgeleitet die korrespondierende 

Fehlerabstandsfolge . ......................... 27 

3.8 Der Verlauf der KFAV Fa c (a) eines gedächtnislosen und -behafteten Übertragungskanals. 

. . . ................................. 28 

3.9 Ausschnitt einer Kanalfehlerfolge und daraus abgeleitet die korrespondierende 

Fehlerlängenfolge . .......................... 29 

3.10 Die exemplarische Errechnung von Blockfehlern b (n) 

i 

aus einer unendlichen Kanalfehlerfolge 

mit der Fenstermethode n = 4. ............... 30 

3.11 Die BFDen P(m,50) von digitalen Modellkanälen mit der mittleren Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

P e = 0,05, aber unterschiedlichen Korrelationsdauern D k . 31 

3.12 Die erwartungswertbehaftete FKF ¯R ee (ν) eines modellierten, gedächtnisbehafteten 

und -losen Übertragungskanals. . ...................... 36 

4.1 Das Zustandsdiagramm eines Gilbert Modells. . ................. 45 

4.2 Das Zustandsdiagramm eines Gilbert-Elliott Modells. .............. 47 

xi

4.3 Das Zustandsdiagramm eines Fritchman Modells. . . . ............. 48 

4.4 Das Zustandsdiagramm eines McCullough Modells. . . ............. 50 

5.1 Die Vorgehensweise zur Schätzung von Parametern für das GI-Modell durch 

Anwendung der Linearen Regression auf die KFAV Fa c (a). ........... 61 

6.1 Die funktionale und topologische Struktur des zur Funkkanalaufzeichnung verwendeten 

Analyseframeworks. . . ........................ 75 

6.2 Die Aufzeichnung der Kanalfehlermatrix E aus der vollständigen Kanalfehlerfolge 

..................................... 76 

6.3 Auswirkungen der paketweisen Kanalaufzeichnung auf die empirische Bestimmung 

der KFAV Fa c (a) und FKF R ee (ν). ..................... 77 

6.4 Die Auswirkung der ausschnittsweisen Kanalaufzeichnung auf die empirische 

Berechnung der KFAV Fa c (a). .......................... 79 

6.5 Die Verläufe der aKFAV ˜F a c (a) einer Kanalaufzeichnung und deren korrigierte 

Version ˆF a c (a) sowie die KFAVen Fa c (a), die aus den beiden Parametersätzen λ 1 

und λ 2 berechnet wurden. ............................. 82 

6.6 Gegenüberstellung der aus den Parametersätzen λ 1 und λ 2 berechneten aKFAVen 

˜F a c (a) mit der des aufgezeichneten Funkkanals. . . . ............. 82 

6.7 Die FKFen R ee (ν) für das stationäre Messszenario MH-40m sowie die FKF 

R ee (ν) eines gedächtnislosen BSC-Kanals zum Vergleich. ............ 85 

6.8 Die FKFen R ee (ν) für das mobile Messszenario MH-RAND sowie die FKF 

R ee (ν) eines gedächtnislosen BSC-Kanals zum Vergleich. ............ 86 

6.9 AKF R aa (ν) für das stationäre Messszenario MH-40m sowie die AKF R aa (ν) 

eines erneuernden BSC-Kanals zum Vergleich. ................. 88 

6.10 Gegenüberstellung der empirisch berechneten BFD P(m,40) (Messszenario 

Mitsumi WML-C20 – MH-40m) mit der BFD P(m,40) eines GI-Modells. Der 

Parametersatz des GI-Modells wurde durch die Lineare Regression geschätzt. . 92 

6.11 Gegenüberstellung der mit unterschiedlichen Fensterbreiten n ermittelten, empirischen 

BFDen P(m,n) (Messszenario Mitsumi WML-C20 – MH-40m) mit den 

äquivalenten, analytisch berechneten BFD P(m,n) des erneuernden GI-Modells 

(Parametersatz λ 2 aus (6.13)). . . ........................ 93 

6.12 Gegenüberstellung der Verläufe der BFDen P(m,n) und KFAVen Fa c (a) der Kanalaufzeichung 

und des GI-Modells mit dem Parametersatz aus (6.14). . . . . . 94 

6.13 Lineare Regression an die korrigierte aKFAV ˆF a c (a) diverser Kanalaufzeichungen 

mithilfe zweier Exponentialfunktionen, dargestellt im halblogarithmischen 

Maßstab. . . . ................................... 95 

xii

6.14 Gegenüberstellung der aus den HMMen mit den Zustandsmengen 2,4,8 und 16 

berechneten aKFAVen ˜F a c (a) mit der entsprechenden empirischen (Messszenario 

Mitsumi WML-C20 - MH-40m). Die initalen Parametersätze λ 0 der HMMe 

wurden zufällig generiert und anschließend mit dem BW-Algorithmus bis zur 

Konvergenz (Konvergenzschwelle k thres = 10 −4 ) optimiert. ........... 98 

6.15 Gegenüberstellung der aus den HMMen mit den Zustandsmengen 2,4,8 und 16 

berechneten BFDen P(m,40) mit der entsprechenden empirischen (Messszenario 

Mitsumi WML-C20 - MH-40m). Die initalen Parametersätze λ 0 der HMMe 

wurden zufällig generiert und anschließend mit dem BW-Algorithmus bis zur 

Konvergenz (Konvergenzschwelle k thres = 10 −4 ) optimiert. ........... 98 

6.16 Darstellung der empirischen PKFen R pp (ν) für diverse Kanalaufzeichnungen 

mit eingezeichneter Signifikanzschwelle s. .................... 101 

7.1 Struktureller Aufbau des hybriden kanalfehlerund paketbeschreibenden Hidden 

Markov Modells. . . . ............................ 109 

7.2 Prinzipieller Zusammenhang zwischen Markov-Modellen zur generativen Modellierung 

des Signal-Störabstandes SNR und dem kanalfehlerbeschreibenden 

HMM. ....................................... 110 

7.3 Aus verschiedenen initialen Parametersätzen λ 0 berechnete BFDen P(m,40). 

Die initialen Parametersätze λ 0 wurden mit den Fensterbreiten n = {5,10,20,30} 

ermittelt. ...................................... 113 

7.4 Gegenüberstellung der aKFAV ˜F a c (a) und der BFD P(m,40) der Kanalaufzeichnung 

(Mitsumi WML-C20 - MH-40m) mit den aus dem initialen Parametersatz 

λ k0 und dem optimierten Parametersatz λ k100 berechneten. ........... 115 


(Mitsumi WML-C20 - MH-RAND) mit den aus dem initialen Parametersatz 

λ k0 und dem optimierten Parametersatz λ k46 berechneten. . . . ...... 115 


(Freescale MC 13192-EVB – MH-40m) mit den aus dem initialen Parametersatz 

λ k0 und dem optimierten Parametersatz λ k43 berechneten. ...... 116 


(Freescale MC 13192-EVB – MH-RAND) mit den aus dem initialen Parametersatz 

λ k0 und dem optimierten Parametersatz λ k54 berechneten. ..... 116 


(Panasonic PAN 5460 - MH-40m) mit den aus dem initialen Parametersatz 

λ k0 und dem optimierten Parametersatz λ k61 berechneten. . ........... 117 


(Panasonic PAN 5460 - MH-RAND) mit den aus dem initialen Parametersatz 

λ k0 und dem optimierten Parametersatz λ k61 berechneten. . . . ...... 117 

xiii

7.10 Verläufe der empirschen PKFen R pp (ν) ausgewählter Kanalaufzeichnungen und 

im Vergleich dazu die aus den initialen Parametersätzen λ p0 analytisch berechneten 

des paketbeschreibenden HMMs. . . ................... 119 

7.11 Der Verlauf der PKF R pp (ν) als Funktion der Iterationsschritte i des BW- 

Algorithmus und der Verschiebung (Lag) ν. ................... 121 

7.12 Gegenüberstellung der aus den optimierten Parametersätzen λ px analytisch berechneten 

PKF R pp (ν) mit denen der empirischen Kanalaufzeichnung. ..... 122 

A.1 Das CSR Casira Entwicklungsboard mit dem Mitsumi WML-C20 Bluetooth 

Modul. ....................................... 139 

A.2 Die Anwendung BlueTest zur Analyse und Adjustierung der effektiven Sendeleistung 

auf 0 dBm bei dem Mitsumi WML-C20. . . . ............. 140 

A.3 Der gemessene Verlauf der effektiven Sendeleistung am Antennenanschluss als 

Funktion des Registerwertes Int. ........................ 140 

A.4 Das Freescale MC 13192-EVB Entwicklungsboard. . . ............. 141 


Funktion des Registerwertes 12[7:6:5:4]. . . ................... 143 

A.6 Das Panasonic PAN 5460 Entwicklungsboard. .................. 144 


Funktion der einstellbaren Leistungsstufen. ................... 145 

B.1 Positionen von Sender und Empfänger in der Messumgebung Hochregallager. . 147 

B.2 Typische Spektrumanalyse im Frequenzbereich 2,4 GHz – 2,5 GHz während 

einer digitalen Kanalaufzeichnung im Hochregallager. . ............. 148 

B.3 Eine Empfängerposition in der Messumgebung Maschinenhalle . ........ 149 

B.4 Typische Spektrumanalyse für den Frequenzbereich 2,4 GHz – 2,5 GHz während 

einer digitalen Kanalaufzeichnung in der Maschinenhalle. . ........ 150 

B.5 Der Grundriss der Maschinenhalle Firma L. Risse GmbH in Castrop-Rauxel. . 151 

xiv

Tabellenverzeichnis 

2.1 Parameter der Modulationsverfahren und Spreiztechnologien der WPAN-Funktechnologie 

IEEE 802.15.4. ............................ 11 

4.1 Überblick über die Eigenschaften der vorgestellten digitalen, generativen Kanalmodelle 

...................................... 53 

6.1 Kenngrößen zur Beurteilung der Gedächtnisbehaftung der aufgezeichneten, digitalen 

Funkkanäle. ................................ 87 

6.2 Kenngrößen zur Beurteilung des Erneuerungscharakters der aufgezeichneten, 

digitalen Funkkanäle. . . . ............................ 89 

6.3 Charakteristische Kenngrößen zur Beurteilung der statistischen Abhängigkeit 

zwischen Paketsymbolen p i . ........................... 102 

7.1 Vergleich der empirisch ermittelten Kanalkenngrößen mit denen des neuen hybriden 

Modells. . ................................. 125 

A.1 Weitere technische Daten über das Mitsumi WML-C20 aus dessen Datenblatt [3]. 141 

A.2 Weitere technische Daten über den TRX-Transceiver (NA1TR8) aus dessen Datenblatt 

[4]. . . . ................................. 145 

C.1 Die Definition der Parameter für die Messszenarien im Hochregallager. .... 153 

C.2 Die Definition der Parameter für die Messszenarien in der Maschinenhalle. . . 153 

D.1 Statistische Kanalkenngrößen für das Messszenario HRL-2m. ......... 155 



D.4 Statistische Kanalkenngrößen für das Messszenario HRL-RAND. ....... 156 

D.5 Statistische Kanalkenngrößen für das Messszenario MH-10m. ......... 157 




D.9 Statistische Kanalkenngrößen für das Messszenario MH-RAND. ........ 159 

D.10 Auswahl der Kanalaufzeichung aus den Messszenarien, die für statistische Untersuchungen 

und zur gerativen Modellierung verwendet wurden. . . ...... 159 

xv


Um die Kompatibilität zu den meist englischsprachigen Veröffentlichungen zu gewährleisten, 

orientieren sich alle in dieser Arbeit verwendeten Abkürzungen, Symbole und Indizes an den 

englischen Fachbegriffen. 

Abkürzungen 

ACK 

ACL 

AFH 

ARQ 

AWGN 

BER 

BFD 

BFP 

BPSK 

BT 

BSC 

BW 

COST 

CRC 

CSR 

CSS 

CW 

DH 

DDL 

DM 

DPSK 

DQPSK 

DSSS 

EC 

EDR 

EM 

ETSI 

Acknowlegde 

Asynchronous Connection Less 

Adaptive Frequency Hopping 

Automatic Repeat Request 

Additive White Gaussian Noise 

Bit Error Rate 

Blockfehlerdichte 

Blockfehlerprozess 

Binary Phase Shift Keying 

Bluetooth 

Binary Symmetric Channel 

Baum-Welch 

European Cooperation in the Field of Scientific and Technical Research 

Cyclic Redundancy Check 

Cambridge Silicon Radio 

Chirp Spread Spectrum 

Continous Wave 

Data High Rate 

Dispersive Delay Line 

Data Medium Rate 

Differential Phase Shift Keying 

Differential Quaternary Phase Shift Keying 

Direct Sequence Spread Spectrum 

Evaluation Controller 

Enhanced Data Rate 

Elektromagnetisch 

European Telecommunications Standards Institute 

xvi


FA 

FAD 

FAP 

FAV 

FDD 

FEC 

FFD 

FFT 

FHD 

FHSS 

FLP 

FT 

GE 

GFSK 

GI 

HCI 

HMM 

HRL 

HV 

IEC 

IEEE 

IFK 

IP 

ISI 

ISM 

KFAV 

KFP 

L 2 CAP 

LAN 

LFM 

LM 

LMP 

LOS 

LQI 

MAC 

MC 

MDMA 

MFAD 

MH 

Funkadapter 

Fehlerabstandsdichte 

Fehlerabstandsprozess 

Fehlerabstandsverteilung 

Frequency Division Duplex 

Forward Error Correction 

Fehlerfeies Datenpaket 

Fast Fourier Transformation 

Fehlerhaftes Datenpaket 

Frequency Hopping Spread Spectrum 

Fehlerlängenprozess 

Fritchman Modell 

Gilbert-Elliott Modell 

Gaussian Frequency Shift Keying 

Gilbert Modell 

Host Controller Interface 

Hidden Markov Model 

Hochregallager 

High Quality Voice 

International Electrotechnical Commission 

Institute of Electrical and Electronics Engineers 

Industrielle funkgestützte Kommunikationssysteme 

Internet Protocol 

Intersymbol Interferenz 

Industrial, Scientific, and Medical Band 

Komplementäre Fehlerabstandsverteilung 

Kanalfehlerprozess 

Logical Link Control and Adaptation Protocol 

Local Area Network 

Linear Frequency Modulated 

Link Management 

Link Management Protocol 

Line of Sight 

Link Quality Indicator 

Medium Access Layer 

McCullough Modell 

Multiple Dimensional Multiple Access 

Mehrfachfehlerabstandsdichte 

Maschinenhalle 

xvii


ML 

MTU 

NB 

NLOS 

NWK 

OLOS 

OQPSK 

OSI 

PAN 

PDA 

PDU 

PER 

PHY 

PLR 

PN 

PRBS 

PSK 

QoS 

RAM 

RBW 

RED 

RF 

RMS 

RSSI 

RX 

SAW 

SCO 

SIG 

SMAC 

SNR 

SPI 

SPP 

SW 

TCP 

TDD 

TDMA 

TX 

UART 

VBW 

Maximum Likelihood 

Maximum Transmission Units 

Narrow Band 

Non Line of Sight 

Network Layer for ZigBee 

Obstructed Line of Sight 

Offset Quadrature Phase Shift Keying 

Open Systems Interconnection Reference Model 

Personal Area Network 

Personal Digital Assistant 

Process Data Unit 

Packet Error Rate 

Physical Layer 

Packet Loss Rate 

Pseudo Noise 

Pseudo Random Binary Sequence 

Phase Shift Keying 

Quality of Service 

Random Access Memory 

Resolution Bandwidth 

Richtig empfangenes Datenpaket 

Radio Frequency 

Root Mean Square 

Received Signal Strength Indicator 

Receiver 

Surface Acoustic Wave 

Synchronous Conncetion Less 

Special Interested Group Bluetooth 

Simple Media Access Control 

Signal-to-Noise Ratio 

Serial Peripheral Interface 

Serial Port Profile 

Swoboda Modell 

Transmission Control Protocol 

Time Division Duplex 

Time Division Multiple Access 

Transmitter 

Universal Asynchronous Receiver Transmitter 

Video Bandwidth 

xviii


VD 

WB 

WLAN 

WSSUS 

ZÜW 

Verlorenes Datenpaket 

Wide Band 

Wireless Local Area Network 

Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering 

Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten 

Mathematische Symbole 

A 

komplexe Zahl 

A 

Matrix 

⃗A 

Spaltenvektor 

∆ n A(n) Diskrete Ableitung der Größe A(n) nach n 

⃗A × ⃗B Kreuzprodukt 

⃗A · ⃗B Skalarprodukt 

A ∗ B Komponentenweise Matrizenmultiplikation 

E [·] 

Erwartungswert 

Pr(·) 

Wahrscheinlichkeit 

Var(·) 

Varianz 

√ 

Var(·) Standardabweichung 

VarK(·) Variationskoeffizient 

ACov ν (·) Autokovarianz für eine Verschiebung ν 

Kor ν (·) 

R xx (ν) 

Kr(·) 

max{·} 

min{·} 

∝ 

F 

Korrelationskoeffizient für eine Verschiebung ν 

Autokorrelationsfunktion der Größe x 

Kriteriumsfunktion 

Maximum einer Funktion, bzw. einer Liste von Werten 

Minimum einer Funktion, bzw. einer Liste von Werten 

Proportionalität 

Fourier-Transformation 

Großbuchstaben 

A 

B 

BL (n) 

E 

P 

B c 

Fehlerabstandsmatrix 

Ausgabematrix eines (Hidden) Markov Modells 

Blockfehlermatrix bestehend aus Blockfehlern b (n) 

ij , die mit der Fensterbreite n aus E 

berechnet wurden 

Kanalfehlermatrix 

Übergangsmatrix eines (Hidden) Markov Modells 

Kohärenzbandbreite 

xix


B s 

D 

D k 

D s 

S 

T c 

T s 

T sp 

R b 

R s 

P e 

Signalbandbreite 

Kolmogorov-Distanz 

Korrelationsdauer 

Dopplerverbreiterung 

Zustandsraum 

Kohärenzzeit 

Symboldauer 

Symbolperiode 

Datenrate 

Symbolrate 

Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

Kleinbuchstaben 

a i Fehlerabstand als Element der unendlichen Fehlerabstandsfolge 

a i 

Fehlerabstand als Element der Fehlerabstandsmatrix A 

a m i Mehrfachfehlerabstand als Element der unendlichen Fehlerabstandsfolge 

b (n) 

i 

b (n) 

ij 

Mit der Fensterbreite n aus berechnete Blockfehler 

Mit der Fensterbreite n aus E berechnete Blockfehler 

b j (k) 

Ausgabedichtefunktion 

d 

Abstand 

e i Kanalfehlersymbol als Element der unendlichen Kanalfehlerfolge 

e ij 

Kanalfehlersymbol als Element der Fehlermatrix E 

f 

Frequenz 

f d 

Dopplerfrequenz 

g i 

Hilfsgröße zur Berechnung der Zeilensumme einer Matrix 

h 

Modulationsindex 

n 

Fensterbreite 

k o 

Burst Order 

k thres 

Konvergenzschwelle des BW-Algorithmus 

p i 

Paketsymbol 

p ij 

Zustandsübergangswahrscheinlichkeit 

s 

Signifikanzschwelle 

s(ν) 

Von der Verschiebung ν abhängige Signifikanzschwelle 

v 

Geschwindigkeit 

t 

Beobachtungszeit 

xx


Griechische Buchstaben 

α t ( j) 

β t ( j) 

γ 

δ 

∆ f 

∆t 

λ 

ν 

π i 

π (0) 

i 

τ 

τ rms 

Ω 

Vorwärtswahrscheinlichkeiten 

Rückwärtswahrscheinlichkeiten 

Path Loss Exponent 

Dirac-Funktion 

Frequenzinkrement 

Zeitinkrement 

Parametersatz eines (Hidden) Markov Modells 

Verschiebung 

Stationäre Zustandswahrscheinlichkeit 

Anfängliche Zustandswahrscheinlichkeit 

Verzögerungszeit 

Mehrwegeverbreiterung 

Statistische Grundgesamtheit 

Analoge und digitale Kanalkenngrößen 

f a (a) 

Fehlerabstandsdichte 

fa m (a) 

Mehrfachfehlerabstandsdichte 

f l (l) 

Fehlerlängendichte 

Fa c(a) 

Komplementäre Fehlerabstandsverteilung 

Fa c(a,V k) Komplementäre Symbolabstandsverteilung eines HMMs 

P(m,n) Blockfehlerdichte 

P(m,n,V k ) Symbolblockfehlerdichte 

R ee (ν) Fehlerkorrelationsfunktion 

R aa (ν) Abstandskorrelationsfunktion 

R pp (ν) Paketkorrelationsfunktion 

R dd (∆ f ,∆ f d ) Frequenz-Doppler Korrelationsfunktion 

R DD (τ,∆ f d ) Verzögerungs-Doppler Korrelationsfunktion 

R DD (0, f d ) Doppler-Leistungsdichtespektrum 

R hh (τ,∆t) Verzögerungs-Zeit Korrelationsfunktion 

R hh (τ,0) Verzögerungs-Leistungsdichtespektrum 

R HH (∆ f ,0) Frequenz-Korrelationsfunktion 

R HH (0,∆t) Zeit-Korrelationsfunktion 

R HH (∆ f ,∆t) Frequenz-Zeit Korrelationsfunktion 

d(τ, f d ) Komplexe dopplervariante Impulsantwort 

D( f , f d ) Komplexe dopplervariante Übertragungsfunktion 

h(τ,t) 

Komplexe zeitvariante Impulsantwort 

H( f ,t) Komplexe zeitvariante Übertragungsfunktion 

xxi


Stochastische Prozesse und deren Folgen 

Unendliche Fehlerabstandsfolge 

Unendliche Kanalfehlerfolge 

Allgemeine Symbolfolge 

Paketsymbolfolge 

Error-free Burst Length Sequence 

Error Burst Length Sequence 

Eingangssymbolfolge 

Ausgangssymbolfolge 

{A t } Fehlerabstandsprozess 

{E t } Kanalfehlerprozess 

{B (n) 

t } Blockfehlerprozess 

{L t } Fehlerlängenprozess 

{P t } Paketprozess 

{U t } Large Scale Fading Prozess 

{V t } Small Scale Fading Prozess 

{X t } Datenquellenprozess 

{Y t } Datensenkenprozess 

xxii

1 Einleitung 

Das Kapitel 1 leitet in die Thematik der digitalen Analyse und Modellierung von WPAN- 

Funkkanälen ein, indem Problemstellungen bei dem Entwurf von Protokollinstanzen für Netzwerk-, 

Transport- und zusätzlichen Sicherheitsschichten für industrielle Funksysteme aufgezeigt 

werden. Die Notwendigkeit einer realistischen Kanalbeschreibung wird deutlich und motiviert 

diese Arbeit. Aus den Bedürfnissen zur Kompensation dieser Probleme wird im Abschnitt 1.2 

die Aufgabenstellung formuliert. Abschließend enthält das Kapitel 1 eine inhaltliche Gliederung 

der vorliegenden Dissertation. 

1.1 Motivation und Umfeld der Arbeit 

Die Effizienz von Automatisierungsanlagen spielt heutzutage eine enorm wichtige Rolle für die 

Wirtschaftlichkeit von Produktionsstätten. Aspekte wie Flexibilität, Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit 

gewinnen zunehmend an Bedeutung. Nicht zuletzt sind kabelgebundene industrielle 

Feldbussysteme [5], [6], [7], [8] in diesem Zusammenhang als Schlüsselfaktoren anzusehen, die 

einen dynamischen und flexiblen Einfluss auf die Gestaltung industrieller Anwendungen und 

Produktionseinrichtungen ausüben. Feldbussysteme besitzen aber auch Nachteile, die sich besonders 

in mobilen Einsatzszenarien und unter rauen Umgebungsbedingungen, z.B. durch chemische 

Einflüsse, Erschütterungen und Wärme bemerkbar machen. In diesen Szenarien ist die 

Lebensdauer kabelbasierender Übertragungsmedien deutlich reduziert, sodass der Einsatz von 

kabelgebundenen Kommunikationssystemen sehr wartungs- und damit kostenintensiv wird. 

Aus diesem Grund erhalten auch WPAN-Funktechnologien immer häufiger Einzug in das industrielle 

Umfeld. Im Rahmen des RFieldbus Projekts haben Hähniche, et al. [9] eine wertvolle 

Anforderungsanalyse für industrielle funkgestützte Kommunikationssysteme (IFKs) in Form eines 

Fragebogens durchgeführt. Anforderungen an Eigenschaften und Fähigkeiten zukünftiger 

IFKs wurden mit Hilfe des Fragebogens analysiert und präsentiert. Darin kristallisierten sich 

u.a. Forderungen nach einer zuverlässigen und sicherheitsgerichteten Kommunikation sowie einer 

flexiblen Netzwerktopologie und objektorientierten Dienststruktur heraus. Ebenso fordern 

potenzielle Anwender einen ökonomischen Kompromiss zwischen dem Mehrwert neuer Funktionen 

in IFKs und den damit verbundenen Kosten bei deren Entwicklung. 

Aus diesen Forderungen zeichnen sich etliche Kontroversen ab. Einerseits sollte nach Möglichkeit 

der Datentransfer in Echtzeit und unter Sicherheitsaspekten ablaufen. Andererseits sollten 

die Funksysteme hochdynamische Netzwerkstrukturen (Multi-Hop Netzwerkfähigkeit) un- 

1

1 Einleitung 

terstützen, über die letztendlich die Automatisierungsprozesse untereinander ihre Daten austauschen. 

Dies wiederum führt dazu, dass die Protokollstrukturen derartiger Funksysteme sehr 

komplex sind und über eine Vielzahl von Primitiven verfügen (vgl. ZigBee NWK Netzwerk 

Spezifikation [10]). Im Gegensatz zu den klassischen Feldbussystemen sind nicht nur die OSI- 

Schichten Übertragung, Sicherung und Anwendung implementiert, sondern auch Netzwerk, 

Transport sowie zusätzliche Sicherung auf Anwendungsebene durch Safety Protokolle [11], [12] 

(Anforderungen der Normenwerke IEC 61058 [13] und DIN EN 954-1 [14]). 

Die Forderung nach höherer Flexibilität lässt zwangsläufig den Protokolloverhead und damit 

die zu übertragenden Datenmengen ansteigen. Letztendlich erhöht sich durch den zusätzlichen 

Bearbeitungsaufwand der Primitiven sowie deren Übertragungsdauer die benötigte Zeit 

für den eigentlichen Austausch der Prozessdaten. In kabelgebundenen industriellen Kommunikationssystemen, 

in denen der Übertragungskanal annähernd zeitinvariant ist, kann dieser Problematik 

im Wesentlichen durch die Entwicklung angepasster Scheduling-Algorithmen für die 

unterschiedlichen Primitiven und intelligenten Kanalzugriffsverfahren Abhilfe geschaffen werden. 

Prioritätsgesteuert können sowohl unterschiedliche Prozessdaten als auch Steuerdaten der 

Primitiven effizient miteinander koexistieren. 

Erheblich komplizierter wird der Sachverhalt, wenn der Übertragungskanal nicht mehr zeitinvariant, 

sondern, wie für Funksysteme üblich, stark schwankend und schwundbehaftet ist. 

Übertragungsfehler treten nun mehr gebündelt auf, was eine empfängerseitige Korrektur durch 

korrigierende Kanalcodes (Forward Error Correction - FEC) zunehmend erschwert. Nicht zuletzt 

müssen defekte Datenpakete durch entsprechende Wiederholstrategien (Automatic Repeat 

Request - ARQ) mehrmals versendet werden, bis diese unbeschadet beim Adressaten eintreffen 

und verarbeitet werden können. Die Zustellungsdauer der Datenpakete ist somit nicht mehr 

determiniert, sondern unterliegt einer nicht zu vernachlässigenden statistischen Varianz. Konnte 

beispielsweise ein hoch priorisiertes Datenpaket mit Prozessdaten nicht in seinem vom Scheduler 

vorgesehenen Zeitintervall zugestellt werden, so wirkt sich dies mitunter dramatisch auf alle 

nachfolgenden Datenpakete aus, da diese zurückgestellt werden. Ist zudem die Topologie eines 

solchen Netzwerkes dynamisch, wie es beispielsweise für Multi-Hop Netzwerke üblich ist, so 

erhöht sich zusätzlich die Komplexität dieses Problems, da durch die Zurückstellung von Datenpaketen, 

welche netzwerkkoordinierende Primitiven transportieren, nicht jeder Teilnehmer 

über die aktuellen topologischen Informationen verfügt und das Netzwerk somit Inkonsistenzen 

aufweist. 

Der erfolgreiche Entwurf involvierter Scheduler, Protokollschichten sowie deren Primitiven 

hängt daher sehr stark von deren Adaption auf das dynamische Verhalten des Übertragungskanals 

ab. Gelingt es, reale Funkkanäle adäquat statistisch zu beschreiben, so können Kanalsimulationen 

wichtige Hilfestellung bereits in der Entwurfsphase derartiger Protokolle und funktionale 

Instanzen geben. Designschwächen können frühzeitig erkannt und die Entwicklungszeit erheblich 

reduziert werden. In zahlreichen wissenschaftlichen Arbeiten [15], [16], [17], [18] in denen 

2

1.2 Aufgabenstellung 

Scheduler, Protokolle oder Fehlerschutzmaßnahmen für funkgestützte Kommunikationssysteme 

entworfen oder evaluiert wurden, setzten sich die Autoren auch mit der statistischen Beschreibung 

von Funkkanälen auseinander. Da die Materie jedoch sehr komplex ist und der Schwerpunkt 

dieser Arbeiten zum Teil stärker im funktionalen Bereich gesetzt war, wurden teilweise 

erheblich vereinfachende Modellannahmen für Funkkanäle getroffen. Zwar konnte dadurch die 

statistische Beschreibbar- bzw. Handhabbarkeit der Funkkanäle verbessert werden, jedoch mit 

dem Nachteil, dass gleichzeitig die Diskrepanz zwischen Realität und Modell größer wurde. 

Reale statistische Kanalbeschreibungen können nicht nur während der Entwicklung von Protokollschichten 

und anderen funktionalen Instanzen hilfreich sein, sondern auch einen erheblichen 

Beitrag bei der Inbetriebnahme und Fehleranalyse von IFKs liefern. Verfügt ein Funksystem 

über die funktionale Möglichkeit, die eigene Übertragungseigenschaft (Kanalfehler-, Paketfehlerverhalten) 

selbstständig statistisch zu erfassen und zu formulieren oder diese anhand 

von Modellparametern zu klassifizieren, so kann durch entsprechende Werkzeuge, natürlich nur 

bis zu einem gewissen Grad, eine Fehleranalyse automatisiert werden. Besonders für Hersteller 

und Anbieter von IFKs könnten derartige Expertensysteme zur Reduzierung des notwendigen 

Grundwissens bei dem Umgang und der Installation der IFKs beitragen. Supportprozesse können 

rationaler und damit kostengünstiger gestaltet werden. 

1.2 Aufgabenstellung 

Die Aufgabenstellung dieser Dissertation umfasste die Entwicklung einer Methode mit der 

WPAN-Funkkanäle digital analysiert werden können, um deren Einsatzbarkeit in industriellen 

Applikationen durch entsprechende Leistungsbewertungen untersuchen zu können. Nach Möglichkeit 

sollte diese Problemstellung mithilfe eines generativen, statistischen Modells gelöst werden. 

Generativ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass es sich nicht nur um ein beschreibendes, 

statistisches Modell handelt, sondern auch dazu eignet, WPAN-Funkkanäle aktiv zu simulieren. 

Es sollte daher strukturell in einem Simulator, beispielsweise dem Network Simulator ns-2, integrierbar 

sein. Ziel dieser Aufgabenstellung ist es, mit den neuen Erkenntnissen aus dieser Arbeit 

speziell die im Abschnitt 1.1 formulierten Problemstellungen besser behandelbar zu gestalten. 

Mit der Vielzahl publizierter digitaler Kanalmodelle, z.B. die nach Gilbert [19], Gilbert-Elliott 

[20], Fritchman [21] und McCullough [22], welche eine generative Beschreibungsform erlauben, 

stehen zahlreiche Kandidaten für diese Aufgabe zur Verfügung. Da deren Ursprung meistens aus 

der Modellierung von Telefonnetzwerken stammt, stellt sich die Frage, inwieweit auch die Charakteristika 

von WPAN-Funktechnologien mit diesen Modellen erfasst und realistisch wiedergegeben 

werden können. Die Klärung dieser Fragestellung sollte auf der Basis realistischer Experimente 

erfolgen, in denen digitale Funkkanäle unter industriellen Ausbreitungsbedingungen 

aufgezeichnet werden. Der Begriff ”industrielle Ausbreitungsbedingungen” impliziert industrietypische 

Umgebungen mit hohem metallischem Umgebungsgehalt, bewegte Umfelder, keine 

3

1 Einleitung 

LOS zwischen Sender und Empfänger, sodass der Einfluss der Mehrwegeausbreitung stark zum 

Tragen kommt. Bei den in dieser Arbeit berücksichtigten WPAN-Funktechnologien handelt es 

sich um IEEE 802.15.1, IEEE 802.15.4 und nanoNET. Die aus den Experimenten abgeleiteten 

Ergebnisse sind kontrovers zu diskutieren, um eventuelle Schwachpunkte zu identifizieren. 

Ggfs. sei ein digitales Modell neu zu entwickeln, das die Eigenschaften derartiger Funkkanäle 

besser nachbilden kann. 

Da bekanntermaßen die zielgerichtete Schätzung der Parametersätze für die Qualität eines 

Modells ebenso wichtig ist wie deren innere Struktur und damit resultierende Eigenschaft, soll 

eine Vorgehensweise entwickelt werden, mit der Parametersätze systematisch und effizient zu 

bestimmen sind. Die Anwendbarkeit dieser Vorgehensweise soll sich nicht nur auf kontinuierlich 

übertragende Funktechnologien beschränken, sondern auch auf paket-orientiert übertragende 

(moderne) anwendbar sein. Nach Möglichkeit sollte eine hohe Anzahl an Freiheitsgraden bei 

der Parameterbestimmung vermieden werden, ebenso wie der Einsatz von aufwändigen Suchverfahren 

im Parameterraum der Modelle. Wünschenswert ist die Entwicklung einer allgemeingültigen 

und stringenten Vorgehensweise bei der Parameterschätzung. Da die zu entwickelnde 

Methode den Fortschritt bei der Entwicklung neuer Sicherungs-, Netzwerk-, Transport- und Anwendungsprotokolle 

für IKFe fördern soll, sind Berechnungsvorschriften für die klassischen, 

digitalen Kanalkenngrößen abzuleiten und anzugeben. Für die Charakterisierung des Kanalfehlerverhaltens 

gehören dazu formale Ausdrücke für die Berechnung der komplementären Fehlerabstandsverteilung 

(KFAV) Fa c (a) mit a ∈ N und der Blockfehlerdichte (BFD) P(m,n) mit 

m,n ∈ N 0 (vgl. [23]). 

Ganz bewusst sollte die vorliegende Dissertation auch leicht praktischen Charakter aufweisen, 

da die Ergebnisse der Experimente und Kanalaufzeichnungen am Rande auch zur Leistungsbewertung 

der betrachteten WPAN-Funktechnologien herangezogen werden können. Sie zeigen 

infolgedessen pragmatische Grenzen im Übertragungsverhalten auf und identifizieren potenzielle 

Anwendungsgebiete der unterschiedlichen WPAN-Funktechnologien. Aus diesem Grund 

sollte darauf Wert gelegt werden, die Praxisrelevanz bestimmter statistischer Kenngrößen an 

geeigneten Stellen in der Dissertation hervorzuheben. 

1.3 Gliederung der Arbeit 

Nach der im Kapitel 1 enthaltenen Einleitung und Definition der Aufgabenstellung erfolgt im 

Kapitel 2 die Vorstellung der zur experimentellen Analyse digitaler Übertragungskanäle eingesetzten 

WPAN-Funktechnologien IEEE 802.15.1, IEEE 802.15.4 und nanoNET. Schwerpunktmäßig 

werden die Eigenschaften der Physikalischen Schicht und Sicherungsschicht vorgestellt. 

Primär gehören dazu die Charakteristika der Modulationsverfahren und die davon abhängigen 

Kenngrößen Systembandbreite B s und Symboldauer T s , welche zur Klassifizierung der physikalischen 

Funkkanäle benötigt werden. Ferner werden Methoden zur Signalspreizung präsentiert. 

4


Anwendungsprofile werden hingegen bewusst nur am Rande erwähnt, da sie in dieser Arbeit nur 

eine nebensächliche Rolle spielen. 

Das Kapitel 3 leitet in die Charaktierisierung und Modellierung von Funkkanälen ein. Nachdem 

die physikalischen Ausbreitungsphänomene elektromagnetischer Wellen und deren Bedeutung 

für die funkgestütze Kommunikation vorgestellt sind, wird der Stand der Technik zur analogen 

Modellierung derartiger Phänomene dargelegt. In diesem Zusammenhang werden die Begriffe 

”Large Scale Fading” und ”Small Scale Fading” eingeführt. Im Anschluss daran folgt 

eine systemtheoretische, modellhafte Betrachtung von Übertragungskanälen aus dem Blickwinkel 

von Bellos [1] Zusammenhang der Systemfunktionen. Unter der Annahme von Kanalstationarität 

im weiteren Sinne und statistisch unabhängigen Streuobjekten (Wide Sense Stationary 

Uncorrelated Scattering – WSSUS) werden die bekannten ”analogen” Kanalkenngrößen Mehrwegeverbreiterung 

τ rms , Kohärenzbandbreite B c , Kohärenzzeit T c und Dopplerverbreiterung D s 

abgeleitet, wonach eine Klassifizierung von Funkkanälen in der Praxis erfolgt. 

Nach der Vorstellung analoger Beschreibungsformen für Funkkanäle führt die zweite Hälfte 

des Kapitels 3 in die digitale Charakterisierung und Modellierung ein. Dazu wird der digitale 

Funkkanal samt seiner beschreibenden Prozesse vorgestellt. U.a. zählen dazu der Kanalfehler- 

{E t } und der Fehlerabstandsprozess {A t }. In diesem Zusammenhang werden die Begriffe ”gedächtnisbehaftete” 

und ”erneuernde” Übertragungskanäle erklärt und auf die Auswirkung bei 

deren Modellierung eingegangen. Danach werden die statistischen Kenngrößen der o.g. Prozesse 

angegeben. Neben den klassischen statistischen Kenngrößen der Momente erster und zweiter 

Ordnung (Erwartungswert, Varianz, Korrelation, usw.) werden die wichtigen statistischen 

Verteilungen, KFAV Fa c (a) und BFD P(m,n), eingeführt und Adouls [24] Umrechnungsmethoden 

zwischen Fa c (a) ↔ P(m,n) für nicht-erneuernde Kanäle präsentiert. Im abschließenden 

Abschnitt dieses Kapitels werden statistische Tests vorgestellt, mit denen Zufallsvariablen empirischer 

Prozesse auf ihre innere statistische Abhängigkeit untersucht werden können. 

Im Kapitel 4 wird die Theorie generativer Modelle zur Beschreibung gedächtnisbehafteter 

Übertragungskanäle auf der Basis endlicher Hidden Markov Modellen (HMM) erster Ordnung 

vorgestellt. Darin werden allgemeingültige formale Ausdrücke für die Korrelationsfunktion, die 

komplementäre Symbolabstandsverteilung und die Symbolblockdichte von HMMen gegeben. 

Im Anschluss daran werden die wissenschaftlich etablierten Kanalmodelle nach Gilbert [19], 

Gilbert-Elliott [20], McCullough [22] und Fritchman [21] beschrieben, die quasi als Instanzen 

von HMMen zu behandeln sind und demnach auch den HMM Formalismen unterliegen. Neben 

der Darstellung des strukturellen Aufbaus wird insbesondere deren Erneuerungscharakter analysiert 

und im Hinblick auf die Modellierung realer Funkkanäle diskutiert. Den Abschluss des 

Kapitels 4 bildet eine tabellarische Zusammenfassung und Gegenüberstellung wichtiger Modelleigenschaften. 

Methoden zur Parametrierung generativer Modelle werden in Kapitel 5 beschrieben. Zuerst 

wird in die Methode der Häufigkeitsannäherung durch die Segmentierung charakteristischer 

5

1 Einleitung 

Symbolfolgen eingeführt, welche sowohl auf Zufallsvariablen der Kanalfehler- {E t } als auch 

der Fehlerabstandsprozesse {A t } anzuwenden ist. Als zweites Verfahren wird die statistische 

Anpassung an die KFAV Fa c (a) durch die Lineare Regression vorgestellt, welche jedoch prinzipiell 

auf die Parameterschätzung erneuernder Übertragungskanäle beschränkt ist. Die Lösung 

des rekursiven Gleichungssystems zur Berechnung der BFD P(m,n) wird als drittes Verfahren 

in dieser Arbeit präsentiert, das vordergründig auf Modelle mit geringer Zustandsanzahl anzuwenden 

ist. Für den Fall, dass einige Parameter nicht durch systematische Schätzverfahren 

ermittelt werden können, stellen Suchverfahren die letzte Möglichkeit dar, diese zu bestimmen. 

Die dabei zum Einsatz kommenden Kriteriumsfunktionen werden anschließend im Abschnitt 5.4 

dargelegt und diskutiert. Als letztes Verfahren wird der Baum-Welch Algorithmus [25], [26] zur 

Schätzung lokal optimaler Parametersätze für HMMe anhand einer vorliegenden Observation 

formal vorgestellt und mögliche Problemstellen aufgezeigt. 

Im Kapitel 6 werden die empirisch aufgezeichneten digitalen Funkkanäle statistisch untersucht, 

um die notwendigen Grundvoraussetzungen identifizieren zu können, die von den später 

zur Beschreibung herangezogenen generativen Modellen unterstützt werden müssen. Eingangs 

wird dazu der zur Kanalaufzeichnung verwendete Messaufbau in seiner Topologie erklärt und 

die Funktionsweise zur Bestimmung der Kanalfehler e ij des erzeugenden Kanalfehlerprozesses 

{E t } umschrieben. Da die zur Kanalaufzeichnung eingesetzten WPAN-Funktechnologien nur 

einen paket-orienterten Datentransfer erlauben, müssen die klassischen statistischen Kenngrößen, 

die ansonsten aus kontinuierlichen Folgen von Zufallsvariablen berechnet werden, nun aus 

blockweisen Ausschnitten bestimmt werden. Die Archivierung der Kanalfehler e ij erfolgt nun 

mehr in der Kanalfehlermatrix E. Demnach werden für diverse Formeln zur analytischen Berechnung 

digitaler Kanalkenngrößen die notwendigen Modifikationen angegeben. Hierzu zählt 

beispielsweise die empirische Fehlerkorrelationsfunktion (FKF) R ee (ν) und die KFAV Fa c (a). 

Anhand eines statistischen Signifikanztests auf Normalverteilung sowie der FKF R ee (ν) und der 

Abstandskorrelationsfunktion (AKF) R aa (ν) wird anschließend die Gedächtnisbehaftung und 

das Erneuerungsverhalten der aufgezeichneten Funkkanäle untersucht und eine Klassifizierung 

in erneuernde und nicht-erneuernde Kanäle vorgenommen. Mit diesen Erkenntnissen werden 

die im Kapitel 4 vorgestellten Kanalmodelle konfrontiert und untersucht, inwieweit diese sich 

zur realistischen Modellierung derartiger Funkkanäle eignen und wie sich das auf die im Kapitel 

5 vorgestellten Parameterschätzverfahren auswirkt. Es zeigt sich, dass die aufgezeichneten 

Funkkanäle i.d.R. nicht-erneuernd sind und Parameterschätzverfahren, welche Modellstatistiken 

an die empirischen Fehlerabstandsprozesse {A t } anpassen, teilweise recht unbefriedigende 

Ergebnisse liefern. 

Im Kapitel 7 werden die aus den Untersuchungen im Kapitel 6 gewonnenen Erkenntnisse 

ausgewertet und ein neues hybrides nicht-erneuerndes Kanalmodell auf der Basis von HM- 

Men entwickelt. Der Begriff ”hybrid” kennzeichnet eine separate Modellierung des Übertragungsverhaltens 

durch zwei voneinander unabhängige HMMe, jeweils zur Charakterisierung 

des Kanalfehler- und Paketverhaltens. Da die Parameterschätzung für das kanalfehlerbeschrei- 

6


bende HMM anhand der Zufallsvariablen des Blockfehlerprozesses (BFP) {B (n) 

t } erfolgt, besteht 

die Menge der Modellzustände exakt aus der gültigen Wertemenge dieser Blockfehler 

b (n) 

ij ∈{0,...,n}. Als adäquater Wert für die Fensterbreite n zur Erechnung der Blockfehler b (n) 

ij 

mithilfe der Fenstermethode aus den Kanalfehlern e ij konnte als guter Kompromiss zwischen 

Modellkomplexität und -qualität der Wert n = 10 identifiziert werden. Die Schätzung initaler 

Parametersätze λ k0 gewährleistet die Methode der Häufigkeitsannäherung, angewandt auf die 

in der Blockfehlermatrix BL (n) abgespeicherten Blockfehler b (n) 

ij . Für eine weitere Optimierung 

wird der Baum-Welch Algorithmus herangezogen, der die initialen Parametersätze λ k0 lokal 

maximiert und damit die Qualität des kanalfehlerbeschreibenden HMMs zusätzlich verbessert. 

Nach der Definition des kanalfehlerbeschreibenden Modells wird im weiteren Verlauf des Kapitels 

7 ein neues Modell zur Charakterisierung des Paketübertragungsverhaltens vorgestellt. Es 

handelt sich dabei um ein HMM mit drei Zuständen. Dieses grenzt sich zu anderen Paketmodellen 

insbesonders davon ab, dass es nicht nur die Ereignisse ”fehlerfreier” und ”fehlerhafter” 

Empfang von Datenpaketen erfasst, sondern auch den für Funksysteme typischen Verlust dieser 

charakterisiert, beispielsweise während der Synchronisationsphase auf die Datenpaketpräambel. 

Demnach emittiert das paketbeschreibende HMM für die drei Ereignisse entsprechende 

Paketsymbole p i . Zur Schätzung initialer Parametersätze λ p0 wurde der HMM-Charakter des 

Markov-Modells durch dessen Ausgabematrix B p in Form einer 3 × 3 Einheitsmatrix erst einmal 

aufgehoben, jedoch vor der Anwendung des BW-Algorithmuses durch Modifikationen an 

der Ausgabematrix B p wiederhergestellt. Den Abschluss des Kapitels 7 bilden Gegenüberstellungen 

der entsprechenden Kanalstatistiken des neuen Modells mit denen der empirischen Kanalaufzeichnungen. 

Sie verdeutlichen die mit dem neuen Modell erreichten Verbesserung und 

rechtfertigen aus wissenschaftlichen Gesichtspunkten dessen Entwicklung. 

Das Kapitel 8 bildet den Abschluss dieser Dissertation in Form einer Zusammenfassung, in 

der die wichtigen Ergebnisse nochmals in Kurzform präsentiert und diskutiert werden. Darin 

werden auch während dieser Arbeit entwickelte Ideen und Anregungen für zukünftige Arbeiten 

in einem Ausblick dargestellt. 

Dem Anhang können Informationen über die durchgeführten Experimente zur Kanalaufzeichnung 

entnommen werden. Im Abschnitt A des Anhangs werden die eingesetzten WPAN- 

Funksysteme vorgestellt. Unter anderem zählen dazu die eingestellten Systemparameter mit denen 

vergleichbare experimentelle Bedingungen geschaffen wurden, beispielsweise durch die 

Normierung der Sendeleistung auf 0 dBm (1 mW). Im Abschnitt B sind Informationen über 

die Messumgebungen, bzw. Örtlichkeiten enthalten, in denen die Funkkanäle unter industriellen 

Ausbreitungsbedingungen aufgezeichnet wurden. Die Definition der stationären und mobilen 

Szenarien für die experimentellen Kanalaufzeichungen ist Bestandteil des Abschnitts C. Danach 

folgt die tabellarische Präsentation der statistischen Messergebnisse im Abschnitt D, in 

dem die entsprechenden Häufigkeiten kanalrepräsentierender Kenngrößen angegeben werden, 

woraus die Kanalfehler- (BER), Paketfehler- (PER) und Paketverlustraten (PLR) usw. berechnet 

7

1 Einleitung 

wurden. Der Anhang endet mit dem Abschnitt E in dem diverse Parametersätze für die untersuchten, 

bzw. das neu entwickelte hybride Kanalmodell aufgeführt wurden. Den Abschluss 

bildet der tabellarische Lebenslauf des Autors dieser Arbeit im Abschnitt E.3.8. 

8

2 WPAN-Funktechnologien für die experimentelle Analyse 

digitaler Funkkanäle 

Das Kapitel 2 gibt einen technologischen Überblick über die in dieser Arbeit zur experimentellen 

Aufzeichnung digitaler Funkkanäle eingesetzten Technologien IEEE 802.15.1, IEEE 802.15.4 

und nanoNET. Da diese WPAN-Funktechnologien u.a. den Frequenzbereich 2,4 GHz des Industrial, 

Scientific und Medical (ISM) Frequenzbands nutzen, ist eine Gegenüberstellung und 

Leistungsbewertung ihrer Übertragungsverhalten prinzipiell gegeben. Da im Rahmen der experimentellen 

Kanalaufzeichnungen primär die Protokollschichten der Physikalischen Schicht und 

teilweise der Sicherungsschicht im Vordergrund stehen, beschränkt sich dieses Kapitel schwerpunktmäßig 

auf die Umschreibung dieser Instanzen. Hingegen finden der Aufbau und die Funktion 

der in der oberen Hälfte des OSI-Modells angeordneten Protokollinstanzen, wie beispielsweise 

der Transport- und Anwendungsschicht, kaum oder keine Erläuterung. Stattdessen sei an 

dieser Stelle auf die entsprechenden Spezifikationen verwiesen [27], [28], [29]. 

2.1 IEEE 802.15.1 

Bei dem IEEE Standard 802.15.1 handelt es sich um die im Jahre 2003 erfolgte Übernahme 

der Protokollschichten Physikalische Schicht (PHY) und Sicherungsschicht (MAC), des von 

der Special Interested Group Bluetooth (SIG) 1998 entwickelten Funkstandards Bluetooth (BT) 

[30], [31], [32], [27], [33], [34]. BT bzw. IEEE 802.15.1 operiert im 2,4 GHz ISM Frequenzband 

und wurde vornehmlich für die Bereitstellung eines ad-hoc fähigen Datenaustauschs zwischen 

mobilen, batteriebetriebenen Konsumergeräten, beispielsweise PDAs, Mobiltelefonen und Notebooks 

entworfen. Zunehmend findet sich der Standard IEEE 802.15.1 auch in industriellen funkgestützten 

Kommunikationsgeräten wieder. Speziell das ”Kabelersatzprofil” Serial Port Profile 

(SPP) eröffnete dort neue Anwendungsbereiche, beispielsweise durch das Ersetzen von kabelbasierenden 

Service- und Programmierschnittstellen auf der Basis der Standards RS-232 und 

RS-485 durch Funk. Die Interoperabilität zwischen unterschiedlichen Geräteklassen stellen bis 

zur Anwendungsschicht vollständig spezifizierende Profile [31], [34] sicher. Interoperabilitätstests 

durch die SIG oder autorisierte Testhäuser garantieren deren Konformität. 

Drei Leistungsklassen Class 3 – 0 dBm, Class 2 – 4 dBm und Class 1 – 20 dBm erlauben 

von der Umgebung abhängige Reichweiten zwischen 10 m – 100 m. In der aktuellen Version 

2.0 [27] unterstützt IEEE 802.15.1 drei verschiedene Datenraten. Im Standardbetrieb erfolgt die 

Übertragung der Daten mit einer Rate von R b =1 MBit 

s 

bei einer Symbolrate R s =1 MBaud 

s 

. 

9

2 WPAN-Funktechnologien für die experimentelle Analyse digitaler Funkkanäle 

Als Modulationsverfahren wird Gaussian Frequency Shift Keying (GFSK) mit einem variablen 

Modulationsindex von h = {0,28,...,0,35} angewandt. Im Erweiterungsmodus Enhanced Data 

Rate (EDR) ist es auch möglich höhere Datenraten theoretisch bis zu 2 und 3 MBit 

s 

zu erreichen. 

In diesem Fall kommen die zwei höherwertigen Modulationsverfahren π 4 

Differential Quaternary 

Phase Shift Keying (DQPSK) (2 MBit 

s 

) und 8 Differential Phase Shift Keying (DPSK) (3 MBit 

s 

) 

zum Einsatz. Es werden dabei vier- bzw. achtwertige Symbole bei gleich bleibender Symbolrate 

von R s = 1 MBaud 

s 

übertragen. Die Bandbreite eines IEEE 802.15.1 konformen GFSK-Signals 

beträgt in etwa B s = 1 MHz und zeigt folgenden spektralen Verlauf (siehe Abbildung 2.1). 

Abbildung 2.1. Spektraler Verlauf eines IEEE 802.15.1 konformen GFSK Signals, erzeugt mit 

dem Funkmodul Mitsumi WML-C20. 

Um gegenüber Interferenzen anderer Kommunikationsteilnehmer und Fadingeinbrüchen unempfindlicher 

zu sein, verwendet die Funktechnologie IEEE 802.15.1 ein Slow Frequency Hopping 

Spread Spectrum (FHSS) Verfahren. Dazu wird das ISM-Frequenzband (2401 – 2483,5 

MHz) abzüglich eines oberen und unteren Schutzbandes in 79 logische Kanäle unterteilt, die 

über eine Bandbreite von jeweils 1 MHz verfügen. Diese logischen Kanäle werden während 

einer aktiven Kommunikationsphase 1600 mal pro Sekunde pseudozufällig gewechselt. Für die 

Dauer eines Zeitschlitzes (625 µs) bzw. der Übertragung eines Datenpakets wird ein Kanal beibehalten. 

Der Transfer eines nachfolgenden Datenpakets erfolgt hingegen auf einem anderen 

Kanal. Unterliegt ein Teil des Frequenzbereichs Störungen (Fadingeinbruch, Kanalbelegung), 

so besteht immer noch die Möglichkeit, durch Frequenzwechsel einen ungestörten Bereich vorzufinden. 

Seit der Version 1.2 des IEEE 802.15.1 Standards [32] ist das FHSS-Verfahren adaptiv 

(Adaptive Frequency Hopping – AFH), d.h. es passt sich den Gegebenheiten des physikalischen 

Übertragungskanals an. Überschneidet sich beispielsweise der Frequenzbereich eines 

10

2.2 IEEE 802.15.4 

IEEE 802.11 konformen Funksystems mit dem eines IEEE 802.15.1 basierenden Systems, so 

werden die überlappenden Kanäle anhand der dort befindlichen Energie als gestört identifiziert 

und aus der Hoppingsequenz ausgeschlossen. Die weitere Kommunikation erfolgt nun nur noch 

auf den restlichen freien Kanälen. 

2.2 IEEE 802.15.4 

Bei dem Standard IEEE 802.15.4 [28], [35] handelt es sich ebenfalls um die Spezifikation der 

Physikalischen Schicht und Sicherungsschicht einer WPAN-Funktechnologie, primär als Basis 

für technische Anwendungen. Das Applikationsframework hingegen ist Bestandteil der Zig- 

Bee Spezifikation. Dort sind neben dem Netzwerk- und Transportprotokoll auch entsprechende 

Anwendungsprofile definiert, die eine Interoperabilität einzelner Geräte sicherstellen. Als 

Einsatzgebiete für IEEE 802.15.4 / ZigBee konforme Funksysteme sind hauptsächlich industrielle 

Applikationen und Bereiche der Gebäudevernetzung / Haustechnik zu nennen. Hierzu 

zählen beispielsweise als Multi-Hop Netzwerke ausgelegte Sensor-Aktuator Strukturen und Anwendungen 

in der kabellosen Schaltungstechnik, beispielsweise funkgestützte Lichtschalter und 

Dimmer. Ein großer Vorteil der ZigBee Netzwerkschicht [10] besteht in der Unterstützung des 

Aufbaus von s.g. vermaschten Netzwerken (Meshed Networks). Auch ohne direkte Verbindung 

können damit großflächig verteilte Kommunikationsknoten untereinander Daten austauschen. 

Um derartige Strukturen aufbauen zu können, verfügt ein Teil dieser Kommunikationsknoten 

über Routingfunktionalität. 

Die Funktechnologie IEEE 802.15.4 nutzt zur Kommunikation drei verschiedene Frequenzbänder 

in den Bereichen 868 MHz, 915 MHz und 2,4 GHz. Die maximale Datenrate beträgt 

250 kBit 

s 

im 2,4 GHz ISM-Frequenzband. Je nach eingesetztem Frequenzbereich erfolgt die Signalmodulation 

durch Binary Phase Shift Keying (BPSK) (868 MHz, 915 MHz) oder Offset 

Quatenary Phase Shift Keying (O-QPSK) (2,4 GHz). Einen zusammenfassenden Überblick über 

die charakteristischen Kenngrößen der Modulation und der Signalspreizung gibt die nachfolgende 

Tabelle 2.1. 

Tabelle 2.1. Parameter der Modulationsverfahren und Spreiztechnologien der WPAN-Funktechnologie 

IEEE 802.15.4. 

Eigenschaften → Kanäle Symbolrate Datenrate Impulsformung Spreizung Modulation 

↓ Frequenz 

868-868,8 MHz 1 20 kBaud/s 20 kBit/s Raised Cosinus DSSS BPSK 

902-928 MHz 10 40 kBaud/s 40 kBit/s Raised Cosinus DSSS BPSK 

2400-2483,5 MHz 16 62,5 kBaud/s 250 kBit/s Half Sine DSSS O-QPSK 

Zur Reduzierung der Störanfälligkeit setzt die IEEE 802.15.4 Technologie ein Direct Sequence 

Spread Spectrum (DSSS) Verfahren ein, bei dem die Signalenergie auf einen größeren 

Frequenzbereich verteilt wird. Der Bitstrom im Basisband wird vor der Modulation mit einer Co- 

11


desequenz multipliziert. Die Signalbandbreite B s erhöht sich, während gleichzeitig die spektrale 

Leistungsdichte des Signals verringert wird. Das wiederum führt dazu, dass das nun gespreizte 

Signal deutlich weniger anfällig gegenüber Fading oder Interferenzen schmalbandiger Störer 

ist. Ein typisches IEEE 802.15.4 konformes O-QPSK Signal besitzt den in der Abbildung 2.2 

dargestellten spektralen Aufbau. Die effektive Signalbandbreite beträgt in etwa B s ≈ 2 MHz. 

Abbildung 2.2. Spektraler Verlauf eines IEEE 802.15.4 konformen O-QPSK Signals, erzeugt 

mit dem Transceiver Freescale MC 13192. 

2.3 nanoNET 

Eine neuartige WPAN-Funktechnologie mit der Bezeichnung nanoNET (vgl. [29], [36]) wurde 

von der Firma Nanotron entwickelt. Angelehnt an die Standards der IEEE Arbeitsgruppe 

802.15.4, um Kompatibilität zu wahren, umschreibt die nanoNET-Spezifikation [29] die Protokollinstanzen 

der Physikalischen Schicht und der Sicherungsschicht. Die Besonderheit der 

nanoNET-Technologie liegt in der Verwendung des Chirp Spread Spectrum (CSS) Verfahrens 

[37], [38] als Realisierung der Multi Dimensional Multiple Access (MDMA) Technik, in der die 

zu übertragenden Signale linear frequenzmoduliert (LFM) werden. Die Relevanz dieser LFM- 

Signale wurde für die kabellose Datenkommunikation bereits in den siebziger Jahren erkannt 

und wissenschaftlich untersucht [37], [39]. Bereits im Jahre 2003 erfolgte die Ankündigung 

von Nanotron [40], dass Prinzipien des Chirp Modulationsverfahrens in die Entwicklung einer 

alternativen Modulation für den Standard IEEE 802.15.4a einfließen werden. 

Anstelle von Rechteckimpulsen nutzt die CSS-Modulation Sinc-Impulse im Basisband, welche 

frequenztransformiert ein rechteckiges Spektrum aufweisen. Die Modulation erfolgt durch 

12

2.3 nanoNET 

Abbildung 2.3. Spektraler Verlauf eines Chirp-Signals, erzeugt mit dem nanoNET-Transceiver 

TRX-NA1TR8. 

den Einsatz von Dispersive Delay Lines (DDL), die praktisch durch Surface Accoustic Wave 

Filter (SAW) implementiert werden. DDLs sind als passive Bauteile in der Lage, Sinc- und 

LFM-Impulse ineinander zu überführen, und ermöglichen daher kostengünstige Systemstrukturen. 

Da LFM-Signale (Chirps) ebenfalls rechteckige Spektren aufweisen, kann eine optimale 

Ausfüllung verfügbarer Frequenzbereiche damit umgesetzt werden. 

Als Up-Chirps werden LFM-Impulse mit ansteigender Frequenz bezeichnet. Down-Chirps 

wiederum besitzen eine negative Frequenzänderung. Ein zu übertragendes Informationsbit (0/1) 

kann daher entweder durch einen Down-Chirp, Up-Chirp, folded-Chirp oder off-Chirp repräsentiert 

werden. Bei der nanoNET-Technologie ist die zu übertragende Information in die Frequenzänderung 

des Chirp Impulses eingebettet. Die maximal mögliche Wertigkeit der Modulation 

beträgt bei der nanoNET-Technologie vier. Für die IEEE 802.15.4a hingegen kann erwartet werden, 

dass die Nutzinformation stattdessen in die Signalphase eingebettet wird. Des Weiteren 

können Symbolperioden sowohl zu T sp =1µs oder T sp =2µs bei konstanter Symboldauer 

von T s =1µs eingestellt werden. Je nach Wertigkeit der Modulation und der eingestellten Symboldauer 

können Datenraten von 500 kBit 

s 

,1 MBit 

s 

und 2 MBit 

s 

bereitgestellt werden. Die effektive 

Signalbandbreite eines Chirps beträgt B s ≈ 64 MHz (siehe Abbildung 2.3), sodass der Übertragungskanal 

der nanoNET-Technologie als breitbandig eingestuft werden kann. Trotz dieser 

großen Signalbandbreite B s sind aufgrund des hohen Bandbreiten-Zeit Produkts Inter Symbol 

Interferenzen (ISI) nicht zu erwarten. 

13


Theoretisch ergeben sich aus der hohen Bandbreite Vorzüge gegenüber schmalbandigen 

WPAN-Funktechnologien. Einflüsse wie beispielsweise die Mehrwegeausbreitung und Interferenzen 

schmalbandiger Störer wirken sich nicht so dramatisch aus. Obwohl das Spektrum 

der Chirp-Signale etwa 64 MHz der verfügbaren 80 MHz Bandbreite des ISM-Frequenzbandes 

einnimmt, ist trotzdem nur mit einer geringer Beeinflussung anderer koexistierender Funktechnologien 

zu rechnen. Während der Übertragung eines Symbols werden spektrale Bereiche des 

ISM-Frequenzbandes nur kurzzeitig belegt. Die Dauer der Überschneidung spektraler Bereiche 

von nanoNET und koexistierenden Funktechnologien ist häufig zu gering, um fehlerhafte 

Symbole zu erzeugen. Prinzipiell eignet sich deshalb die MDMA-Technik für einen interferenzarmen 

Zugriff auf mehrfach genutzte Übertragungsmedien (vgl. [38]). Im weiteren Sinne 

stellt die MDMA-Technik die Realisierung eines Fast Frequency Hopping Spread Spektrum 

(F-FHSS) Verfahrens dar. Im Rahmen des Spezifikationsprozesses alternativer Modulationsverfahren 

im Standard IEEE 802.15.4a wird jedoch wahrscheinlich die effektive Signalbandbreite 

B s von 64 MHz auf 20 MHz herabgesetzt [41] und eine zum Standard IEEE 802.11 ähnliche 

Kanalaufteilung vorgenommen, in der bis zu drei parallele Kanäle interferenzlos im 2,4 GHz 

ISM-Frequenzband koexistieren können. 

2.4 Zusammenfassung 

Im vorliegenden Kapitel wurden die Eigenschaften der Modulations- und Spreizverfahren 

der zur experimentellen, digitalen Untersuchung verwendeten WPAN-Funktechnologien IEEE 

802.15.1, IEEE 802.15.4 und nanoNET vorgestellt. Die Bandbreite von IEEE 802.15.1 kompatiblen 

Signalen beträgt B s ≈ 1 MHz, während IEEE 802.15.4 kompatible eine Bandbreite von 

B s ≈ 2 MHz besitzen. Im Gegensatz dazu weisen Chirp-Signale der nanoNET Technologie eine 

effektive Bandbreite von bereits B s ≈ 64 MHz auf. Demzufolge sind die Funkkanäle der 

Technologien IEEE 802.15.1 und IEEE 802.15.4 als schmalbandig zu klassifizieren, während 

Funkkanäle der nanoNET-Technologie als breitbandig charakterisiert werden können. 

Im übertragenen Sinne ist zu erwarten, dass die statistische Abhängigkeit von Fehlerpositionen 

in Datenpaketen proportional zur verwendeten Signalbandbreite B s sein sollte. Unter dieser 

Annahme dürfte das Gedächtnis von IEEE 802.15.1 und IEEE 802.15.4 basierenden, digitalen 

Übertragungskanälen deutlich stärker ausgeprägt sein als das von Übertragungskanälen 

der nanoNET-Funktechnologie. Um diese charakteristischen Eigenschaften besser beurteilen zu 

können, erfolgt im nachfolgenden Kapitel 3 die Einführung in die Theorie der Charakterisierung 

funkgestützter Übertragungskanälen, sowohl auf ”analoger” als auch auf ”digitaler” Ebene. 

14

3 Die Analyse und Charakterisierung von Funkkanälen 

Die Charakterisierung und Leistungsbewertung von Funkkanälen ist eine äußerst wichtige Disziplin 

der Kommunikationstechnik. Je genauer und realer Funkkanäle mathematisch bzw. statistisch 

beschrieben werden können, desto effizienter können Fehlerschutzmaßnahmen und Kommunikationsprotokolle 

entwickelt und auf den realen Kanal abgestimmt werden. Speziell für die 

industrielle Kommunikation, in der häufig ein determinierter und hoch-verfügbarer Prozessdatenaustausch 

gefordert ist, stellt der Entwurf angepasster Fehlerschutzmaßnahmen sowie effizienter 

Scheduling-Algorithmen zur koordinierten Übertragung von Prozessdaten eine besondere 

Herausforderung dar. 

Die dafür notwendige mathematische Beschreibung der Funkkanäle kann auf zwei verschiedenen 

Ebenen erfolgen. Zur Analyse und zum Entwurf funktionaler Bestandteile von Funksystemen 

(z.B. Modulationsverfahren, Spreizverfahren, Equalizer, usw.) auf der Physikalischen 

Schicht ist eine möglichst exakte Kenntnis des zeitvarianten Funkkanals Voraussetzung. Dazu 

werden besondere ”analoge” Funktionen und Kenngrößen herangezogen, welche im Abschnitt 

3.1 vorgestellt werden und das Kanalfading beschreiben. 

Für die Entwicklung von Kommunikationsprotokollen (Netzwerk, Routing, Sicherheit) und 

den darin enthaltenden Funktionen, welche oberhalb der Sicherungsschicht im OSI-Referenzmodell 

angesiedelt sind, ist jedoch die exakte Erfassung des ”analogen” Funkkanals nur bedingt 

von Interesse. Häufiger ist es zweckmäßiger, die Auswirkungen des Kanalfadings u.a. in Form 

der hervorgerufenen Kanalfehler adäquat zu beschreiben (siehe Abschnitt 3.2), um auf geeignete 

und vor allen Dingen realistische statistische Kenngrößen zur Beurteilung der Leistungsfähigkeit 

der o.g. Kommunikationsprotokolle zurückgreifen zu können. 

3.1 Analoge Kenngrößen zur Charakterisierung von Funkkanälen 

3.1.1 Physikalische Ausbreitungsphänomene bei EM-Wellen 

Die Erläuterung physikalischer Ausbreitungsphänomene bei EM-Wellen ist zur Charakterisierung 

von Funkkanälen in industriellen Umgebungen unerlässlich. Industrielle Umgebungen 

kennzeichnen sich häufig durch einen hohen metallischen Umgebungsgehalt und eine z.T. starke, 

zeitvariante Umgebung. Neben möglicher Eigenbewegung der Funksysteme sind bewegte 

Materialien/Werkzeuge, rotierende Maschinen und Personen für die zeitvariante Eigenschaft 

15


von Funkkanälen verantwortlich. Prinzipiell ähneln industrielle Funkkanäle stark den klassischen 

Mobilfunkkanälen. Aus diesem Grunde stimmen die auftretenden Phänomene industrieller 

Funkkanäle mit denen der Mobilfunkkanäle weitestgehend überein. Zur Verdeutlichung zeigt 

die Abbildung 3.1 die auftretenden physikalischen Wellenphänomene: 

Abbildung 3.1. Die klassischen Ausbreitungsphänome bei EM-Wellen und die Mehrwegeausbreitung 

in einem typischen industriellen Umfeld. 

• Reflexionen treten auf, wenn die Dimension des reflektierenden Objekts viel größer als 

die Wellenlänge ist. 

• Streuung tritt auf, wenn die Dimension des auftreffenden Objekts deutlich kleiner als die 

Wellenlänge oder die Oberflächenstruktur eines Objekts sehr rau ist, auf die eine EM- 

Welle auftrifft. 

• Beugung tritt auf, wenn EM-Wellen auf spitze Kanten auftreffen. 

• Abschattung wird durch Objekte hervorgerufen, welche Ausbreitungspfade vollständig 

blockieren. 

16


• Doppler-Effekt entsteht, sobald sich entweder Sender oder Empfänger relativ zueinander 

bewegen oder aber ein mobiles Objekt im Ausbreitungsfeld die EM-Welle reflektiert, 

beugt, streut oder abschattet. 

Aufgrund dieser Wellenphänomene setzt sich ein Empfangssignal aus mehreren, verschieden 

gedämpften und phasenverschobenen Versionen des ursprünglichen Sendesignals zusammen. Je 

nach Phasenlage der Versionen kommt es zu einer konstruktiven oder destruktiven Überlagerung 

am Empfänger. Dieser Effekt wird mit dem Begriff der Mehrwegeausbreitung bezeichnet. Die 

Absenz einer direkten, nicht-reflektierten Version des Sendesignals ist typisch für industrielle 

Funkkanäle. Findet zudem eine relative Eigenbewegung des Senders oder Empfängers statt oder 

ändert sich die Umgebung, beispielsweise durch rotierende Maschinen und Flurförderfahrzeuge, 

so tritt eine Frequenzverschiebung bei dem Sendesignal auf der Basis des Doppler-Effekts auf. 

Gleichzeitig verändern sich die Pfade der Signalversionen, was zu einer neuen Form des Empfangssignals 

führt. Das Übertragungsverhalten derartiger Funkkanäle ist demnach zeitvariant, 

wobei die Signalleistung starken Schwankungen unterliegen kann. 

3.1.2 Analoge Prozesse 

Die Schwankungen der Signalleistung hängen direkt mit Bewegungen in der Umgebung zusammen. 

Aus diesem Grunde werden zur Beschreibung dieser Leistungsschwankungen ein langsam 

veränderlicher Prozess (Large Scale Fading) {U t } und ein schnell veränderlicher Prozess (Small 

Scale Fading) {V t } herangezogen. 

Large Scale Fading 

Der langsam veränderliche Prozess {U t } ergibt sich aus großflächigen Bewegungen. Er beschreibt 

die gemittelte Signalleistung über eine Entfernung von ungefähr 10 Wellenlängen λ. 

{U t } charakterisiert den lokalen Mittelwert der Übertragungsverluste (Path Loss), welche von 

der Umgebung (Abschattung, Streuung, Reflexion, Beugung) abhängen. Ein in diesem Zusammenhang 

häufig eingesetztes Modell zur Beschreibung von Übertragungsverlusten ist das Log- 

Distance Path Loss Modell [42], in dem die mittlere Empfangsleistung P r logarithmisch mit dem 

Abstand d zwischen Sender und Empfänger nach der Vorschrift P r (d) ∝ P o · (d o /d) γ abnimmt. 

d o beschreibt den Abstand eines Referenzpunkts in der Nähe des Senders, in der die Sendeleistung 

P o unter der Gesetzmäßigkeit der Fernfeldeigenschaft der Sendeantenne gemessen wird. d o 

hängt von der Antennenapparatur ab. Die Stärke der Signalabschwächung wird durch den Path 

Loss Exponenten γ charakterisiert. 

Ein ausführlicher Überblick über Werte von γ gibt [42]. In Gebäuden kann γ sehr stark 

schwanken. Bei Frequenzen von 400 MHz – 4 GHz kann γ durchaus in Bereichen γ = {2,...,6} 

17


liegen (vgl. [43]). Untersuchungen von Rappaport [42], [44], [45] ergaben in fünf verschiedenen 

Fabrikumgebungen einen mittleren Wert von γ = {(1,7),...,3}. 

Small Scale Fading 

Der schnell veränderliche Prozess {V t } beschreibt die schnellen Fluktuationen des Kanals über 

kurze Distanzen (Bruchteil von λ). Hauptsächlich werden die schnellen Kanalschwankungen 

durch den Doppler-Effekt und die Mehrwegeausbreitung hervorgerufen. Mitunter erreichen sehr 

viele gestreute Signalversionen die Empfangsantenne über unterschiedliche Pfade. Jede Signalversion 

ist im äquivalenten Basisband durch eine komplexe Größe A i · e jφ i 

gegeben. Für jeden 

Ort in einer Umgebung ergibt sich somit das Empfangssignal als Summe aller i Signalversionen. 

Die statistische Beschreibung der Übertragungsfunktion und damit der Amplitude des Empfangssignals 

erfolgt auf der Basis komplexer Gaußprozesse mit den Mittelwerten µ = µ R + jµ I . 

Existiert keine direkte Sichtverbindung (Non Line of Sight – NLOS) zwischen Sender und Empfänger, 

so ist der Mittelwert µ = 0 (vgl. [2], S. 72). Für diese Fälle entspricht die Wahrscheinlichkeitsverteilung 

des Amplitudenbetrags der Rayleigh-Verteilung. 

10 

Rayleigh-Kanal 

5 

0 

Amplitudenbetrag |A|[dB] 

−5 

−10 

−15 

−20 

−25 

−30 

−35 

0 50 100 150 200 

Zeit t[ms] 

Abbildung 3.2. Ein klassischer Amplituden- bzw. Dämpfungsverlauf eines Rayleigh-Kanals. 

Ist ein direkter Pfad (Line of Sight - LOS) präsent, so nimmt der Mittelwert µ den Amplitudenwert 

der Signalversion des direkten Pfades µ = A LOS an. Die Amplitudenbeträge derartiger 

Kanäle folgen der Rice-Verteilung. Die Abbildung 3.2 zeigt einen klassischen Verlauf des Amplitudenbetrages 

eines Rayleigh-Kanals. Charakteristisch sind die starken Einbrüche (Deep Fade), 

die bis zu 40 dB betragen. Untersuchungen in industriellen Umgebungen [44] ergaben dyna- 

18


mische Bereiche des Amplitudenbetrages bis zu 20 dB bei stationären Sendern und Empfängern. 

Wurde der Empfänger mit einer Geschwindigkeit v = 0,3 m s 

bewegt, so traten Schwankungen im 

Bereich von 30 dB bis 35 dB auf. 

Befindet sich der Kanal innerhalb eines Zeitintervalls in einem Deep Fade, so treten typischerweise 

viele Kanalfehler auf, deren Positionen eine starke statistische Bindung aufweisen [46]. 

Das Auftreten von Kanalfehlern erfolgt zwischenzeitlich also in komplexen Blöcken, die teilweise 

nur mit sehr aufwändigen und kombinierten Fehlerschutzmaßnahmen beherrscht werden 

können. 

3.1.3 Das Systemmodell nach Bello 

Systemtheoretisch kann ein Funkkanal in guter Näherung als lineares zeitvariantes Filter behandelt 

werden (vgl. [1], [47]). Somit bietet es sich an, den Funkkanal durch eine zeitvariante 

Impulsantwort h(τ,t) zu beschreiben. τ kennzeichnet die Signalverzögerung des Filters. Im 

übertragenen Sinne charakterisiert h(τ,t) die zeitliche Dispersion eines Funkkanals. t ist die Beobachtungszeit. 

Im Gegensatz zu zeitinvarianten Systemen (τ = 0), welche im Frequenz- oder 

Zeitbereich jeweils nur die Variablen f oder t besitzen, existieren aufgrund der zusätzlichen 

Variable τ drei weitere äquivalente Beschreibungsformen für h(τ,t) durch die Anwendung der 

Fourier-Transformation. 

Häufig ist es hilfreich, die Übertragungseigenschaften des Filters nicht nur im Zeitbereich, 

sondern auch im Frequenzbereich zu untersuchen, um charakteristische Kenngrößen abzuleiten. 

Dazu wird die Fourier-Transformation F(τ → f ) auf die zeitvariante Impulsantwort h(τ,t) 

angewendet und die zeitvariante Übertragungsfunktion h(τ,t) ❝ H( f ,t) berechnet. H( f ,t) 

kennzeichnet den zeitvarianten spektralen Dämpfungsverlauf des Kanals. 

Das Phänomen des Doppler-Effektes und der damit einhergehenden Verbreiterung der ausgesendeten 

Frequenz wird mit h(τ,t) und H( f ,t) durch deren zeitliche Varianz erfasst. Es ist 

jedoch nicht direkt aus h(τ,t) und H( f ,t) ersichtlich, wie stark dieser Einfluss ist. Durch eine 

weitere Fourier-Transformation F(t → f d ) von H( f ,t) kann die dopplervariante Übertragungsfunktion 

H( f ,t) ❝ D( f , f d ) abgeleitet werden, welche eine anschaulichere Darstellung liefert. 

Hierbei stellt f d die Dopplerfrequenz dar. 

Die Fourier-Transformation F(t → f d ) von h(τ,t) definiert die dopplervariante Impulsantwort 

h(τ,t) ❝ d(τ, f d ) als vierte äquivalente Beschreibungsform eines Funkkanals. Einen 

anschaulichen Überblick der Zusammenhänge aller äquivalenten Beschreibungsformen gibt die 

Abbildung 3.3. 

19


Abbildung 3.3. Zusammenhang der Systemfunktionen nach Bello [1] unter der Voraussetzung 

eines Wide Sense Stationary Uncorrelated Scattering (WSSUS) Funkkanals. (Quelle: [2]) 

Die zuvor vorgestellten Systemfunktionen beschreiben vollständig das deterministische Verhalten 

eines Funkkanals. Aufgrund der großen Anzahl unterschiedlicher Realisierungen dieser 

Systemfunktionen können diese jeweils als zweidimensionale stochastische Prozesse aufgefasst 

werden. Nach dem Zentralen Grenzwertsatz sind diese Prozesse normalverteilt. Die exakte statistische 

Beschreibung dieser Prozesse setzt die vollständige Kenntnis der Verbundwahrscheinlichkeiten 

zwischen allen Systemfunktionen bzw. den repräsentierenden Prozessen voraus. In der 

Praxis jedoch ist diese Forderung aufgrund des ”unendlichen” Messaufwandes nicht zu erfüllen 

(vgl. [48]). Aus diesem Grunde werden üblicherweise die Autokorrelationsfunktionen R xx (·) der 

Systemfunktionen x(·) betrachtet. 

R hh (τ 1 ,τ 2 ,t 1 ,t 2 ) := E [h ∗ (τ 1 ,t 1 ) h(τ 2 ,t 2 )] (3.1) 

R HH ( f 1 , f 2 ,t 1 ,t 2 ) := E [H ∗ ( f 1 ,t 1 ) H( f 2 ,t 2 )] (3.2) 

R DD ( f 1 , f 2 , f d1 , f d2 ) := E [D ∗ ( f 1 , f d1 ) D( f 2 , f d2 )] (3.3) 

R dd (τ 1 ,τ 2 , f d1 , f d2 ) := E [d ∗ (τ 1 , f d1 ) d(τ 2 , f d2 )] (3.4) 

Zusätzlich wird die Annahme getroffen, dass Funkkanäle eine schwache zeitliche Stationarität 

(Wide Sense Stationary – WSS) aufweisen und deren Streupfade untereinander unkorreliert sind 

(Uncorrelated Scattering – US) (vgl. [46]). Die nachfolgende Interpretation (vgl. [2]) dieser 

Annahmen verdeutlicht die Auswirkungen auf den Funkkanal: 

20


• Die Annahme schwacher Stationarität bezüglich der Beobachtungszeit t ist gleichbedeutend 

mit der statistischen Unabhängigkeit der Dopplerfrequenz f d . Aus unterschiedlichen 

Richtungen eintreffende Pfade sind demnach unkorreliert. 

• Die Annahme einer unkorrelierten Streuung der verzögerten Pfade ist wiederum gleichbedeutend 

mit der Annahme schwacher Stationarität hinsichtlich der Frequenz f . 

Dadurch sind die Erwartungswerte 1. und 2. Ordnung invariant gegenüber der Beobachtungszeit 

t und der Frequenz f . Sie hängen nun vielmehr von den Differenzen ∆t = t 2 − t 1 und 

∆ f = f 2 − f 1 ab. Dies führt wiederum zur Reduzierung der ursprünglichen Variablenanzahl bei 

den Korrelationsfunktionen der Systemfunktionen von 4 → 2. 

R hh (τ 1 ,τ 2 ,t 1 ,t 2 )=R hh (τ,∆t) Verzögerungs-Zeit Korrelationsfunktion (3.5) 

R HH ( f 1 , f 2 ,t 1 ,t 2 )=R HH (∆ f ,∆t) Frequenz-Zeit Korrelationsfunktion (3.6) 

R DD ( f 1 , f 2 , f d1 , f d2 )=R DD (∆ f ,∆ f d ) Frequenz-Doppler Korrelationsfunktion (3.7) 

R dd (τ 1 ,τ 2 , f d1 , f d2 )=R dd (τ, f d ) Verzögerungs-Doppler Korrelationsfunktion (3.8) 

Auf die Herleitung der Korrelationen wird an dieser Stelle verzichtet und auf [2] verwiesen. 

3.1.4 Charakteristische Kenngrößen 

Aus den im vorherigen Abschnitt vorgestellten Korrelationsfunktionen können weitere wichtige 

charakteristische Funktionen abgeleitet werden. 

Verzögerungs-Leistungsdichtespektrum 

Wird die Verzögerungs-Doppler Korrelationsfunktion R dd (τ, f d ) (Streufunktion) über die Variable 

f d integriert, so erhält man das Verzögerungs-Leistungsdichtespektrum R hh (τ,0). R hh (τ,0) 

gibt an, mit welcher mittleren Leistung Echos der Verzögerung τ auftreten. Die Standardabweichung 

von R hh (τ,0) wird als Mehrwegeverbreitung τ rms bezeichnet und beschreibt die mittlere 

zeitliche Verbreiterung eines gesendeten δ-Impulses. 

Wissenschaftliche Studien [43], [49] haben ergeben, dass τ rms = 20,...,300 ns bei einer Frequenz 

von 1,3 GHz in industriellen Umgebungen betragen kann. In diesem Zusammenhang sind 

die Messergebnisse aus den Arbeiten von Haehniche et al. [9], [50] von großem praktischen 

Interesse, welche speziell die Mehrwegeverbreiterung τ rms im 2,4 GHz ISM Frequenzband in 

verschiedenen industriellen Umgebungen näher untersuchten. Dabei stellte sich für τ rms ein Mittelwert 

von 72 ns und ein Maximalwert von 121 ns heraus. 

21


Höing et al. [51] analysierten u.a. τ rms in einer Fertigungszelle mit vielen diffus streuenden 

Gegenständen. Die Funkstrecke betrug 3 m. Es existierte eine direkte Sichtverbindung. Des 

weiteren fanden im Einflussbereich schnelle zyklische Maschinenbewegungen statt. τ rms betrug 

79 ns, was einer Wegstreckendifferenz von etwa 23,7 m entsprach. 

Frequenz-Korrelationsfunktion 

Die Frequenz-Korrelationsfunktion R HH (∆ f ,0) quantisiert die Korrelation der Amplitude als 

Funktion der Frequenzdifferenzen ∆ f . Die halbe Halbwertsbreite von |R HH (∆ f ,0)| kennzeichnet 

die Kohärenzbandbreite B c . Innerhalb eines Frequenzbereiches ∆ f , der kleiner als die Kohärenzbandbreite 

B c ist, kann der Amplitudenverlauf als konstant angenommen werden. Zusammenfassend 

kann festgehalten werden, dass sowohl das Verzögerungs-Leistungsdichtespektrum 

R hh (τ,0) als auch die Frequenz-Korrelationsfunktion R HH (∆ f ,0) für die Charakterisierung der 

zeitlichen Dispersion des Funkkanals gleichermaßen herangezogen werden können. Zwischen 

der Mehrwegeverbreiterung und Kohärenzbandbreite besteht näherungsweise der Zusammenhang 

τ rms ≈ B −1 

c . 

Haehniche et al. [9] untersuchten auch die Kohärenzbandbreite B c in unterschiedlichen industriellen 

Umgebungen. Die mittlere Kohärenzbandbreite betrug B c = 5,7 MHz, jedoch wurden 

auch Minimalwerte bis hin zu 1,8 MHz gemessen. 

Zeit-Korrelationsfunktion 

Die Zeit-Korrelationsfunktion R HH (0,∆t) ist ein Maß für die Korrelation der Amplituden als 

Funktion der Zeitdifferenzen ∆t. In diesem Zusammenhang definiert die halbe Halbwertsbreite 

von |R HH (0,∆t)| die Kohärenzzeit T c . Die Kohärenzzeit T c ist demnach ein Maßstab für die 

zeitliche Änderungsgeschwindigkeit des Funkkanals. 

Doppler-Leistungsdichtespektrum 

Ebenso wie R HH (0,∆t) gibt das Doppler-Leistungsdichtespektrum R DD (0, f d ) Aufschluss über 

die Zeitvarianz des Funkkanals. Man erhält R DD (0, f d ) durch die Integration von R DD (τ, f d ) über 

die Variable τ. Die Standardabweichung wird Dopplerverbreiterung D s genannt und beschreibt 

die mittlere Frequenzverbreiterung eines gesendeten Schmalband- bzw. Trägersignals. Zwischen 

der Kohärenzzeit und der Dopplerverbreiterung besteht in grober Näherung die Beziehung T c ≈ 

D −1 

s . Der Einfluss des Doppler Effekts ist bei industriellen Funkkanälen nicht zu unterschätzen. 

Schnell bewegte und rotierende Maschinen können hohe Werte für die Dopplerverbreiterung 

D s hervorrufen. Höing et al. [51] konnten für D s Werte bis in die Größenordnung von 400 Hz 

feststellen. 

22


3.1.5 Klassifizierung von Funkkanälen 

Mit Hilfe der vorgestellten Kenngrößen kann der Einfluss des schnellveränderlichen Prozesses 

(Small Scale Fading) eines Funkkanals auf ein Funksystem grob vorausgesagt werden. Dabei 

werden die beiden Ursachen des Small Scale Fadings, Mehrwegeausbreitung (Frequenzselektivität) 

und Doppler Effekt (Zeitselektivität), separat und voneinander statistisch unabhängig 

behandelt. 

Frequenzselektivität 

Ist die Signalbandbreite deutlich kleiner als die Kohärenzbandbreite B s ≪ B c , ebenso wie die 

Mehrwegeverbeiterung kleiner als die Symboldauer τ rms ≪ T s ist, so liegt ein Flat Fading/nichtfrequenzselektiver 

Funkkanal vor. In diesem Fall ist die Übertragungsfunktion H( f ,t) im 

betrachteten Frequenzband näherungsweise konstant. Flat Fading Funkkanäle werden häufig 

auch als schmalbandig bezeichnet. Ist die Signalbandbreite größer als die Kohärenzbandbreite 

B s ≫ B c , so handelt es sich um einen frequenzselektiven Funkkanal. In diesem Fall sind die 

Verzögerungen τ einzelner Pfade größer als die Symboldauern T s , was zu Verzerrungen der Signale 

und damit zu Intersymbolinterferenzen (ISI) am Empfänger führt. 

Abbildung 3.4. Klassifizierung eines Funkkanals durch die Beurteilung des Einflusses der Frequenzselektivität. 

Zeitselektivität 

Die Zeitselektivität des Funkkanals kann wahlweise durch die Kohärenzzeit T c oder der Dopplerverbreiterung 

D s beurteilt werden. Ist die Symboldauer deutlich kleiner als die Kohärenzzeit 

T s ≪ T c , so wird die Form der zu übertragenden Symbole nicht durch den Funkkanal verändert. 

Der Funkkanal ändert sich während der Dauer eines Symbols nicht. Derartige Funkkanäle 

werden als nicht-zeitselektive bzw. Slow Fading Funkkanäle bezeichnet. Andernfalls handelt es 

sich um einen zeitselektiven Kanal, der häufig auch mit dem Begriff Fast Fading Funkkanal 

umschrieben wird. 

23


Abbildung 3.5. Klassifizierung eines Funkkanals durch die Beurteilung des Einflusses der Zeitselektivität. 

3.2 Digitale Kenngrößen zur Charakterisierung von Funkkanälen 

Funkkanäle unterliegen, wie bereits im vorherigen Abschnitt umschrieben, einer Vielzahl von 

fehlererzeugenden Ursachen. Inwieweit jedoch diese vielfältigen Ursachen Einfluss auf die Leistungsfähigkeit 

der Protokollschichten oberhalb der Physikalischen Schicht nehmen, ist quantitativ 

schwer zu beurteilen. Werden diese durch Small- und Large-Scale Prozesse simuliert, so ist 

es notwendig, die Bestandteile der Physikalischen Schicht (Modulator/Demodulator, Antennencharakteristik) 

in eine Simulationsumgebung zu berücksichtigen und mit zu modellieren. 

Jedoch kann dies äußerst mühsam sein und zudem aufgrund zahlreicher schlecht-quantisierbarer 

Systemgrößen (Rauschzahl, Empfängerperformance, Synchronisationseinflüsse) zu hohen 

Differenzen und Varianzen zwischen dem simulierten und realen Übertragungsverhalten führen. 

Des weiteren sind bei derartigen Simulationen zeitliche Aspekte nicht zu unterschätzen. In 

der Regel besteht ein proportionaler Zusammenhang zwischen der Granularität eines Modells 

und dessen Simulationsgeschwindigkeit. Da jedoch auch IFKe zunehmend komplexere Protokollstrukturen 

besitzen - ein gutes Beispiel liefert die Multi-Hop fähige Funktechnologie IEEE 

802.15.4 + ZigBee -, kann eine Simulation von wenigen Sekunden Echtzeit häufig mehrere Minuten 

andauern. 

3.2.1 Der digitale Funkkanal 

Aus diesem Grunde ist es nicht selten angebracht, den analogen Kommunikationskanal und die 

Eigenschaften der Physikalischen Schicht zusammenzufassen und gemeinsam zu beschreiben. 

Exakt die Zusammenfassung dieser Komponenten definiert den ”digitalen Funkkanal”. In der 

Praxis umschließt der digitale Funkkanal alle analogen Komponenten eines Funksystems (Modulator/Demodulator, 

Filter, Verstärker, Antennen, usw.) sowie den eigentlichen physikalischen 

/ ”analogen” Funkkanal (siehe Abbildung 3.6). 

Durch diese Zusammenfassung reduziert sich die Anzahl und Komplexität der notwendigen 

kanalbeschreibenden Prozesse. Die Charakteristika eines digitalen Kanals werden nun durch 

24


Abbildung 3.6. Die digitale Abstrahierung von Funkkanälen. 

die Eingangs- , Ausgangs- und unendliche Kanalfehlerfolge beschrieben. Die 

Eingangssymbolfolge beinhaltet Nutzinformationen, welche möglichst unverfälscht zum 

Empfänger übertragen werden sollen. Der Empfänger erhält unter Umständen fehlerbehaftete 

Versionen der Eingangssymbolfolge in Form der Ausgangssymbolfolge . Die zuvor 

separat beschriebenen Fehlerursachen (Small-, Large Scale Fading, Multi-User Interferenzen, 

Externe Interferenzen) werden ebenfalls zu einem Kanalfehlerprozess {E t } zusammengefasst, 

welcher die Eingangssymbolfolge stört. Da ein eindeutiger bifilarer Zusammenhang zwischen 

, und besteht (vgl. Gleichung (3.9)), kann eine vollständige Beschreibung 

des digitalen Kanals anhand dessen unendlicher Kanalfehlerfolge realisiert werden. 

3.2.2 Kanalbeschreibende, diskrete stochastische Prozesse 

Zur stochastischen Beschreibung der Eingangs- , Ausgangs- und Kanalfehlerfolgen 

bietet die Theorie der stochastischen Prozesse hilfreiche Verfahren und Methoden. Die 

Symbolfolgen entsprechen daher diskreten Folgen von Zufallsvariablen, welche durch stochastische 

Prozesse erzeugt wurden. Nachfolgend werden verschiedene kanalrepräsentierende stochastische 

Prozesse vorgestellt. 

25


Der Kanalfehlerprozess 

Gilt für die Folgen , , der Symbole x i ,y i ,e i ∈ GF(2), so handelt es sich um 

eine digitale Kommunikation. Die Beschreibung eines digitalen Kanals erfolgt durch den Kanalfehlerprozess 

(KFP) {E t }. In diesem Fall kann der KFP {E t } durch eine Exklusiv-ODER 

Verknüpfung zwischen den Symbolfolgen am Kanaleingang und am Ausgang einfach 

berechnet werden. 

XOR 

= 01010100010101 

= 01101101110111 

= 00111001100010 

(3.9) 

Eine Null in der Kanalfehlerfolge e i kennzeichnet die fehlerfreie Übertragung eines Symbols, 

während eine Eins einen Übertragungsfehler definiert. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird 

ausschließlich von einer digitalen Übertragung ausgegangen. 

Eine sehr wichtige Eigenschaft des KFPs {E t } wird durch dessen Gedächtnis beschrieben. In 

diesem Fall hängen die Werte der momentanen Symbole einer Kanalfehlerfolge von den 

vorausgegangenen, also von der zurückliegenden Ausgabe des KFPs {E t } ab. Die Gedächtnisbehaftung 

einer Kanalfehlerfolge kann formal folgenderweise ausgedrückt werden: 

Pr (e i |{e j }, j ∈ (−∞,i − 1]) ≠ Pr (e i ) (3.10) 

Für digitale Funkkanäle ist die Eigenschaft der Gedächtnisbehaftung typisch, da beispielsweise 

beim Auftreten so genannter Deep Fades der Übertragungskanal über mehrere Symboldauern 

sehr stark gedämpft ist, was zu einer zeitweisen Anhäufung von Fehlerblöcken führt. Die Fehlerpositionen 

innerhalb dieser Blöcke weisen eine ausgeprägte statistische Abhängigkeit auf. 

Der Fehlerabstandsprozess 

Bei gut entworfenen Funksystemen liegt die mittlere Wahrscheinlichkeit P e eines Kanalfehlers in 

Größenordnungen, die signifikant kleiner ≪ 0,5 sind. Zwangsläufig treten häufig lange Phasen 

von sukzessiven Nullen auf. Aus diesem Grunde ist es naheliegend, den KFP {E t } durch die 

statistischen Eigenschaften seiner Fehlerabstände zu erfassen [52], [53], [24]. 

Dazu werden sukzessive die Bereiche zwischen zwei aufeinander folgenden Kanalfehlern 

e j = 1 und e j+d = 1 betrachtet. Zwischen diesen benachbarten Fehlern müssen die Werte der 

Symbole {e j+1 ,...,e j+d−1 } = 0 betragen. Das Inkrement der Anzahl an fehlerfreien Symbolen 

(e i = 0), welche einen fehlerfreien Bereich definieren, entspricht dem Wert eines Fehlerabstandes 

a i = d, der von dem korrespondierenden Fehlerabstandsprozess (FAP) {A t } generiert wurde 

26


(siehe Abbildung 3.7). Demnach besteht der Wertebereich der Fehlerabstände aus den natürlichen 

Zahlen (a i ∈ N). 

Abbildung 3.7. Ausschnitt einer Kanalfehlerfolge und daraus abgeleitet die korrespondierende 

Fehlerabstandsfolge . 

Die Definition der Fehlerabstandsdichtefunktion f a (a) des FAPs {A t } lautet: 

f a (a)=Pr (a i = d)=Pr 

( j+d−1 ⋂ 

m= j+1 

e m = 0 ⋂ e j+l = 1 | e j = 1 

) 

(3.11) 

Der Erwartungswert E [a i ] der Fehlerabstände a i entspricht der durchschnittlichen Anzahl 

an unmittelbar nacheinander folgenden Nullen, bevor ein Kanalfehler auftritt (vgl. [23]). Dies 

wiederum ist äquivalent zum Kehrwert der mittleren Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e . 

E [a i ]= 

∞ 

∑ 

i=1 

i · f a (a = i)= 1 P e 

(3.12) 

Eine wichtige Kenngröße digitaler Funkkanäle stellt die komplementäre Fehlerabstandsverteilung 

(KFAV) Fa c (a)=1 − F a (a) dar. Für die komplementäre Verteilung der Fehlerabstände a i 

gilt (vgl. [52], S. 8): 

( ) 

a 

Fa c ⋂ 

(a)=Pr e i = 0 | e o = 1 . (3.13) 

i=1 

Sind die Fehlerpositionen statistisch voneinander abhängig, so treten Kanalfehler blockweise 

auf. Das führt dazu, dass einerseits viele kurze Fehlerabstände innerhalb dieser Blöcke anzutreffen 

sind und andererseits lange Fehlerabstände zwischen den Blöcken nur selten vorkommen 

(vgl. [53], S.24). Aus diesem Grunde kennzeichnen in Stufen abfallende KFAVen Fa c (a) (in halblogarithmischer 

Darstellung) gedächtnisbehaftete digitale Funkkanäle. Hingegen weisen KFA- 

Ven Fa c (a) von gedächtnislosen Funkkanälen einen negativen, linearen Verlauf auf. Bei gleicher 

mittlerer Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e ist Fa c (a) für einen gedächtnislosen Kanal gegeben 

zu: 

F c a (a)=(1 − P e) a (3.14) 

27


Die Abbildung 3.8 zeigt exemplarisch die KFAV Fa c (a) für zwei Kanäle mit und ohne Gedächtnis 

und gleicher mittlerer Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e . 

Modellierte, digitale Uebertragungskanaele 

Gedaechtnisloser Kanal 

Gedaechtnisbehafteter Kanal 

KFAV F c a(a) 

10 0 

10 −1 

Fehlerabstand a 

0 10 20 30 40 50 

Abbildung 3.8. Der Verlauf der KFAV Fa c (a) eines gedächtnislosen und -behafteten Übertragungskanals. 

Sind die Fehlerabstände a i in ihren Folgen unabhängig und identisch verteilt, so handelt 

es sich bei dem FAP {A t } um einen Erneuerungsprozess. Der FAP {A t } ”startet” quasi nach 

einer bestimmten Zeitspanne von neuem. Die Einflusslänge des Gedächtnisses ist bei Erneuerungsprozessen 

damit eingeschränkt und kann bei der Beschreibung digitaler Funkkanäle unter 

Umständen zu Einschränkungen führen. Eine exakte Definition von Erneuerungsprozessen und 

der damit verbundenen Theorie (Renewal Theory) kann [54] entnommen werden. Da bei derartigen 

FAPen {A t } nach dem Auftreten eines Fehlerabstandes a i der nächste a i+1 unabhängig von 

der Vergangenheit erzeugt wird, ist es möglich, den FAP {A t } vollständig durch dessen KFAV 

Fa c (a) statistisch zu beschreiben. 

Die meisten realen Funkkanäle können jedoch nicht durch Erneuerungsprozesse adäquat 

nachgebildet werden (vgl. [23], [55]), da eine statistische Abhängigkeit zwischen Fehlerabständen 

a i ↔ a j vorhanden ist. In diesem Zusammenhang hat Adoul [24] konstatiert, dass bei den 

meisten realen Kanälen Fehlerabstände positiv korreliert sind. D.h. auf einen langen Fehlerabstand 

folgt wiederum ein langer, während auf einen kurzen Fehlerabstand ein kurzer folgt. Eine 

negative Korrelation spiegelt dagegen einen Wechsel der Kanaleigenschaft wider. 

28


Der Fehlerlängenprozess 

Eine weitere alternative Beschreibungsmöglichkeit des KFPs {E t } bietet der Fehlerlängenprozess 

(FLP) {L t }, der von Bitó [52] eingeführt wurde. Motiviert wurde die Einführung des FLPs 

{L t } durch die Nachfrage nach einer präziseren statistischen Beschreibungsform unmittelbar 

aufeinander folgender Fehler. 

In seiner Definition wird eine Fehlerlänge als Bereich zwischen zwei aufeinander folgenden 

fehlerfreien Symbolpositionen e j = 0 und e j+d = 0 bezeichnet, in dem ausschließlich Kanalfehler 

{e j+1 ,...,e j+l−1 } = 1 vorhanden sind. Das Inkrement der Anzahl an Symbolen, welche 

einen fehlerfreien Bereich anzeigen, entspricht dem Wert einer Realisierung l i = d des FLPs 

{L t }. 

Abbildung 3.9. Ausschnitt einer Kanalfehlerfolge und daraus abgeleitet die korrespondierende 

Fehlerlängenfolge . 

Die Definition der Fehlerlängendichtefunktion f l (l) des FLPs {L t } lautet: 

f l (l)=Pr (l i = d)=Pr 

( j+d−1 ⋂ 

m= j+1 

) 

e m = 1 ⋂ e j+l = 0 | e j = 0 . (3.15) 

Der Erwartungswert E [l] des FLP {L t } entspricht wiederum dem Kehrwert der mittleren 

Wahrscheinlichkeit 1 − P e für die fehlerfreie Übertragung eines Symbols (e i = 0): 

E [l]= 

∞ 

∑ 

i=1 

i · f l (l = i)= 1 

1 − P e 

. (3.16) 

Somit handelt es sich bei dem FLP {L t } formal um das Komplement des FAP {A t }. 

Der Blockfehlerprozess 

Für die Analyse der Leistungsfähigkeit von Fehlerschutzmaßnahmen, beispielsweise ARQ, FEC 

und Interleaving-Verfahren, stellen die stochastischen Prozesse KFP {E t },FAP{A t } und FLP 

{L t } nur bedingt anwendbare Kenngrößen zur Verfügung. Die Leistungsfähigkeit von Fehlerschutzmaßnahmen 

in Form von Blockcodes wird sehr häufig anhand der Blockfehlerdichte 

29


(BFD) P(m,n) beurteilt. Die BFD P(m,n) beschreibt die Wahrscheinlichkeit von exakt m Kanalfehlern 

in einem Datenblock der Länge n. Für die Evaluierung von ARQ-Prozeduren wird häufig 

die Statistik P(0,n) (Wahrscheinlichkeit von 0 Kanalfehlern in einem Datenblock der Länge n) 

herangezogen [23]. Die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerbehafteten Datenblock der Länge n 

beträgt in etwa 1 1 − P(0,n). Somit entspricht der Wert 1 − P(0,n) der zu erwartenden Anzahl 

an Übertragungswiederholungen und erlaubt damit eine quantisierte Aussage über die Effizienz 

eines Funksystems. 

Da die BFD P(m,n) eine sehr wichtige Kanalkenngröße darstellt, wird in dieser Arbeit der 

Blockfehlerprozess (BFP) {B (n) 

t } n-ter Ordnung eingeführt. Die Ordnung n des BFPs {B (n) 

t } definiert 

somit die Länge eines Datenblocks, über dem sich der BFP auswirkt (Gedächtnislänge). 

Entsprechend der einleitenden Beschreibung besteht der Wertebereich der Blockfehler b i aus 

den theoretisch möglichen Mengen an Kanalfehlern in einem Datenblock der Länge n. Formal 

ausgedrückt, umfasst der Wertebereich der Blockfehler b (n) 

i ∈{0,1,...,n}. Die Konstruktion der 

Blockfehler b (n) 

i 

erfolgt aus einer Kanalfehlerfolge nach Anwendung der Fenstermethode 

(vgl. [56]). Dazu wird ein Bereichsfenster der Breite n diskret über die Kanalfehlerfolge 

geschoben und die Anzahl an Kanalfehlern gezählt. Anschließend wird das Bereichsfenster um 

eine Kanalfehlerposition versetzt und erneut die Menge darin enthaltener Kanalfehler bestimmt. 

Pro Schritt entspricht die zusammengezählte Menge an Kanalfehlern dem Wert des korrespondierenden 

Blockfehlers b (n) 

j = ∑ j+n−1 

i= j e i . 

Abbildung 3.10. Die exemplarische Errechnung von Blockfehlern b (n) 

i 

Kanalfehlerfolge mit der Fenstermethode n = 4. 

aus einer unendlichen 

Demnach ist die BFD P(m,n) definiert als: 

( 

P(m,n)=Pr m ≡ 

) 

j+n−1 

∑ e i 

i= j 

(3.17) 

Bei gedächtnislosen Kanälen entspricht diese der Binomialverteilung: 

( ) 

n 

P(m,n)= · Pe m · (1 − P e ) n−m . (3.18) 

m 

1 Unter der Annahme, dass alle Fehlermuster innerhalb eines Datenblocks identifiziert werden können. 

30


Treten jedoch statistisch abhängige Fehler auf, so steigt bei gleicher Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

P e die Wahrscheinlichkeit für längere fehlerfreie Blöcke und kompaktere Kanalfehlermuster. 

Die Abbildung 3.11 zeigt exemplarische BFDen P(m,n) für gedächtnislose und - 

behaftete Kanäle bei gleicher mittlerer Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e . Die Korrelationsdauer 

D k ist ein Maß für die statistische Abhängigkeit der Kanalfehler. Je größer der Wert desto stärker 

die Abhängigkeit. Die exakte Definition der Korrelationsdauer D k kann der Arbeit von Huber 

[53] oder dem Abschnitt 3.2.4 entnommen werden. 


10 0 Fehleranzahl m 

10 −1 

Gedaechtnisloser Kanal D k =0 

Gedaechtnisbehafteter Kanal D k =1, 66 

Gedaechtnisbehafteter Kanal D k =16, 6 

BFD P(m, 50) 

10 −2 

10 −3 

10 −4 

0 5 10 15 20 25 30 

Abbildung 3.11. Die BFDen P(m,50) von digitalen Modellkanälen mit der mittleren Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

P e = 0,05, aber unterschiedlichen Korrelationsdauern D k . 

3.2.3 Zusammenhänge zwischen Kanalstatistiken der Prozesse FAP und BFP 

Zwischen den Kanalstatistiken f a (a), bzw. Fa c (a) des FAPs {A t } und P(m,n) des BFPs {B t } 

bestehen elementare mathematische Zusammenhänge. Elliott [57] stellte für erneuernde Kanäle 

ein rekursives Verfahren zur Berechnung der BFD P(m,n) aus der Fehlerabstandsdichte (FAD) 

f a (a), bzw. -verteilung (FAV) F a (a) vor: 

R(1,n)=F a (n), für n ≥ 1. (3.19) 

n−m 

R(m,n)= 

∑ 

i=0 

N−m 

P(m,N)=P e · 

( f a (i + 1) · R(m − 1,n − i − 1)), 2 ≤ m ≤ n. (3.20) 

∑ 

n=0 

(F a (n + 1) · R(m,N − n)), 1 ≤ m ≤ n. (3.21) 

31


Die Hilfsvariable R(m,n) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Block der Länge n-1, 

dem ein Kanalfehler vorausgegangen ist, m-1 Kanalfehler enthält [53]. 

Motiviert von der Tatsache, dass reale Kanäle i.d.R. nicht-erneuernd sind, also eine statistische 

Abhängigkeit in den Fehlerabständen a i aufweisen, leitete Adoul [24] einen allgemeinen Zusammenhang 

zwischen den Kanalstatistiken FAD f a (a) und BFD P(m,n) auch für nicht-erneuernde 

Kanäle ab. Zur Erfassung der statistischen Abhängigkeit führte er die statistische Größe eines 

Mehrfachfehlerabstandes a m i der Ordnung m ein. Bekanntermaßen wird die Länge des i-ten Fehlerabstands 

in einer Fehlerabstandsfolge mit a i bezeichnet. Der Wert eines Mehrfachfehlerabstandes 

a m i der Ordnung m entspricht der Summe von m aufeinander folgenden Fehlerabständen 

a i : 

a m k+m−1 

i = 

∑ 

i=k 

a i (3.22) 

Nach einer umfangreichen Herleitung (vgl. [24]) bestehen zwischen der Mehrfachfehlerabstandsdichte 

(MFAD) fa m (a) und der BFD P(m,n) folgende wichtige Zusammenhänge: 

P(m,n)=P e · 

n−1 

∑ 

i=m−1 

fa m (n)= 1 m−1 

· 

P e 

∑ 

i=0 

(n − i) · ∆ 2 m f m a (i), für 2 ≤ m ≤ n (3.23) 

(m − i) · ∆ 2 n P(i,n), für 1 ≤ m ≤ n (3.24) 

∆ 2 n A(n) bezeichnet die zweite diskrete Ableitung der Größe A(n) nach n. 

∆ 2 n A(n) ≡ ∆ n [∆ n A(n)] = A(n − 1) − 2A(n)+A(n + 1) (3.25) 

3.2.4 Statistische Kenngrößen stochastischer Prozessen und deren empirische 

Schätzung 

Nachdem die kanalrepräsentierenden stochastischen Prozesse vorgestellt wurden, werden in diesem 

Abschnitt wichtige statistische Kenngrößen präsentiert, mit denen digitale Funkkanäle bewertet 

werden. 

Linearer Erwartungswert 

Zur Untersuchung der statistischen Eigenschaften von Kanalfehler- und Paketprozessen sind 

bereits lineare Erwartungswerte E [x] (statistische Momente erster Ordnung m (1) 

x ) sehr hilfreich, 

32


um die Lage ihrer Verteilung zu bewerten. Der diskrete Erwartungswert für die Zufallsvariablen 

x eines stochastischen Prozesses {X t } ist folgendermaßen definiert 

E [x]=m (1) 

x = 

M 

∑ 

j=1x j · f x (x = x j ) ≈ ¯x = 1 N 

N 

∑ 

i=1 

x i mit M,N ∈ N (3.26) 

und kann durch den arithmetischen Mittelwert ¯x gut geschätzt werden. f x (x = x j ) bezeichnet 

die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass die Zufallsvariable x den Wert x j annimmt. Hingegen beschreiben 

die x i ’s aufgezeichnete Zufallsvariablen des stochastischen Prozesses {X t }. Ein ideales 

Beispiel für die Anwendung und Schätzung des linearen Erwartungswerts stellt die Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

E [e]=P e des KFPs {E t } dar, die in der Praxis durch die mittlere Kanalfehlerrate 

ē = BER angenähert wird und aus einem Ausschnitt der unendlichen Kanalfehlerfolge 

berechnet wurde. 

Varianz und Standardabweichung 

Für die Analyse der statistischen Streuung eines Prozesses {X t } ist das zweite zentrale Moment 

µ x 

(2) , dessen Zufallsvariablen x von großer Bedeutung, das in der Literatur formal als Varianz 

Var (x) oder mit σx 2 bezeichnet wird. Die Varianz Var (x i ) dient als Streuungsmaß für die Abweichung 

der Zufallsvariablen x von ihrem Erwartungswert E [x]. Häufig wird als Streuungsmaß 

auch die Standardabweichung σ x = √ Var (x) als Quadratwurzel der Varianz verwendet. Die 

nachfolgende Gleichung (3.27) enthält die Definition der Varianz Var (x) sowie deren Schätzung 

durch die empirische Varianz (rechtsseitiger Ausdruck): 

Var (x)=E [(x − E [x]) 2 ] ≈ 1 

N − 1 

N 

∑ 

i=1 

(x i − ¯x) 2 . (3.27) 

Variationskoeffizient 

Die Varianz Var (x) hängt jedoch von der Lage des Erwartungswerts E [x] der Zufallsvariablen 

ab, was dazu führt, dass diese bei konstanter Streuung größer wird, sobald der Erwartungswert 

ansteigt. Eine quantitative Vergleichbarkeit der Streueigenschaften zweier Prozesse {X t } und 

{Y t } mit unterschiedlichen linearen Erwartungswerten E [x] ≠ E [y] der Zufallsvariablen x und y 

ist demzufolge nicht anhand der Varianzen Var (x) und Var (y) möglich. Stattdessen bedarf es 

einer Normierung der Standardabweichung σ = √ Var (x) durch den linearen Erwartungswert 

E [x]. Diese resultierende statistische Größe wird als Variationskoeffizient VarK (x) bezeichnet 

und ist formal folgendermaßen definiert: 

√ √ 

Var (x) E [(x − E [x]) 

VarK (x)= = 

2 ] 

. (3.28) 

E [x] E [x] 

33


Die Schätzung des Variationskoeffizienten VarK (x) kann mit Hilfe des arithmetischen Mittelwerts 

¯x und der empirischen Varianz durch folgende Annäherung realisiert werden: 

VarK (x) ≈ 

Autokovarianz und Autokorrelation 

√ 

N · ∑ N i=1 (x i − ¯x) 2 

∑ N i=1 x . (3.29) 

i 

Von besonderer Bedeutung für diese Arbeit sind statistische Kenngrößen zur Beurteilung der 

inneren Abhängigkeit in Folgen von Zufallsvariablen, beispielsweise in Realisierungen der Prozesse 

KFP {E t },FAP{A t } und BFP {B t }. Die Untersuchung des inneren Zusammenhangs von 

Zufallsvariablen x, welche von einem stationären stochastischen Prozess {X t } generiert wurden, 

kann für bestimmte Abstände, bzw. Verschiebungen ν durch die Autokovarianz erfolgen. Die 

formale Definition der Autokovarianz kann notiert werden als: 

ACov ν (x)=E [(x − E [x]) · (x ν − E [x])] 

= 

M M 

∑ ∑ 

i=1 j=1 

(x i − E [x]) · (x j − E [x]) · f xx (x = x i ∩ x ν = x j ). 

(3.30) 

f xx (x = x i ∩ x ν = x j ) entspricht der diskreten Verbunddichte der Werte um ν verschobener 

Zufallsvariablen x. Die Normierung der Autokovarianz ACov ν (x) auf die Varianz Var (x) wird 

als Autokorrelationskoeffizient Kor ν (x) bezeichnet und quantisiert die innere lineare statistische 

Abhängigkeit durch den Wertebereich {−1,...,+1}. +1 kennzeichnet einen perfekten, −1 

einen perfekt gegensätzlichen und 0 gar keinen linearen Zusammenhang. Der Autokorrelationskoeffizient 

Kor ν (x) ist folgendermaßen definiert: 

Kor ν (x)= ACov ν (x) 

Var (x) 

= ∑M i=1 ∑ M j=1 (x i − E [x]) · (x j − E [x]) · f xx (x = x i ∩ x ν = x j ) 

∑ M i=1 (x . 

i − E [x]) 2 · f x (x = x i ) 

(3.31) 

Zur Schätzung des Korrelationskoeffizienten Kor ν (x) kann der empirische Korrelationskoeffizient 

nach Bravais-Pearson (vgl. [58]) hinzugezogen werden: 

Kor ν (x) ≈ N − 1 

N − ν · ∑N−ν i=1 (x i − ¯x) · (x i+ν − ¯x) 

∑ N i=1 (x i − ¯x) 2 . (3.32) 

Häufig findet man auch alle Autokorrelationskoeffizienten Kor ν in der Autokorrelationsfunktion 

R xx (ν) vereint. 

34


R xx (ν)=Kor ν (x) ν ∈{1,...,n} (3.33) 

Praktische Anwendung findet die Autokorrelationsfunktion R xx (ν) beispielsweise zur Berechnung 

des Gedächtnisses digitaler Funkkanäle, welche durch Kanalfehlerfolgen mit 

e i ∈{0,1} beschrieben sind. In den Arbeiten [59] und [53] wird daher die Fehlerkorrelationsfunktion 

(FKF) R ee (ν) eingeführt, mit der die statistische Abhängigkeit von Kanalfehlern quantisiert 

werden kann. Da digitale Übertragungskanäle gut entworfener Funksysteme eine äußerst 

geringe Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e < 10 −2 aufweisen, wird häufig auf die Erwartungswertbereinigung 

zur Berechnung der FKF R ee (ν) verzichtet. Infolgedessen vereinfacht sich der 

allgemeingültige und exakte Ausdruck in Gleichung (3.31) zur erwartungswertnehafteten FKF 

¯R ee (ν): 

¯R ee (ν)= ∑1 i=0 ∑ 1 j=0 ij· f ee(e = i ∩ e ν = j) 

∑ 1 i=0 i2 · f e (e = i) 

= f ee(e = 1 ∩ e ν = 1) 

f e (e = 1) 

= f ee(e = 1 ∩ e ν = 1) 

P e 

. 

(3.34) 

Demnach beschreibt die FKF ¯R ee die dynamischen Eigenschaften von Kanalveränderungen 

und besitzt folgende Eigenschaften: 

¯R xx (ν = 0) = 1 

¯R xx (ν → ∞) = P e . 

(3.35) 

Bei statistisch unabhängigen Kanalfehlern e i (gedächtnisloser Kanal) kann die Gleichung 

(3.34) zur Berechnung der erwartungswertbehaftete FKF ¯R ee (ν) folgendermaßen ausgedrückt 

werden: 

˜R ee (ν)= f ee(e = 1 ∩ e ν = 1) 

= f e(e = 1) · f e (e ν = 1) 

= P e · P e 

= P e für ν ≠ 0. (3.36) 

P e P e 

P e 

Korrelationsdauer 

Für gedächtnisbehaftete Übertragungskanäle kann die Abweichung der erwartungswertbehafteten 

FKF ¯R ee (ν) von der eines gedächtnislosen Kanals gleicher mittlerer Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

P e durch die Kanalkorrelationsdauer D k quantisiert werden: 

D k = 

∞ 

1 

¯R ee (0) − P e 

∑ ( ¯R ee (ν) − P e ). (3.37) 

ν=1 

35



Erwartungswertbehaftete FKF ¯Ree(ν) 

1 

0.8 

¯R ee (0) 

0.6 

0.4 

0.2 

Gedaechtnisloser Kanal 

Gedaechtnisbehafteter Kanal 

P e 

0 

0 2 4 6 8 D k 10 12 14 16 18 

Verschiebung (Lag) ν 

Abbildung 3.12. Die erwartungswertbehaftete FKF ¯R ee (ν) eines modellierten, gedächtnisbehafteten 

und -losen Übertragungskanals. 

Für ν = 0 wird nicht der Wert 1 verwendet, sondern ein extrapolierter Wert ¯R xx (0) zur stetigen 

Fortsetzung von ¯R ee (ν) beim Übergang von ν =0→ ν = 1. Bei linearer Extrapolation ergibt 

sich folgender Bezugspunkt: 

¯R ee (0)=2 · ¯R ee (1) − ¯R ee (2). (3.38) 

In der Abbildung 3.12 sind jeweils Verläufe der erwartungswertbehafteten FKF ¯R ee (ν) eines 

gedächtnisbehafteten und -losen Kanals dargestellt. Während ¯R ee (ν) für den gedächtnislosen 

Kanal einen konstanten Verlauf mit dem Wert der mittleren Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e 

aufweist, kennzeichnet einen gedächtnisbehafteten Kanal ein exponential abklingender Verlauf. 

Die Korrelationsdauer D k eines gedächtnisbehafteten Kanals mit der Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

P e entspricht der Flächendifferenz zwischen dem Verlauf seiner FKF ¯R ee (ν) und der 

eines gedächtnislosen Übertragungskanals gleicher mittlerer Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e . 

3.2.5 Statistische Tests zur Klassifizierung digitaler Funkkanäle 

Von besonderer Wichtigkeit bei der Charakterisierung und Modellierung von Funkkanälen ist 

deren korrekte Klassifizierung. Dabei ist die Fragestellung zu beantworten, ob ein Funkkanal 

Gedächtnis- und Erneuerungseigenschaften besitzt oder nicht. Zur Klärung dieser Fragestellung 

entwickelte Adoul [24], [23] eine Methode auf Basis der Mehrfachfehlerabstände a m i , mit 

der die statistische Abhängigkeit zwischen Fehlerabständen analysiert werden kann. Dazu wird 

das Verhältnis zwischen den Varianzen Var (a m x ) der Mehrfachfehlerabstandsfolge eines 

36


unbekannten zu untersuchenden Kanals X und der eines Binär Symmetrischen Kanals (BSC) 

(Var (a m bsc )) mit identischer Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e gebildet. Bei dem Verhältnis handelt 

es sich aufgrund der Normierung prinzipiell um eine Art Variationskoeffizienten, der deshalb 

im Folgenden mit VarK a (m) bezeichnet wird. 

VarK a (m)= Var (am x ) 

Var (a m bsc ) = Var (a m 

P2 x ) 

e · 

m · (1 − P e ) 

(3.39) 

VarK a (1) spiegelt die Bündelung der Fehlerpositionen in einer generierten Kanalfehlerfolge 

des KFPs {E t } wider. Speziell VarK a (1) ≫ 1 deutet auf eine starke Bündelung dieser 

hin. Da für erneuernde Prozesse Var (a m )=m · Var (a) gilt, folgt VarK a (m) =VarK a (1) 

für alle m. Daher genügt bereits ein Unterschied zwischen VarK a (1) und VarK a (2), um 

den Erneuerungscharakter eines Übertragungskanals zu erkennen. Die Differenz VarK a (2) − 

VarK a (1) ist daher proportional zu der Korrelation sukzessiver Fehlerabstände a i ↔ a i+1 [24]. 

Alternativ kann die statistische innere Abhängigkeit der Zufallsvariablen x eines Prozesses 

{X t } anhand der Korrelationsfunktion R xx (ν) untersucht werden. Dazu wird die Methode aus 

[58], S. 575 angewandt. Liegen Symbolfolgen der Länge N vor, deren innere Positionen 

statistisch voneinander unabhängig sein sollen, so sind diese nach dem Zentralen Grenzwertsatz 

annähernd normalverteilt mit der Varianz Var = n −1 . Wird jedoch für eine Verschiebung ν 

festgestellt, dass die Bedingung 

max{|R xx (ν)||ν ∈ N} > 2 √ 

N 

(3.40) 

erfüllt ist, kann nicht mehr von statistischer Unabhängigkeit ausgegangen werden. Der Ausdruck 

√ 2 

N 

definiert die Signifikanzschwelle s. Dieser vereinfachte Test entspricht einem zweiseitigen 

Signifikanztest mit α = 0,05. 


Die realitätsnahe Charakterisierung von Funkkanälen ist für die Wissenschaft eine große Herausforderung. 

Für den Entwurf und die Analyse der Leistungsfähigkeit von Funksystembestandteilen 

der Physikalischen Schicht sind primär statistische ”analoge” Kanalkenngrößen von großer 

Bedeutung. Hierbei zählen im Speziellen statistische Kenngrößen zur realistischen Beschreibung 

der kanalcharakterisierenden Prozesse Large Scale und Small Scale Fading, um die Wellenausbreitungsphänomene 

adäquat modellieren und simulieren zu können. Wie sich diese auf 

das Übertragungsverhalten von Funktechnologien auswirken, kann anhand des Systemfunktionsmodell 

nach Bello unter der Annahme, dass ein Übertragungskanal WSSUS-Eigenschaften 

besitzt, vorhergesagt werden. In diesem Zusammenhang wird ein Übertragungskanal durch seine 

Zeit- und Frequenzselektivität beurteilt und klassifiziert. 

37


Für die Entwicklung von Fehlerschutzmaßnahmen und komplexen Protokollen, beispielsweise 

für Multi-Hop Netzwerke, ist der Einbezug ”analoger” Eigenschaften von Funkkanälen durch 

deren systemtheoretische Beschreibung mit äußerst hohem Aufwand verbunden. Durchzuführende 

realistische Simulationen derartiger Funkkanäle benötigen für die Kanalmodellierung von 

wenigen Sekunden Echtzeit bereits mehrere Minuten, sodass langzeitstatistische Analysen aus 

diesem Grunde häufig nicht möglich sind. Des Weiteren ist es sehr aufwändig, die Parametersätze 

der Modelle adäquat zu schätzen. Komplizierte Messungen, beispielsweise der komplexen 

Übertragungsfunktion H( f ,t), können zwar mit Netzwerkanalysatoren durchgeführt werden, jedoch 

mit der Einschränkung, dass die langfristigen zeitlichen Änderungen t aufgrund des Messaufwandes 

nicht erfasst werden können. 

Um dieser Problematik Abhilfe zu schaffen, kann ein Funkkanal durch statistische Prozesse 

beschrieben werden, welche ausschließlich das Kanalfehlerverhalten charakterisieren. Hierzu 

zählen u.a. der KFP {E t } und der FAP {A t }. Deren statistische Kenngrößen KFAV Fa c (a) und 

BFD P(m,n) werden wissenschaftlich sehr häufig als kanalbeschreibende Kenngrößen verwendet. 

In dieser Betrachtungsweise werden die Eigenschaften des ”analogen” Funkkanals sowie 

Funksystembestandteile der Physikalischen Schicht zu einem digitalen Funkkanal zusammengefasst 

und gemeinsam statistisch beschrieben. Das analoge Fadingverhalten des Übertragungskanals 

spiegelt sich in der digitalen Betrachtungsweise in Form der inneren statistischen Abhängigkeit 

von Kanalfehlern wider. Liegt eine statistische Abhängigkeit zwischen Fehlerpositionen 

vor, so werden digitale Übertragungskanäle als gedächtnisbehaftet bezeichnet. Wirkt sich diese 

Abhängigkeit auch auf die äquivalente Beschreibungsform der Fehlerabstände aus, so werden 

derartige Kanäle als nicht-erneuernd charakterisiert. Für die quantitative Beurteilung des Grades 

der statistischen Bindung wird in der Praxis die Autokorrelationsfunktion als linearer Erwartungswert 

für die innere Abhängigkeit einer Folge von Zufallsvariablen hinzugezogen. 

38

4 Generative Modelle für digitale, gedächtnisbehaftete 

Funkkanäle 

Nachdem das Kapitel 3 größtenteils deskriptive Kanalstatistiken und deren Prozesse vorstellte, 

führt das Kapitel 4 in die Theorie generativer Modelle für gedächtnisbehaftete Funkkanäle auf 

der Basis endlicher Hidden Markov Modelle (HMM) ein (vgl. [23], S. 726). In diesem Zusammenhang 

dienen HMMe u.a. der Modellierung kanalbeschreibender, stochastischer Prozesse, 

wie beispielsweise dem KFP {E t }, dem FAP {A t } oder aber Prozesse, die das Übertragungsverhalten 

auf der Datenpaketebene charakterisieren. 

Obwohl es didaktisch gegensätzlich wirkt, werden in den ersten Abschnitten dieses Kapitels 

allgemeingültige formale Ausdrücke für die wichtigen und grundlegenden Statistiken von 

HMMen, die Autokorrelationsfunktion R oo (ν), die komplementäre Symbolabstandsverteilung 

Fa c(a,V k) und die Symbolblockdichte P(m,n,V k ), hergeleitet und vorgestellt. Erst danach werden 

wissenschaftlich etablierte, generative digitale Kanalmodelle präsentiert, die quasi Instanzen von 

HMMen darstellen. Hierzu zählen die Modelle nach Gilbert [19], Gilbert-Elliott [20], Fritchman 

[21] und McCullough [22]. Durch die vorgezogene Herleitung allgemeingültiger Ausdrücke zur 

Berechnung wichtiger Kanalstatistiken der HMMe konnte weitestgehend auf eine redundante 

Herleitung dieser für jedes der o.g. Kanalmodelle verzichtet werden. 

Den Abschluss des Kapitels bildet die Zusammenfassung aller wichtigen Eigenschaften der 

vorgestellten Kanalmodelle. Hierzu zählen insbesondere strukturelle Aspekte und das Erneuerungsverhalten 

der Modelle. 

4.1 Endliche Hidden Markov Modelle 

Ein endliches HMM mit N Zuständen ist prinzipiell eine endliche Markov-Kette, jedoch mit dem 

Unterschied, dass man aus einer gegebenen Realisation eines Prozesses {E t } nicht direkt 

die erzeugende Zustandssequenz erkennen kann. Während bei Markov-Ketten ein Zustand 

immer das gleiche Symbol ausgibt, wird bei HMMen jedem Zustand die Wahrscheinlichkeit der 

Ausgabe eines bestimmten Symbols V i zugeordnet. 

4.1.1 Die Parameter von HMMen 

Zu jedem Zeitpunkt befindet sich ein HMM in einem der N Zustände S i , i ∈{1,...,N}. Die 

zeitlichen Augenblicke, welche mit den Zustandwechsel assoziiert sind, werden als t = 1,2,... 

39

4 Generative Modelle für digitale, gedächtnisbehaftete Funkkanäle 

bezeichnet. Der aktuelle Zustand eines HMMs zum Zeitpunkt t wird mit x t notiert. Die Ordnung 

m quantisiert die Gedächtnislänge eines HMMs. Die Wahrscheinlichkeit, zu einem Zeitpunkt t 

den Zustand x t = S i zu erreichen, hängt damit von den m vorherigen Zuständen x t−1 ,...x t−m ab: 

Pr (x t = S i | x t−1 = S j ,x t−2 = S k ,...,x t−m = S l ). (4.1) 

Da jedoch HMMe mit langem Gedächtnis (m ≥ 2) durch Messungen und Simulationen schwer 

erfassbar sind, beschränkt sich diese Arbeit auf die Untersuchung von HMMen der ersten Ordnung 

(m = 1). Wobei an dieser Stelle darauf hingewiesen wird, dass HMMe m-ter Ordnung durch 

Zustandserweiterungen auch in HMMe erster Ordnung überführt werden können. Des Weiteren 

werden nur homogene (zeitinvariante) HMMe betrachtet, deren Zustandsübergänge unabhängig 

von der Zeit t sind: 

Pr (x t = S i | x t−1 = S j )=Pr (x t+k = S i | x t−1+k = S j ). (4.2) 

Die Übergange zwischen den Zuständen S i → S j zum Zeitpunkt t − 1 werden durch die 

Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten (ZÜW) p ij charakterisiert: 

p ij = Pr (x t = S j | x t−1 = S i ), für 1 ≤ i, j ≤ N. (4.3) 

Die ZÜWs p ij weisen folgende zwei wichtige Eigenschaften auf: 

p ij ≥ 0 

mit 

N 

∑ p ij = 1. (4.4) 

j=1 

Aufgrund der Eigenschaft aus Gleichung (4.4) wird die Zusammenfassung aller ZÜWs p ij als 

stochastische N ×N Übergangsmatrix P bezeichnet, welche eine der drei definierenden Parameter 

eines HMMs repräsentiert: 

⎛ 

⎞ 

p 11 p 12 ··· p 1N 

p 

P = 

21 p 22 ··· p 2N 

⎜ . 

⎝ . . .. ⎟ . ⎠ . (4.5) 

p N1 p N2 ··· p NN 

Liegt ein irreduzibles und ergodisches HMM (zur exakten Definition vgl. [60], S.22) vor, d.h. 

dass nach einer endlichen Zeitspanne ∆t alle Zustände S i eines HMMs erreicht werden können, 

so existieren stationäre Zustandswahrscheinlichkeiten π i . Ausgehend von einer Anfangsverteilung 

⃗π (0) der Zustände S i : 

40


π (0) 

i 

= Pr (x 1 = S i ) für 1 ≤ i ≤ N, (4.6) 

kann durch die Anwendung der Chapman-Kolmogorov Gleichung (vgl. [61], S.175-176) folgende 

transiente Eigenschaft des HMMs berechnet werden [52]: 

⃗π (n) = ⃗π (0) P n (4.7) 

Als Grenzverteilung des absoluten Zustandsvektors ⃗π (n) ergibt sich der stationäre Zustandsvektor 

⃗π: 

⃗π = lim n→∞ 

⃗π (n) = lim n→∞ 

⃗π (n−1) P, (4.8) 

woraus der Zusammenhang zwischen der Übergangsmatrix P und dem stationären Zustandsvektor 

⃗π deutlich wird: 

⃗π = ⃗π P 

mit 

N 

∑ 

i=1 

π i = 1. (4.9) 

Die Komponenten π i des stationären Zustandsvektors ⃗π geben an, wie häufig der Zustand S i 

im Mittel eingenommen wird. Wie bereits einleitend dargestellt, charakterisiert ein HMM die 

Ausgabemöglichkeit von M Symbolen V i , i ∈{1,...,M} in jedem der N Zustände. Da mehrere 

Symbole emittiert werden können, besitzt jeder der Zustände S j eine eigene Ausgabedichtefunktion 

b j (k), welche folgendermaßen definiert ist: 

b j (k)=Pr (V k | x t = S j ), mit 1 ≤ j ≤ N und 1 ≤ k ≤ M (4.10) 

Die Zusammenfassung aller Ausgabedichtefunktionen b j (k) erfolgt in der stochastischen 

Ausgabematrix B. Bei der Ausgabematrix B handelt es sich um eine N × M Matrix mit folgendem 

Aufbau: 

⎛ 

⎞ 

b 1 (1) b 1 (2) ··· b 1 (M) 

b 

B = 

2 (1) b 2 (2) ··· b 2 (M) 

⎜ 

. 

⎝ . . .. ⎟ . ⎠ . (4.11) 

b N (1) b N (2) ··· b N (M) 

Die eindeutige Definition eines HMMs erfolgt somit durch das Parametertripel λ = {P,B,⃗π (0) }, 

bestehend aus der Anfangsverteilung ⃗π (0) , der Übergangsmatrix P und der Ausgabematrix B. 

41


4.1.2 Die Autokorrelationsfunktion von HMMen 

Die diskrete Autokorrelationsfunktion von mittelwertbehafteten, stationären Prozessen, unter 

denen auch HMMe einzuordnen sind, ist unter Zuhilfenahme der Autokovarianz ACov ν (o t ) 

und der Varianz Var (o t ) entsprechend der Gleichung (3.31) definiert: 

R oo (ν)= ACov ν (o t ) 

Var (o t ) 

= ∑M i=1 ∑ M j=1 (V i − E [o t ]) · (V j − E [o t ]) · f oo (o t = V i ∩ o t+ν = V j ) 

∑ M i=1 (V , 

i − E [o t ]) 2 · f o (o t = V i ) 

(4.12) 

wobei f oo (o t ∩ o t+ν ) die diskrete Verbunddichte der Ausgabesymbole o t für eine zeitliche 

Verschiebung ν kennzeichnet. Zu dessen Herleitung wird zuallererst der lineare Erwartungswert 

E [o t ] für die Ausgabesymbole o t mit der diskreten Ausgabesymboldichte f o (o t )=⃗π T · B 

angegeben zu: 

E [o t ]= 

M 

∑ 

i=1 

V i · f o (o t = V i )=⃗π T · B ·⃗V. (4.13) 

Etwas aufwändiger ist die Herleitung der diskreten Verbunddichte f oo (o t ∩ o t+ν )=Pr (o t+ν ∩ 

o t ). Dazu wird die Zustandsmatrix Pr (x t | o t ) zum Zeitpunkt t, vorausgesetzt es wurde das Symbol 

o t zum Zeitpunkt t ausgegeben, nach dem Bayes’schen Satz abgeleitet: 

Pr (x t | o t )= Pr (x t ∩ o t ) 

Pr (o t ) 

= 

1 

⃗π T · B ·⃗V (Π ∗ B)T . (4.14) 

Das Zeichen * kennzeichnet die komponentenweise Matrizenmultiplikation. Bei Π handelt es 

sich um eine N ×N Hilfsmatrix, wobei jede Spalte aus den identischen stationären Zustandsvektoren 

⃗π besteht (Π =(⃗π,...,⃗π)). Die Zustandswahrscheinlichkeitsmatrix Pr (x t+ν | o t ) für den 

Zeitpunkt t + ν unter der Voraussetzung, es wurde das Symbol o t zum Zeitpunkt t ausgegeben, 

kann somit berechnet werden zu: 

Pr (x t+ν | o t )=Pr (x t | o t ) · P ν = 

1 

⃗π T · B ·⃗V (Π ∗ B)T · P ν . (4.15) 

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Übertragung zum Zeitpunkt t +ν das Symbol o t+ν unter 

der Voraussetzung emittiert wird, dass zum Zeitpunk t das Symbol o t ausgegeben wurde, lautet: 

Pr (o t+ν | o t )=Pr (o t+ν | x t+ν ) · Pr (x t+ν | o t ) 

= 

1 

⃗π T · B ·⃗V (Π ∗ B)T · P ν · B. 

(4.16) 

42


Damit erhält man für die Verbunddichte f oo (o t ∩ o t+ν ): 

f oo (o t ∩ o t+ν )=Pr (o t+ν ∩ o t )=Pr (o t ) · Pr (o t+ν | o t ) 

=(Π ∗ B) T · P ν · B. 

(4.17) 

Für den Sonderfall, dass ein HMM nur binär-diskret wertige Zufallsvariablen (V 1,2 = {0,1}) 

generiert, kann die modifizierte Fehlerkorrelationsfunktion aus Gleichung (3.34) für ein HMM 

folgendermaßen berechnet werden: 

˜R ee (ν)= f ee(e t = 1 ∩ e t+ν = 1) 

f e (e t = 1) 

= (⃗π ∗ ⃗b(2)) T · P ν ·⃗b(2) 

⃗π T ·⃗b(2) 

(4.18) 

4.1.3 Die komplementäre Symbolabstandsverteilung von HMMen 

Eine weitere essentielle Kenngröße von HMMen zur Beurteilung von digitalen Übertragungskanälen 

stellt die komplementäre Symbolabstandsverteilung Fa c(a,V k) für das Symbol V k dar, 

welche folgendermaßen definiert ist: 

( ) 

Fa c (a,V ⋂ a 

k)= Pr o t+i ≠ V k | o t = V k 

i=1 

= Pr ((⋂ a 

i=1 o t+i ≠ V k ) ∩ o t = V k ) 

. 

Pr (o t = V k ) 

(4.19) 

Fa c (a,V k ) stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass einem bestimmten Symbol o t = V k genau a 

verschiedene Symbole {o t+1 ,...,o t+a } ≠ V k folgen. Es gilt bekannterweise (vgl. Gl. (4.14)): 

⃗Pr (x t ∩ o t = V k )=⃗π ∗ ⃗ b(k). (4.20) 

Die Wahrscheinlichkeit, dass beim nächsten Symbol der Zustand x t+1 vorliegt und zum Zeitpunkt 

t das Symbol o t ausgegeben wurde, kann mit Hilfe der Übergangsmatrix P formuliert 

werden als: 

⃗Pr (x t+1 ∩ o t = V k )=⃗Pr (x t ∩ o t = V k ) T · P =(⃗π ∗ ⃗ b(k)) T · P. (4.21) 

Werden die Gleichungen (4.20) und (4.21) rekursiv bis a − 1 angewandt, so ergibt sich die 

komplementäre Symbolabstandsverteilung Fa c(a,V k) unter Zuhilfenahme der komplementären 

Symbolausgabewahrscheinlichkeiten b c j (k)=1 − b j(k) im Zustand S j für das Symbol V k : 

43


F c 

a (a,V k )= (...(((((⃗π ∗ ⃗b(k)) T · P) ∗ ⃗b c (k) T ) · P) ∗ ⃗b c (k) T )...P) ·⃗b c (k) 

. (4.22) 

Pr (o t = V k ) 

Da zwischen der komponentenweisen Multiplikation und der Matrizenmultiplikation folgender 

Zusammenhang: 

( 

⃗xT · P ) ∗ ⃗y T =⃗x T (P · diag (y i )) (4.23) 

besteht (vgl. [53]), kann durch die Anwendung der Gleichung (4.23) die Rekursion in der 

Gleichung (4.22) aufgehoben werden. diag (y i ) ist eine quadratische N ×N Matrix, deren Hauptdiagonale 

die Werte des Vektors⃗y enthält; alle anderen Elemente sind null. Durch die Assoziativität 

der Matrizenmultiplikation können geeignete Terme zusammengefasst werden, sodass sich 

die Fa c(a,V 

k) weiter vereinfachen lässt zu: 

Fa c (a,V k )= (⃗π ∗ ⃗ b(k)) T · (P · diag (b c i (k)))a−1 · P ·⃗b c (k) 

Pr (o t = V k ) 

= (⃗π ∗ ⃗b(k)) T · (P · diag (b c i (k)))a−1 · P ·⃗b c (k) 

. 

⃗π T ·⃗b(k) 

(4.24) 

4.1.4 Die Symbolblockdichte von HMMen 

Die Symbolblockdichte P(m,n,V k ) definiert die Wahrscheinlichkeit von genau m Symbolen V k 

in einer Sequenz {o t ,...,o t+n } der Länge n. Die Berechnung von P(m,n,V k ) erfolgt rekursiv in 

Anlehnung an [20] durch: 

⃗H(m,n,V k )=(⃗H(m,n − 1,V k ) T · diag(b c i (k)) · P) T +(⃗H(m − 1,n − 1,V k ) T · diag(b i (k)) · p) T 

mit den Startvektoren: 

(4.25) 

⃗H(1,1,V k )=(⃗π T · diag(b c i (k))) T und ⃗H(0,1,V k )=(⃗π T · diag(b i (k))) T . 

Für Werte m > n und m,n < 0 wird ⃗H(m,n,V k )=⃗0 gesetzt. H i (m,n,V k ) ist eine Hilfsvariable, 

welche die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Block der Länge n genau m Symbole V k enthält 

und bei dem nachfolgenden Symbol der Zustand S i eingenommen wird. Somit erhält man für 

die resultierende Symbolblockdichte P(m,n,V k ) folgenden Ausdruck: 

P(m,n,V k )= 

N 

∑ 

i=1 

H i (m,n,V k )=⃗H(m,n,V k ) T ·⃗1. (4.26) 

44

4.2 Das Gilbert Modell 

4.2 Das Gilbert Modell 

Eines der ersten wissenschaftlich etablierten digitalen Kanalmodelle mit Gedächtnis wurde von 

Gilbert [19] bereits 1960 entwickelt. In diesem Modell wird der KFP {E t } durch ein HMM 

erster Ordnung erzeugt. Der Zustandsraum S dieser Markov-Kette umfasst genau zwei Zuständen 

S 1,2 = {G,B}. G bezeichnet den guten Übertragungszustand (Good) und B den schlechten 

Übertragungszustand (Bad) des Übertragungskanals. Die Ausgabesymbole entsprechen Bits 

(V 1,2 = {0,1}). Zu jedem Zeitpunkt t werden die Symbole des KFPs {E t } entweder im Zustand 

G oder B erzeugt (siehe Abbildung 4.1). 

Abbildung 4.1. Das Zustandsdiagramm eines Gilbert Modells. 

Die allgemeine stochastische Übergangsmatrix P (Gl. (4.5) ) reduziert sich demnach zu einer 

2 × 2 Matrix mit den folgenden Elementen: 

( ) 

p gg p gb 

P = 

. (4.27) 

p bg p bb 

Da das Gilbert (GI) Modell irreduzibel und aperiodisch ist, existieren stationäre Zustandswahrscheinlichkeiten 

π g und π b , welche nach dem Gleichungssystem (4.9) berechnet wurden 

zu: 

π g = 

p bg 

p gb + p bg 

und π b = 

p gb 

p gb + p bg 

. (4.28) 

Gilbert gibt weiterhin vor, dass im Zustand G die Übertragung fehlerfrei und somit die Fehlerwahrscheinlichkeit 

e g immer gleich null ist. Im Gegensatz dazu ist die Fehlerwahrscheinlichkeit 

e b im Zustand B stets positiv. Infolgedessen ist jedes Element e i des Kanalfehlerprozesses {E t } 

immer null, wenn sich der Prozess zu einem Zeitpunkt t im Zustand G aufhält. Befindet sich 

{E t } im Zustand B, so wird mit der Wahrscheinlichkeit e b jedes Symbol o t zu Eins und mit 

(1 − e b ) zu Null. Somit kann die Ausgabematrix B angeben werden zu: 

45


( ) 

1 0 

B = 

. (4.29) 

1 − e b e b 

Da nur im Zustand B Fehler auftreten können, kann mit Hilfe des stationären Zustandsvektors 

⃗π (Gleichung (4.28)) die mittlere Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e einfach berechnet werden: 

P e = Pr (e i = 1)=Pr (e i = 1 ∩ B)=⃗π T ·⃗b(2)=e b · π b . (4.30) 

Unter Einsatz der Wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion hat Gilbert (vgl. [19], S.1257- 

1260) zwei Verfahren zur Berechnung der KFAV Fa c (a) hergeleitet. Zum einem nutzte Gilbert 

die folgende Rekurrenzbeziehung (vgl. [20], [62]): 

Fa c (a)=(p gg +(1 − e b ) · p bb ) · Fa c (a − 1)+(1 − e b ) · (p bg − p gg ) · Fa c (a − 2) für a = 2,3,... 

(4.31) 

mit den Startwerten 

F c a (0)=1 und F c a (1)=p gb +(1 − e b ) · p bb . (4.32) 

Zum anderem gab Gilbert nach komplizierter Herleitung [19] einen geschlossenen Ausdruck 

ohne Rekursion (Addition zweier Exponentialfunktionen) für die Berechnung der KFAV Fa c(a) 

an: 

F c a (a)=A · Ja +(1 − A) · L a (4.33) 

Zwischen den Modellparametern p gb , p bg ,e b und den Parametern der beiden Exponentialfunktionen 

A,J,L besteht folgender Zusammenhang: 

und 

e b = 

p gb = 

L · J 

J − A · (J − L) , (4.34) 

(1 − L) · (1 − J) 

1 − e b 

(4.35) 

( ) L − eb 

p bg = A · (J − L)+(1 − J) · . (4.36) 

1 − e b 

Da die Positionen der Fehlerabstände a i bei dem GI-Modell voneinander statistisch unabhängig 

sind (vgl. [52], S.47), handelt es sich um ein erneuerndes Kanalmodell. 

46

4.3 Das Gilbert-Elliott Modell 

4.3 Das Gilbert-Elliott Modell 

Die Einschränkung durch den Erneuerungscharakter beim GI-Modell wurde im Jahre 1963 von 

E. O. Elliott [20] erkannt und behoben. Elliott schlug eine Verallgemeinerung des GI-Modells 

vor, in dem eine Fehlerwahrscheinlichkeit von e g > 0 im Übertragungszustand G zugelassen 

wird. Bitó [52] verifizierte simulativ nach der im Abschnitt 3.2.5 vorgestellten Methode, dass 

das Gilbert-Elliott (GE) Modell ein nicht-erneuerndes Modell ist. 

Abbildung 4.2. Das Zustandsdiagramm eines Gilbert-Elliott Modells. 

Bis auf die Ausgabematrix B sind die Parameter des GI- und GE-Modells absolut identisch. 

Nur die Ausgabematrix B des GE-Modells zeigt nun folgenden Aufbau: 

B = 

( ) 

1 − e g e g 

1 − e b e b 

(4.37) 

Demzufolge berechnet sich die mittlere Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e des GE-Modells zu: 

P e = Pr (e i = 1)=Pr ((e i = 1 ∩ G) ∪ (e i = 1 ∩ B)) = ⃗π T ·⃗b(2)=e g · π g + e b · π b . (4.38) 

Die BFD P(m,n) und die KFAV Fa c (a) des GE-Modells können mit den Gleichungen (4.24) 

und (4.26) bestimmt werden. Da für die Ausgabesymbole V 1,2 = {0,1} gilt, entspricht Fa c (a)= 

Fa c(a,V 2) und P(m,n)=P(m,n,V 2 ). Aufgrund dessen, dass es sich bei dem GE-Modell um eine 

Verallgemeinerung des GI-Modells handelt, kann die Berechnungsmethode für die BFD P(m,n) 

auch für das GI-Modell angewandt werden. 

4.4 Das Fritchman Modell 

Im Gegensatz zu den vorangegangenen Kanalmodellen nach Gilbert und Elliott mit nur zwei 

Zuständen zeichnet sich das Fritchman (FT) Modell [21] durch N Zustände S i = {1,...,N} mit 

47


N ≥ 2 aus. Die Besonderheit beim FT-Modell stellt die Unterteilung der Zustandsmenge S i = 

{1,...,N} in die zwei Untermengen S g = {1,...,K} (Good) und S b = {K +1,...,N} (Bad) dar. 

In den K Zuständen der Menge S g treten keine Kanalfehler auf, wobei in den N − K Zuständen 

von S b ständig Kanalfehler mit der Wahrscheinlichkeit 1 produziert werden. 

Abbildung 4.3. Das Zustandsdiagramm eines Fritchman Modells. 

Die Übergangsmatrix P eines allgemeinen FT-Modells weist die folgende Form auf: 

P = 

( ) 

PG P GB 

. (4.39) 

P BG P B 

P G , P GB , P BG und P B sind die Übergangsmatrizen bezogen auf die Zustandsmengen G und B 

(P G : G → G, P GB : G → B, P BG : B → G, P B : B → B). Die Ausgabematrix B hat daher folgende 

Form: 

48

4.4 Das Fritchman Modell 

⎛ 

⎞ 

b 1 (1)=1 b 1 (2)=0 

. 

. 

B = 

b K (1)=1 b k (2)=0 

b K+1 (1)=0 b K+1 (2)=1 

. (4.40) 

⎜ 

⎝ . 

. 

⎟ 

⎠ 

b N (1)=0 b N (1)=1 

Für die analytische Berechnung der BFD P(m,n) sowie der KFAV Fa c (a) können wiederum 

die bereits bekannten Gleichungen (4.24) und (4.26) herangezogen werden. Da das allgemeine 

FT-Modell in seiner vollständigen Form schwer zu parametrieren ist (vgl. [23], S.732), wird oft 

die vereinfachende Maßnahme getroffen, dass keine Übergänge mehr zwischen Zuständen innerhalb 

der Menge G oder B erlaubt sind. In diesem Fall weisen die beiden Matrizen P G und 

P B die Form von Diagonalmatrizen auf. Als weitere komplexitätsreduzierende Maßnahme wird 

zusätzlich darauf verzichtet, mehr als einen fehlererzeugenden Zustand (vgl. [63] und [64]) anzuwenden, 

sodass die Übergangsmatrix P eines FT-Modells mit N Zuständen folgenden Aufbau 

besitzt: 

⎛ 

⎞ 

p 11 0 0 0 p 1N 

0 p 22 0 0 p 2N 

P = 

. 0 0 .. 0 . 

. (4.41) 

⎜ 

⎝ 0 0 0 p N−1N−1 p 

⎟ 

N−1N ⎠ 

p N1 p N2 ··· p NN−1 p NN 

Für diesen Sonderfall vereinfacht sich die allgemeine Gleichung (4.24) für die KFAV Fa c(a) 

zu: 

Fa c 

N−1 

(a)= p Ni 

∑ · p a ii , für a ≥ 1. (4.42) 

i=1 

p ii 

Die Gleichung (4.42) zeigt, dass die KFAV Fa c (a) aus N − 1 Exponentialfunktionen besteht. 

In halblogarithmischer Darstellung entsprechen diese N − 1 Exponentialfunktionen ( ) exakt N − 1 

Geraden mit den Steigungen log 10 (p ii ) und den Schnittpunkten log 

pNi 

10 p ii 

mit der y-Achse. 

Jedoch sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass FT-Modelle mit nur einem Fehlerzustand 

Erneuerungscharakter aufweisen (vgl.[23]). Werden jedoch weitere fehlergenerierende Zustände 

hinzugezogen, so handelt es sich bei dem FT-Modell um ein nicht-erneuerndes Modell. 

49


4.5 Das McCullough Modell 

Auch das McCullough (MC) Modell [22] beruht auf einem HMM erster Ordnung mit N Zuständen, 

denen Fehlerwahrscheinlichkeiten b i (2)=p i zugeordnet sind. Jedoch hängen die Elemente 

der Übergangsmatrix P zum Zeitpunkt t von dem zuvor emittierten Symbol o t−1 = {0,1} ab. 

P(t)= 

{ 

P (0) : wenn o t−1 = 0 

P (1) : wenn o t−1 = 1 

(4.43) 

Aufgrund des zeitvarianten Parametersatzes kann das MC-Modell als inhomogenes Modell 

dargestellt werden. Es ist aber möglich, durch zusätzlich eingeführte Zustände das inhomogene 

Modell in ein homogenes zu überführen. Die Abbildung 4.4 zeigt ein zweistufiges inhomogenes 

MC-Modell, welches in ein vierstufiges homogenes Modell umgeformt wurde. 

Abbildung 4.4. Das Zustandsdiagramm eines McCullough Modells. 

Des Weiteren schließt McCullough die Möglichkeit eines Zustandswechsels aus, wenn zuvor 

ein fehlerfreies Symbol erzeugt wurde. Ein Zustandswechsel ist infolgedessen nur nach einem 

Kanalfehler (e i = 1) erlaubt. Die ZÜWs p (0) 

ij nach einem fehlerfreien Symbol (V 1 = 0) sind 

immer eins, wenn im selbigen Zustand verblieben wird, ansonsten null. P (0) besitzt deswegen 

die Form einer Einheitsmatrix (P (0) = I). Dagegen handelt es sich bei P (1) um eine gewöhnliche 

stochastische Matrix, welche die ZÜWs p (1) 

ij 

der Zustandswechsel S i → S j nach einem Fehler 

enthält: 

50

4.5 Das McCullough Modell 

⎛ 

p (1) 

11 

p (1) 

12 

... p (1) ⎞ 

1N 

P (1) p (1) 

= 

21 

p (1) 

22 

... p (1) 

2N 

⎜ . 

⎝ . . .. ⎟ . ⎠ . (4.44) 

p (1) 

N1 

p (1) 

N2 

... p (1) 

NN 

In Anlehnung an die vorherigen Modelle besitzt auch das MC-Modell stationäre Zustandswahrscheinlichkeiten 

η i , jedoch setzen diese ebenfalls wie P (1) die Bedingung voraus, dass zuvor 

ein Kanalfehler erzeugt wurde. Die η i werden zu dem Vektor ⃗η zusammengefasst: 

( 

) T 

⃗η = η 1 η 2 ... η N mit 

N 

∑ 

i=1 

η i = 1. (4.45) 

Die bedingungslose stochastische Übergangsmatrix P, dass bei der Ausgabe eines beliebigen 

Symbols ein Zustandswechsel S i → S j erfolgt, kann einfach aus den bedingten Übertrangsmatrizen 

P (0) und P (1) folgendermaßen berechnet werden (vgl. [53], S.64): 

P = diag (b i (1)) + diag (b i (2)) · P (1) 

⎛ 

b 1 (1)+b 1 (2) · p (1) 

11 

b 1 (2) · p (1) 

12 

... b 1 (2) · p (1) ⎞ 

1N 

b 

= 

2 (2) · p (1) 

21 

b 2 (1)+b 2 (2) · p (1) 

22 

... b 2 (2) · p (1) 

2N 

⎜ 

. 

⎝ . 

. .. ⎟ . ⎠ . (4.46) 

b N (2) · p (1) 

N1 

b N (2) · p (1) 

N2 

... b N (1)+b N (2) · p (1) 

NN 

Ebenso wie die bedingungslose Übergangsmatrix P können die bedingungslosen stationären 

Zustandswahrscheinlichkeiten π i aus den bedingten η i abgeleitet werden. Dazu hat Swoboda 

[62] die nachfolgende Herleitung angegeben: 

π i = 

mit der mittleren Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e : 

P e = ⃗π T ·⃗b(2)= 

η i 

b i (2) · P e (4.47) 

∑ N i=1 

1 

η i 

b i (2) 

, (4.48) 

die gemäß der Gleichung (3.12) den Kehrwert des Mittelwertes der Fehlerabstände darstellt. 

Da ein Zustandswechsel nur nach einem Kanalfehler erlaubt ist, können die Beiträge des MC- 

Modells zu den Statistiken Fa c (a) und P(m,n) voneinander entkoppelt werden. Dies wiederum 

vereinfacht den mathematischen Umgang mit dem MC-Modell enorm. Die KFAV Fa c (a) kann 

nach McCullough [22] mit Hilfe des stationären Zustandsvektors⃗η berechnet werden zu: 

51


F c a (a)=⃗ηT ·⃗b(1) a . (4.49) 

Fa c (a) setzt sich offensichtlich aus der Summe von N Exponentialfunktionen zusammen, die 

mit den stationären Zustandswahrscheinlichkeiten η i nach einem Kanalfehler gewichtet wurden. 

Die Berechnung der BFD P(m,n) erfolgt beim MC-Modell ebenfalls durch die Anwendung von 

Rekursionsbeziehungen (vgl. [22]). A i (m,n) entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass m Kanalfehler 

in n erzeugten Symbolen {o t ,...,o t+n } aufgetreten sind und sich das MC-Modell beim 

emittierten Symbol o t+(n+1) im Zustand i aufhält. Für den Zustandsvektor ⃗A(m,n) gilt folgende 

Rekursionsvorschrift: 

⃗A(m,n)=(⃗A(m,n − 1) T · diag (b i (1))) T +(⃗A(m − 1,n − 1) T · diag (b i (2)) · Z) T (4.50) 

mit den Startvektoren 

⃗A(1,1)=(⃗π T · diag (b i (2)) · Z) T und ⃗A(0,1)=(⃗π T · diag (b i (1))) T (4.51) 


⃗A(m,n)=⃗0 für m > n. (4.52) 

Demnach setzt sich die BFD P(m,n) für ein N-stufiges MC-Modell zusammen aus: 

P(m,n)= 

N 

∑ 

i=1 

A i (m,n)=⃗A(m,n) T ·⃗1. (4.53) 

Besonders wichtig ist bekannterweise die statistische Abhängigkeit zwischen Fehlerabständen 

a i , welche von der Matrix P (1) festgelegt wird. Sind die Elemente p (1) 

ii 

der Hauptdiagonalen 

größer als die Werte η i , so folgen auf große Fehlerabstände bevorzugt große und auf kleine 

Fehlerabstände kleine (positive Korrelation) (vgl. [53]). Andernfalls (p (1) 

ii < η i ) liegt eine negative 

Korrelation vor. Der Kanal ändert seine Eigenschaften. Im allgemeinen Fall besitzt das 

MC-Modell keinen Erneuerungscharakter. Eine Ausnahme stellt der Fall dar, wenn die Matrix 

P (1) aus gleichen Zeilenvektoren ⃗η T (vgl. [23], [22], [62]) besteht, da die Fehlerabstände a i 

dann statistisch unabhängig voneinander sind und ein erneuerndes Kanalmodell vorliegt. Diesen 

Sonderfall beschreibt das Swoboda Modell [62]. 

52


Tabelle 4.1. Überblick über die Eigenschaften der vorgestellten digitalen, generativen Kanalmodelle 

Nr. Modell Struktur Besonderheiten 

1 Gilbert Modell HMM mit zwei Zuständen N = 2. Kanalfehler 

können nur in einem Zustand 

mit einer definierten Wahrscheinlichkeit 

emittiert werden. 

2 Gilbert-Elliott Modell HMM mit zwei Zuständen N = 2. Kanalfehler 

können in beiden Zuständen 

mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten 

erzeugt werden. 

3 Fritchman Modell HMM mit N Zuständen, aufgeteilt in K 

fehlerfreie und N − K fehlererzeugende 

Zuständen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit 

in den Zuständen N − K beträgt 1. 

4 McCullough Modell HMM mit N Zuständen. Fehler können 

in allen N Zuständen auftreten. Zustandsübergänge 

sind nur direkt nach 

Fehlern möglich. 

Erneuerndes Kanalmodell. Modelliert 

den Kanalfehlerprozess {E t }. 

Zustandssequenz ist nicht aus der 

Fehlersymbolfolge ersichtlich. 

Erweiterung des GI-Modells. Nichterneuerndes 

Kanalmodell. Modelliert 

den Kanalfehlerprozess {E t }. Unterstützt 

eine geringe ”Hintergrundfehlerwahrscheinlichkeit”, 

sobald sich der 

Kanal im Zustand G befindet. 

Nicht-erneuerndes Verhalten für N − 

K > 1. Für N − K = 1 zeigt das Modell 

Erneuerungscharakter. Modelliert 


Nicht-erneuerndes Kanalmodell. Modelliert 


Unter speziellen Bedingungen kann das 

MC-Modell zum GI- oder GE-Modell 

reduziert werden. 


In diesem Kapitel wurden verschiedene generative Modelle auf der Basis von HMMen zur Beschreibung 

digitaler, gedächtnisbehafteter Funkkanäle vorgestellt. Hierzu gehörten die Modelle 

nach Gilbert, Gilbert-Elliott, Fritchman und McCullough. Dabei wurde deutlich, dass die 

Berechnung der grundlegenden charakteristischen Kenngrößen BFD P(m,n) und KFAV Fa c (a) 

meist auf (einfache) Sonderfälle von endlichen HMMen zurückgeführt werden können. 

Ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal derartiger Modelle ist die statistische Abhängigkeit 

der Abstände erzeugter Kanalfehler e i . Sind diese voneinander statistisch unabhängig, so handelt 

es sich um ein erneuerndes Modell, andernfalls um ein nicht-erneuerndes Modell. Die Tabelle 

4.1 gibt einen zusammenfassenden Überblick über die Eigenschaften der vorgestellten Kanalmodelle. 

Im Allgemeinen sind erneuernde Modelle leichter zu parametrieren. Da derartige Modelle 

identisch und unabhängig verteilte Fehlerabstände a i erzeugen, reicht bereits die FAV Fa c(a) 

zur Charakterisierung vollständig aus. Durch entsprechende Anpassungstests an die FAV Fa c (a), 

im Speziellen mit der Methode der Linearen Regression, können die Parametersätze erneuernder 

Modelle systematisch und mit geringem Aufwand ermittelt werden. Deutlich komplexer ist 

da die Parameterbestimmung für nicht-erneuernde Kanalmodelle. In diesem Fall müssen zusätzliche 

Statistiken zur Parameterschätzung hinzugezogen werden, welche die Korrelation der 

53


Fehlerabstände a i mit berücksichtigen. Dies könnte beispielsweise durch die Mehrfachfehlerabstandsdichte 

fa m(a) oder der Abstandskorrelationsfunktion (AKF) R aa(ν) erfolgen (vgl. Abschnitt 

3.2.3). 

Obwohl reale Übertragungskanäle i.d.R. nicht-erneuernd sind (vgl. [24]), werden aufgrund 

der geringeren Komplexität in der Praxis häufig erneuernde Modelle zur Charakterisierung und 

Simulation von gedächtnisbehafteten Übertragungskanälen herangezogen (vgl. [64], [23], [18], 

[65], [66]). 

54

5 Zur Parameterschätzung generativer Modelle 

Die erfolgreiche Anwendung digitaler Kanalmodelle hängt neben ihren Eigenschaften und Zustandsstrukturen 

maßgeblich von der Qualität der eingesetzten Parameterschätzverfahren ab. 

Werden Modellparameter zu ungenau bestimmt, so muss mit hohen Differenzen zwischen dem 

realen Funkkanal- und Modellverhalten gerechnet werden. Aus diesem Grunde ist der Disziplin 

der Parameterschätzung genauso viel Aufmerksamkeit entgegenzubringen, wie dem Design und 

der Entwicklung solcher Kanalmodelle. 

Liegt ein Funkkanal mit Erneuerungscharakter vor, so ist dieser bereits vollständig durch seine 

KFAV Fa c (a) definiert und charakterisiert. Die Komplexität derartiger Kanalmodelle ist gegenüber 

nicht-erneuernden Modellen deutlich reduziert. Entsprechend systematisch und einfach ist 

die Parameterschätzung durch statistische Anpassung an die KFAV Fa c (a) durchzuführen. Infolgedessen 

werden in der Praxis sehr häufig erneuernde Modelle eingesetzt, obwohl reale Funkkanäle 

größtenteils nicht-erneuernde Eigenschaften besitzen. Dieser Vorgehensweise ist jedoch 

entsprechende Skepsis entgegenzubringen. 

Nicht-erneuernde Modelle sind hingegen häufig nur mit größerem Aufwand zu parametrieren. 

Zur vollständigen Beschreibung der statistischen Abhängigkeit zwischen Fehlerabständen wird 

theoretisch die N dimensionale Verbunddichte für die verschiedenen zeitlichen Verschiebungen 

ν benötigt, welche jedoch aufgrund des Messaufwandes praktisch nicht erfasst werden kann. 

Abhilfe leistet an dieser Stelle die Autokorrelationsfunktion (vgl. Abschnitt 3.2.4) als Erwartungswert 

für die statistische Abhängigkeit von Fehlerabständen. 

Um die Besonderheiten von Parameterschätzverfahren untersuchen zu können, werden im 

Verlauf des Kapitels 5 praxisrelevante Methoden vorgestellt und diskutiert. In diesem Zusammenhang 

wird besonders auf die Anwendbarkeit der im Kapitel 4 vorgestellten digitalen Kanalmodelle 

eingegangen. Es handelt sich dabei um Parameterschätzverfahren, welche den nachfolgenden 

Kategorien zugeordnet werden können: 

• Statistische Anpassungsverfahren [17], [18], [52], [19], 

• Suchverfahren im Parameterraum [52], 

• Analytische Berechnungsmethoden [19], [52] und 

• Parameterschätzverfahren auf der Basis des Expectation-Modification (EM) Algorithmus 

[67] für HMMe, dem Baum-Welch Algorithmus [68], [69], [70]. 

55


5.1 Segmentierung charakteristischer Symbolfolgen 

Die Rückschlussfähigkeit von einer beobachteten Ausgabesymbolfolge auf die erzeugende 

Zustandsfolge ist bei HMMen nicht direkt gegeben, da in einem Zustand unterschiedliche 

Symbole emittiert werden können. Das führt dazu, dass es mitunter sehr umständlich bzw. 

schwierig ist, Übergangs- P und Ausgabematrizen B aus einer vorliegenden Ausgabesymbolfolge 

adäquat zu schätzen. Um dieses Problem lösen zu können, werden häufig Klassifikatoren 

definiert, auf deren Basis eine erfolgsversprechende Segmentierung der Ausgabesymbolfolgen 

trotzdem bewerkstelligt werden kann. Dies wiederum eröffnet die Möglichkeit, Parametersätze 

λ digitaler Kanalmodelle mit überschaubarem Aufwand zu schätzen. Dazu werden 

statistische Kenngrößen oder Verteilungen der Kanalmodelle durch die äquivalenten Statistiken 

(z.B. relative Häufigkeit → Erwartungswert) empirischer Kanalaufzeichnungen angenähert. Da 

mithilfe dieser Vorgehensweise eine effiziente Parameterschätzung realisierbar ist, findet sie in 

der Praxis (vgl. [17], [18], [22]) häufige Anwendung. Daher werden nachfolgend zwei klassische 

Repräsentanten dieser Verfahren vorgestellt. 

5.1.1 Segmentierung durch die Burst Length Sequence 

Willig [18] wandte in seiner Dissertation diese Methode u.a. zur empirischen Analyse und Modellierung 

von IEEE 802.11 basierenden, digitalen Funkkanälen in einer industrie-typischen 

Umgebung an. In dieser zeichnete er mit einem IEEE 802.11 kompatiblen Transceiver mehrere 

Kanalfehlerfolgen auf. Als Klassifikator wurde eigens die Kenngröße ”Burst Order” 

k 0 eingeführt, welche in fehlerfreie und -behaftete Bereiche aufteilt. k 0 gibt die minimale 

Anzahl an aufeinander folgenden fehlerfreien Stellen in an, welche zur Identifizierung eines 

fehlerfreien Bereichs notwendig sind. In Analogie kennzeichnet k 0 −1 die maximale Anzahl 

an aufeinander folgenden fehlerfreien Stellen, die in einem fehlerbehaftenen Bereich auftreten 

dürfen. Anhand von k 0 wird anschließend in die ”Burst Length Sequence” transformiert. 

Diese bezeichnet ein Sequenztripel, bestehend aus den Kenngrößen fehlerfreier Blocklängen u i , 

fehlerhafter Blocklängen v i sowie der Kanalfehleranzahl w i in den fehlerhaften Blöcken: 

u 1 ,v 1 ,w 1 u 2 ,v 2 ,w 2 ... u i ,v i ,w i . 

Die Sequenz wird als ”Error-free Burst 〈 Length 〉 Sequence” und als ”Error Burst 

Length Sequence” benannt. Die Verhältnisse wn 

v n 

wurden als ”Error Density Sequence” bezeichnet. 

Da sinngemäß mit einem guten Kanalzustand und mit dem schlechten assoziiert 

sind, ist diese Methode besonders gut für die Parameterschätzung von Modellen mit 

zwei Zuständen geeignet. Willig wandte diese Methoden u.a. zur Parameterschätzung für das 

GI-Modell an. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass keine Methode zur analytischen 

56

5.1 Segmentierung charakteristischer Symbolfolgen 

Bestimmung von k 0 abgeleitet wurde und somit nur intuitiv gewählt werden kann. Unter der 

Voraussetzung, dass die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit e b im Zustand B des GI-Modells mit 

dem arithmetischen Mittelwert der Error Density Sequence 

〈 

wn 

folgende Zuordnung getroffen: 

v n 

〉 

übereinstimmen soll, wurde 

e b ˙= ∑n i=1 w i 

∑ n i=1 v . (5.1) 

i 

1 1 

Die gleiche Methode wurde auf die mittleren Verweildauern 

1−p gg 

, 

1−p bb 

der Zustände G und 

B angewandt, welche durch die arithmetischen Mittelwerte von und geschätzt werden. 

Durch einfache Umformung der Terme ergeben sich in erster Näherung gute Schätzwerte 

für die ZÜWen p gg und p bb zu: 

p gg ˙= 1 − 

( 

1 

n 

n 

∑ 

i=1 

u i 

) −1 

und p bb ˙= 1 − 

( 

1 

n 

n 

∑ 

i=1 

v i 

) −1 

. (5.2) 

Das vorgestellte Verfahren kann auch auf digitale Kanalmodelle mit N Zuständen erweitert 

werden. Dabei ist zu beachten, dass u i und v i immer abwechselnd auftreten. Werden nun die Sequenzen 

und in feinere Intervalle unterteilt, so können mehrere Zustände sowohl den 

guten als auch den schlechten Kanalzustand (G und B) entsprechend granular modellieren. Da 

nur Zustandsübergänge zwischen Zuständen der Kategorien G ↔ B erlaubt sind, beschränkt sich 

jedoch die Anwendung der Methode auf digitale Kanalmodelle, bei denen die Übergangsmatrix 

P folgenden Aufbau aufweist: 

( ) 

0 P GB 

P = 

. (5.3) 

P BG 0 

Willig [18] bezeichnet Modelle mit dieser besonderen Form der Übergangsmatrix P als ”Bipartite”. 

Da diese Modelle jedoch periodisch HMMe darstellen, existieren keine stationären Zustandswahrscheinlichkeiten 

⃗π. Zum Teil verlieren infolgedessen die im Abschnitt 4.1 hergeleiteten 

Gleichungen ihre Gültigkeit. Aufgrund der Form von P und der damit verbundenen Flexibilitätseinschränkung 

werden Bipartite Modelle im Rahmen dieser Dissertation nicht weiter 

behandelt. 

5.1.2 Segmentierung der Fehlerabstände 

Ein ähnliches Verfahren wie das von Willig stellte McCullough in seiner Arbeit [22] vor. Im ersten 

Schritt sind dazu die empirisch aufgezeichneten Kanalfehlerfolgen in Fehlerabstandsfolgen 

umzuformen. Da bei dem MC-Modell nur Zustandsübergänge nach einem Fehler 

57


erfolgen können, was per Definition den Fehlerabständen a i entspricht, können die Modellparameter 

durch die relativen Häufigkeiten der Übergänge zwischen sukzessiven Fehlerabständen 

a i ↔ a i+1 geschätzt werden. Um die Komplexität eines MC-Modells überschaubar zu halten und 

nicht unnötig viele Zustände zu definieren, ist es zweckmäßig die Fehlerabstände a i in Kategorien 

zusammenzufassen, die jeweils durch einen separaten Zustand modelliert werden. In diesem 

Zusammenhang klassifizierte McCullough für sein Modell die Fehlerabstände a i in folgende 

drei Kategorien a (1) 

i − a (3) 

i : 

1. ”Burst Error Distances” : 1 ≤ a (1) 

i 

< 10 

2. ”Intermediate Error Distances” : 10 ≤ a (2) 

i 

< 10 3 

3. ”Random Error Distances” : 10 3 ≤ a (3) 

i . 

Die Übergangsmatrix P (1) kann durch die relativen Häufigkeiten der Übergänge zwischen 

den Fehlerabständen der zuvor definierten Kategorien a ( j) 

i → a (k) 

i+1 

mit j,k ∈{1,2,3} und i ∈ N 

geschätzt werden. Die Ausgabematrix B besitzt den Aufbau einer stochastischen 3 × 2 Matrix. 

Die entsprechenden Werte für die Ausgabewahrscheinlichkeit b j (2) eines Kanalfehlers e i = 1 

im Zustand j sind durch die Kehrwerte der arithmetischen Mittelwerte der Fehlerabstände a ( j) 

i 

anzunähern, die den einzelnen Zuständen zugeordnet sind (vgl. Zusammenhang Gl. (3.12)). Hingegen 

sind die relativen Häufigkeiten des Auftretens von Fehlerabständen a ( j) 

i der Kategorien j 

ein Schätzwert für die stationären Zustandswahrscheinlichkeiten η j . 

Die beiden vorgestellten Methoden zur Segmentierung charakteristischer Symbolfolgen setzen 

bestimmte strukturelle Aspekte und Eigenschaften der Modelle voraus, um einen offensichtlichen 

Zusammenhang zwischen der erzeugenden Zustandsfolge und einer Kanalfehlerfolge 

zur Parameterschätzung vorliegen zu haben und ausnutzen zu können. Als Beispiel sei 

an dieser Stelle die Bedingung beim MC-Modell zu nennen, dass ein Zustandsübergang nur 

nach dem Auftreten eines Fehlers erlaubt ist. Diese Einschränkung kann sich aber auch negativ 

auswirken und die Flexibilität eines Modells derart reduzieren, dass auf Maßnahmen, wie beispielsweise 

der Einführung weiterer Modellzustände, zur Kompensation zurückgegriffen werden 

müssen. Im gleichen Zuge erhöht sich dadurch die Modellkomplexität, sodass der notwendige 

Aufwand bei einer Parameterschätzung ebenfalls ansteigt. 

Ein weiteres Problem betrifft die realistische Auswahl von Klassifikatoren zur Segmentierung 

der Symbolfolgen. Hier fehlen analytische Verfahren, mit denen Klassifikatoren derart bestimmt 

werden können, dass von einer hinreichenden Übereinstimmung zwischen wichtigen Statistiken 

empirischer Symbolfolgen und denen des Modells ausgegangen werden kann. Stattdessen 

sind typische anzutreffende Vorgehensweisen ”Trial” und ”Error” Methoden. Darin wird durch 

Herantasten oder durch Suchverfahren versucht, die Differenzen zwischen den fundamentalen 

Statistiken der empirischen Symbolfolge und denen des Modells intuitiv zu minimieren. Dabei 

ist jedoch Vorsicht geboten, da i.d.R. kein optimaler Parametersatz gefunden wird und zudem 

58

5.2 Parameterschätzung durch Anwendung der Linearen Regression 

sehr hoher Rechenaufwand bei der Anwendung von Suchverfahren zu einem hohen zeitlichen 

Aufwand führen kann. 

Des Weiteren bleiben viele andere Statistiken bei dieser Art der Parameterschätzung unberücksichtigt. 

Um für diese Problematik Abhilfe zu schaffen, wurden Verfahren entwickelt, mit 

denen Parametersätze unter Berücksichtigung der minimalen Abweichungen zwischen wichtigen 

empirischen kanalbeschreibenden Verteilungen und denen der Kanalmodelle berechnet 

werden können. Zu diesen Verfahren gehören u.a. statistische Anpassungstests durch die Lineare 

Regression, welche ebenfalls in der Praxis weit verbreitet sind und daher im nachfolgenden 

Abschnitt 5.2 näher vorgestellt werden. 


Gilbert [19] schlug für sein Modell eine alternative und grafisch anschauliche Methode zur Parameterschätzung 

auf Basis der statistischen Anpassung durch die Lineare Regression vor. Diese 

ist anzuwenden auf die empirische KFAV Fa c (a) einer aufgezeichneten Fehlerabstandsfolge 

, um die KFAV Fa c (a) des GI-Modells möglichst gut und realistisch daran anzunähern. Die 

Anwendbarkeit der Linearen Regression begründet sich bei Markov-Modellen darin, dass deren 

Zustandsverweildauern geometrisch verteilt und demnach als Überlagerung von Exponentialfunktionen 

beschrieben werden können. In halblogarithmischer Darstellung können diese Exponentialfunktionen 

dann bereichsweise gut durch Geraden angenähert werden. Dabei kommt die 

Faustformel zum Einsatz, dass die Anzahl der Bereiche, in denen die KFAV Fa c (a) einen linearen 

Verlauf zeigt, in etwa der benötigten Anzahl an Zuständen zur realitätsgetreuen Nachbildung 

entspricht. Je mehr Geraden also zur adäquaten Annäherung an die KFAV Fa c (a) nötig sind, desto 

mehr Zustände sollte das zur Modellierung eingesetzte Markov-Modell besitzen. Bezogen 

auf das GI-Modell mit zwei Zuständen bedeutet dies, dass die KFAV Fa c (a) nur durch zwei Regressionsgeraden 

angenähert werden kann. Dabei schlug Gilbert [19] folgende Vorgehensweise 

vor: 

1. Zuerst den linearen Bereich der KFAV Fa c(a) für große Fehlerabstände a i durch eine Regressionsgerade 

annähern. Die Steigung a i der i-ten Regressionsgerade beträgt log 10 (J). 

Der Schnittpunkt b i mit der y-Achse liegt bei b i = log 10 (A). Durch Umformung der Gleichungen 

können die Parameter J und A der ersten Exponentialfunktion ermittelt werden. 

2. Nach Gleichung (4.33) fehlt nun noch der Parameter L zur vollständigen Parametrierung. 

Dieser kann entweder durch ein Suchverfahren (vgl. Abschnitt 5.4) oder durch eine weitere 

Regressionsgerade bestimmt werden. 

3. Anschließend können die Gleichungen (4.34) – (4.36) zur Berechnung der Modellparameter 

aus den Parametern A,J,L herangezogen werden. 

59


Die Abbildung 5.1 zeigt exemplarisch die Methode der Linearen Regression für das GI- 

Modell. 

Wie bereits eingangs erläutert, kann die Methode der Linearen Regression auch zur Bestimmung 

der Parameter eines FT-Modells verwendet werden, sobald dieses Erneuerungscharakter 

aufweist. Die Übergangsmatrix P muss demnach der Form aus Gleichung (4.41) entsprechen 

und nur einen Fehlerzustand besitzen. Für diesen Spezialfall vereinfacht sich die analytische 

Berechnung der KFAV Fa c (a) entsprechend der Gleichung (4.42). Die Menge der Regressionsgeraden 

wird beim Fritchman Modell durch die Anzahl fehlerfreier Zustände vorgegeben. 

Unter der Annahme, dass in einem Fritchman Modell mit N −1 fehlerfreien und einem fehlererzeugenden 

Zustand der Zustand 1 die langen und der Zustand N −1 die kurzen Fehlerabstände 

modelliert und aufeinander folgende Fehlerabstände positiv korreliert sind, gilt für die ZÜWen 

p ij (vgl. [52]): 

p 11 > p 22 > ···> p N−1N−1 und p N1 

In diesem Spezialfall können in halblogarithmischer Darstellung linear verlaufende Bereiche 

in der KFAV Fa c (a) jeweils durch einen eigenen Zustand charakterisiert werden. Da die Beiträge 

der restlichen Zustände für den Verlauf der KFAV Fa c (a) in diesem betrachteten Bereich 

durch die zuvor getroffene Annahmen (Gleichung (5.4)) entsprechend gering sind, können diese 

vernachlässigt werden. Demzufolge kann der Zusammenhang zwischen den Modellparametern 

eines FT-Modells und den Regressionsgeraden folgendermaßen vereinfacht werden zu: 

( 

) 

log 10 (Fa c(a)) = log 10 ∑ N−1 p Ni 

i=1 p ii 

· p a ii 

( ) 

≈ ∑ N−1 

i=1 log pNi 

10 p ii 

· p a ii 

( ) 

≈ ∑ N−1 

i=1 log pNi 

10 +a · log 10 (p ii ) 

p ii } {{ } 

} {{ } 

b i 

a i 

. 

(5.5) 

Zwischen der Steigung a i der i-ten Regressionsgerade und der ZÜWen p ii besteht nach Umformung 

von Gleichung (5.5) (rechte Summanden) folgender Zusammenhang: 

p ii = 10 a i 

. (5.6) 

Die ZÜWen p Ni können ebenfalls durch Umformung von Gleichung (5.5) (linke Summanden) 

mithilfe von p ii = 10 a i 

und den Schnittpunkten b i der y-Achse berechnet werden zu: 

p Ni = 10 a i+b i 

. (5.7) 

60


10 0 Die Anwendung der Linearen Regression bei dem Gilbert Modell 

0.6305 

0.3695 

a0 =15 

F c ms(a) =A · J a +(1− A) · L a 

Kanalaufzeichnung 

F a(a) c des Gilbert Modells 

=0.3695 · 0.96548 a +0.6305 · 0.59532 a 

10 −1 

10 −2 

KFAV F c a(a) 

Regressionsgerade fuer kleine a 

10 −3 

Regressionsgerade fuer grosse a 

10 −4 

J =10 log10(0.0003291)−log10(0.01103) 

200−100 ≈ 0.96548 

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 

Kanalfehlerabstand a 

Abbildung 5.1. Die Vorgehensweise zur Schätzung von Parametern für das GI-Modell durch 

Anwendung der Linearen Regression auf die KFAV F c a (a). 

61


Da es sich bei der Übergangsmatrix P bekanntlich um eine stochastische Matrix handelt, 

können die noch unbekannten ZÜWen p iN aus der Beziehung p iN = 1 − p ii berechnet werden. 

Es wird deutlich, dass die Lineare Regression auf die KFAV Fa c (a) ein elegantes Verfahren zur 

Parameterschätzung einiger Kanalmodelle darstellt. Da jedoch nur unabhängige und identisch 

verteilte Fehlerabstände vollständig durch deren Verteilung charakterisiert sind, eignet sich diese 

Methode primär nur zur Schätzung der Modellparameter erneuernder Kanäle bzw. Modelle. 

Die statistische Abhängigkeit benachbarter Fehlerabstände a i ↔ a i+1 kann durch die Lineare 

Regression jedoch nicht erfasst werden. Für diesen Fall sind weitere statistische Kenngrößen 

notwendig, wie beispielsweise die AKF R aa (ν). 

Des Weiteren setzt die Lineare Regression einen analytischen Rückschluss von dem Verlauf 

der KFAV Fa c (a) auf die Modellparameter voraus. Dessen Herleitung kann bereits bei einem 

Modell mit geringer Zustandsmenge äußerst komplex sein und ist nur mit sehr hohem Aufwand 

zu bewerkstelligen (vgl. [21] und [23]). Aus diesem Grund konzentriert sich in der Praxis die 

Anwendung der Linearen Regression prinzipiell nur auf erneuernde, digitale Kanalmodelle. 

5.3 Analytische Lösung der Rekursionsgleichungen 

Eine alternative Methode zur Parameterschätzung bietet die analytische Lösung der Rekursionsgleichungen 

zur Berechnung der Symbolblockdichte P(m,n,V k ) bzw. BFD P(m,n) (vgl. Abschnitt 

4.1.4). Da unendlich viele Symbolblockdichten und damit rekursive Berechungsgleichungen 

existieren, können die Modellparameter durch Lösen des resultierenden Gleichungssystems 

analytisch geschätzt werden. 

Bitó et al. [71] leitete ein solches Gleichungssystem für das GI-Modell ab und löste dieses 

nach den Modellparametern auf. Da das GI-Modell mit drei Parametern (e b , p gg , p bb ) vollständig 

beschrieben ist, werden drei verschiedene BFDen zur Berechnung benötigt. Dabei wurde auf 

die BFDen P(1,1) (Einfachfehler), P(2,2) (Doppelfehler) und P(1,3) zurückgegriffen. Für die 

Berechnung dieser sind die Gleichungen (4.25) rekursiv zu lösen. Nach Elliott [20] lauten die 

Berechnungsformeln für die gewählten BFDen des GI-Modells: 

P(1,1)=π b · e b = 

p gb 

p gb + p bg 

· e b , (5.8) 

P(2,2)=P(1,1) · e b · p bb = π b · e 2 b · p b (5.9) 


62

5.4 Suchverfahren im Parameterraum 

P(1,3)= e b · [π ] 

b · p bg · p gg + π g · p gb · p bg + π g · p gg · p gb 

+2 · e b · (1 − e b ) · [π ] 

b · p bg · p bb + π b · p bg · p gb + π g · p gb · p bb (5.10) 

+3 · e b · (1 − e b ) 2 · π b · p 2 bb . 

Durch Lösen des Gleichungssystems (5.8) - (5.10) ergeben sich die gesuchten Modellparameter 

p gg , p bb ,e b zu (vgl. [52], S.76): 

e b = P(1,1)2 · [−3 · P(1,1)+8 · P(2,2)+P(1,3)] − P(2,2) 2 · [3 · P(1,1)+2] 

P(1,1) 2 · [2 · P(1,1) − 3]+P(1,1) · [4 · P(2,2)+P(1,3)] − 3 · P(2,2) 2 , (5.11) 


p bb = 

P(2,2) 

P(1,1) · e b 

(5.12) 

p gg =(p bb − 1) · 

P(1,1) 

+ 1. (5.13) 

e b − P(1,1) 

Da die BFDe die statistische Abhängigkeit von Fehlerabständen a i mit erfasst (vgl. Abschnitt 

3.2.3), eignet sich dieses Verfahren auch zur Parameterschätzung nicht-erneuernder, digitaler 

Kanalmodelle. Je größer der Wert n für die BFDen P(m,n) gewählt wird, desto länger wird das 

Gedächtnis der Kanalfehlerfolge berücksichtigt. 

Soll diese Vorgehensweise für das GE-Modell adaptiert werden, so ist auf eine weitere Rekursionsgleichung 

zur Berechnung einer BFDe P(m,n) zurückzugreifen, um das Gleichungssystem 

mit nunmehr vier Unbekannten lösen zu können. Der Aufbau der Gleichung (5.11) lässt jedoch 

erwarten, dass die Komplexität zur Berechnung der Modellparameter exponentiell mit der Parameteranzahl 

ansteigt, da die Rekursionstiefe kontinuierlich mit jedem zusätzlichen Parameter 

erhöht wird. Aus diesem Grunde reduziert sich die praktische Anwendbarkeit dieses Parameterschätzverfahrens 

auf Modelle mit zwei bis drei Zuständen. 


Wünschenswert sind effiziente Parameterschätzverfahren, die analytische Methoden zur Bestimmung 

aller Modellparameter bieten, beispielsweise durch statistische Anpassungstests. Praktisch 

ist dies leider nur in Einzelfällen bzw. unter stark vereinfachenden Modellannahmen zu realisieren. 

Deshalb ist es i.d.R. unvermeidbar, einige (vgl. Abschnitt 5.2 - Gilbert Modell) oder 

im ”Worst Case” alle Modellparameter durch Suchverfahren im Parameterraum bestimmen zu 

63


lassen. Diese sind jedoch häufig sehr rechen- und damit zeitintensiv. Die Funktionsweise der 

Suchverfahren ist folgendermaßen zu umschreiben: 

Mit einer vordefinierten Parametergenauigkeit (z.B. 10 −4 ) werden für sämtliche mögliche Parametersätze 

λ i iterativ ausgewählte Modellstatistiken berechnet und später die Differenz zwischen 

den realen Kanal- und Modellstatistiken ermittelt. Umfasst der Parametersatz λ i genau k 

Parameter, so definiert k den Freiheitsgrad des Modells und damit den verbundenen Rechenaufwand 

bei der Parametersuche. 

Wie gut nun die Modell- mit den Kanalstatistiken übereinstimmen, wird durch Kriteriumsfunktionen 

Kr (λ i ) quantisiert. In der Praxis wird dazu häufig eine Wahrscheinlichkeitsdichte 

f es (x) der empirisch gemessenen Kanalstatistik mit den entsprechenden Modellstatistiken 

f ms (x,λ i ), die von den Varianten der Parametersätze λ i abhängen, ins Verhältnis gesetzt. Der 

Parametersatz λ x mit der geringsten Differenz zwischen Modell- und Kanalstatistik stellt ein 

globales Minimum im betrachteten Parameterraum dar und kann quasi als optimal betrachtet 

werden. Je nachdem welche Wertebereiche der Statistiken von Interesse sind, besteht die Möglichkeit 

Kriteriumsfunktionen Kr (·) zu entwickeln, die diese Bereiche stärker gewichten als 

andere, z.B. für Randbereiche. Infolgedessen definiert die Kriteriumsfunktion Kr (·) die Berechnungsvorschrift 

für die Differenz zwischen Modell- und Kanalstatistik. 

Sehr weit verbreitet ist die Kriteriumsfunktion Kr 1 (·) der minimalen quadratischen Fehlersumme 

(Least Mean Square). Diese gewichtet gleichmäßig alle Wahrscheinlichkeiten. Jedoch 

zeigt Kr 1 (·) Schwächen in der Randbereichsannäherung (Tail Approximation), da Klassen mit 

sehr niedrigen Wahrscheinlichkeitswerten einen geringeren Beitrag zur Fehlersumme liefern als 

welche mit höheren. Für diesen Fall besteht jedoch die Möglichkeit, die Kriteriumsfunktion 

Kr 1 (·) durch Logarithmierung (Kr 2 (·)) derart zu modifizieren, dass geringe Wahrscheinlichkeiten 

stärker in die Fehlersumme einfließen. In der Praxis (vgl. [52]) werden häufig die nachfolgenden 

drei Kriteriumsfunktionen zur Berechnung der Fehlersummen angewandt: 

Kr 1 (λ i )=∑[ f es (x) − f ms (x,λ i )] 2 (5.14) 

x 

[ 

Kr 3 (λ i )=∑ arcsin 

x 

Kr 2 (λ i )=∑[log 10 ( f es (x)) − log 10 ( f ms (x,λ i ))] 2 (5.15) 

x 

(2 · Fc 

) ( 

)] 

es(x) 

Fes(0) c − 1 − arcsin 2 · Fc ms(x,λ i ) 2 

Fms(0,λ c i ) − 1 . (5.16) 

Eine noch bessere Annäherung an Randbereiche erlaubt die Kriteriumsfunktion Kr 3 (·), welche 

anstelle einer Dichtefunktion f x (x), die entsprechende komplementäre Verteilungsfunktion 

Fx c (x) linear im Intervall [−1,1] abbildet und anschließend eine zum Ursprung nichtlineare 

Transformation durchführt (vgl. [52], S. 63). 

64


Da der Rechenaufwand für Suchverfahren nicht unerheblich ist, muss die Parametergenauigkeit 

rational gewählt werden. Bitó [52] versuchte den Rechenaufwand durch die iterative Anwendung 

der Suchverfahren zu reduzieren. Sukzessive wurde der Parameterraum, quasi nach 

dem Prinzip der Binären Suche, in kleinere Bereiche unterteilt, in denen mit immer höherer Parametergenauigkeit 

nach lokalen Minima gesucht wird. Ist ein lokales Minimum gefunden, so 

wird um dieses ein kleinerer Bereich erschlossen, in dem mit höherer Genauigkeit erneut nach 

einem lokalen Minimum gesucht wird. Nach einer ausreichenden Iterationstiefe wird die Suche 

abgebrochen; ein ”quasi” optimaler Parametersatz λ i scheint gefunden. Jedoch besteht bei dieser 

Methode die Gefahr, dass Bereiche, in denen sich globale Minima befinden, aufgrund der initial 

geringen Parametergenauigkeit und der daraus resultierenden ”Löchrigkeit” des Parameterraums 

übergangen und nicht erkannt werden. 

Eine weitere Diskussion betrifft die Auswahl einer geeigneten Kriteriumsfunktion Kr (·). Bitó 

beurteilte die Qualität der Kriteriumsfunktionen anhand der Kolmogorov-Distanz D: 

D := max{|F es (x) − F ms (x)|} (5.17) 

Dabei stellte er fest, dass die unter Kr 3 (·) (Gleichung (5.16)) ermittelten Parametersätze λ x für 

die untersuchten empirischen KFAV Fa c (a) zu den geringsten Kolomogorov-Distanzen führten 

(vgl. [52], Tab. 5.1 und 5.2), wobei der Vorteil gegenüber den anderen beiden Kriteriumsfunktionen 

Kr 1 (·) und Kr 2 (·) nur geringfügig war. Von einer Allgemeingültigkeit sollte demzufolge 

nicht ausgegangen werden. 

Des Weiteren sind für die Modellierung von Funkkanälen deren Statistiken an die der Modelle 

derart anzupassen, dass praktisch relevante Bereiche besser angenähert sind als weniger 

bedeutsame. Soll beispielsweise der Prozessgewinn eines (7,4) Hamming-Codes durch ein Modell 

untersucht werden, so interessiert zu dessen Evaluierung primär die BFDe P(m,7). BFDen 

für n > 7 sind dagegen weniger informativ. Daher ist es zweckmäßig, die Anpassung zwischen 

Kanal- und Modellstatistiken in diesen relevanten Bereichen mit größerer Sorgfalt durchzuführen 

als in vernachlässigbaren Bereichen. Infolgedessen ist immer zwischen der Notwendigkeit 

einer Anpassung im vollständigen Deutungsbereich oder der anwendungsspezifischen Bereichsanpassung 

abzuwägen. 

Da die Komplexität von Kr 3 (·) gegenüber den anderen beiden Kriteriumsfunktionen größer 

ist und der Vorteil der Randbereichsannäherung nicht unbedingt den Rechenmehraufwand während 

einer Suche rechtfertigt, sollten die Kriteriumsfunktionen Kr 1 (·) und Kr 2 (·) entgegen Bitó 

weiterhin als aussichtsreiche Kandidaten gehandelt werden. 

65


5.5 Der Baum-Welch Algorithmus 

Die Identifikation von global optimalen Parametersätzen λ durch Suchverfahren ist mit derart 

hohem Rechenaufwand verbunden, dass die praktische Relevanz nur bei HMMen mit geringer 

Zustandsmenge noch gegeben ist. Für komplexere HMM-Strukturen können jedoch lokal optimierende 

Algorithmen als Alternative zu den Suchverfahren eingesetzt werden. Diese stellen 

anschaulich einen Kompromiss zwischen Rechenaufwand und adäquater Schätzung von Parametersätzen 

λ dar. Repräsentanten lokal maximierender Algorithmen sind zum einen der Baum- 

Welch (BW) Algorithmus [25], [72], [26] und zum anderem das Gradienten-Verfahren [73]. Aufgrund 

vergleichbarer Leistungsfähigkeit zwischen BW-Algorithmus und Gradienten-Verfahren 

beschränkt sich diese Arbeit auf die Behandlung des BW-Algorithmuses. Die Entscheidung wurde 

aufgrund der Verfügbarkeit leistungsfähiger Softwarebibliotheken für den Umgang mit dem 

BW-Algorithmus getroffen, in Form der freien Hidden Markov Model Toolbox von Murphy 

[74]. 

Der BW-Algorithmus stellt eine Realisierung des Expectation-Modification (EM) Algorithmus 

für HMMe [67], [75] dar. Im Gegensatz zu den vorgestellten Methoden, welche Modell- an 

reale Kanalstatistiken anpassen oder den Parameterraum quasi vollständig durchsuchen, berechnet 

und maximiert der BW-Algorithmus iterativ nach Maximum-Likelihood (ML) die Wahrscheinlichkeiten, 

dass HMMe unter bestimmten Parametersätzen λ i beobachtete Symbolfolgen 

erzeugt haben. 

Der Parametersatz λ = {⃗π (0) ,P,B} eines HMMs besteht, wie bereits im Abschnitt 4.1 vorgestellt, 

aus dem Tripel Anfangsverteilung ⃗π (0) , Übergangsmatrix P und Ausgabematrix B. Die 

Arbeitsweise des BW-Algorithmuses kann funktional so beschrieben werden, dass basierend auf 

einem anfänglichen initialen Parametersatz λ 0 die Wahrscheinlichkeit Pr ( | λ 0 ) für die Produktion 

einer Symbolfolge errechnet wird. Während dieser Berechnung wird festgehalten, 

wie oft Übergänge zwischen Zuständen erfolgten und wie häufig Ausgabesymbole in den Zuständen 

emittiert wurden. Im nächsten Schritt wird der Parametersatz λ 1 derart neu berechnet, 

dass häufiger benutzte Zustandsübergänge und Ausgabesymbole höhere Wahrscheinlichkeiten 

zugewiesen werden als weniger benutzte. Nach dieser Neuanpassung wird die Produktionswahrscheinlichkeit 

Pr ( | λ 1 ) für die Symbolfolge neu berechnet. Diese sollte nun 

einen höheren Wert: 

Pr ( | λ 0 ) ≤ Pr ( | λ 1 ) (5.18) 

aufweisen. Das HMM ist somit besser angepasst als zuvor. Diese beiden Schritte werden 

anschließend so oft wiederholt, bis sich entweder die Produktionswahrscheinlichkeit für eine 

Symbolfolge nur noch unwesentlich ändert und die Konvergenzschwelle k thres unterschritten 

wurde oder eine zuvor festgelegte Anzahl an Iterationen i max bereits durchlaufen wurde. 

66


Ausführlichere Abhandlungen über die Berechnung der Konvergenzschwelle k thres durch Anwendung 

der Log-Likelihood Funktion oder der Kullback-Leibler Divergenz können den Werken 

[67] und [76] entnommen werden. 

Die Maximierung der Produktionswahrscheinlichkeit eines HMMs für eine Symbolfolge 

lautet formal: 

arg max 

λ 

Pr ( | λ). (5.19) 

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beobachtete Symbolfolge = {o 1 ,o 2 ,...,o T } der Länge 

T von einem HMM erzeugt wurde, stellt für den BW-Algorithmus eine fundamentale Größe 

dar. Unter Berücksichtigung aller möglichen Zustandsfolgen = {x 1 ,x 2 ,...,x T } der Länge 

T kann die Produktionswahrscheinlichkeit Pr ( | λ) als Summation aller Einzelwahrscheinlichkeiten 

für diese Symbolfolge berechnet werden: 

Pr ( | λ) = Pr ( | ∩ λ) · Pr ( | λ) 

= ∑ π x (0) 

1 

· b x1 (o 1 ) · ∏ 

T 

p xi−1 x i · b xi (o i ). 

 

i=2 

(5.20) 

entspricht der Anfangswahrscheinlichkeit eines Zustands x 1 zum Zeitpunkt t = 1. Die 

Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand x i zum Zeitpunkt t = i das Symbol o i emittiert, wird mit 

b xi (o i ) bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeiten der Zustandsübergänge von x i−1 → x i definieren 

bekanntlich die Elemente p xi−1 x i 

der Übergangsmatrix P. 

π (0) 

x 1 

Die Berechnung der Produktionswahrscheinlichkeit Pr ( | λ) über alle möglichen Zustandsfolgen 

nach Gleichung (5.20) ist sehr rechenintensiv und benötigt für eine Symbolfolge 

der Länge T genau N T · 2T Multiplikationen (vgl. [67]). Da die komplette Neuberechnung 

der Gleichung (5.20) für jede mögliche Zustandsfolge sehr aufwändig ist, wird statt 

dessen schrittweise die Gesamtwahrscheinlichkeit errechnet und abgespeichert, dass zu einem 

Zeitpunkt t bei bisher gesehener Symbolfolge {o 1 ,o 2 ,...,o t } der Zustand S j erreicht wird. Auf 

diese Weise reduziert sich die Berechnung derart, dass die Wahrscheinlichkeiten eines Zustandes 

nur einmalig zu bestimmen sind. Diese Form der schrittweisen Berechnung der Produktionswahrscheinlichkeiten 

wird mit Vorwärtsprozedur (Forward Procedure) bezeichnet und im 

nachfolgenden Abschnitt näher erläutert. 

5.5.1 Vorwärtsprozeduren 

In der Vorwärtsprozedur werden zuerst die Vorwärtswahrscheinlichkeiten α t ( j) berechnet. Diese 

geben die Gesamtwahrscheinlichkeit an, dass zum Zeitpunkt t der Zustand S j erreicht wird und 

die bisher betrachtete Symbolfolge {o 1 ,o 2 ,...,o t } ist. 

67


α t ( j)=Pr ({o 1 ,o 2 ,...,o t }∩x t = S j | λ) (5.21) 

Die Vorwärtswahrscheinlichkeiten α t ( j) können rekursiv wie folgt berechnet werden. Zunächst 

erfolgt eine Initialisierung, indem die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet wird, dass 

der Zustand S j im ersten Schritt erreicht wird und das Symbol o 1 emittiert wurde. N entspricht 

der Zustandsmenge des HMMs. 

α 1 ( j)=π (0) 

j · b j (o 1 ), 1 ≤ j ≤ N (5.22) 

Anschließend wird iterativ die Gesamtwahrscheinlichkeit α t+1 ( j) des Erreichens von Zustand 

S j zum Zeitpunkt t + 1 und der Ausgabe des Symbols o t+1 berechnet, wobei bisher die Symbolfolge 

{o 1 ,o 2 ,...,o t } beobachtet wurde. Das wiederum entspricht der Summe aus den Produkten 

aller Vorwärtswahrscheinlichkeiten α t (i) zum Zeitpunkt t und den Übergangswahrscheinlichkeiten 

p ij , um in den Zustand S j zum Zeitpunkt t + 1 zu gelangen und anschließend das Symbol 

o t+1 auszugeben. 

α t+1 ( j)= 

( N∑ 

i=1α t (i) · p ij 

) 

b j (o t+1 ), 

1 ≤ j ≤ N, 

1 ≤ t ≤ T − 1 

(5.23) 

Die Gesamtproduktionswahrscheinlichkeit Pr ( | λ) der Symbolfolge entspricht der 

Summe aller Vorwärtswahrscheinlichkeiten α T ( j) zum Zeitpunkt T: 

Pr ( | λ)= 

N 

∑ 

j=1 

α T ( j). (5.24) 

Durch die Anwendung der Vorwärtsprozedur und der damit verbundenen iterativen Berechnung 

der Vorwärtswahrscheinlichkeiten werden nur noch N 2 ·T Rechenoperationen zur Berechnung 

der Produktionswahrscheinlichkeit benötigt (vgl. [67], S. 263). 

5.5.2 Rückwärtsprozeduren 

Als alternative Methode zur Bestimmung von Pr ( | λ) sowie zu dessen Maximierung, ist 

zusätzlich die Rückwärtsprozedur (Backward Procedure) anzuwenden. Anstelle der Vorwärtswahrscheinlichkeiten 

α t ( j) berechnet die Rückwärtsprozedur als Hilfsgrößen die Rückwärtswahrscheinlichkeiten 

β t (i), welche folgendermaßen definiert sind: 

β t (i)=Pr ({o t+1 ,o t+2 ,...,o T }|x t = S i ∩ λ) (5.25) 

68


Obwohl mit den Vorwärtswahrscheinlichkeiten α t ( j) Hilfsgrößen existieren, mit denen die 

Wahrscheinlichkeit Pr ( | λ) vollständig berechnet werden kann, sind die Rückwärtswahrscheinlichkeiten 

β t (i) für die Maximierung von Pr ( | λ) von großer Bedeutung. Die Initialisierung 

der Rückwärtswahrscheinlichkeiten β t (i) erfolgt durch: 

β T (i)=1, 1 ≤ i ≤ N (5.26) 

Die iterativen Berechnungen der Rückwärtswahrscheinlichkeiten β t (i) sind folgendermaßen 

durchzuführen. 

β t (i)= 

N 

∑ p ij· b j (o t+1 ) · β t+1 ( j), 

j=1 

1 ≤ i ≤ N, 

1 ≤ t ≤ T − 1 

(5.27) 

Schlussendlich kann der Vollständigkeit halber die Produktionswahrscheinlichkeit Pr ( | λ) 

durch die Rückwärtswahrscheinlichkeiten β 1 (i) zum Zeitpunkt 1 berechnet werden zu: 

Pr ( | λ)= 

N 

∑ 

j=1 

β 1 ( j). (5.28) 

5.5.3 Lokale Maximierung der Produktionswahrscheinlichkeit 

Nachdem die formalen Definitionen der Vorwärts- α t ( j) und Rückwärtswahrscheinlichkeiten 

β t (i) vorgestellt sind, wird in diesem Abschnitt die eigentliche Funktionsweise des BW- 

Algorithmus, die lokale Maximierung der Produktionswahrscheinlichkeit nach Gleichung (5.19), 

formal beschrieben. Dazu wird als Rechengröße die Wahrscheinlichkeit ξ t (i, j) eingeführt, dass 

sich ein HMM zum Zeitpunkt t im Zustand S i und im darauf folgenden Zeitpunkt t + 1im 

Zustand S j befindet, unter der Bedingung der beobachteten Symbolfolge . ξ t (i, j) ist folgendermaßen 

definiert: 

ξ t (i, j)=Pr (x t = S i ∩ x t+1 = S j | ∩ λ) (5.29) 

Die Wahrscheinlichkeit ξ t (i, j) kann unter Verwendung der Vorwärts- α t (i) und Rückwärtswahrscheinlichkeiten 

β t ( j) und durch Anwendung des Bay’schen Satzes berechnet werden zu: 

69


ξ t (i, j)= Pr (x t = S i ∩ x t+1 = S j ∩ | λ) 

Pr ( | λ) 

= α t(i) · p ij· b j (o t+1 ) · β t+1 ( j) 

Pr ( | λ) 

α t (i) · p ij· b j (o t+1 ) · β t+1 ( j) 

= 

N 

∑ 

i=1 

N 

∑ 

j=1 


(5.30) 

Zusätzlich wird die Hilfsgröße γ t (i) eingeführt, die der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass 

der Zustand S i zum Zeitpunkt t eingenommen wird unter der Voraussetzung, dass die betrachtete 

Symbolfolge ist. 

γ t (i)=Pr (x t = S i | ∩ λ)= 

N 

∑ 

j=1 

ξ t (i, j) (5.31) 

Werden die Wahrscheinlichkeiten γ t (i) über die Zeitpunkte t aufsummiert ( ∑t=1 T−1 γ t(i) ) ,so 

ergibt sich ein Wert, der als Häufigkeit aller Transitionen vom Zustand S i interpretiert werden 

kann. In analoger Weise beschreibt die Summation von ξ t (i, j) über die Zeitpunkte t 

( 

∑ 

T−1 

t=1 ξ t(i, j) ) die Anzahl der Übergänge von dem Zustand S i nach S j . Aus den Hilfsgrößen 

γ t ( j) und ξ t (i, j) können nun neue Parametersätze ¯λ i berechnet werden. 

Die Häufigkeit der Einnahme des Zustandes S i zum Zeitpunkt t = 1 kann aus γ 1 ( j) einfach 

berechnet werden zu: 

¯π (0) 

i = γ 1 (i)= α 1(i) · β 1 (i) 

T 

∑ 

t=1 

. (5.32) 

α t (i) · β t (i) 

Die neuen Übergangswahrscheinlichkeiten ¯p ij werden aus dem Verhältnis der Anzahl an 

Übergängen vom Zustand S i nach S j und aller Übergänge aus S i heraus berechnet: 

¯p ij = 

T−1 

∑ 

t=1 

ξ t (i, j) 

= 

T−1 

∑ γ t (i) 

t=1 

T−1 

∑ 

t=1 


. (5.33) 

T−1 

∑ α t (i) · β t (i) 

t=1 

Die neuen Ausgabewahrscheinlichkeiten ¯b j (k) berechnen sich aus dem Verhältnis zwischen 

der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Zustand S j , wobei das Symbol o t = V k ausgegeben wurde, 

und der Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Zustand S j bei beliebiger Symbolausgabe o t : 

70


¯b j (k)= 

T 

∑ γ t ( j) 

t=1 

o t =V k 

T 

∑ γ t ( j) 

t=1 

T 

∑ α t ( j) · β t ( j) 

t=1 

o t =V k 

= 

. (5.34) 

T 

∑ α t ( j) · β t ( j) 

t=1 

Der iterativ neu berechnete Parametersatz ¯λ = { ¯ ⃗π (0) , ¯P, ¯B} erfüllt nun die Eigenschaft: 

Pr ( | λ) ≤ Pr ( | ¯λ). (5.35) 

In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass der BW-Algorithmus die Produktionswahrscheinlichkeit 

Pr ( | λ) lokal maximiert. Da die Optimierungsoberfläche i.d.R. sehr komplex 

ist und viele lokale Maxima existieren, besteht die Gefahr, dass der BW-Algorithmus 

gegen einen ungünstigen Parametersatz λ konvergiert, dessen Produktionswahrscheinlichkeit 

Pr ( | λ) nur einen geringen Wert aufweist. Aus diesem Grunde ist die systematische Schätzung 

eines initialen Parametersatzes λ 0 für eine adäquate Parameteroptimierung von außerordentlicher 

Bedeutung. Dabei sollte versucht werden, λ 0 so zu wählen, dass die Parameter möglichst 

in der Nähe eines globalen Maximums in der Optimierungsoberfläche liegen. 

Um dieser Problematik Abhilfe zu schaffen, sollte nach Möglichkeit bei der Konstruktion 

des HMMs ein ersichtlicher Zusammenhang zwischen einer beobachteten Symbol- und 

der erzeugenden Zustandsfolge hergestellt werden. Auf diese Weise kann eine Segmentierung 

der beobachteten Symbolfolge realisiert werden. Die entsprechenden relativen Häufigkeiten 

für Übergänge zwischen den Segmenten, dem Auftreten einzelner Segmente und der 

Ausgabe der Symbole o i in den Segmenten können als adäquate Schätzwerte für die initialen 

Parameter eines HMMs prinzipiell genutzt werden. Eine Garantie für einen durch diese Methode 

bestimmten ”optimalen” Parametersatz λ kann jedoch nicht gewährleistet werden. Daher 

liegt es nahe, zur Validierung der Qualität eines Parametersatzes λ auf entsprechende statistische 

Hypothesentests zurückzugreifen. 


Das aktuelle Kapitel verdeutlicht die Existenz einer großen Anzahl unterschiedlicher Methoden 

zur Parameterschätzung diskreter Kanalmodelle. Auch bei diesen Schätzverfahren wird die Notwendigkeit 

hervorgehoben, die Kategorie (erneuernd/nicht-erneuernd) eines gemessenen Funkkanals 

vor dessen Modellierung erfolgreich zu identifizieren. 

Zeigt ein gemessener Funkkanal erneuernde Eigenschaften, so ist dieser durch seine empirische 

komplementäre Fehlerabstandsverteilung Fa c (a) vollständig beschrieben. Die Modellierung 

derartiger Kanäle kann prinzipiell gut mit dem Fritchman Modell in vereinfachter Form (vgl. 

71


Gleichung (4.41)) oder dem Gilbert Modell erfolgen. Für diese Fälle liegt es nahe, die Parameterschätzung 

mit Hilfe der Linearen Regression auf die komplementäre Fehlerabstandverteilung 

Fa c (a) (vgl. Abschnitt 5.2) systematisch und effizient durchzuführen. 

Weist der Kanal jedoch statistisch abhängige Fehlerabstände (nicht-erneuernd) auf, so reicht 

Fa c (a) alleine nicht mehr zur vollständigen Definition des zugrunde liegenden erzeugenden Prozesses 

{A t } aus. Demzufolge müssen diskrete Modelle zur Modellierung von nicht-erneuernden 

Kanälen komplexere Strukturen in den Übergangs- P und Ausgabematrizen B aufweisen, sodass 

auch die statistische Abhängigkeit der Fehlerabstände gut und natürlich reell nachgebildet 

werden kann. Verfahren wie die statistische Anpassung durch Lineare Regression sind an dieser 

Stelle nicht mehr ausreichend. Stattdessen sind entweder Suchverfahren im Parameterraum 

(vgl. Abschnitt 5.4), soweit die Zustandsmenge eines Modells überschaubar klein ist, anzuwenden 

oder aber auf lokal optimierende Algorithmen zurückzugreifen, wie der bereits vorgestellte 

BW-Algorithmus (vgl. Abschnitt 5.5). 

Da eine erfolgreiche Anwendung des BW-Algorithmuses stark von der Schätzung eines initialen 

Parametersatzes λ 0 abhängt, sollte die Bestimmung von λ 0 unter besonderer Aufmerksamkeit 

und nicht einfach nur zufällig durchgeführt werden. Nach Möglichkeit sollten Gesetzmäßigkeiten 

und Eigenschaften der zu modellierenden Symbole (z.B. Fehlerfolgen) durch die Struktur 

eines HMMs widergespiegelt werden. Demzufolge kann erreicht werden, dass eine Rückschlussfähigkeit 

zwischen einer beobachteten Symbolfolge und der generierenden Zustandsfolge 

quasi möglich ist, da gezielt und in der Natur der Sache adäquat segmentiert werden 

kann (vgl. Abschnitt 5.1). 

72

6 Empirische Analyse und Klassifikation digitaler Funkkanäle 

Das Kapitel 6 beschreibt die empirisch statistische Analyse diskreter Funkkanäle unter industrietypischen 

Bedingungen. Dazu wird einleitend im ersten Abschnitt der zur Kanalaufzeichnung 

verwendete Messaufbau vorgestellt und erklärt, wie die zur Kanalaufzeichnung benötigten 

Funksysteme der WPAN-Technologien IEEE 802.15.1, IEEE 802.15.4 und nanoNET dort integriert 

sind. Da diese Funktechnologien paketweise Daten übertragen, wird im Abschnitt 6.2 

auf die Problematiken bei der ausschnittsweisen Aufzeichnung von Kanalfehlern e i aufmerksam 

gemacht und die sich daraus ergebenden Besonderheiten bei der Berechnung statistischer 

Kanalkenngrößen erläutert. Infolgedessen werden formale Korrekturen für die Berechnungsgleichungen 

der FKF R ee (ν), FAKR aa (ν) und KFAV Fa c (a) vorgestellt. 

Im Abschnitt 6.3 wird kurz auf die Randbedingungen der experimentellen Kanalaufzeichnungen 

eingegangen und die dazu hinzugezogenen Funksysteme vorgestellt. Ausführliche Informationen 

über die definierten Messszenarien können dem Anhang entnommen werden. Im Anschluss 

daran werden Untersuchungsergebnisse zur Beurteilung der Gedächtnisbehaftung und 

des Erneuerungsverhaltens der aufgezeichneten Funkkanäle vorgestellt und diskutiert. Inwieweit 

diese Erkenntnisse sich auf die Anwendbarkeit der im Kapitel 4 eingeführten Kanalmodelle 

auswirken, ist Inhalt des Abschnitts 6.6. 

Ähnliche Untersuchungen werden auch im Abschnitt 6.7 präsentiert, in dem anstelle von Kanalfehlern 

nun das Paketverhalten empirisch analysiert wird. Schwerpunktmäßig zählt dazu die 

Beurteilung der statistischen Abhängigkeit zwischen den auftretenden Paketereignissen. Aus 

diesen Erkenntnissen heraus werden wiederum etablierte Modelle auf ihre Anwendbarkeit zur 

Simulation des gemessenen Paketverhaltens untersucht und anschließend beurteilt. 

Den Abschluss dieses Kapitels bildet wiederum eine Kapitelzusammenfassung mit den essentiellen 

Bestandteilen der empirischen Untersuchungen und davon abgeleiteten Schlussfolgerungen 

bezogen auf die Anwendbarkeit etablierter Kanalmodelle. 

6.1 Topologie und Funktion des Analyseframeworks 

Für die Aufzeichnung der Funkkanäle wurde eigens ein Analyseframework [77] entwickelt, an 

dem die zur Aufzeichnung benötigten Funksysteme anzuschließen sind. Die Struktur des Frameworks 

ist in der Abbildung 6.1 dargestellt. Sie besteht aus drei Einheiten, die über ein Ethernetbasierendes 

TCP/IP Netzwerk zuverlässig miteinander verbunden sind. Die Zusammenstellung 

73


der zu sendenden Testdatenpakete und die Auswertung und Archivierung der empfangenen übernimmt 

der Evaluation Controller (EC). Um statistische Abhängigkeiten bereits während der Erzeugung 

der Testdaten zu vermeiden, nutzt dieser einen Bernoulli Generator. Über die beiden 

TCP/IP Schnittstellen erfolgt die Anbindung der Funkadapter (FA) an den EC. Erst an den FA 

werden die Funksysteme, beispielsweise per UART/RS-232 Schnittstelle, angeschlossen. 

Die FA besitzen folgende zwei Aufgaben: 

Einerseits erlauben die FA eine Anbindung der Funksysteme an den EC für größere Entfernungen, 

bei denen eine direkte Verbindung der Funksysteme an den EC über UART/RS-232 

Schnittstellen nicht mehr möglich ist. Der Aufbau von Messszenarien in denen Abstände 100 m 

und mehr betragen können, ist damit realisierbar. Andererseits fungieren die FA als Hostrechner 

für die Bearbeitung der notwendigen Protokollstackfunktionalität, wie diese beispielsweise bei 

der Funktechnologie IEEE 802.15.1/BT für dessen Betrieb Voraussetzung ist. 

Obwohl die Struktur des Analyseframeworks im Gegensatz zu denen anderer Arbeiten (vgl. 

[18]) topologisch komplexer ist, ermöglicht sie eine vollständige Erfassung des Paketübertragungsverhaltens 

und der Kanalfehler in exakter zeitlicher Historie. Damit können neben fehlerfreien 

und -haften Datenpaketen auch statistische Analysen über verlorene Datenpakete realisiert 

werden, welche insbesondere für Funksysteme charakteristisch sind. Alternative topologische 

Strukturen für das Analyseframework ohne Rückkanal implizieren eine Zeitsynchronisation 

zwischen dem sendenden und empfangenden Funksystem, um verlorene Datenpakete 

ebenfalls registrieren zu können. Der damit verbundene größere Realisierungsaufwand stellte 

diesbezüglich die Entscheidungsgrundlage für die Variante des Analyseframeworks mit dem 

Rückkanal dar. 

Der funktionale Ablauf während einer Kanalaufzeichnung kann wie folgt beschrieben werden: 

Der EC erzeugt mithilfe des Bernoulli Generators eine unkorrelierte Testdatenfolge , 

x i ∈{0,1}. Diese teilt der EC in i Datenblöcke {x m ,...,x m+ j } der Länge j mit i, j,m ∈ N ein. 

In definierten zeitlichen Abständen t 0 überträgt der EC diese Blöcke zu dem FA, an dem das 

sendende Funksystem angeschlossen ist. Der FA nimmt wiederum die zugesendeten Blöcke entgegen 

und bettet sie in das Nutzdatenfeld der Datenpakete auf der Physikalischen Schicht ein. 

Anschließend werden diese Datenpakete übertragen und auf der Funkstrecke mit diversen Störungen 

überlagert, die durch die Kanalfehlerfolge (vgl. Abbildung 3.6) beschrieben sind. 

Auf Seiten des empfangenden Funksystems treffen daher zum Teil modifizierte Datenblöcke 

{y m ,...,y m+ j } ein. Diese werden nun vom empfangenden Funksystem an den angeschlossenen 

FA übertragen, der diese direkt an den EC weiterleitet. Durch Exklusiv-ODER Verknüpfung 

zwischen {x m ,...x m+ j } und {y m ,...,y m+ j } berechnet der EC im Anschluss daran Ausschnitte 

{e m ,...,e m+ j } aus der vollständigen Kanalfehlerfolge , welche zur Kanalfehlermatrix E 

zusammengesetzt und anschließend in einer Datenbank archiviert werden. 

74

6.2 Besonderheiten der paketorientierten Kanalanalyse 

Abbildung 6.1. Die funktionale und topologische Struktur des zur Funkkanalaufzeichnung verwendeten 

Analyseframeworks. 

Jede Zeile der Matrix E entspricht einem Ausschnitt der Länge j aus der durch den Kanalfehlerprozess 

{E t } erzeugten vollständigen Kanalfehlerfolge . Wurden m Datenpakete 

übertragen und empfangen, so besitzt E folgenden Aufbau: 

⎛ 

⎞ 

e 11 e 12 ··· e 1 j 

e 

E = 

21 e 22 ··· e 2 j 

⎜ . 

⎝ . . .. ⎟ . ⎠ . (6.1) 

e m1 e m2 ··· e mj 


Die Abbildung 6.2 hebt hervor, dass paketorientiert übertragende Funktechnologien nur die Ermittlung 

von Ausschnitten aus der vollständigen Kanalfehlerfolge erlauben. Es stellt sich 

daher die Frage, ob die in der Praxis häufig anzutreffende Vorgehensweise der Zusammenführung 

aufgezeichneter Kanalfehlerausschnitte {e m ,...,e m+ j } zu einer neuen Folge (vgl. Abschnitt 

6.1, [17], [78]) für eine statistische Analyse der ursprünglichen Kanalfehlerfolge 

überhaupt geeignet ist. Sicherlich vereinfachen sich durch diese Maßnahme die statistischen 

75


Abbildung 6.2. Die Aufzeichnung der Kanalfehlermatrix E aus der vollständigen Kanalfehlerfolge 

 

Analysen der Kanalkenngrößen, vermutlich jedoch mit dem Nachteil, dass signifikante Differenzen 

zwischen der ursprünglichen und ausschnittsweise zusammengesetzten Kanalfehlerfolge 

vorliegen werden. 

Zur Beurteilung dieser wichtigen Fragestellung wurde auf der Basis des GE-Modells eine 

Kanalfehlerfolge mit bekanntem Parametersatz λ = {⃗π (0) ,P,B}: 

( ) ( 

) 

0,95 0,05 0,999 0,001 

P = 

,B = 

0,01 0,99 0,5 0,5 

und ⃗π (0) = ⃗π (6.2) 

erzeugt und empirisch die KFAV Fa c (a) und FKF R ee (ν) daraus berechnet. Anschließend wurden 

aus der erzeugten Kanalfehlerfolge iterativ in zufällig gewählten Abständen Ausschnitte 

einer Breite von 50 Symbolen entnommen, die anschließend zu einer modifizierten Kanalfehlerfolge 

zusammengeführt wurden. Nachdem aus die statistischen Kenngrößen KFAV 

Fa c (a) und FKF R ee (ν) ebenfalls empirisch bestimmt wurden, erfolgte eine Gegenüberstellung 

dieser (vgl. Abbildung 6.3). 

Die in der Abbildung 6.3 dargestellten Verläufe der KFAV Fa c (a) und FKF R ee (ν) deuten 

darauf hin, dass die statistischen Eigenschaften paketweise aufgezeichneter Ausschnitte aus der 

ursprünglichen Kanalfehlerfolge , die anschließend wieder zusammengeführt wurden, mitunter 

deutlich von denen der ursprünglichen Kanalfehlerfolge divergieren. Dies wiederum führt 

dazu, dass die FKF R ee (ν) mitunter geringe Korrelationskoeffizienten beinhaltet, sodass auf 

statistisch unabhängige Kanalfehler geschlossen wird. Infolgedessen kann es passieren, dass ein 

Funkkanal als gedächtnislos eingestuft wird, obwohl er es gar nicht ist. Besonders stark kommen 

diese Abweichungen bei Datenpaketen zum Tragen, deren Länge kleiner als die Korrelationsdauer 

D k eines digitalen Funkkanals ist. Um dennoch empirische Statistiken (z.B. KFAV Fa c(a), 

FKF R ee (ν)) berechnen zu können, mit denen Modellparameter adäquat zu schätzen sind, ist es 

76


KFAV F c a(a) 

10 −1 

10 −2 

10 −3 

10 −4 

10 −5 


10 0 Fehlerabstand a 

Urspruengliche Kanalfehlerfolge 

Zusammengesetzte Kanalfehlerfolge 

FKF Ree(ν) 

0.14 

0.12 

0.1 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 

0 


Urspruengliche Kanalfehlerfolge 

Zusammengesetzte Kanalfehlerfolge 

10 −6 

0 20 40 60 80 100 

−0.02 

0 20 40 60 80 100 


Abbildung 6.3. Auswirkungen der paketweisen Kanalaufzeichnung auf die empirische Bestimmung 

der KFAV F c a (a) und FKF R ee(ν). 

notwendig, den Einfluss der Paketorientierung durch formale Korrekturen an den analytischen 

Berechnungsgleichungen der Statistiken zu berücksichtigen. 

6.2.1 Korrelationsanalyse 

Demzufolge sind Korrelationsanalysen, wie diese zur Beurteilung der Gedächtnisbehaftung und 

des Erneuerungsverhaltens herangezogen werden, ausschließlich auf die zur Kanalaufzeichnung 

verwendeten Datenpaketlängen j zu beschränken. Aussagen über Korrelationskoeffizienten für 

Verschiebungen ν > j − 1 sind nicht möglich. Daher darf die FKF R ee (ν) maximal nur bis zur 

Verschiebung ν = j − 1 paketintern berechnet werden. Eine paketübergreifende Kalkulation der 

FKF R ee (ν) würde, wie zuvor beschrieben, falsche Ergebnisse liefern. Dabei ist zu beachten, 

dass die Anzahl der auswertbaren Zufallsvariablen zur Berechnung der Korrelationskoeffizienten 

n = m·( j−ν) beträgt, sobald m× j die Dimension der Fehlermatrix E ist. Um dies formal zu 

berücksichtigen, ist zur Relativierung der Kovarianz der Korrekturterm m · ( j − ν) anzuwenden. 

Die ursprüngliche FKF R ee (ν) nach Bravais-Pearson berechnet sich nunmehr zu: 

R ee (ν) ≈ 

m · j 

m · ( j − ν) · ∑m i=1 ∑ j−ν 

k=1 (e ik − ē) · (e i(k+ν) − ē) 

∑ m i=1 ∑ j k=1 (e . (6.3) 

ik − ē) 2 

Noch stärker wirkt sich die Problematik auf die Analyse der statistischen Bindung zwischen 

Fehlerabständen aus, die ebenfalls nur paketintern behandelt werden dürfen. Mitunter ist die Anzahl 

mit einem Datenpaket aufgezeichneter Fehlerabstände a i derart gering, dass die FAK R aa (ν) 

ausschließlich für kleine Verschiebungen (ν < 10) überhaupt berechnet werden können. Hinzu 

kommt die variable Anzahl an aufgezeichneten Fehlerabständen pro Datenpaket, deren Einfluss 

bei der Relativierung der Kovarianz ebenfalls berücksichtigt werden muss. Die Abspeicherung 

der Fehlerabstände erfolgt daher wiederum in Form einer Matrix. In der Fehlerabstandsmatrix 

77


A werden die auswertbaren Fehlerabstände a ij in der Fehlerabstandsmatrix A der Dimension 

m × ( j − 1) zusammengefasst. Es können somit maximal j − 1 Fehlerabstände in einer Zeile 

auftreten. 

⎛ 

⎞ 

a 11 a 12 ··· a 1 j−1 

a 

A = 

21 a 22 ··· a 2 j−1 

⎜ . 

⎝ . . .. ⎟ . ⎠ . (6.4) 

a m1 a m2 ··· a mj−1 

Alle Elemente in A, für die gilt a id = 0, kennzeichnen ungültige Fehlerabstände, die von der 

Berechnung der AKF R aa (ν) auszuschließen sind. Ebenso wie die Zeilen i in A, in denen nur 

das erste Element a i1 > 0 und alle restlichen a id = 0 für d ∈{2,..., j − 1} sind, da diese keinen 

Beitrag zu R aa (ν) liefern. Unter Berücksichtigung dieser Umstände berechnet sich die FAK 

R aa (ν) durch: 

R aa (ν) ≈ g(0) 

g(ν) · ∑m i=1 ∑ g i−ν 

k=1 (a ik − ā) · (a i(k+ν) − ā) 

∑ m i=1 ∑ g i 

k=1 (a ik − ā) 2 . (6.5) 

Zur besseren Handhabbarkeit wurde die Hilfsgröße g i := max{d | a id > 0} mit a id ∈ N eingeführt, 

welche den letzten Spaltenindex der i-ten Zeile angibt, für den a id > 0 ist und somit den 

Wert eines regulären Fehlerabstands enthält. Die g i ’s dienen demzufolge als Abbruchbedingung 

für die Berechnung der Zeilensumme in Gleichung (6.5). Des Weiteren werden die g i ’s für die 

Berechnung der von ν abhängigen Anzahl g(ν) an Fehlerabständen a id verwendet, die einen 

Beitrag zu R aa (ν) leisten: 

g(ν)= 

m 

∑ 

i=1 

max{0,g i − ν}. (6.6) 

Da auch die Signifikanzschwelle s a (ν) von der Anzahl vorliegender Fehlerabstände und demnach 

von ν abhängt, kann diese unter Verwendung von g(ν) folgendermaßen berechnet werden: 

s a (ν)= 2 √ 

g(ν) 

. (6.7) 

6.2.2 Komplementäre Fehlerabstandsverteilung 

Neben der Korrelationsanalyse wirkt sich die ausschnittsweise Kanalaufzeichnung auch auf die 

Berechnung der KFAV Fa c (a) aus. Dies begründet sich einerseits darin, dass Fehlerabstände nicht 

erfasst werden können, welche die zur Kanalaufzeichnung verwendete Paketlänge n überschreiten. 

Andererseits reduziert sich die Wahrscheinlichkeit von ausschnittsweise aufgezeichneten 

78


Fehlerabständen stetig, je größer diese werden. Erfolgt eine Kanalaufzeichnung mit einem Datenpaket 

der Länge n = 100, so können maximal 99 Fehlerabstände der Klasse a = 1 erfasst 

werden. Für den allgemeinen Fall reduziert sich die Erfassungswahrscheinlichkeit für Fehlerabstände 

der Klasse a i = a, die von einem Datenpaket der Länge n aufgezeichnet werden können, 

um den Faktor m = n−a 

n 

für a,n ∈ N und a ≥ n. Demnach reduziert sich die Wahrscheinlichkeit 

von Fehlerabständen a i der Klasse a = 99, die mit einer Datenpaketlänge von n = 100 

erfasst wurden, genau um den Faktor 1 

100 

. Zur Verdeutlichung dieses Zusammenhangs zeigt die 

Abbildung 6.4 den Verlauf der KFAV Fa c(a) einer unendlichen Kanalfehlerfolge , die mithilfe 

eines GE-Modells (Parametersatz aus Gleichung (6.2)) generiert wurde. Im Vergleich dazu 

wurde demgegenüber der Verlauf einer ausschnittsweisen (a)KFAV ˜F a c (a) dargestellt, die aus 

einer zusammengesetzten Fehlerabstandfolge aus Ausschnitten der unendlichen Kanalfehlerfolge 

berechnet wurde. Die Breite der Ausschnitte betrug n = 100 Symbole, wobei sich 

zwischen den Ausschnitten ebenfalls 100 Symbole befanden. 


10 0 Kanalfehlerabstand a 

10 −1 

Unendliche Kanalfehlerfolge 

Zusammengesetzte Kanalfehlerfolge < ẽ n > 

10 −2 

KFAV F c a (a) 

10 −3 

10 −4 

10 −5 

10 −6 

10 −7 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 

Abbildung 6.4. Die Auswirkung der ausschnittsweisen Kanalaufzeichnung auf die empirische 

Berechnung der KFAV F c a (a). 

Um diese Eigenschaft formal für die Berechnung der aKFAV Fa c (a) zu berücksichtigen, ist 

die Fehlerabstandsdichte (FAD) f a (a) der unendlichen Fehlerabstandsfolge erst einmal 

mit dem nachfolgenden Korrekturterm zu multiplizieren: 

h(a)= f a (a) · n − a 

n 

für a ∈{1,...,n − 1}. (6.8) 

In der Hilfsgröße h(a) sind nunmehr die Wahrscheinlichkeiten für paketüberschreitende Fehlerabstandsklassen 

a ≥ n immer null. Zusätzlich wurden die Wahrscheinlichkeiten für paketinterne 

Fehlerabstandsklassen a < n entsprechend ihrer Erfassungsmöglichkeit um den Korrek- 

79


turfaktor m reduziert. Demnach handelt es sich bei der Hilfsgröße h(a) nun nicht mehr um 

eine klassische Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, da die Eigenschaft∑ a h(a)=1 nicht erfüllt 

ist. Um diese Eigenschaft jedoch wieder herzustellen, sind die fehlenden Wahrscheinlichkeiten 

1 − ∑ n−1 

a=1 

h(a) verhältnismäßig auf die verbleibenden h(a)’s zu übertragen, woraus sich die 

ausschnittsweise (a)FAD ˜f a (a) ergibt: 

˜f a (a)= 

h(a) 

∑ n−1 

(6.9) 

a=1 

h(a). 

Wie die Abbildung 6.4 verdeutlicht, wirkt sich demzufolge die ausschnittsweise Kanalaufzeichnung 

auf das Parameterschätzverfahren der Linearen Regression aus. Erfolgt eine Annäherung 

des Verlaufs der KFAV Fa c (a), die auf Basis einer aufgezeichneten Fehlerabstandsmatrix 

A errechnet wurde, durch Regressionsgeraden, so werden zwangsläufig Parametersätze λ geschätzt, 

die den erzeugenden FAP {A t } nicht realistisch charakterisieren. Um diese Abweichungen 

zu minimieren, ist es jedoch in Anlehnung an die Korrekturterme (6.8) und (6.9) möglich, 

die nachfolgenden inverse Korrekturterme (6.10) und (6.11) anzuwenden: 

g(a)= ˜f a (a) · 

n 

n − a 

für a ∈{1,...,n − 1}. (6.10) 

Die folgende Normierung führt nunmehr annähernd zu der ursprünglichen FAD f a (a): 

f a (a)= 

g(a) 

∑ n−1 

(6.11) 

a=1 

g(a), 

jedoch ohne die Wahrscheinlichkeiten von paketüberschreitenden Fehlerabstandklassen a ≥ n 

zu berücksichtigen, da diese nicht quantisierbar sind. In diesem Zusammenhang gilt jedoch, dass 

je geringer die Kanalfehlerraten BER der aufgezeichneten Kanäle sind, desto größer werden die 

Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von großen Fehlerabständen, die durchaus auch die Datenpaketgrenzen 

überschreiten (a ≥ n). In gleicher Weise impliziert der Zusammenhang, dass 

für ansteigende Kanalfehlerraten BER die Wahrscheinlichkeit für große Fehlerabstände immer 

geringer wird, bis diese letztendlich in geringer Größenordnung liegt und die Vernachlässigung 

paketüberschreitender Fehlerabstände bei der statistischen Beschreibung des FAPs {A t } nicht zu 

signifikanten Abweichungen zu den empirischen Kanalstatistiken führt. Um diese Eigenschaft 

positiv bei der Modellierung von Kanalfehlern auszunutzen, ist es zweckmäßig, den FAP {A t } 

und den KFP {E t } ausschließlich zur generativen Charakterisierung der Kanalfehlermustern 

fehlerhafter Datenpakete zu verwenden, ohne die zwischenzeitlich aufgetretenen fehlerfreien 

Datenpakete mit zu berücksichtigen. Somit erhöht sich die Kanalfehlerrate BER der zu modellierenden 

Kanäle während gleichzeitig die Häufigkeit paketüberschreitender Fehlerabstandsklassen 

a ≥ n abnimmt, sodass diese nur einen vernachlässigbaren Beitrag zur Berechnung der 

KFAV Fa c (a) liefern und eine generelle Anwendbarkeit der Linearen Regression gewahrt bleibt. 

80


Um diesen Zusammenhang praktisch zu verdeutlichen, wurde aus der Kanalaufzeichnung 

(Messszenario MH-40m, Funksystem Mitsumi WML-C20) die aKFAV ˜F a c (a) ausschließlich 

aus fehlerhaften Datenpaketen errechnet und darauf direkt die Lineare Regression zur Schätzung 

eines Parametersatzes λ 1 für das GI-Modell angewandt. Der ermittelte Parametersatz λ 1 lautet: 

( 

) ( 

) 

0,96065 0,03935 

1 0 

P = 

, B = 

0,081 0,919 

0,72929 0,27071 

und ⃗π (0) = ⃗π. (6.12) 

Darüber hinaus wurde die aKFAV ˜F a c (a) durch die Gleichungen (6.10) und (6.11) korrigiert 

und in die aKFAV ˆF a c (a) überführt. Ein anschließende Lineare Regression auf die aKFAV ˆF a c (a) 

ergab für das GI-Modell den Parametersatz λ 2 : 

( 

) ( 

) 

0,97297 0,02703 

1 0 

P = 

, B = 

0,06574 0,93426 0,77076 0,22924 


Die grafischen Verläufe der aKFAV ˜F a c (a) (schwarze Kurve) und deren korrigierte Version 

aKFAV ˆF a c (a) (blaue Kurve) sowie die beiden KFAV Fa c (a) (rote und grüne Kurve), die aus den 

zuvor geschätzten Parametersätzen λ 1 und λ 2 für das GI-Modell berechnet wurden, können der 

Abbildung 6.5 entnommen werden. Darin wird deutlich, dass die Wahrscheinlichkeitswerte für 

größere Fehlerabstandsklassen durch die Korrekturterme (6.10) und (6.11) angehoben wurden. 

In wieweit die Anwendung der Korrekturterme eine Verbesserung bei der Parameterschätzung 

für das GI-Modell hervorruft, wird deutlich in der Abbildung 6.6 präsentiert. Dafür wurden die 

KFAVen Fa c (a) aus den Parametersätzen λ 1 und λ 2 nach Gleichung (4.24) berechnet und durch 

Anwendung der Korrekturterme (6.8) und (6.9) in die KFAVen ˜F a c (a) überführt. In der grafischen 

Gegenüberstellung (vgl. Abbildung 6.6) zeigte sich eine gute Übereinstimmung zwischen der 

aKFAV ˜F a c (a) (schwarze Kurve) des aufgezeichneten Funkkanals und der mit dem Parametersatz 

λ 2 berechneten und korrigierten aKFAV ˜F a c (a) (grüne Kurve). Im Gegensatz dazu divergierte der 

Verlauf der mit dem Parametersatz λ 1 berechneten aKFAV ˜F a c (a) (rote Kurve) recht deutlich von 

der Kanalaufzeichnung, was die Notwendigkeit der Korrekturterme (6.8) – (6.11) rechtfertigt. 

81


10 −1 

Mitsumi WML-C20 - MH-40m 

Urspruengliche Kanalaufzeichnung 

GI-Modell, PS: λ 1 

Korrigierte Kanalaufzeichnung 



(a)KFAV F c a(a) 

10 −2 

10 −3 

10 −4 

0 50 100 150 200 250 

Abbildung 6.5. Die Verläufe der aKFAV ˜F a c (a) einer Kanalaufzeichnung und deren korrigierte 

Version ˆF a c (a) sowie die KFAVen Fa c (a), die aus den beiden Parametersätzen λ 1 und λ 2 berechnet 

wurden. 



10 −1 

Urspruengliche Kanalaufzeichnung 



aKFAV ˜F c a(a) 

10 −2 

10 −3 

10 −4 

0 50 100 150 200 250 

Abbildung 6.6. Gegenüberstellung der aus den Parametersätzen λ 1 und λ 2 berechneten aKFAVen 

˜F c a (a) mit der des aufgezeichneten Funkkanals. 

82

6.3 Aufzeichnung digitaler Funkkanäle unter industriellen Ausbreitungsbedingungen 

6.3 Aufzeichnung digitaler Funkkanäle unter industriellen 

Ausbreitungsbedingungen 

Für die Untersuchung der im Kapitel 4 vorgestellten digitalen Kanalmodelle sowie die dazugehörigen 

Parameterschätzverfahren wurden in dieser Dissertation experimentelle Kanalaufzeichnungen 

durchgeführt. Um möglichst allgemeingültige Erkenntnisse zu erlangen, wurde 

auf WPAN-Funktechnologien mit unterschiedlichen Übertragungseigenschaften zurückgegriffen, 

die als aussichtsreiche Kandidaten für den Einsatz in industriellen Anwendungen in Frage 

kommen. Dabei handelt es sich um die in Kapitel 2 vorgestellten WPAN-Funktechnologien IE- 

EE 802.15.1, IEEE 802.15.4 und nanoNET, die durch die nachfolgenden Funksysteme repräsentiert 

wurden: 

1. IEEE 802.15.1 → Mitsumi WML-C20 

2. IEEE 802.15.4 → Freescale MC 13192-EVB 

3. nanoNET → Panasonic PAN 5460. 

Für die Gewährleistung möglichst einheitlicher experimenteller Bedingungen mit der Zielsetzung 

vergleichbarer Ergebnisse zwischen den WPAN-Funksystemen wurde neben der Verwendung 

gleicher Sende- und Empfangsantennen mit nahezu isotropen Abstrahlcharakter die 

Sendeleistung auf 0 dBm (1 mW) festgesetzt. Detaillierte Informationen über die verwendeten 

Funksysteme und die Durchführung der Sendeleistungseinstellung können dem Anhang A 

entnommen werden. 

Um die Experimente möglichst industrienah auszulegen, wurden die Kanalaufzeichnungen in 

zwei industrie-typischen Umgebungen realisiert. Es handelte sich um ein Hochregallager (HRL) 

und eine klassische Maschinenhalle (MH) (vgl. Anhang B), worin mehrere unterschiedliche stationäre 

und mobile Kanalaufzeichnungen durchgeführt wurden. Mithilfe der unterschiedlichen 

Aufzeichnungen sollte möglichst ein breites Spektrum unterschiedlicher, digitaler Funkkanäle 

erfasst werden, um generische Erkenntnisse über die notwendigen Eigenschaften von digitalen 

Kanalmodellen zu erlangen. Die Definition des Begriffs ”industrielle Ausbreitungsbedingung” 

impliziert die folgenden Umgebungseigenschaften und Merkmale: 

• Keine direkte Sichtverbindung (NLOS) zwischen Sender und Empfänger 

• Hoher metallischer Umgebungsgehalt, beispielsweise durch diverse Maschinen 

• Viele streuende Gegenstände, z.B. metallische Gitterprofile 

• Stark bewegtes Umfeld durch umherlaufende Personen und Fahrzeuge 

• Mobile Sender und Empfänger, die z.B. in Flurförderfahrzeuge integriert sind 

83


Die genaue Definition der einzelnen Messszenarien kann dem Abschnitt C des Anhangs entnommen 

werden. Die statistischen Ergebnisse der empirischen Kanalaufzeichnungen in Form 

der Bitfehler-, Paketfehler- und Paketverlustverhältnisse sind tabellarisch im Abschnitt D des 

Anhangs zusammengefasst. Neben der eigentlichen Zielsetzung der Analyse aufgezeichneter 

digitaler Funkkanäle, der Bewertung wissenschaftlich etablierter digitaler Kanalmodelle sowie 

die Identifizierung notwendiger Eigenschaften können die statistischen Ergebnisse durchaus zur 

Leistungsbewertung der hier behandelten WPAN-Funksysteme herangezogen werden. 

6.4 Die Analyse der Gedächtnisbehaftung digitaler Funkkanäle 

Für die Analyse und Charakterisierung digitaler Funkkanäle ist zuallererst die Beurteilung der 

Gedächtnisausprägung von großem Interesse. Aufgrund der Funkkanaleigenschaften (vgl. Abschnitt 

3.1.2) wird davon ausgegangen, dass Kanalfehler gebündelt auftreten und eine statistische 

Bindung in ihren Positionen aufweisen. Als Beurteilungsmaß der Gedächtnisbehaftung 

wird die FKF R ee (ν) unter Berücksichtigung der im Abschnitt 6.2.1 formulierten Modifikationen 

herangezogen. Die FKF R ee (ν) wird in dieser Analyse ausschließlich aus fehlerhaften 

Datenpaketen E := {e ij | ∑e ij > 0} berechnet. Als Indikator für eine vorliegende Gedächtnisbehaftung 

wird der im Abschnitt 6.2.1 vorgestellte Signifikanztest entsprechend der Glei- 

j 

chung (3.40) hinzugezogen. Überschreitet die FKF R ee (ν) für nur ein ν die Signifikanzschwelle 

s e (ν) = √ , so ist mit einer Restunsicherheit von 5 % nicht mehr von statistischer 

m·( j−ν) 

2 

Unabhängigkeit auszugehen. Vorüberlegungen in Bezug auf den Verlauf der FKF R ee (ν) lassen 

erwarten, dass deren Wert proportional zu den Signalbandbreiten B s der Funktechnologien 

ist (R ee (ν) ∝ B s ). Demnach sollte die statistische Abhängigkeit zwischen Kanalfehlern in 

Datenpaketen der WPAN-Funktechnologie IEEE 802.15.1 am höchsten sein, gefolgt von den 

WPAN-Funktechnologien IEEE 802.15.4 und nanoNET in entsprechender Reihenfolge. Zur 

Veranschaulichung wurden in der Abbildung 6.7 exemplarisch die FKFen R ee (ν) der WPAN- 

Funksysteme für das Messszenario MH-40m sowie die Signifikanzschwellen s (rote Kurven) 

dargestellt. Zur Gegenüberstellung wurde die empirische FKF R ee (ν) eines gedächtnislosen 

BSC-Kanals ebenfalls abgebildet. 

Aus den Verläufen der FKFen R ee (ν), aufgezeichnet mit den schmalbandigen WPAN-Funktechnologien 

IEEE 802.15.1 und IEEE 802.15.4, wird ersichtlich, dass Kanalfehler insbesondere 

für geringe Verschiebungen ν = {1,...,5} relativ hohe Korrelationswerte in Höhe von 0,3 – 

0,4 aufweisen. Erwartungsgemäß zeigen die Verläufe eine ausgeprägte Gedächtnisbehaftung an, 

welche jedoch besonders bei den IEEE 802.15.4 basierenden Funkkanälen für größer werdende 

Verschiebungen ν schnell abfallen. Funkkanäle der IEEE 802.15.1 hingegen behalten nach einer 

kurzen Abklingphase eine nahezu gleich bleibende statistische Abhängigkeit bis zu einer maximalen 

Verschiebung von ν = 239. Eine zuverlässige physikalische Deutung dieses Phänomen 

kann nicht gegeben werden. Jedoch wird vermutet, dass eine systematische Ursache diesem 

84

6.4 Die Analyse der Gedächtnisbehaftung digitaler Funkkanäle 

0.01 

Gedaechtnisloser BSC-Kanal 

0.3 


0.25 

0.005 

Signifikanzschwellen: ± s(ν) 

0.2 

FKF Ree(ν) 

0 

FKF Ree(ν) 

0.15 

0.1 

−0.005 

0.05 

0 

FKF Ree(ν) 

−0.01 

0 50 100 150 200 250 


Freescale MC 13192-EVB – MH-40m 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

−0.1 

0 200 400 600 800 


FKF Ree(ν) 

−0.05 

0 50 100 150 200 250 


Panasonic PAN 5460 - MH-40m 

0.03 

0.02 

0.01 

0 

−0.01 

−0.02 

−0.03 

0 200 400 600 800 

Verschiebungen (Lag) ν 

Abbildung 6.7. Die FKFen R ee (ν) für das stationäre Messszenario MH-40m sowie die FKF 

R ee (ν) eines gedächtnislosen BSC-Kanals zum Vergleich. 

Phänomen zugrunde liegt, welche dem Bereich des Bitstream Processings im Basisband entspringt. 

Beispielsweise hervorgerufen durch das Data Whitening, in dem die Informationsdaten 

pseudo-zufällig mithilfe eines rückgekoppelten Schieberegisters derart permutiert werden, dass 

keine langen Folgen von Nullen und Einsen mehr auftreten und eine exaktere Synchronisation 

möglich wird. In Übereinstimmung mit der zuvor getroffenen Vorüberlegung ist die Gedächtnisausprägung 

von nanoNET-basierenden Funkkanälen mit mehr als einer Größenordnung deutlich 

geringer gegenüber den anderen beiden WPAN-Funktechnologien. In grober Näherung könnten 

diese durch gedächtnislose BSC-Kanalmodelle modelliert werden. Wird jedoch streng anhand 

des Signifikanztests entschieden, ob nanoNET-basierende Funkkanäle gedächtnisbehaftet sind 

oder nicht, so sind die Werte der FKFen R ee (ν) noch immer zu hoch, um von statistisch unabhängigen 

Kanalfehlern auszugehen, insbesondere für Verschiebungen ν < 400. 

Nachdem die Gedächtnisbehaftung stationärer Funkkanäle untersucht wurde, stellt sich die 

Frage, inwieweit eine Eigenbewegung der WPAN-Funksysteme und damit der Einfluss der 

Dopplerverbreiterung D s sich auf die FKFen R ee (ν) auswirkt. Zur Beantwortung dieser Fragestellung 

wurden die FKFen R ee (ν) des mobilen Messszenarios MH-RAND (Maximalgeschwindigkeit 

des Empfängers: v max = 1 m s ) errechnet und in der Abbildung 6.8 dargestellt. 85


0.15 

Mitsumi WML-C20 – MH-RAND 

0.5 

Freescale MC 13192-EVB – MH-RAND 

0.4 

FKF Ree(ν) 

0.1 

0.05 

0 

FKF Ree(ν) 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

−0.1 

−0.05 

0 50 100 150 200 250 


0.06 

Panasonic PAN 5460 – MH-RAND 

−0.2 

0 200 400 600 800 


0.04 

FKF Ree(ν) 

0.02 

0 

−0.02 

−0.04 

−0.06 

0 200 400 600 800 


Abbildung 6.8. Die FKFen R ee (ν) für das mobile Messszenario MH-RAND sowie die FKF 

R ee (ν) eines gedächtnislosen BSC-Kanals zum Vergleich. 

Während die mit dem Funksystem Mitsumi WML-C20 aufgezeichnete FKF R ee (ν) geringere 

Korrelationskoeffizienten enthält, weist die FKF R ee (ν) des Funksystems Panasonic PAN 5460 

minimal höhere Werte auf. Die FKF R ee (ν) des mit dem Funksystem Freescale MC 13192-EVB 

ermittelten digitalen Funkkanals unterscheidet sich zu dem stationären Szenario MH-40m nur 

unwesentlich. Als abschließende Erkenntnis kann festgehalten werden, dass sich die Verläufe der 

FKF R ee (ν), aufgezeichnet in mobilen Szenarien, nicht wesentlich von den stationären Szenarien 

unterscheiden. Zur besseren Übersicht wurden in der nachfolgenden Tabelle 6.1 alle statistischen 

Kenngrößen zur Beurteilung der Gedächtnisbehaftung zusammengefasst. 

Aus der Tabelle 6.1 wird ersichtlich, dass die geringste Gedächtnisbehaftung das WPAN- 

Funksystem Panasonic PAN 5460 im Messszenario MH-40m mit einem maximalen Korrelationskoeffizienten 

von max{|R ee (ν)| |ν ∈ N} ≈0,01 aufwies. Die Ursache für die geringe Gedächtnisbehaftung 

lag in der hohen Systembandbreite der WPAN-Funktechnologie nanoNET 

von B s = 64 MHz, die deutlich größer als die Kohärenzbandbreite B c von Funkkanälen im 2,4 

GHz Frequenzbereich und demnach unempfindlicher gegenüber dessen Schwundverhalten ist. 

Da zusätzlich die Symboldauer T s größer als die Kohärenzzeit T c typischer 2,4 GHz Funkkanäle 

ist, sind nanoNET-basierende Funkkanäle als nicht-zeitselektiv einzustufen mit frequenzdi- 

86

6.5 Analyse des Erneuerungsverhaltens digitaler Funkkanäle 

Tabelle 6.1. Kenngrößen zur Beurteilung der Gedächtnisbehaftung der aufgezeichneten, digitalen 

Funkkanäle. 

Messszenario R ee (0) max {R ee (ν) | ν ∈ N} ē Gedächtnisbehaftet 

Mitsumi WML C-20 

HRL-4m 0,25565 0,16688 1,3073 · 10 −2 √ 

HRL-6m 0093743 0,05648 6,4216 · 10 −3 √ 

HRL-RAND 0,31355 0,57257 2,9265 · 10 −2 √ 

MH-10m 0,28356 0,34555 1,5696 · 10 −2 √ 

MH-20m 0,35795 0,28359 7,0778 · 10 −2 √ 

MH-30m 0,28901 0,21632 2,0132 · 10 −2 √ 

MH-40m 0,35096 0,27028 5,0739 · 10 −2 √ 

MH-RAND 0,24419 0,14158 2,19 · 10 −2 √ 

Freescale MC 13192-EVB 

MH-30m 0,54514 0,40772 9,8835 · 10 −3 √ 

MH-40m 0,54796 0,39259 4,6095 · 10 −3 √ 

MH-RAND 0,52341 0,39763 1,5915 · 10 −2 √ 

Panasonic PAN 5460 

MH-40m 5,1254 · 10 −3 9,5547 · 10 −3 2,4927 · 10 −3 √ 

MH-RAND 2,307 · 10 −3 5,3981 · 10 −2 8,6863 · 10 −3 √ 

versitärem Charakter. Unter Berücksichtung des Signifikanztests ist jedoch davon auszugehen, 

dass auch nanoNET-basierende, digitale Funkkanäle gedächtnisbehaftet sind. Abschließend ist 

festzuhalten, dass in keinem Messszenario alle Korrelationskoeffizienten der FKF R ee (ν) die 

berechneten Signifikanzschwellen s(ν) unterschreiten konnten. Demzufolge reicht wie erwartet 

ein BSC-Kanalmodell zur Modellierung derartiger Funkkanäle nicht aus. 


Nachdem festgestellt wurde, dass die zuvor untersuchten digitalen Funkkanäle grundsätzlich gedächtnisbehaftet 

sind, ist als zweite wichtige Charakteristik das Erneuerungsverhalten der Funkkanäle 

zu untersuchen (vgl. Kanal et al. [23]). Wie bereits schon formuliert, werden Funkkanäle 

als nicht-erneuernd bezeichnet, sobald Fehlerabstände a i ↔ a i+m statistisch voneinander abhängen. 

Andernfalls handelt es sich um erneuernde Funkkanäle. Zur Beurteilung dieser Abhängigkeit 

wird die im Abschnitt 6.2.1 vorgestellte AKF R aa (ν) eingesetzt. Liegt |R aa (ν)| vollständig 

unter der Signifikanzschwelle s a (ν), so sind die Fehlerabstände unkorreliert und es kann von 

einem erneuernden Funkkanal ausgegangen werden. Überschreitet im Gegensatz dazu der Wert 

der AKF R aa (ν) für auch nur eine Verschiebung ν die Signifikanzschwelle s a (ν), so liegt mit 

einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 ein nicht-erneuernder Funkkanal vor. 

An dieser Stelle sei nochmals darauf hingewiesen, dass aufgrund der ausschnittsweisen Kanalaufzeichung 

und Organisation der Kanalfehler e i in der Kanalfehlermatrix E häufig nur eine 

geringe Anzahl auswertbarer Fehlerabstände a i in einer Zeile der Fehlerabstandsmatrix A enthalten 

ist (vgl. Abschnitt 6.2). Infolgedessen beschränkt sich die Berechnung der AKF R aa (ν) 

nur auf geringe Verschiebungen ν ∈{1,...,10}. Die nachfolgende Abbildung 6.9 zeigt die da- 

87


zugehörigen Verläufe der AKF R aa (ν) für die im stationären Messszenario MH-40m aufgezeichneten 

Funkkanäle. 

0.02 

0.015 

Erneuernder BSC-Kanal 

Signifikanzschwellen: ±s(ν) 

0.3 

0.25 

Mitsumi WML-C20 – MH-40m 

AKF Raa(ν) 

0.01 

0.005 

0 

−0.005 

−0.01 

AKF Raa(ν) 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

−0.015 

0 

−0.02 

0 2 4 6 8 10 


0.15 


−0.05 

0 2 4 6 8 10 


0.4 

Panasonic PAN 5460 - MH-40m 

AKF Raa(ν) 

0.1 

0.05 

0 

−0.05 

−0.1 

−0.15 

AKF Raa(ν) 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

−0.2 

0 2 4 6 8 10 


−0.1 

0 2 4 6 8 10 


Abbildung 6.9. AKF R aa (ν) für das stationäre Messszenario MH-40m sowie die AKF R aa (ν) 

eines erneuernden BSC-Kanals zum Vergleich. 

Die Verläufe der empirischen AKF R aa (ν) deuten größtenteils auf ausgeprägte statistische 

Abhängigkeit der Fehlerabstände a i hin. Einzige Ausnahme stellte der mit dem Funksystem 

Mitsumi WML-C20 im Messszenario HRL-6m aufgezeichnete Funkkanal dar, dessen Gedächtnis 

ebenfalls nur gering ausgeprägt war. Dabei muss jedoch in Betracht gezogen werden, dass 

die zur Berechnung der AKF R aa (ν) vorliegende Menge an Fehlerabständen sehr gering war 

und daher die Signifikanzschwelle s(ν) entsprechend hoch angesetzt war. Des Weiteren konnte 

kein signifikanter Unterschied zwischen dem AKFen R aa (ν) aus stationären und mobilen Messszenarien 

festgestellt werden. 

Als abschließendes Resultat dieser Analyse muss davon ausgegangen werden, dass es sich 

bei den aufgezeichneten, digitalen Funkkanälen auch um nicht-erneuernde Kanäle handelt. Im 

Gegensatz zur Analyse der Gedächtnisbehaftung mittels FKF R ee (ν) ist eine physikalische Interpretation 

der Verläufe der empirischen AKFen R aa (ν) u.a. durch die geringe Menge auswertbarer 

Fehlerabstände a i schwer zu realisieren. Die Auswertung der empirischen AKFen 

R aa (ν) zeigte jedoch, dass die mit dem Funksystem Freescale MC 13192-EVB aufgezeichne- 

88


Tabelle 6.2. Kenngrößen zur Beurteilung des Erneuerungscharakters der aufgezeichneten, digitalen 

Funkkanäle. 

Szenario #{a ij > 0} max {|R aa (ν)||ν ∈ N} ā Erneuernd 


HRL-4m 731 0,25054 25,825 ∅ 

√ 

HRL-6m 92 0,51258 46,163 

HRL-RAND 512 0,36094 13,842 ∅ 

MH-10m 202 0,80339 16,416 ∅ 

MH-20m 46985 0,25767 9,1142 ∅ 

MH-30m 9085 0,24746 18,645 ∅ 

MH-40m 139158 0,25008 11,3 ∅ 

MH-RAND 9955 0,09468 20,876 ∅ 


MH-30m 3039 0,082372 21,632 ∅ 

MH-40m 14161 0,19119 46,541 ∅ 

MH-RAND 3813 0,10858 26,513 ∅ 


MH-40m 8128 0,35233 162,98 ∅ 

MH-RAND 7942 0,23143 60,211 ∅ 

ten Funkkanäle für ν = 1 stets negative Korrelationskoeffizienten besitzen (Kor 1 < 0). Werden 

diese nach Adoul (vgl. [24]) klassifiziert, so handelt es sich mit hoher Wahrscheinlichkeit um 

negativ-korrelierte und nicht-erneuernde Funkkanäle der Kanalkategorie C 3 . Die mit den Funksystemen 

Mitsumi WML-C20 und Panasonic PAN 5460 aufgezeichneten Funkkanäle können 

hingegen größtenteils als positiv-korreliert und nicht-erneuernd eingestuft werden. Sie entsprechen 

Adouls Kanalkategorie C 2 . 

Positiv-korrelierte Kanäle ändern sukzessive ihre Eigenschaft mit nur geringer Wahrscheinlichkeit. 

Es ist zu erwarten, dass auf einen langen Fehlerabstand a i wiederum ein langer Fehlerabstand 

a i+1 folgt. Negativ-korrelierte Kanäle wechseln im Gegensatz dazu ihre Eigenschaft. 

Häufig folgt auf einen kurzen Fehlerabstand a i ein langer Fehlerabstand a i+1 und umgekehrt. 

Dies kann dahin interpretiert werden, dass ein einzelner Kanalfehler aufgrund der hohen statistischen 

Abhängigkeit nur sehr selten anzutreffen ist. Ein einzelner Kanalfehler kann wiederum als 

zwei aufeinander folgende große Fehlerabstände behandelt werden und ist demnach selten anzutreffen. 

Die Durchsicht der mit dem Funksystem Freescale MC 13192-EVB aufgezeichneten 

Kanalfehlermatrizen E bestätigte objektiv diesen Zusammenhang. 

Für die Analyse des Erneuerungscharakters digitaler Kanäle mithilfe der von Adoul (vgl. 

Abschnitt 3.2.5) entwickelten Methode, in der die Variationskoeffizienten der Mehrfachfehlerabstände 

a m i herangezogen werden, ist die Menge auswertbarer Fehlerabstände a ij > 0 aufgrund 

der zur Kanalaufzeichnung verwendeten maximalen Datenpaketlänge von n = 100 generell zu 

gering. Entsprechend ungenau würden die mit dieser Methode ermittelten Ergebnisse ausfallen. 

Insgesamt deuten mehrere Indizien darauf hin, dass Fehlerabstände zur Charakterisierung 

digitaler Funkkanälen nur dann geeignet sind, sobald die zur Aufzeichnung verwendete Länge 

der Datenpakete sehr groß ist, wie dies beispielsweise bei der WLAN-Funktechnologie IEEE 

89


802.11 der Fall ist. So kann sichergestellt werden, dass eine ausreichende Menge an auswertbaren 

Fehlerabständen a ij > 0 erfasst wird, mit der der Einfluss statistischer Fehler in der Analyse 

vernachlässigbar gering ausfällt. 

Für einen Großteil der WPAN-Funktechnologien, die potenziell in industriellen Anwendungen 

eingesetzt werden können, beträgt die Länge der Datenpakete jedoch nur einige 10–100 

Bytes. Um die statistischen Eigenschaften eines erzeugenden FAPes {A t } damit zu schätzen, 

reichen diese Paketlängen nicht aus, insbesondere dann nicht, wenn digitale Funkkanäle eine 

sehr geringe Kanalfehlerrate ē aufweisen. Diese Tatsache spiegelt sich auch an den arithmetischen 

Mittelwerten der Kanalfehler ē = BER und der Fehlerabstände ā wider (vgl. Tabellen 6.1 

und 6.2), die ausschließlich aus den Inhalten fehlerhafter Datenpakete errechnet wurden. Entsprechend 

der Gleichung (3.12) sollte theoretisch zwischen den beiden Kenngrößen folgender 

Zusammenhang ē = ā −1 bestehen. Ein Vergleich der Werte zeigt jedoch schon erhebliche Differenzen, 

die bis zu einer Größenordnung betragen. Diese Feststellung ist darauf zurückzuführen, 

dass die Elemente e ij der Kanalfehlermatrix E vor dem ersten und nach dem letzten Kanalfehler 

e ij = 1 bei der Berechnung der Fehlerabstände a ij nicht erfasst werden und unberücksichtigt 

bleiben. Infolgedessen werden zahlreiche fehlerfreie Stellen ignoriert, was in einer Erhöhung 

des Mittelwerts ā der Fehlerabstände resultiert. 

6.6 Auswirkungen der Kanalklassifikation auf die Modellierung von 

Kanalfehlern 

Nachdem die Gedächtnisbehaftung und das Erneuerungsverhalten der aufgezeichneten Funkkanäle 

statistisch untersucht wurden, folgt in diesem Abschnitt aufgrund der neu gewonnenen 

Erkenntnisse eine kritische Rezension zur Modellierung derartiger Funkkanäle. 

6.6.1 Erneuerende Kanalmodelle 

Die statistische Analyse der Kanalfehler ergab die Feststellung, dass die aufgezeichneten digitalen 

Funkkanäle hauptsächlich als gedächtnisbehaftet und nicht-erneuernd einzustufen sind. 

Unter Berücksichtigung von Adouls Zusammenhang (vgl. Abschnitt 3.2.3) zwischen der MFAD 

f m a 

(a) und der BFD P(m,n) wird im Vorfeld vermutet, dass erneuernde Kanalmodelle nicht 

zur generativen Charakterisierung herangezogen werden sollten. Diese Tatsache begründet sich 

darin, dass erneuernde Modelle nicht in der Lage sind, die statistische Abhängigkeit zwischen 

Fehlerabständen zu erfassen. Wird ein erneuerndes Modell zur Beschreibung nicht-erneuernder 

Kanäle trotzdem herangezogen und dessen Parametersatz λ beispielsweise durch die Lineare 

Regression geschätzt, so werden signifikante Differenzen zwischen der empirischen BFD 

P(m,n) einer Kanalaufzeichnung und der des erneuernden Modells auftreten, obwohl die Verläufe 

der KFAV Fa c (a) zuvor gut durch die Exponentialfunktionen angepasst waren. Dies wiederum 

liegt daran, dass die klassische FAD f a (a) keinerlei Beitrag zur Beurteilung der statistischen 

90

6.6 Auswirkungen der Kanalklassifikation auf die Modellierung von Kanalfehlern 

Bindung der Fehlerabstände liefert. Stattdessen sind MFADen fa m (a) heranzuziehen, mit denen 

die Korrelation der Fehlerabstände quantisiert werden kann. Somit sind nicht-erneuernde 

Kanalmodelle zwingend erforderlich, um die Charakteristik nicht-erneuernder Funkkanäle realistisch 

beschreiben zu können. 

Adouls Zusammenhang verdeutlicht jedoch, dass neben der MFAD fa m (a), die BFD P(m,n) 

als äquivalente Erfassungsgröße für die statistische Bindung der Fehlerabstände verwendet werden 

kann. Demzufolge ist eine gute Übereinstimmung der KFAV Fa c (a) zwischen Kanalaufzeichnung 

und Modell zu erwarten, wenn die BFD P(m,n) mit einem Parametersatz erfolgreich 

angenähert werden konnte. Ferner kann diese Eigenschaft dafür genutzt werden, um erneuernde 

von nicht-erneuernden Kanälen anhand derer Modellierbarkeit zu unterscheiden. Sind große Abweichungen 

zwischen dem Verlauf der KFAV Fa c (a) eines erneuernden Modells und der eines 

aufgezeichneten Kanals zu erkennen, obwohl die Verläufe der BFD’en P(m,n) zwischen beiden 

gut angepasst waren, so liegt die Deutung nahe, dass es sich um einen nicht-erneuernden 

Funkkanal handelt. 

Diese Feststellung zeigt prinzipiell auch die Arbeit von Slack [65]. Slack untersuchte die 

Tauglichkeit der GI-, GE-, MC- und FT-Modelle zur Charakterisierung landmobiler Satellitenkanäle. 

In seiner Analyse verfügte das FT-Modell nur über einen fehlererzeugenden Zustand und 

eine Übergangsmatrix P der Form (4.41), sodass es erneuernden Charakter aufwies. Slack konstatierte 

in seiner Arbeit, dass GE- und MC-Modelle generell bessere Ergebnisse lieferten als 

GI- oder FT-Modelle und daher realitätsnaher landmobile Satellitenkanäle charakterisieren können. 

Es wird vermutet, dass Slacks Erkenntnisse darin zu begründen sind, dass es sich bei den 

untersuchten Satellitenkanälen um nicht-erneuernde Kanäle handelte. Die statistische Abhängigkeit 

der Fehlerabstände ist folglich nicht von einem erneuernden FT-Modell zu erfassen, was 

sich zwangsläufig in signifikanten Differenzen zwischen den Statistiken des Modells und des 

aufgezeichneten Kanals äußert. In diesem Fall hätte vermutlich auch ein FT-Modell mit mind. 

zwei fehlererzeugenden Zuständen, bei dem der Erneuerungscharakter aufgehoben ist, deutlich 

bessere Ergebnisse geliefert, sodass die getroffene generelle Aussage von Slack zu relativieren 

ist. 

Zur Verdeutlichung dieses Zusammenhangs wurde mit dem Parametersatz λ 2 (6.13) eines 

GI-Modells, geschätzt mithilfe der Linearen Regression, die BFD P(m,40) nach den Gleichungen 

(4.25) und (4.26) berechnet und mit der empirischen BFD P(m,40) der Kanalaufzeichnung 

(Messszenario Mitsumi WML-C20, MH-40m) gegenübergestellt. Obwohl die Verläufe der 

aKFAV ˜F a c (a) zwischen dem GI-Modell und dem Funkkanal objektiv sehr gut übereinstimmten, 

zeigen die Verläufe der BFDen P(m,40) deutliche Differenzen (vgl. Abbildung 6.10). 

Während der Verlauf der BFD P(m,40) des GI-Modells mit dem Parametersatz λ 2 für zunehmende 

Kanalfehleranzahl m stetig geringer wird, ändert der aufgezeichnete Funkkanal bei m = 

13 seinen Verlauf und steigt wieder kurzzeitig bis zum lokalen Maximum bei m ≈ 20 an. Nach 

Überschreitung dieses Maximums fällt der Verlauf der empirischen BFD P(m,40) wiederum 

91



10 0 Kanalaufzeichnung 

GI-Modell (Parametersatz: λ 2 ) 

10 −1 

BFD P (m, 40) 

10 −2 

10 −3 

10 −4 

0 5 10 15 20 25 30 35 

Kanalfehleranzahl m 

Abbildung 6.10. Gegenüberstellung der empirisch berechneten BFD P(m,40) (Messszenario 

Mitsumi WML-C20 – MH-40m) mit der BFD P(m,40) eines GI-Modells. Der Parametersatz 

des GI-Modells wurde durch die Lineare Regression geschätzt. 

stetig ab. Da die Berechnung der BFD P(m,n) rekursiv erfolgt, ist davon auszugehen, dass auch 

für andere Blocklängen n ≠ 40 erhebliche Abweichungen in den Verläufen vorzufinden sind, insbesondere 

für n > 40. Diese Annahme wird zusätzlich durch die Abbildung 6.11 bekräftigt, in 

der empirische BFDen P(m,n) aus der Kanalaufzeichnung mit unterschiedlichen Fensterbreiten 

n = {10,20,30,40,50,60,70,80} ermittelt wurden und den äquivalenten, analytisch berechneten 

BFD P(m,n) des GI-Modells mit dem Parametersatz λ 2 aus (6.13) gegenübergestellt wurden. 

Aus der Abbildung 6.11 wird ersichtlich, dass nach einem fallenden Verlauf der BFDen 

P(m,n) wieder ein Anstieg bis zu einem lokalen Maximum bei ≈ m 2 

folgt. Für größere Blocklängen 

n bildet sich dieses lokale Maximum immer deutlicher aus. Bei dem GI-Modell mit dem 

Parametersatz λ 2 (6.13) ist dies jedoch nicht der Fall. Hier verlaufen die BFDen P(m,n) weitestgehend 

stetig und stärker abfallend. Nur für kleine m ≈ 4 ist eine Änderung in der Steigung zu 

beobachten. An dieser Stelle bleibt jedoch die Fragestellung zu klären, ob die großen Differenzen 

in den Verläufen der empirischen und modellierten BFDen P(m,n) aus der Vernachlässigung 

von großen Fehlerabständen a > 239 herrühren, die während der Kanalaufzeichnung nicht erfasst 

werden konnten, oder aber strukturelle Modellschwächen (z.B. der Erneuerungscharakter) 

dafür verantwortlich sind. 

Um diese Fragestellung zu beantworten, wurde auf die analytische Methode zur Parameterschätzung 

von Bitó (vgl. Abschnitt 5.3) zurückgegriffen. Anstelle der Linearen Regression auf 

92


BFD P (m, n) 

10 0 Mitsumi WML-C20 – MH-40m 

10 −1 

10 −2 

10 −3 

10 −4 

P (m, 10) 

P (m, 20) 

P (m, 30) 

P (m, 40) 

P (m, 50) 

P (m, 60) 

P (m, 70) 

P (m, 80) 

BFD P (m, n) 

10 0 GI-Modell – Parametersatz λ 2 aus (6.13) 

10 −1 

10 −2 

10 −3 

P (m, 10) 

P (m, 20) 

P (m, 30) 

P (m, 40) 

P (m, 50) 

P (m, 60) 

P (m, 70) 

P (m, 80) 

0 10 20 30 40 50 60 


10 −4 

0 5 10 15 20 25 30 


Abbildung 6.11. Gegenüberstellung der mit unterschiedlichen Fensterbreiten n ermittelten, empirischen 

BFDen P(m,n) (Messszenario Mitsumi WML-C20 – MH-40m) mit den äquivalenten, 

analytisch berechneten BFD P(m,n) des erneuernden GI-Modells (Parametersatz λ 2 aus (6.13)). 

die KFAV Fa c (a) werden dabei die Parameter des GI-Modells analytisch durch das Lösen des 

Gleichungssystems (4.25) zur rekursiven Berechnung der BFD P(m,n) ermittelt. Da das GI- 

Modell durch drei freie Parameter charakterisiert ist, löste Bitó mit den drei gemessenen Werten 

P(1,1), P(2,2) und P(1,3) das Rekursionsgleichungssystem auf, woraus sich der vollständige 

Parametersatz λ ergibt. Aus der Kanalaufzeichnung Mitsumi WML-C20 - MH-40m wurden 

folgende Werte für die Parameterbestimmung ermittelt: 

• P(1,1)=0,050739 

• P(2,2)=0,015595 

• P(1,3)=0,083695. 

Damit errechnet sich der Parametersatz λ des GI-Modells unter Einsatz der Gleichungen 

(5.11) – (5.13) zu : 

( 

) ( 

) 

0,9572 0,0428 

1 0 

P = 

, B = 

0,3669 0,6331 0,5145 0,4855 


Obwohl aus dem Verlauf der BFD P(m,40) in der Abbildung 6.12 eine bessere Anpassung 

zwischen GI-Modell und Kanalaufzeichnung bis m = 14 zu erkennen ist, fällt für m > 14 die 

BFD P(m,40) des aufgezeichneten Kanals gegenüber dem GI-Modell sehr schnell und stetig ab. 

Eine Erfassung des lokalen Maximums bei m ≈ 20 konnte wiederum nicht erreicht werden. 

Zusätzlich traten Differenzen in den Verläufen der aKFAVen ˜F a c (a) auf. Doch auch aus diesen 

Erkenntnissen ist es schwierig, die Ursache der Abweichungen zu deuten. Da jedoch der 

Vorteil der einfacheren Parameterschätzung bei dem GI-Modell definitiv aufgehoben ist, besteht 

93




GI-Modell (Parametersatz aus (6.14)) 

10 −1 

10 −1 


Kanalaufzeichung 

GI-Modell (Parametersatz aus (6.14)) 

BFD P (m, 40) 

10 −2 

10 −3 

aKFAV F c a(a) 


10 −2 

10 −3 

10 −4 

10 −4 

0 5 10 15 20 25 30 35 


0 50 100 150 200 250 

Abbildung 6.12. Gegenüberstellung der Verläufe der BFDen P(m,n) und KFAVen F c a (a) der 

Kanalaufzeichung und des GI-Modells mit dem Parametersatz aus (6.14). 

kein wesentlicher Grund mehr, das GI-Modell anderen strukturell flexibleren Kanalmodellen 

vorzuziehen. Insbesondere bleibt zu diskutieren, ob diese Feststellung auch für das erneuernde 

FT-Modell gilt, dessen Modellparameter ebenfalls mithilfe der Linearen Regression einfach 

bestimmt werden kann (vgl. Abschnitt 5.2). In diesem Zusammenhang ist anzumerken, dass 

ein erneuerndes FT-Modell mit zwei fehlerfreien und einem fehlererzeugenden Zustand in ein 

GI-Modell überführbar ist und demnach über die gleichen Eigenschaften wie dieses verfügt. 

Dies zeigt auch der zum Parametersatz (6.14) des GI-Modells äquivalente Parametersatz für das 

FT-Modell: 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

0,9783 0 0,0217 

1 0 

⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

P = ⎝ 0 0,7148 0,2852⎠, B = ⎝1 0⎠ und ⃗π (0) = ⃗π. (6.15) 

0,2638 0,5221 0,2141 

0 1 

Aus diesem Grund ist ein erneuerndes FT-Modell einem GI-Modell nur dann vorzuziehen, 

wenn ein GI-Modell strukturell nicht in der Lage ist, die aKFAVen ˜F a c (a) empirisch aufgezeichneter 

Funkkanäle adäquat anzunähern. Insbesondere ist dies der Fall, sobald mehr als n >2 

Exponentialfunktionen zur Annäherung benötigt werden. Die in der Abbildung 6.13 dargestellten 

Verläufe der korrigierten aKFAVen ˆF a c (a) aufgezeichneter Funkkanäle deuten jedoch darauf 

hin, dass zwei Exponentialfunktionen zur Annäherung völlig ausreichend sind. 

94




Lineare Regression (2 Exp.-Funktionen) 


10 0 Korrigierte Kanalaufzeichnung 



aKFAV ˆF c a(a) 

10 −1 

10 −2 

10 −3 


10 −1 

10 −2 

10 −4 

0 50 100 150 200 250 




10 −3 

0 50 100 150 200 250 






10 −1 

10 −2 

aKFAV ˆFa c (a) 

10 −1 

10 −2 

10 −3 

0 200 400 600 800 


10 0 Panasonic PAN 5460 – MH-40m 

10 −3 

0 100 200 300 400 500 600 700 






10 −1 

10 −2 


10 −1 

10 −2 

10 −3 



0 200 400 600 800 


10 −3 

0 200 400 600 800 


Abbildung 6.13. Lineare Regression an die korrigierte aKFAV ˆF c 

a (a) diverser Kanalaufzeichungen 

mithilfe zweier Exponentialfunktionen, dargestellt im halblogarithmischen Maßstab. 

Infolgedessen ist die Anwendung eines erneuernden FT-Modells mit mehr als zwei fehlerfreien 

Zuständen als Ersatz für ein GI-Modell nicht zu rechtfertigen. Abschließend ist festzuhalten, 

dass der Vorteil erneuernder Kanalmodelle, die systematische Parameterschätzung mit der Linearen 

Regression, aufgehoben ist. Wurde ein Parametersatz durch Lineare Regression an die 

aKFAV ˆF 

A c (a) gut geschätzt, so divergierte wiederum der Verlauf der empirischen BFD P(m,n) 

von der analytisch berechneten des Kanalmodells. Obwohl sie es nicht beweisen, stellen daher 

95


viele Untersuchungsergebnisse Indizien dar, die mit großer Wahrscheinlichkeit auf das Vorliegen 

statistisch abhängiger Fehlerabstände a i und damit nicht-erneuernder Funkkanäle hindeuten. 

6.6.2 Nicht-erneuernde Kanalmodelle 

Die Schwierigkeit bei der Anwendung nicht-erneuernder Kanalmodelle besteht, wie bereits im 

Kapitel 5 formuliert, in der Parameterschätzung. Existiert bei HMMen eine Rückschlussmöglichkeit 

von der Kanalfehler- auf die erzeugende Zustandsfolge, so können die Modellparameter 

des HMMs leicht durch relative Häufigkeiten der Zustandsübergänge sowie in diesen Zuständen 

emittierten Fehlersymbolen angenähert werden. Im Allgemeinen ist dies bei nicht-erneuernden 

Kanalmodellen jedoch nicht der Fall. Deshalb werden häufig vereinfachende Annahmen getroffen. 

Beispielsweise bestimmte Slack [65] die Parameter e b , p gg und p bb des GE-Modells zuerst 

mithilfe der Linearen Regression, wobei der fehlende Parameter e g = 0 gesetzt wurde. Erst im 

zweiten Schritt suchte er nach der Methode der Minimalen Quadratischen Fehlersumme den 

optimalen Wert für e g . Infolgedessen verbesserte sich die Anpassung des GE-Modells an die 

Kanalstatistiken gegenüber dem GI-Modell geringfügig. Die Differenzen bei den KFAV Fa c(a) 

und der BFD P(m,n) zwischen GE-Modell und den Kanalaufzeichnungen waren jedoch weiterhin 

signifikant. Mit hoher Wahrscheinlichkeit lag die Ursache darin, dass das GE-Modell mit 

den zuvor bestimmten Parametern e b , p gg und p bb bereits nicht in der Lage war, die statistische 

Abhängigkeit der Fehlerabstände solide zu erfassen. Die Flexibilität des GE-Modells war 

demnach bereits vor der Suche des fehlenden Parameters e g durch die Festlegung der restlichen 

Parameter deutlich eingeschränkt. 

Um jedoch dieser Flexibilitätseinschränkung zu entgegnen und eine allgemeingültige Vorgehensweise 

für die initiale Parameterschätzung nicht-erneuernder Kanalmodelle zu entwickeln, 

scheint die Methode der systematischen Segmentierung von Kanalfehlerfolgen (vgl. Abschnitt 

5.1) eine erfolgversprechende Basis zu sein. Auf diese Weise wird die kanalfehlererzeugende 

Zustandssequenz eines Modells ersichtlich und der HMM-Charakter aufgehoben. Da eine 

vollständige analytische Lösung dieses Problems nicht möglich ist, sind in der Praxis häufig 

”Trial and Error” Methoden anzutreffen. Ein gutes Beispiel dafür stellt das MC-Modell dar. Das 

MC-Modell vereinfacht diese Rückschlussproblematik bereits, indem Zustandsübergänge nur 

direkt nach dem Auftreten von Kanalfehlern erlaubt sind. Diese Festlegung hat zur Folge, dass 

fehlererzeugende Zustände voneinander entkoppelt Beiträge zur Konstruktion der KFAV Fa c (a) 

leisten (vgl. Gleichung (4.49)). Demnach übernimmt jeder Zustand die Generierung von Kanalfehlern 

einer definierten Abstandsklasse. Für die Parameterbestimmung eines MC-Modells mit 

drei Zuständen bezeichnete McCullough die drei Abstandsklassen mit ”Burst Error”, ”Intermediate 

Error” und ”Random Error” (vgl. Abschnitt 5.1). Gilt für die Länge eines Fehlerabstandes 

1 ≤ k < 10, so wird dieser dem Zustand ”Burst Error” zugeordnet. Fehlerabstände der Länge 

10 ≤ k < 10 3 gehören dem Zustand ”Intermediate Error” und 10 3 ≤ k dem Zustand ”Random 

Error” an. Die ausschnittsweise Kanalaufzeichnung schränkt jedoch die Anwendbarkeit des MC- 

96


Modells in dieser Arbeit deutlich ein. Einerseits können Fehlerabstände nicht erfasst werden, 

die mindestens der Länge der zur Aufzeichnung verwendeten Datenpakete entsprechen. Andererseits 

reduziert sich die Erfassungswahrscheinlichkeit der Fehlerabstände mit zunehmender 

Länge, sodass insbesondere die gemessene Häufigkeit des Auftretens langer Fehlerabständen 

nachdem bereits lange Fehlerabstände vorkamen, deutlich vermindert sind. Allein aus letzterem 

Grunde ist eine Parameterschätzung durch die von McCullough vorgestellte Methode für die 

Anwendung des MC-Modells zur Modellierung ausschnittsweise aufgezeichneter Funkkanäle 

nicht zu empfehlen. Somit muss eine andere Kenngröße zur Segmentierung der Kanalfehlerfolge 

herangezogen oder auf Suchverfahren zurückgegriffen werden. 

Theoretisch finden Suchverfahren immer optimale Parametersätze. In der Praxis jedoch sind 

Suchverfahren mit entsprechendem Rechenaufwand verbunden. Verfügt ein Kanalmodell über 

n freie Parameter, welche mit einer Genauigkeit von 10 −m gesucht werden sollen, so sind genau 

10 n·m Berechnungen von Kriteriumsfunktionen durchzuführen. Für Kanalmodelle mit einer 

hohen Anzahl an freien Parametern sind daher Suchverfahren nicht effizient anwendbar. Die 

Berechnung eines optimalen Parametersatzes für das GE-Modell führt bei einer Auflösung von 

10 −6 bereits zu einem erheblichen Zeitaufwand. 

Wie bereits im Abschnitt 5.5 diskutiert, schafft der BW-Algorithmus in dieser Problematik 

teilweise Abhilfe. Da es sich bei dem BW-Algorithmus um einen lokal konvergierenden Algorithmus 

handelt, hängt dessen erfolgreiche Anwendung von der Form der Optimierungsoberfläche 

und der Lage initialer Parametersätze λ 0 ab. Nach Möglichkeit sollten diese bereits in der 

Nähe eines guten lokalen oder besser globalen Optimums liegen. Damit wird sicher gestellt, dass 

der BW-Algorithmus zügig konvergiert und dabei gute Parametersätze errechnet. Jedoch auch 

bei der Anwendung des BW-Algorithmuses sieht man sich erneut der Herausforderung entgegengestellt, 

gute initiale Parametersätze λ 0 zu schätzen. Welch hohen Stellenwert somit auch der 

Segmentierung von Kanalfehlerfolgen für die erfolgreiche Schätzung initialer Parametersätzen 

λ 0 zukommt, verdeutlichen die Abbildungen 6.14 und 6.15. Darin wurden die aKFAVen ˜F a c (a) 

und die BFDen P(m,40) von HMMen mit den Zustandsmengen 2,4,8 und 16 der Kanalaufzeichnung 

Mitsumi WML-C20 - MH-40m gegenübergestellt. Die initialen Parametersätze λ 0 wurden 

zufällig bestimmt und anschließend mit dem BW-Algorithmus optimiert. Die Optimierung dauerte 

bis zur Konvergenz des BW-Algorithmuses an. 

97


10 0 Mitsumi WML-C20 – MH-40m 

10 −1 


HMM - 2 Zust. 

HMM - 4 Zust. 

HMM - 8 Zust. 

HMM - 16 Zust. 


10 −2 

10 −3 

10 −4 

0 50 100 150 200 


Abbildung 6.14. Gegenüberstellung der aus den HMMen mit den Zustandsmengen 2,4,8 und 

16 berechneten aKFAVen ˜F c a (a) mit der entsprechenden empirischen (Messszenario Mitsumi 

WML-C20 - MH-40m). Die initalen Parametersätze λ 0 der HMMe wurden zufällig generiert 

und anschließend mit dem BW-Algorithmus bis zur Konvergenz (Konvergenzschwelle k thres = 

10 −4 ) optimiert. 

10 −1 



HMM - 2 Zust. 

HMM - 4 Zust. 

HMM - 8 Zust. 

HMM - 16 Zust. 

10 0 Kanalfehleranzahl m 

BFD P (m, 40) 

10 −2 

10 −3 

10 −4 

0 5 10 15 20 25 30 35 

Abbildung 6.15. Gegenüberstellung der aus den HMMen mit den Zustandsmengen 2,4,8 und 

16 berechneten BFDen P(m,40) mit der entsprechenden empirischen (Messszenario Mitsumi 

WML-C20 - MH-40m). Die initalen Parametersätze λ 0 der HMMe wurden zufällig generiert 

und anschließend mit dem BW-Algorithmus bis zur Konvergenz (Konvergenzschwelle k thres = 

10 −4 ) optimiert. 

98

6.7 Analyse des Paketverhaltens von Funkkanälen 

Obwohl die aKFAV ˜F a c (a) der HMMe fast identische Verläufe aufweisen, sind in der Abbildung 

6.15 deutliche Differenzen zwischen den BFDen P(m,40) der HMMe und der empirischen 

BFD P(m,40) aus der Kanalaufzeichnung zu erkennen. Besonders hervorzuheben ist der Verlauf 

der aus dem HMM mit 4 Zuständen berechneten BFD P(m,40)(blaue Kurve), der eine deutlich 

bessere Übereinstimmung aufweist, als es beispielsweise mit dem HMM mit 8 Zuständen (grüne 

Kurve) erreicht wurde, obwohl es im Vergleich nur über die halbe Zustandsmenge verfügt. Dafür 

scheint der initiale Parametersatz λ 0 für das HMM mit 4 Zuständen besser geschätzt zu sein als 

es bei den restlichen HMMs der Fall war. Demnach konvergierte der BW-Algorithmus bei den 

Parametersätzen der HMMe mit 2, 8 und 16 Zuständen in ungünstigere lokale Optima. Somit 

ist festzuhalten, dass ein HMM mit einer größeren Zustandsmenge nicht zwangsläufig bessere 

Ergebnisse als ein HMM mit kleiner Zustandsmenge liefert. Viel wichtiger ist es, einen Kompromiss 

aus der Zustandsmenge und der guten Schätzung initialer Parametersätze λ 0 einzugehen. 

Die initialen Parametersätze λ 0 , und die trainierten Parametersätze λ x aus diesem Experiment 

können dem Anhang E.1 entnommen werden. 


Im Abschnitt 6.2 wurde sich mit der Problematik der ausschnittsweisen Kanalaufzeichnung auseinander 

gesetzt und empfohlen, zur Modellierung der Kanalfehlermuster aus fehlerhaften Datenpaketen 

einen separaten stochastischen Prozess, den KFP {E t }, zu verwenden. Diese Empfehlung 

impliziert wiederum, dass das Auftreten von fehlerfreien und fehlerhaften Datenpaketen 

und das Ereignis verlorener Datenpakete durch einen gesonderten, übergeordneten Paketprozess 

{P t } stochastisch zu beschreiben ist. Demnach würde sich eine hybride Modellstruktur mit zwei 

voneinander unabhängigen, stochastischen Prozessen ergeben. 

Um die statistischen Eigenschaften der paketbeschreibenden Prozesse {P t } aus den Kanalaufzeichnungen 

zu identifizieren, wurden die nachfolgend aufgeführten möglichen statistischen 

Ereignisse definiert: 

•Fehlerfreies Datenpaket - (FFD) 

•Fehlerhaftes Datenpaket - (FHD) 

•Verlorenes Datenpaket - (VD). 

Aus den Kanalaufzeichnungen zeigte sich, dass sehr selten auch Datenpakete empfangen wurden, 

welche die versendete Datenpaketlänge unter- bzw. überschritten haben (vgl. Anhang, Tabelle 

D.7). Da die absoluten Häufigkeiten des Auftretens zu kurzer/langer Datenpakete gegenüber 

den zuvor definierten Ereignissen vernachlässigbar gering waren und in der Praxis von 

einem Funksystem verworfen werden, wurden diese bei der Modellierung dem Ereignis VD 

99


zugewiesen und entsprechend modelliert. Unter dieser Vorgabe umfasst die statistische Grundgesamtheit 

Ω := {FFD,FHD,VD}. Den statistischen Einheiten ω ∈ Ω werden folgende Werte 

zugeordnet (X : Ω → R): FFD → 1, FHD → 2 und VD → 3. Das Paketverhalten wird demnach 

durch die vom Paketprozess {P t } erzeugten Paketsymbolfolgen mit p i ∈{1,2,3} beschrieben. 

Auch in diesem Zusammenhang ist die Fragestellung zu klären, ob in den empirischen Kanalaufzeichnungen 

zwischen den Paketsymbolen p i eine statistische Abhängigkeit vorliegt. Ist 

dies nicht der Fall, so können Paketsymbolfolgen durch einen einfachen gedächtnislosen 

stochastischen Prozess charakterisiert werden, der identisch und unabhängig verteilte Zufallsvariablen 

generiert. Zur vollständigen Beschreibung eines derartigen Prozesses genügt die 

Angabe von dessen Wahrscheinlichkeitsdichte f p (p). Andernfalls müssen Prozesse herangezogen 

werden, die ein ausgeprägtes zeitliches Gedächtnis besitzen. Zur Analyse der statistischen 

Abhängigkeit wird wiederum auch hier der Signifikanztest aus (3.40) eingesetzt, nach 

dem sich bei einer Anzahl von 20.000 Paketsymbolen für α = 0,05 eine Signifikanzschwelle 

von s = √ 2 

20.000 

≈ 0,0141 ergibt. Überschreitet mindestens ein Korrelationskoeffizient der nach 

Bravais-Pearson berechneten empirischen Paketkorrelationsfunktion (PKF) R pp (ν) diese Signifikanzschwelle 

s, so ist mit 5 % Restunsicherheit davon auszugehen, dass die Paketsymbole nicht 

als identisch und unabhängig verteilte Zufallsvariablen zu behandeln sind. Die Abbildung 6.16 

zeigt die empirischen PKFen R pp (ν) für Verschiebungen ν ∈{1,...,100} mit eingezeichneter 

Signifikanzschwelle s für unterschiedliche Kanalaufzeichnungen. 

100


PKF Rpp(ν) 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

−0.005 

Modellierter, gedaechtnisloser Paketprozess 

PKF Rpp(ν) 

0.02 

0.015 

0.01 

0.005 

0 

−0.005 


Signifikanzschwellen: ±s p 

0 20 40 60 80 100 

−0.01 

−0.015 

0 20 40 60 80 100 


Mitumi WML-C20 – MH-RAND 

0.1 

0.08 

−0.01 

−0.015 

−0.02 

0.35 

0.3 



PKF Rpp(ν) 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

PKF Rpp(ν) 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

PKF Rpp(ν) 

−0.02 

0 20 40 60 80 100 


0.12 

0.1 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 

0 


PKF Rpp(ν) 

0 

0 20 40 60 80 100 


0.12 

0.1 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

−0.02 


−0.02 

0 20 40 60 80 100 


Panasonic PAN 5460 – MH-40m 

−0.04 

0 20 40 60 80 100 



0.6 

PKF Rpp(ν) 

0.15 

0.1 

0.05 

PKF Rpp(ν) 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

0 

0 20 40 60 80 100 


−0.1 

0 20 40 60 80 100 


Abbildung 6.16. Darstellung der empirischen PKFen R pp (ν) für diverse Kanalaufzeichnungen 

mit eingezeichneter Signifikanzschwelle s. 

101


Die Analysen des Korrelationsverhaltens der Paketsymbole p i ergab für die untersuchten 

Funksysteme folgende Ergebnisse: 

• Mitsumi WML-C20: Bis auf das mobile Szenario MH-RAND konnte keine signifikante 

statistische Abhängigkeit zwischen den Paketsymbolen p i festgestellt werden. Für das 

Bestehen des Signifikanztests reichte es jedoch bei keinem der Messszenarien, da wenn 

auch nur wenige Korrelationskoeffizienten die Signifikanzschwelle s p überschritten haben. 

Trotzdem sollte ein gedächtnisloser Prozess {P t } für die Modellierung des Paketverhaltens 

der übrigen Kanalaufzeichnungen nicht von vornherein ausgeschlossen werden. 

Dafür sind die Werte der Korrelationskoeffizienten, die die Signifikanzschwelle s p überschritten 

haben, zu gering. 

• Freescale MC 13192-EVB: Sowohl in den stationären und mobilen Messszenarien konnte 

eine deutliche Korrelation der Paketsymbole p i ermittelt werden, da die Signifikanzschwellen 

s p klar überschritten wurden. 

• Panasonic PAN 5460: Auch die mit dem Funksystem Panasonic PAN 5460 aufgezeichneten 

Funkkanäle zeigten in den stationären und mobilen Messszenarien, dass die Paketsymbole 

p i untereinander ausgeprägt korreliert sind und nur durch einen gedächtnisbehafteten 

stochastischen Prozess zu beschreiben sind. 

Ein zusammenfassender Überblick über die maximalen Korrelationskoeffizienten der PKF 

R pp (ν) und die Angabe der Signifikanzschwellen s p können der Tabelle 6.3 entnommen werden. 

Tabelle 6.3. Charakteristische Kenngrößen zur Beurteilung der statistischen Abhängigkeit zwischen 

Paketsymbolen p i . 

Szenario s p max {|R pp (ν)||ν ∈ N} Statistische Abhängigkeit 


HRL-4m 0,0141 0,026233 

HRL-6m 0,0141 0,027356 

HRL-RAND 0,0141 0,022351 

MH-10m 0,0141 0.046068 

MH-20m 0,0141 0,020691 

MH-30m 0,0141 0,02158 

MH-40m 0,0141 0,016815 

MH-RAND 0,0141 0,08916 


MH-30m 0,0141 0,27549 

MH-40m 0,0141 0,10495 

MH-RAND 0,02 0,10315 


MH-40m 0,0141 0,18515 

MH-RAND 0,02 0,44582 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

√ 

102



Die in diesem Kapitel durchgeführten Analysen verdeutlichen die Problematik bei der ausschnittsweisen 

Aufzeichnung von Kanalfehlern, mit denen die KFPe {E t } digitaler Kanalmodelle 

charakterisiert werden sollen. Besonders stark wirkt sich diese Problematik auf die Analyse 

und Erfassung des Erneuerungscharakters aufgezeichneter Funkkanäle aus, da pro Datenpaket 

nur eine geringe Menge an Fehlerabständen a i erfasst werden können. Dies hat zur Folge, dass 

eine Beschreibung des KFPes {E t } durch Adouls Analyse der Mehrfachfehlerabstände a m i (vgl. 

[24]) nicht praktikabel ist, insbesondere bei der zur Kanalaufzeichnung verwendeten geringen 

Datenpaketlänge von n = 240/800 Bits. Zusätzlich besteht die Schwierigkeit, dass die Erfassungswahrscheinlichkeit 

von Fehlerabständen mit zunehmender Länge linear abnimmt, bzw. 

paketübergreifende Fehlerabstände a i ≥ n erst gar nicht erfasst werden können. Zur teilweisen 

Kompensation dieser Problematik wurden im Abschnitt 6.2 einerseits Terme zur Umrechnung 

zwischen der korrigierten aKFAV ˆF a c (a), der aKFAV ˜F a c (a) und der originalen KFAV Fa c (a) angegeben, 

um die Anwendung der Linearen Regression zur Parameterschätzung beim GI-Modell 

und dem erneuernden FT-Modell zu wahren. Andererseits wurden Modifikationen an den Berechnungsvorschriften 

der empirischen Korrelationsfunktionen FKF R ee (ν) und AKF R aa (ν) 

vorgestellt, um die in Matrizen abgespeicherten Kanalfehler e ij und Fehlerabstände a ij entsprechend 

ihrer paketweisen Aufzeichnungen untersuchen zu können. 

Im Rahmen der anschließend durchgeführten Analysen und Klassifikationen der aufgezeichneten, 

digitalen Funkkanäle wurde festgestellt, dass die Kanalfehler e ij in ihren Positionen statistisch 

korreliert sind und demnach als gedächtnisbehaftet einzustufen sind (vgl. Tabelle 6.1). 

Auch die Analyse der Fehlerabstände a ij ergab bis auf ein Messszenario (Mitsumi WML-C20 

– HRL-6m) eine deutliche statistische Bindung. Demnach konnten die aufgezeichneten Funkkanäle 

erfolgreich als gedächtnisbehaftet und nicht-erneuernd klassifiziert werden. 

Inwieweit sich nun diese Klassifizierung auf die generative Modellierbarkeit auswirkt und ob 

bekannte digitale Kanalmodelle zu deren Simulation eingesetzt werden können, war Analysebestandteil 

des Abschnitts 6.6. In diesem Zusammenhang wurde festgestellt, dass die erneuernden 

GI- und FT-Modelle zur Modellierung ungeeignet waren bzw. mit der zur Parameterschätzung 

eingesetzten Linearen Regression keine adäquaten Parametersätze bestimmt werden konnten. 

Obwohl bei der Linearen Regression zwei Exponentialfunktionen prinzipiell in allen Messszenarien 

ausreichten, um die korrigierten aKFAVen ˆF a c (a) der aufgezeichneten Funkkanäle gut anzunähern, 

divergierten die aus diesen Parametersätzen berechneten Verläufe der BFDen P(m,40) 

erheblich. Somit deuten auch die im Abschnitt 6.6.1 gewonnenen Erkenntnisse darauf hin, dass 

erneuernde Kanalmodelle nicht für die Simulation der aufgezeichneten Funkkanäle geeignet 

sind. Die Begründung dieser Annahme wird in dieser Arbeit auf Adouls [24] mathematischem 

Zusammenhang zwischen der Mehrfehlerabstandsdichte fa m (a) und der BFD P(m,n) zurückgeführt, 

der besagt, dass die MFAD fa m (a) und die BFD P(m,n) nicht-erneuernder Kanäle nur dann 

gut übereinstimmen können, wenn die statistische Bindung der Fehlerabstände a ij realistisch er- 

103


fasst und modelliert werden kann. Dies ist jedoch mit dem Einsatz erneuernde Kanalmodelle 

nicht zu leisten. 

Da infolgedessen der signifikante Vorteil erneuernder Kanalmodell durch eine deutlich einfachere 

Parameterschätzung aufgehoben ist, wird es als zweckmäßig erachtet, nicht-erneuernde 

Modelle zur generativen Modellierung einzusetzen, um auch die typische statistische Abhängigkeit 

der Fehlerabstände a ij zu erfassen. Doch auch die blinde Anwendung nicht-erneuernder 

Modelle ist kein Garant für eine realistische Beschreibung dieser, wie sich in diversen Untersuchungen 

herausstellte. Darin zeigte sich, dass die Bestimmung guter Parametersätze λ genauso 

wichtig ist, wie die Festlegung der Modellstruktur durch die Zustandsmenge und die Form der 

Übergangsmatrix P. Erhebliche Beiträge zur Optimierung initial geschätzter Parametersätze λ 0 

kann in diesem Zusammenhang der BW-Algorithmus leisten. Da dieser aber ein lokal optimierender 

bzw. konvergierender Algorithmus ist, sind die initialen Parametersätze λ 0 möglichst so 

zu bestimmen, dass diese in der Optimierungsoberfläche nahe an einem ”guten” lokalen oder 

gar einem globalen Optimum liegt. Damit wird gewährleistet, dass der BW-Algorithmus schnell 

konvergiert und dabei auf einen guten finalen Parametersatz λ x trifft. 

Um den Fehlereinfluss bei der Berechnung statistischer Kenngrößen aufgrund der Einschränkungen 

aus der ausschnittsweisen Kanalaufzeichnung zu reduzieren, wurde empfohlen, die 

KFPe {E t } ausschließlich zur Modellierung von Kanalfehlermustern der fehlerhaften Datenpakete 

zu verwenden. Zur Charakterisierung des Paketverhaltens sollte daher ein weiterer stochastischer 

Prozess, der Paketprozess {P t }, vorgesehen werden, der unabhängig von KFP {E t } 

beschreibt, ob ein Datenpaket fehlerfrei, -behaftet oder gar verloren wurde. Als Synonym dieser 

neuen vorgeschlagenen Modellstruktur mit zwei stochastischen Prozessen auf der Basis von 

HMMen zur separaten Simulation von Kanalfehlern und Paketsymbolen wurde in diesem Zusammenhang 

der Begriff ”hybrid” eingeführt. Um die notwendigen Eigenschaften der paketbeschreibenden 

HMMe identifizieren zu können, wurden wieder Korrelationsanalysen auf die 

Paketsymbolfolgen durchgeführt. Darin stellte sich heraus, dass sowohl in stationären als 

auch mobilen Messszenarien die Paketsymbole korreliert sind. Der maximale Korrelationskoeffizient 

betrug im Messszenario Panasonic PAN 5460 – MH-RAND ungefähr 0,445. Die geringsten 

statistischen Bindungen wiesen die Paketsymbole der mit dem Funksystem Mitsumi 

WML-C20 aufgezeichneten digitalen Funkkanäle auf. Doch auch sie konnten einen zweiseitigen 

Signifikanztest mit α = 0,05 nicht bestehen. Insgesamt ist somit darauf zu achten, dass ein 

modellierendes HMM über das Potential verfügt, die statistische Abhängigkeit zwischen den 

Paketsymbolen p i realistisch zu erfassen. 

104

7 Eine neue Methode zur generativen Modellierung digitaler 

Funkkanäle 

Im vorherigen Kapitel 6 wurden unter industriellen Ausbreitungsbedingungen aufgezeichnete 

digitale Funkkanäle statistisch analysiert und deren generative Modellierbarkeit durch etablierte 

Kanalmodelle bewertet. Es stellte sich heraus, dass die betrachteten Modelle entweder strukturelle 

Schwächen aufwiesen oder die fehlende Systematik bei der Parameterschätzung eine 

Identifikation optimaler Parametersätze sehr kompliziert und aufwändig gestaltet. Basierend auf 

den neu gewonnenen Erkenntnissen wird im Kapitel 7 eine neue Methode vorgestellt, mit der 

digitale Funkkanäle exakter generativ beschrieben werden können. Eingangs werden dafür im 

Abschnitt 7.1 die grundlegenden Probleme bei der Beschreibung nicht-erneuernder Funkkanäle 

durch deren Fehlerabstandsmatrix A nochmals erörtert. Motiviert durch Adouls Zusammenhang 

zwischen der MFAD fa m (a) und der BFD P(m,n) wird eine alternative Beschreibungsform durch 

die Blockfehlermatrix BL (n) vorgestellt, um die statistische Abhängigkeit zwischen Fehlerabständen 

a ij auch bei geringer Datenpaketlänge hinreichend genau zu erfassen. Anschließend 

wird im Abschnitt 7.2 ein neues hybrides Modell auf der Basis von HMMen erster Ordnung 

vorgestellt. Der Begriff ”hybrid” bezeichnet in diesem Zusammenhang die kombinatorische Modellierung 

des Kanalfehler- und Paketübertragungsverhaltens digitaler Funkkanäle durch zwei 

separate, voneinander unabhängige HMMe unterschiedlicher Struktur und Zustandsanzahl. 

In den Abschnitten 7.3 und 7.4 werden neue Vorgehensweisen präsentiert, mit denen systematisch 

qualitativ gute Parametersätze λ k/p für das hybride Modell ermittelt werden können. Das 

Subskript k kennzeichnet einen Parametersatz für das kanalfehlerbeschreibende HMM, während 

p einen paketbeschreibenden Parametersatz identifiziert. Als Voraussetzung dafür sind bei dem 

kanalfehlerbeschreibenden HMM nur Zustandsübergänge zwischen direkt benachbarten Zuständen 

erlaubt. Die eigentliche Parametrierung erfolgt anhand der alternativen Beschreibungsform 

für Kanalfehler e ij in Form von Blockfehlern b (n) 

ij , die durch Anwendung der Fenstermethode 

mit der Breite n aus den Kanalfehlern e ij entsprechend umgeformt werden können. Da die Quotienten 

aus den Blockfehlern und der Fensterbreite b(n) ij 

n 

dem gleitenden Mittelwert der Kanalfehlerrate 

BER entsprechen, charakterisiert jeder einzelne Zustand des HMMs genau eine definierte 

Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P ei . Der so geschätzte initiale Parametersatz λ 0 wird zusätzlich 

durch Anwendung des BW-Algorithmuses optimiert. Die Parametrierung des paketbeschreibenden 

HMMs erfolgt hingegen direkt aus den aufgezeichneten Paketsymbolfolgen . Da jeder 

der drei Zustände primär nur für die Ausgabe einer Klasse von Paketsymbolen verantwortlich 

ist, wird der HMM-Charakter aufgehoben und initiale Parametersätze λ 0 können einfach durch 

105

7 Eine neue Methode zur generativen Modellierung digitaler Funkkanäle 

eine Häufigkeitsannäherung der Zustandsübergänge p i ↔ p i+1 geschätzt werden. Anschließend 

wird der HMM-Charakter wieder hergestellt, indem in jedem der drei Zustände die jeweils anderen 

beiden Paketsymbole mit vernachlässigbarer Wahrscheinlichkeit von 10 −3 emittiert werden 

dürfen. 

In den verbleibenden Abschnitten dieses Kapitels wird die Qualität des neuen Modells untersucht, 

um damit dessen Existenz wissenschaftlich zu rechtfertigen. Neben den einfachen Statistiken, 

wie beispielsweise die Kanal- und Paketfehlerwahrscheinlichkeiten, werden die Verläufe 

der BFD P(m,n), der aKFAV ˜F a c (a) und die entsprechenden Korrelationsfunktionen als Qualitätsmaß 

herangezogen. Ein kurze Zusammenfassung der essentiellen Bestandteile des Kapitels 

bildet den Abschluss dieses Kapitels 7. 

7.1 Diskussion grundlegender Erkenntnisse 

Aus den im Kapitel 6 beschriebenen theoretischen Vorüberlegungen und durchgeführten Analysen 

wurde deutlich, dass für die statistische Beschreibung der Kanalfehler, die mit paketorientiert 

übertragenden Funksystemen aufgezeichnet wurden, Fehlerabstände weniger gut geeignet sind, 

insbesondere bei der Verwendung sehr geringer Datenpaketlängen für die Aufzeichnung der Kanalfehlermatrizen 

E. Für den Sonderfall erneuernder Funkkanäle läge keine statistische Bindung 

der Fehlerabstände vor, sodass diese als identisch und unabhängig verteilt behandelbar wären. 

Demnach wäre die Position, in der die Fehlerabstände a ij in der Fehlerabstandsmatrix A abgespeichert 

sind, unerheblich. Wie jedoch die durchgeführten Analysen zeigten, war dies bei den in 

dieser Arbeit betrachten WPAN-Funksystemen in der Regel nicht der Fall. Stattdessen ergaben 

die in den Abschnitten 6.4 und 6.5 präsentierten Untersuchungsergebnisse die Erkenntnis, dass 

derartige Funkkanäle potenziell den Kategorien gedächtnisbehaftet und nicht-erneuernd zuzuordnen 

sind. Die statistische Bindung der Kanalfehler und Fehlerabstände ist demzufolge in den 

Eigenschaften und Strukturen eines kanalfehlerbeschreibenden Modells zu berücksichtigen. 

Für die Erfassung der statistischen Abhängigkeit der Fehlerabstände a i könnte entweder die 

AKF R aa (ν) oder aber MFAe a m i mit den daraus abgeleiteten Variationskoeffizienten VarK a (m) 

aus der Gleichung (3.39) herangezogen werden. Beispielsweise ist die Differenz zwischen 

VarK a (2) − VarK a (1) ∝ R aa (1) proportional zur Korrelation sukzessiver Fehlerabstände (vgl. 

[24], [23]). Aufgrund der bisherigen Erfahrungen mit den Problemen, die die paketorientierte 

Kanalaufzeichnung mit sich bringt (vgl. Abschnitt 6.2), wird generell davon abgeraten, die 

statistischen Eigenschaften des KFPs {E t } durch die Analyse von Fehlerabständen a i zu schätzen. 

Nicht zuletzt liegt es daran, dass nur sehr selten eine ausreichend große Menge auswertbarer 

Fehlerabstände a ij in einer Zeile der Fehlerabstandsmatrix A vorliegt. Demnach ist der Stichprobenumfang 

der a ij ’s pro Zeile sehr gering, sodass die statistische Analyse von MFA a m i höherer 

Ordnung (z.B. m > 3) nahezu unmöglich ist. Für größere Verschiebungen ν > 3 ist eine exakte 

Aussage über die statistische Abhängigkeit der Fehlerabstände kaum zu geben. Diese Einschrän- 

106

7.2 Vorstellung der neuen Modellstruktur 

kung stellt eines der Kernprobleme bei der Erfassung der statistischen Eigenschaften des KFP 

{E t } dar, was die Suche einer alternativen Lösungsmöglichkeit bzw. Vorgehensweise motiviert. 

Einen vielversprechenden Ansatz eröffnet der von Adoul [24] formulierte Zusammenhang zwischen 

der MFAD fa m (a) und der BFD P(m,n): 

fa m (n)= 1 m−1 

· 

P e 

∑ 

i=0 

(m − i) · ∆ 2 n P(i,n), für 1 ≤ m ≤ n. (7.1) 

∆ 2 n A(n) bezeichnet die zweite diskrete Ableitung der Größe A(n) nach n (vgl. Gleichung 

(3.25)). Wie der Zusammenhang verdeutlicht, könnte die BFD P(m,n) quasi als äquivalente Beschreibungsform 

für die statistische Abhängigkeit von Fehlerabständen a ij herangezogen werden. 

Mit den Werten m und n der BFD P(m,n) kann dabei die maximale Verschiebung ν festgelegt 

werden, bis zu der die Abstandskorrelation erfasst werden soll. Ist beispielsweise die 

Korrelation von Fehlerabständen a i bis zu Verschiebungen von ν = 10 zu beschreiben, so muss 

die BFD P(m,n) mindestens für die Fensterbreite n = 10 bestimmt werden. Im Gegensatz zu den 

MFADen fa m (a) ist dies auch bei paketorientiert aufgezeichneten Funkkanälen verhältnismäßig 

einfach zu realisieren. Zudem liefert es deutlich exaktere Ergebnisse. Aufgrund dieser Vorüberlegungen 

liegt es nahe, die statistischen Eigenschaften des KFP {E t } und damit der Kanalfehler 

durch den äquivalenten BFP {B t } zu beschreiben. Dieser ist einfach mithilfe der Fenstermethode 

(vgl. [79], S. 334 und [80], S.383) aus der Kanalfehlermatrix E zu errechnen. 

Eine grob ähnliche Vorgehensweise wurde von Brevi et al. [70] zur Leistungsbewertung von 

digitalen IEEE 802.11 Funkkanälen vorgestellt, wobei dessen Entwicklung intuitiver Natur war. 

Dabei wurden jeweils n Datenpakete der Länge l zu einem Datenblock zusammengefasst und 

die darin enthaltende Anzahl m an Kanalfehlern gezählt. Doch angesichts der direkten Aneinanderreihung 

der Datenpakete ist davon auszugehen, dass die somit geschätzten statistischen 

Eigenschaften des kanalfehlererzeugenden stochastischen Prozesses verfälscht sind und demnach 

dieser nur ungenau den empirisch aufgezeichneten Funkkanal charakterisiert. Aus diesem 

Grund wird vermutet, dass der in dieser Arbeit vorgesehene Lösungsansatz exaktere Ergebnisse 

liefert, als dies in der Arbeit von Brevi et al. der Fall ist. Dies muss jedoch gesondert untersucht 

werden. 


Für die Leistungsbewertung von Protokollen und Anwendungen sind primär Übertragungscharakteristika 

auf der Paketebene von Interesse. Bei kabelgebundenen Kommunikationssystemen 

zählen dazu Statistiken über die Anzahl und Position fehlerfreier und -behafteter Datenpakete. 

Für die Bewertung von Fehlerschutzmaßnahmen, wie beispielsweise Kanalcodes und Wiederholstrategien, 

stellen Statistiken zur Beschreibung der Kanalfehler die geeigneten Kenngrößen 

107


dar. Durch entsprechende Umrechnungen können aus den Kanalfehlerstatistiken die der Paketfehler 

rechnerisch ermittelt werden. An dieser Stelle ist jedoch anzumerken, dass eine generelle 

Ableitung der Wahrscheinlichkeiten aller Paketereignisse auf Basis der klassischen Kanalfehlerfolge 

nicht möglich ist. Diese Tatsache begründet sich insbersondere in den Synchronisationsphasen 

des Empfängers. Diese stellen bei der Funkübertragung stets einen kritischen 

Augenblick dar, in dem ein potentielles Datenpaket vom Empfänger erkannt werden sollte. Mithilfe 

eines Phasenregelkreises versucht beispielsweise der Empfänger auf die Frequenz bzw. 

Phase eines Empfangssignals einzuregeln, um damit die einzelnen Symbole erfolgreich detektieren 

zu können. Während dieser Phase ist die Wahrscheinlichkeit eines Datenpaketverlusts 

deutlich höher, als dies nach einer erfolgreichen Synchronisation der Fall ist. Eine Berechnung 

der Wahrscheinlichkeit dieser Paketverluste aus Kanalfehlerfolgen ist nicht möglich. 

Aus diesem Grund und den in den Abschnitten 6.2 und 7.1 diskutierten ist es angebracht, 

Funkkanäle hybrid durch einen kanalfehlerund einen paketbeschreibenden stochastischen Prozess 

zu beschreiben, die voneinander statistisch unabhängig sind. Ferner eröffnet die hybride 

Modellstruktur eine bessere Erfassung auch langsam dynamischer Kanalveränderungen, die 

durch das Large Scale Fading (vgl. Abschnitt 3.1.2) hervorgerufen werden. In Anlehnung an die 

Modellierung des Small und Large Scale Fadings durch zwei voneinader unabhängige Prozesse 

charakterisiert der KFP {E t } die schnellen Kanalveränderungen, während der Paketprozess (PP) 

{P t } ausschließlich langsame Kanalschwankungen modelliert (vgl. Abbildung 7.1). 

Strukturell wird der PP {P t } durch ein paketbeschreibendes HMM mit drei Zuständen repräsentiert, 

das die im Abschnitt 6.7 definierten Paketereignisse FFD, FHD und VD in Form der 

Ausgabesymbolen p i emittiert. Da zwischen den Zuständen des paketbeschreibenden HMMs 

alle Übergänge p ij > 0 erlaubt sind, besitzt es das in der nachfolgenden Abbildung 7.1 oberhalb 

dargestellte Zustandsdiagramm. 

108


Abbildung 7.1. Struktureller Aufbau des hybriden kanalfehlerund paketbeschreibenden Hidden 

Markov Modells. 

Ist der Zustand FHD erreicht, so wird der KFP {E t } aktiv und generiert für die Länge eines 

Datenpakets die entsprechenden paketbeschreibenden Symbole. Anschließend wird der KFP 

{E t } wieder deaktiviert und der PP {P t } um einen Takt weitergeführt. 

Der KFP {E t } wird ebenfalls durch einen HMM realisiert, das über eine definierte Menge 

N an Zuständen verfügt. Die Struktur des kanalbeschreibenden HMMs ist prinzipiell gut vergleichbar 

mit Markov-Modellen (vgl. [81], [82] und [83]), die zur Modellierung des Small Scale 

Fadings herangezogen werden. Dabei wird der dynamische Bereich des Signal-Störabstandes in 

mehrere Partitionen SNR n unterteilt, die anschließend den Zuständen der Markov-Modelle zugeordnet 

werden. Die Elemente der Übergangsmatrix P ergeben sich dabei aus den Pegelüberbzw. 

-unterschreitungsraten zwischen diesen Partitionen. Der Unterschied zwischen den Modellen 

zur Beschreibung des Small Scale Fadings und dem dieser Arbeit besteht darin, dass anstelle 

der Ausgabe unterschiedlicher Signal-Störabstände SNR n Kanalfehler e i mit den entsprechenden 

Fehlerwahrscheinlichkeiten P ei = f (SNR n ) quasi als Funktion der Signal-Störabstandspartitionen 

SNR n produziert werden (vgl. Abbildung 7.2). Infolgedessen wird die Empfängerperformance 

mit in das Modell einbezogen, um neben der Modellierung auch zusätzlich eine Leistungsbewertung 

von Funksystemen zu ermöglichen. 

109


Abbildung 7.2. Prinzipieller Zusammenhang zwischen Markov-Modellen zur generativen Modellierung 

des Signal-Störabstandes SNR und dem kanalfehlerbeschreibenden HMM. 

Besonders erwähnenswert ist die Form der Übergangsmatrix P der Markov-Modelle, die das 

Small Scale Fading beschreiben. Aus der Abbildung 7.2 wird ersichtlich, dass durch die Partitionierung 

des Signal-Störabstandes Übergänge nur zwischen direkt benachbarten Zuständen 

möglich sind. Aus diesem Grund weist eine derartige Übergangsmatrix P genau folgenden Aufbau 

auf: 

⎛ 

⎞ 

p 11 p 12 0 ... 0 0 

p 21 p 22 p 23 ... . . 

P = 

0 p 32 p 33 ... 0 0 

. . . . .. . (7.2) 

pN−2 N−1 0 

⎜ 

⎝ 0 ··· 0 p N−1 N−2 p N−1 N−1 p 

⎟ 

N−1 N ⎠ 

0 ··· 0 0 p NN−1 p NN 

Da jeder Zustand nur für die Erzeugung eines bestimmten Signal-Störabstandes SNR n verantwortlich 

ist, handelt es sich bei derartigen Modellen um klassische Markov-Modelle. 

110

7.3 Parametrierung des kanalfehlerbeschreibenden HMMs 


Die zuvor umschriebene Aufhebung des HMM-Charakters da die Ausgabematrix B eine Einheitsmatrix 

darstellt, ist bei der Schätzung initaler Parametersätze für das Small Scale Fading 

beschreibende HMM sehr nutzlich. Aus einer aufgezeichneten diskretisierten Abtastfolge des 

Empfangssignals bzw. Signal-Störabstands, ist direkt die potenziell erzeugende Zustandsfolge 

des Markov-Modell ersichtlich, sodass die Übergangshäufigkeiten als gute Schätzwerte 

für die Elemente der Übergangsmatrix verwendet werden können. Dies gestaltet sich jedoch 

bei der Parameterschätzung für das kanalfehlerbeschreibende HMM deutlich schwieriger, da 

das HMM die notwendige Grundstruktur eines nicht-erneuernden Modells besitzen muss, um 

die statistische Abhängigkeit der Fehlerabstände realistisch beschreiben zu können. Eine direkte 

Rückschlussmöglichkeit von den aufgezeichneten Kanalfehlern auf die erzeugenden Zustände 

des HMMs ist dabei nicht gegeben. 

7.3.1 Ermittlung initialer Parametersätze 

Zur Schätzung eines initalen Parametersatzes λ k0 sind die aufgezeichneten Fehlermatrizen E 

mithilfe der Fenstermethode in Blockfehlermatrizen BL (n) umzuformen (vgl. Abschnitt 3.2.2). 

Die Elemente der Blockfehlermatrix BL (n) entsprechen infolgedessen der Kanalfehleranzahl in 

einem Ausschnitt der Länge n aus einer Zeile der Fehlermatrix E. Nachdem die Kanalfehler in 

einem Ausschnitt gezählt wurden, wird dessen Position um eine Stelle nach rechts verschoben. 

Diese Prozedur wird so lange wiederholt, bis das Zeilenende mit der rechten Ausschnittsgrenze 

erreicht ist. Anschließend wird in die nächste Zeile gewechselt und der Vorgang von neuem gestartet. 

Zur Verdeutlichung dieser Prozedur zeigt das nachfolgende Beispiel die Umformung einer 

6 × 10 Fehlermatrix E mit der Fensterbreite n = 4 in die korrespondierende Blockfehlermatrix 

BL (4) der Form 6 × 7. 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 

2 3 2 1 2 1 1 

1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 

3 2 1 0 0 0 1 

0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 

E = 

→ BL (4) 0 1 2 2 2 2 2 

= 

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 

4 4 4 4 3 2 1 

⎜ 

⎝0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝2 2 2 2 1 2 3 

⎟ 

⎠ 

1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 

3 2 2 2 3 4 3 

(7.3) 

Die Elemente b (n) 

ij der Blockfehlermatrix BL (n) können als mittlere Kanalfehleranzahl in einem 

Segment der Länge n betrachtet werden. Der gültige Wertebereich der Elemente b (n) 

ij umfasst 

b (n) 

ij 

∈{0,1,2,...,n}. Da es sich bei der Fenstermethode quasi um die Bildung eines gleitenden 

Mittelwerts handelt, kann es nur vorkommen, dass benachbarte Elemente b (n) 

ij 

einer Zeile 

111


sich ausschließlich um den Wert ±1 voneinander unterscheiden. Werden die Elemente b (n) 

ij 

die Fensterbreite dividiert: 

durch 

P ei = b(n) ij 

n , (7.4) 

so erhält man die mittlere Wahrscheinlichkeit P ei , mit der Kanalfehler e ij pro Takt erzeugt werden. 

Demzufolge ergeben sich maximal n+1 verschiedene Wahrscheinlichkeitswerte P ei für das 

Aufreten von Kanalfehlern. Verfügt das kanalfehlerbeschreibende HMM über n + 1 Zustände, 

welche Kanalfehler exakt mit diesen Wahrscheinlichkeiten emittieren, so kann die Übergangsmatrix 

P durch die relativen Übergangshäufigkeiten der Elemente b (n) 

ij der Blockfehlermatrix 

BL (n) systematisch geschätzt werden. Demnach besitzt die Übergangsmatrix P k die gleiche 

Form wie (7.2). Die Ausgabematrix B k besteht hingegen aus den mittleren Kanalfehlerwahrscheinlichkeiten 

P ei bzw. den Komplementen (1−P ei ) davon. Somit ist ein vollständiger initialer 

Parametersatz λ k0 für das kanalfehlerbeschreibende HMM systematisch gefunden. Es ist jedoch 

anzumerken, dass sehr lange Blockfehlerklassen in einer empirischen Kanalaufzeichnung mitunter 

nicht vorhanden sind. Daher kann es auftreten, dass bei Anwendung der Fenstermethode 

mit der Fensterbreite n, die Zustandsmenge des kanalbeschreibenden HMMs weniger als n + 1 

Zustände beträgt. 

Außerdem ist zu berücksichtigen, dass die Wahl der Fensterbreite n bei diesem Ansatz in 

Korrelation mit der notwendigen Zustandsmenge des HMMs steht. Wird n sehr groß gewählt, 

so wächst der potenzielle mögliche Wertebereich für die b (n) 

ij an. Die Folge ist ein Anstieg der 

Zustandsmenge und damit der Komplexität des HMMs. Es ist somit zu erkennen, dass die Fensterbreite 

n den Freiheitsgrad des kanalfehlerbeschreibenden HMMs definiert. Berechtigterweise 

stellt sich in diesem Zusammenhang die Frage, wie n zu wählen ist, um einerseits einen möglichst 

guten initialen Parametersatz λ k0 zu ermitteln und andererseits die Modellkomplexität zu 

begrenzen. Um diese Fragestellung beantworten zu können, wurden für unterschiedliche Werte 

n = {5,10,15,20,25,30} initiale Parametersätze λ k0 aus den empirischen Kanalaufzeichnungen 

ermittelt. Zur Veranschaulichung der Kanalveränderung wurden dazu pro Funksystem jeweils 

ein stationäres und mobiles Messszenario herangezogen. Aus den Parametersätzen λ k0 wurden 

anschließend mithilfe der Gleichung (4.25) die entsprechenden BFDen P(m,40) berechnet und 

denen der Kanalaufzeichnungen gegenübergestellt. 

112


10 −1 



n =5 

n =10 

n =20 

n =30 

10 −1 



n =5 

n =10 

n =20 

n =30 

BFD P (m, 40) 


10 −2 

10 −3 

BFD P (m, 40) 


10 −2 

10 −3 

10 −4 

10 −4 

0 10 20 30 40 

0 5 10 15 20 25 

10 −2 



n =5 

n =10 

n =20 

n =30 

10 −1 



n =5 

n =10 

n =20 

n =30 

BFD P (m, 40) 


10 −4 

10 −6 

BFD P (m, 40) 


10 −2 

10 −3 

10 −4 

10 −8 

0 5 10 15 20 25 30 

0 5 10 15 20 25 30 35 

10 −2 



n =5 

n =10 

n =20 

n =30 

10 −1 



n =5 

n =10 

n =20 

n =30 

BFD P (m, 40) 


10 −4 

10 −6 

BFD P (m, 40) 


10 −2 

10 −3 

10 −4 

10 −8 

0 5 10 15 20 

0 2 4 6 8 10 12 14 

Abbildung 7.3. Aus verschiedenen initialen Parametersätzen λ 0 berechnete BFDen P(m,40). 

Die initialen Parametersätze λ 0 wurden mit den Fensterbreiten n = {5,10,20,30} ermittelt. 

Aus den Verläufen der BFD P(m,40), die mit dem Funksystem Freescale MC 13192- 

EVB aufgezeichnet wurden, wird ersichtlich, dass stets P(1,40) < P(2,40) ist. Diese Feststellung 

kann dahingehend interpretiert werden, dass aufgrund der bei der Funktechnologie IEEE 

802.15.4 angewandten vierwertigen Modulation O-QPSK die Wahrscheinlichkeit für zwei direkt 

aufeinanderfolgende Kanalfehler deutlich größer ist als bei zweiwertigen Verfahren. Entsprechend 

häufiger sind Doppelfehler anzutreffen im Vergleich zu einem zweiwertigen Modu- 

113


lationsverfahren, wie es beispielsweise bei der WPAN-Funktechnologie IEEE 802.15.1 in der 

GFSK-Basismodulation der Fall ist. 

Bezüglich der Auswahl eines optimalen Werts für die Fensterbreite n deuten die in der Abbildung 

7.3 dargestellten Verläufe der BFD P(m,40) darauf hin, dass mit zunehmender Fensterbreite 

n die Dynamik der BFD P(m,40) aus den Kanalaufzeichnungen etwas besser erfasst 

werden kann. Für kleine Mengen an Kanalfehlern (m ≤ 2) konnte eine generell gute Übereinstimmung 

identifiziert werden. Randbereiche hingegen wurden nicht richtig erfasst und zeigten 

deutliche Differenzen zwischen Modell und Kanalaufzeichnung. Trotz erkennbarer Abweichung 

ist darauf hinzuweisen, dass im Vergleich zu den in Abschnitt 6.6 durchgefürten Analysen eine 

deutliche bessere Übereinstimmung zwischen den empirischen BFDen P(m,40) und den aus 

initalen Parametersätzen λ k0 analytisch berechneten erreicht werden konnte. Da die Ergebnisse 

dieser Analyse jedoch keine eindeutige Entscheidungsgrundlage bieten, wurde entschieden, 

einen Kompromiss zwischen der Qualität initialer Parametersätze λ k0 und der Zustandsmenge 

und der damit zusammenhängenden Komplexität des HMMs einzugehen. Für die Fensterbreite 

wurde deshalb ein Wert von n = 10 vorgeschlagen. Ob diese Entscheidung jedoch gerechtfertigt 

ist, wird im nachfolgenden Abschnitt weiter untersucht und bewertet. 

7.3.2 Optimierung initialer Parametersätze 

Nachdem der Entscheidung die Fensterbreite n = 10 für die Schätzung initialer Parametersätze 

λ k0 zu verwenden, erfolgten in diesem Abschnitt empirische Untersuchungen zur Rechtfertigung 

bzw. eventuellen Widerlegung dieser Wahl. Als Qualitätskriterium für die dazu nötigen 

Untersuchungen wurde das Optimierungspotenzial der Parametersätze λ k0 unter der Anwendung 

des BW-Algorithmuses herangezogen. Dazu wurden mit den nach maximal i max = 100 Iterationen 

oder vorherigen Abbruch durch Unterschreitung der festgelegten Konvergenzschwelle von 

k thres = 10 −4 optimierten Parametersätzen λ k100 die aKFAV ˜F a c (a) und die BFD P(m,40) berechnet. 

Anschließend wurden diese den korrespondierenden empirischen Kanalstatistiken gegenübergestellt 

und der Übereinstimmungsgrad beurteilt. Die in diesem Abschnitt berechneten initialen 

und optimierten Parametersätze können dem Anhang E.2 entnommen werden. Aufgrund 

der guten allgemeingültigen Repräsentativität wurden in diesen Untersuchungen wiederum auf 

die ausgewählten Kanalaufzeichnungen (vgl. Abschnitt D.2.6 des Anhangs) zurückgegriffen. 

114


Mitsumi WML-C20 – Messszenario MH-40m 

Anzahl an Iterationen des BW-Algorithmuses: 100 (nicht kovergiert) 



10 −1 


Parametersatz λ0 


10 −1 




10 −2 

KFAV F c a (a) 


10 −3 

10 −4 

BFD P (m, 40) 

10 0 Fehleranzahl m 

10 −2 

10 −3 

10 −5 

10 −4 

10 −6 

0 50 100 150 200 250 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 

Abbildung 7.4. Gegenüberstellung der aKFAV ˜F a c (a) und der BFD P(m,40) der Kanalaufzeichnung 

(Mitsumi WML-C20 - MH-40m) mit den aus dem initialen Parametersatz λ k0 und dem 

optimierten Parametersatz λ k100 berechneten. 

Mitsumi WML-C20 – Messszenario MH-RAND 

Anzahl an Iterationen des BW-Algorithmuses: 46 (konvergiert) 



Parametersatz λ k0 

10 −1 

10 −1 






10 −2 

10 −3 


0 5 10 15 20 25 

BFD P (m, 40) 


10 −2 

10 −3 

10 −4 

10 −4 

0 50 100 150 200 250 


Abbildung 7.5. Gegenüberstellung der aKFAV ˜F c a (a) und der BFD P(m,40) der Kanalaufzeichnung 

(Mitsumi WML-C20 - MH-RAND) mit den aus dem initialen Parametersatz λ k0 und dem 


115


Freescale MC 13192-EVB – Messszenario MH-40m 

Anzahl an Iterationen des BW-Algorithmuses: 43 (nicht konvergiert) 





10 −1 

10 −2 

10 −3 

BFD P (m, 40) 

10 −2 

10 −4 

10 −6 







0 5 10 15 20 25 30 

10 −4 

0 200 400 600 800 


10 −8 


(Freescale MC 13192-EVB – MH-40m) mit den aus dem initialen Parametersatz λ k0 und 

dem optimierten Parametersatz λ k43 berechneten. 

Freescale MC 13192-EVB – Messszenario MH-RAND 





10 −1 






10 −2 

10 −3 


0 5 10 15 20 25 30 

BFD P (m, 40) 


10 −2 

10 −4 

10 −4 

0 200 400 600 800 


10 −6 


(Freescale MC 13192-EVB – MH-RAND) mit den aus dem initialen Parametersatz λ k0 

und dem optimierten Parametersatz λ k54 berechneten. 

116


Panasonic PAN 5460 – Messszenario MH-40m 


10 0 Panasonic PAN 5460 – MH-40m 

10 −1 

10 −2 



Initialer Parametersatz λ0 

Optimierter Parametersatz λ61 

aKFAV ˜F c a (a) 

10 −2 

10 −3 

BFD P (m, 40) 


10 −4 

10 −6 

10 −4 


Initialer Parametersatz λo 

Optimierter Parametersatz λ61 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 

Kanalfehlerabstand a 

10 −8 

10 −10 

0 5 10 15 


(Panasonic PAN 5460 - MH-40m) mit den aus dem initialen Parametersatz λ k0 und dem 


Panasonic PAN 5460 – Messszenario MH-RAND 





10 −1 

10 −1 






10 −2 

10 −3 


0 5 10 15 

BFD P (m, 40) 


10 −2 

10 −3 

10 −4 

10 −4 

0 200 400 600 800 



(Panasonic PAN 5460 - MH-RAND) mit den aus dem initialen Parametersatz λ k0 und dem 


Insgesamt zeigte sich durch die zusätzliche Anwendung des BW-Algorithmuses auf die initialen 

Parametersätze λ k0 , dass eine noch bessere Übereinstimmung zu beiden empirischen Kanalkenngrößen 

aKFAV ˜F a c (a), BFD P(m,40) erzielt werden konnte. Der erkennbar hohe Überein- 

117


stimmungsgrad rechtfertigt somit die Wahl der Fensterbreite n = 10. Außerdem verdeutlichen 

die Abbildungen 7.5 – 7.9 die hohe Flexibilität des kanalfehlerbeschreibenden HMMs, da es sich 

auf die unterschiedlichsten Kanalfehlercharakteristiken einstellen lässt. Daher ist es in der Lage, 

die in dieser Arbeit ermittelten Kanalfehlermuster, auch wenn diese mit WPAN-Funksystemen 

unterschiedlicher RF-Charakteristika aufgezeichnet wurden, erfolgreich zu beschreiben und simulieren. 

7.4 Parametrierung des paketbeschreibenden HMMs 

Nachdem in den vorherigen Abschnitten die notwendigen strukturellen Eigenschaften des kanalfehlerbeschreibenden 

HMMs untersucht und festgelegt wurden, beschreiben die nachfolgenden 

Abschnitte 7.4.1 und 7.4.2 Vorgehensweisen zur Ermittlung initaler Parametersätze λ p0 und 

Methoden, mit denen diese ebenfalls durch Anwendung des BW-Algorithmuses weiter optimiert 

werden können. 

7.4.1 Ermittlung initialer Parametersätze 

Im Gegensatz zum kanalfehlerbeschreibenden HMM beruht die Modellierung des Paketverhaltens 

auf der Rekonstruktion der Paketsymbolfolge mit p i ∈{1,2,3}. Wie aus der Vorstellung 

der Modellstruktur (vgl. Abbildung 7.1) hervorgeht, verfügt das paketbeschreibende HMM 

genau über drei Zustände, die initial jeweils ausschließlich für die Emittierung eines der Paketsymbole 

verantwortlich sind. Die jeweils beiden verbleibenden Paketsymbole werden nicht 

ausgegeben. Demnach weisen die Ausgabematrizen B p stets den Aufbau einer 3 × 3 Einheitsmatrix 

auf, was dazu führt, dass es sich bei der initalen Form des paketbeschreibenden Modells 

um ein klassisches Markov-Modell handelt. Damit wird die Möglichkeit eröffnet, aus einer 

vorliegenden empirischen Paketsymbolfolge auf die erzeugende Zustandsfolge zurückzuschließen. 

Demzufolge kann die Übergangsmatrix P p mithilfe der entsprechenden relativen 

Häufigkeiten zwischen Übergängen der Paketsymbole p i ↔ p i+1 in den Paketsymbolfolgen 

angenähert werden. 

Um die Qualität dieser Vorgehensweise beurteilen zu können, wurden exemplarisch initiale 

Parametersätze λ p0 aus den ausgewählten Kanalaufzeichungen (vgl. Tabelle D.10) berechnet. 

Die dabei geschätzten initialen Parametersätze λ p0 sind dem Abschnitt E des Anhangs zu entnehmen. 

Als Qualitätsmaß wurden die empirischen PKFen R pp (ν) aus den Paketsymbolfolgen 

der Kanalaufzeichnungen ermittelt, die anschließend mit denen des paketbeschreibenden 

HMMs verglichen wurden. Die dazu notwendigen analytischen Berechnungen der PKF R pp (ν) 

des paketbeschreibenden HMMs erfolgte durch Anwendung der Gleichungen (4.12) – (4.17) auf 

die initialen Parametersätzen λ p0 . 

118


0.3 

0.25 



Markov Modell (λ p0 ) 

0.12 

0.1 




0.2 

0.08 

PKF Rpp(ν) 

0.15 

0.1 

0.05 

PKF Rpp(ν) 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

0 

PKF Rpp(ν) 

−0.05 

0 20 40 60 80 100 



0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 



−0.05 

0 20 40 60 80 100 


PKF Rpp(ν) 

−0.02 

0 20 40 60 80 100 


0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 




−0.1 

0 20 40 60 80 100 


Abbildung 7.10. Verläufe der empirschen PKFen R pp (ν) ausgewählter Kanalaufzeichnungen 

und im Vergleich dazu die aus den initialen Parametersätzen λ p0 analytisch berechneten des 

paketbeschreibenden HMMs. 

Aus der Abbildung 7.10 zeigt sich, dass die mittlere statistische Abhängigkeit der Paketsymbole 

p i für Verschiebungen ν > 2 vom Markov-Modell nicht realistisch wiedergegeben werden 

konnte. Bis auf die mit dem WPAN-Funksystem Mitsumi WML-C20 aufgezeichneten Funkkanäle, 

in denen das Paketverhalten prinzipiell durch einen gedächtnislosen Prozess charakterisiert 

werden kann, der identisch und unabhängig verteilte Paketsymbole p i erzeugt, können die 

verbleibenden Funkkanäle auf diese Weise nicht adäquat beschrieben werden. Auch der Versuch 

den BW-Algorithmus auf die initialen Parametersätze λ p0 anzuwenden, verbesserte nur die Qualität 

der Parametersätze und damit die Anpassung des Modells an die empirische PKF R pp (ν). 

Bereits nach wenigen Iterationsschritten konvergierte der BW-Algorithmus, ohne signifikante 

Parameterverbesserungen zu erzielen. Aufgrund der nur minimal erzielten Parameteroptimierung 

zeigten die aus den initalen und optimierten Parametersätzen analytisch berechneten PKFen 

R pp (ν) in ihren Verläufen keine objektiv erkennbare Unterschiede. Zur Verdeutlichung dieser 

Problematik wurden nachfolgend sowohl der initale Parametersatz λ p0 als auch der optimierte 

Parametersatz λ p3 (Konvergenz nach bereits 3 Iterationen) aufgeführt, der aus dem Messszenario 

Freescale MC 13192-EVB – MH-30m ermittelt wurde. 

119


⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

0,97844 0,014583 0,0069294 

1 0 0 

⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

P p0 = ⎝0,58636 0,27273 0,14091 ⎠, B p0 = ⎝0 1 0⎠ und ⃗π (0) 

p0 = ⃗π p0. (7.5) 

0,71171 0,17117 0,11712 

0 0 1 

⎛ 

⎞ ⎛ ⎞ 

0,97849 0,014583 0,0069297 

1 0 0 

⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ 

P p3 = ⎝0,58636 0,27273 0,14091 ⎠, B p3 = ⎝0 1 0⎠ und ⃗π (0) 

p3 = ⃗π p3. (7.6) 

0,71171 0,17117 0,11712 

0 0 1 

Da der BW-Alogrithmus während der Optimierung nur Elemente der Übergangs- P p und 

Ausgabematrix B p berücksichtigt, deren Werte x im Bereich 0 < x < 1 liegen, beschränkte 

sich dieser nur auf die Optimierung der ZÜWen p ij . Die Flexibilität des paketbeschreibenden 

Markov-Modells ist demnach gegenüber einem HMM deutlich eingeschränkt. 

7.4.2 Optimierung initialer Parametersätze 

Um Abhilfe für diese Problematik zu schaffen, wurde der HMM-Charakter des Modells wieder 

hergestellt. Dazu musste die Ausgabematrix B p dahingehend verändert werden, dass in jedem 

Zustand jedes Paketsymbol emittiert werden kann. Da die zuvor gewonnenen Werte der initalen 

Übergangsmatrix P p0 jedoch weiterhin unverändert bleiben sollten, um die bereits erreichten 

Anpassungen des Modells an die statistischen Eigenschaften erster Ordnung der aufgezeichneten 

Paketsymbolfolgen nicht zu verlieren, dürfen die Werte der Ausgabematrix B p nur 

unwesentlich verändert werden. Um dies zu gewährleisten, wurde allen Elementen b ij mit dem 

Wert null der Wert 10 −3 zugewiesen. Im gleichen Zuge sind die Werte der Elemente b ij mit 

der Wahrscheinlichkeit eins auf den Wert 0,998 herabgesetzt worden, sodass aus B p wieder eine 

stochastische Matrix hergestellt werden konnte. Infolgedessen besitzen alle initialen Ausgabematrizen 

B p0 folgende Form: 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠. (7.7) 

0,001 0,001 0,998 

Um die Arbeitsweise des BW-Algorithmuses ersichtlich zu machen und dessen Bedeutung 

für eine Parameteroptimierung hervorzuheben, wurde in der Abbildung 7.11 nach jedem zehnten 

Iterationsschritt die PKF R pp (ν) mit dem aktuellen Parametersatz analytisch berechnet und dreidimensional 

dargestellt. Dazu wurde auf die Übergangsmatrix P p0 des initalen Parametersatzes 

aus (7.5) zurückgegriffen, wobei die Ausgabematrix nun die Form aus (7.7) besaß. Demzufolge 

120


dient als Vergleichsgröße die in der Abildung 7.10 bereits dargestellte empirische PKF R pp (ν) 

aus dem Messszenario Freescale MC 13192-EVB – MH-30m. 

Freescale MC 13192-EVB - MH-30m 

0.3 

0.25 

0.2 

PKF Rpp(ν) 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

−0.05 

2 

4 

6 


8 

10 

20 

40 

60 

80 

100 

BW-Iterationen i 

Abbildung 7.11. Der Verlauf der PKF R pp (ν) als Funktion der Iterationsschritte i des BW- 

Algorithmus und der Verschiebung (Lag) ν. 

Bereits nach 10 Iterationsschritten lässt sich ein signifikanter Anstieg der Korrelationskoeffizienten 

in der PKF R pp (ν) für ν > 3 erkennen. Für ν ≤ 3 liegen die Werte jedoch noch signifikant 

unter dem Verlauf der empirischen PKF R pp (ν). Mit zunehmender Anzahl an Iterationsschritten 

i des BW-Algorithmuses nähert sich diese aber suksessive immer besser der empirischen 

PKF R pp (ν) an. Nach bschon 100 Iterationsschritten konnte bereits eine gute Übereinstimmung 

zwischen Modell und der Kanalaufzeichnung festgestellt werden. Der ermittelte Parametersatz 

λ p100 := {⃗π (0) 

p100 ,P p100,B 100 } des paketbeschreibenden HMMs lautet für das Messszenario Freescale 

MC 13192-EVB – MH-30m: 

121


P k100 = 

B k100 = 

⎛ 

⎞ 

0,99752 0,0023806 9,696 · 10 −5 

⎜ 

⎟ 

⎝0,0054982 0,8689 0,12561 ⎠, 

0,080134 0,33273 0,58714 

⎛ 

⎞ 

0,99432 0,0016601 0,0040169 

⎜ 

⎟ 

⎝0,88741 0,10685 0,00574 ⎠, ⃗π (0) 

k100 = ⃗π k100 

0,14033 0,55077 0,30891 

(7.8) 

Um die erfolgreiche Applikation dieser Methode für die verbleibenden Kanalaufzeichnungen 

zu untersuchen, wurde diese Prozedur auf die darin ermittelten Paketsymbolfolgen angewandt. 

Die maximale Anzahl an Iterationsschritten des BW-Algorithmuses betrug i max = 2000, 

wobei die Konvergenzschwelle zu k thres = 10 −8 gewählt wurde. Anschließend wurde aus den 

darin ermittelten optimierten Parametersätzen λ px analytisch die PKFen R pp (ν) berechnet, die 

zum Vergleich denen der empirischen Kanalaufzeichnungen gegenübergestellt wurden (vgl. Abbildung 

7.12). Die optimierten Parametersätze λ px können dem Abschnitt E.3 des Anhangs entnommen 

werden. 

0.3 

0.25 



Parametersatz λ p0 

0.12 

0.1 





0.2 

0.08 


0 20 40 60 80 100 

PKF Rpp(ν) 

0.15 

0.1 

0.05 

PKF Rpp(ν) 

0.06 

0.04 

0.02 

PKF Rpp(ν) 

0 

−0.05 

0 20 40 60 80 100 



0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 


Parametersatz λ 0 

PKF Rpp(ν) 

0 

−0.02 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 






Parametersatz λ 1854 

0 20 40 60 80 100 

−0.05 

0 20 40 60 80 100 


−0.1 


Abbildung 7.12. Gegenüberstellung der aus den optimierten Parametersätzen λ px analytisch 

berechneten PKF R pp (ν) mit denen der empirischen Kanalaufzeichnung. 

122

7.5 Kanalkenngrößen erster Ordnung zur Bewertung des neuen hybriden Kanalmodells 

Die Abbildung 7.12 verdeutlicht, dass sich die Maßnahme zur Wiederherstellung des HMM- 

Charakters bei dem paketbeschreibenden Modell nach Anwendung des BW-Algorithmuses sehr 

positiv ausgewirkt hat. Insbesondere wurde es möglich, auch für Verschiebungen ν > 3 das reale 

Korrelationsverhalten anzunähern, was zuvor in der einfachen Markov-Form des Modells nicht 

gelungen ist. 

7.5 Kanalkenngrößen erster Ordnung zur Bewertung des neuen hybriden 

Kanalmodells 

Anhand der guten Übereinstimmung der Verläufe von aKFAV ˜F a c (a), BFD P(m,n) und der Korrelationsfunktionen 

FKF R ee (ν) und AKF R aa (ν) des kanalfehlerbeschreibenden HMMs konnte 

die Qualität des neuen Modells und der stringenten Vorgehensweise bei der Bestimmung der Parametersätze 

überzeugend präsentiert werden. Um jedoch das Zusammenspiel der kanalfehlerund 

paketbeschreibenden HMMe mit den bereits optimierten Parametersätzen λ kx und λ px zu 

beurteilen, wurden die folgenden Kanalkenngrößen: 

• Paketfehlerwahrscheinlichkeit P p 

• Paketverlustwahrscheinlichkeit P l 

• Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e 

analytisch berechnet und mit den entsprechenden Häufigkeiten der empirischen Kanalaufzeichnungen 

(vgl. Abschnitt D des Anhangs) tabellarisch verglichen. 

7.5.1 Die Paketfehlerwahrscheinlichkeit 

Die Paketfehlerwahrscheinlichkeit P p lässt sich einfach aus dem stationären Zustandsvektor⃗π p 

und dem Ausgabevektor ⃗ b p (2) für das Symbol p i = 2(2→ FHD) des paketbeschreibenden 

HMMs folgendermaßen berechnen: 

P p = ⃗π T p ·⃗b p (2). (7.9) 

7.5.2 Die Paketverlustwahrscheinlichkeit 

In identischer Weise errechnet sich die Paketverlustwahrscheinlichkeit P l , jedoch mit dem Unterschied, 

dass nun die Ausgabewahrscheinlichkeit des mit dem Ereignis verlorener Datenpakete 

(VD) assoziieren Paketsymbole p i = 3, vektoriell mit dem stationären Zustandsvektor ⃗π p zu 

multiplizieren ist: 

123


P l = ⃗π T p ·⃗b p (3). (7.10) 

7.5.3 Die Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

Zur Berechnung der Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e ist das Zusammenspiel beider HMMe zu 

berücksichtigen. Dazu muss erst einmal die Paketfehlerwahrscheinlichkeit P p nach Gleichung 

(7.9) kalkuliert werden. Anschließend ist P p mit der Wahrscheinlichkeit zu gewichten, dass zusätzlich 

ein Kanalfehler auftritt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kanalfehler vom kanalfehlerbeschreibenden 

HMM erzeugt wird, errechnet sich einfach mithilfe des stationären Zustandsvektors 

⃗π k des kanalfehlerbeschreibenden HMMs und den Ausgabewahrscheinlichkeiten ⃗ b k (2) 

des Symbols e i = 2 1 nach folgender Gleichung: 

P ke = ⃗π T k ·⃗b k (2). (7.11) 

Um nun das paketbeschreibende HMM bei der Berechnung der resultierenden Kanalfehlerwahrscheinlichkeit 

P e zu berücksichtigen, ist P ke mit der Wahrscheinlichkeit zu gewichten, wie 

häufig das Paketsymbol p i = 2, also ein fehlerhaftes Datenpaket ausgegeben wird. Dies wiederum 

entspricht der bekannten Paketfehlerwahrscheinlichkeit P p : 

P e = P ke · P p = ⃗π T k ·⃗b k (2) ·⃗π T p ·⃗b p (2). (7.12) 

7.5.4 Bewertung der Modellkenngrößen 

Um das Zusammenspiel der kanalfehlerund paketbeschreibenden HMMe und damit die Qualität 

des hybriden Kanalmodells quantitativ zu bewerten, wurden die Kanalkenngrößen Paketfehler- 

P p , Paketverlust- P l und Kanalfehlerwahrscheinlichkeit P e aus den optimierten Parametersätzen 

λ p/kx nach den zuvor vorgestellten Gleichungen (7.9) – (7.12) berechnet. Anschließend 

wurden die berechneten Kanalkenngrößen mit den entsprechenden empirischen Kenngrößen 

Paketfehler-(PER), Paketverlust- (PLR) und Kanalfehlerrate (BER) aus den Kanalaufzeichnungen 

verglichen (vgl. Tabelle (7.1)). 

1 Aufgrund der Unzulässigkeit des Symbols e i = 0 (kein Kanalfehler) während der Anwendung des BW- 

Algorithmuses wurde den Kanalfehlern der Wert e i = 2 und unverfälschten Informationsstellen der Wert e i = 1 

zugeordnet. 

124


Tabelle 7.1. Vergleich der empirisch ermittelten Kanalkenngrößen mit denen des neuen hybriden 

Modells. 

Kanalkenngrößen – Kanalaufzeichnung Kanalkenngrößen – Hybrides Modell 

PER PLR BER P p P l P e 


0,11855 8,3 · 10 −3 2,4066 · 10 −3 0,11856 8,3004 · 10 −3 2,3869 · 10 −3 


0,6225 6,035 · 10 −2 3,3614 · 10 −2 0,62253 6,0353 · 10−2 3,1587 · 10 −2 


0,11695 2,045 · 10 −2 2,6147 · 10 −3 0,11677 2,0417 · 10 −2 2,5588 · 10 −3 


2,2247 · 10 −2 1,11 · 10 −2 2,1988 · 10 −4 2,2008 · 10 −2 1,1103 · 10 −2 2,1752 · 10 −4 


0,26345 3,995 · 10 −2 1,2649 · 10 −3 0,26347 3,9952 · 10 −2 1,2141 · 10 −3 


3,25 · 10 −2 3,62 · 10 −2 5,3712 · 10 −4 3,2521 · 10 −2 3,7025 · 10 −2 5,1744 · 10 −4 

Panasonic PAN5460 – MH-40m 

0,4088 3,735 · 10 −2 1,0586 · 10 −3 0,40734 3,7161 · 10 −2 1,0129 · 10 −3 

Panasonic PAN5460 – MH-RAND 

0,1335 0,1369 1,3436 · 10 −3 0,13351 0,13692 1,1598 · 10 −3 

Auch anhand dieses Vergleichs zeigt sich erneut eine sehr gute Übereinstimmung der modellierten 

Kanalkenngrößen mit den Kenngrößen der aufgezeichneten WPAN-Funkkanäle. Ingesamt 

bescheinigen die durchgeführten Untersuchungen zum Vergleich der modellierten Kanalkenngrößen 

mit den empirischen der aufgezeichneten Funkkanäle, dass das hybride Kanalmodell 

sehr fexible Eigenschaften besitzt und sich hervorragend zur Simulation der in dieser 

Arbeit untersuchten WPAN-Funksysteme eignet. 


In diesem Kapitel wurde ein neues Modell zur digitalen generativen Simulation von WPAN- 

Funktechnologien vorgestellt. Als Entwicklungsgrundlage des neuen Modells dienten empirische 

digitale Kanalaufzeichnungen mit WPAN-Funksystemen, die die Standards IEEE 802.15.1, 

IEEE 802.15.4 und nanoNET repräsentierten. Aufgrund diverser Problematiken, die im Rahmen 

der ausschnittsweisen Kanalaufzeichnung auftraten, und der notwendigen Erfassung aller Paketereignisse 

”Fehlerfreie Datenpakete” (FFD), ”Fehlerhafter Datenpakete” (FHD) und ”Verlorener 

Datenpakete” (VD) wurde entschieden, das Kanalfehler- und Paketübertragungsverhalten 

jeweils durch separate, voneinander unabhängige HMMe zu modellieren. In diesem Zusammenhang 

wurde das neue Modell mit dem begrifflichen Zusatz ”hybrid” versehen. 

Insbesondere zeichnet sich das hybride Modell gegenüber anderen etablierten Kanalmodellen 

durch die Entwicklung stringenter Vorgehensweisen zur Schätzung adäquater Parametersätze 

aus. Das kanalfehlerbeschreibende HMM nutzt dazu die aus den empirisch aufgezeichneten 

125


Kanalfehlern e ij abgeleiteten Blockfehler b (n) 

ij 

, die in der Blockfehlermatrix BL (n) organisiert 

sind. Da die Blockfehler b (n) 

ij 

als mittlere Kanalfehleranzahl in einem Segment der Länge n betrachtet 

werden können, definiert jede Blockfehlerklasse quasi eine mittlere Wahrscheinlichkeit 

P ei = b (n) 

ij 

/n, mit der Kanalfehler e ij auftreten. Die Festlegung, dass im kanalfehlerbeschreibenden 

HMM jeweils ein Zustand genau für die Erzeugung von Kanalfehlern einer dieser Klassen 

verantwortlich ist, eröffnete die Möglichkeit, von den aufgezeichneten Kanalfehlerfolgen 

auf die potenziell erzeugenden Zustandsfolgen des HMMs zurückzuschließen. Es konnte 

somit indirekt der HMM-Charakter des Modells umgangen werden. Demnach konnten die 

Wahrscheinlichkeiten P ei bzw. deren Komplemente (1 − P ei ) gut als initiale Schätzwerte für die 

Elemente der initialen Ausgabematrix B k0 herangezogen werden. Die initialen Elemente der 

Übergangsmatrix P k0 konnten wiederum einfach aus den Übergangshäufigkeiten zwischen den 

Blockfehlern e ij → e i+1 j angenähert werden. Die Menge der Zustände des kanalfehlerbeschreibenden 

HMMs wird demzufolge durch die Fensterbreite n festgelegt, mit der die Kanalfehler 

in die Blockfehler überführt wurden. Im Rahmen empirischer Untersuchungen in dieser Arbeit 

konnte als Vorschlag für einen effizienten Fensterbreitenwert n = 10 angegeben werden. Obwohl 

die aus den initialen Parametersätzen λ k0 berechneten Kanalstatistiken aKFAV ˜F a c (a) und 

BFD P(m,n) besser mit den empirischen übereinstimmten, als es mit den Statistiken bekannter 

Kanalmodelle (vgl. Abschnitte 4.2 – 4.5) der Fall war, blieben weiterhin signifikante Diskrepanzen 

zu erkennen. Um diese Abweichungen noch weiter zu minimieren, konnte erfolgreich 

der BW-Algorithmus für eine zusätzliche Parameteroptimierung genutzt werden. Dies spiegelte 

insbesondere die gute Übereinstimmung der Kanalstatistiken aKFAV ˜F a c (a) und BFD P(m,n) 

des kanalfehlerbeschreibenden HMMs und der empirischen Kanalaufzeichnungen wider. 

Für die Beschreibung des Paketübertragungsverhaltens wurde ebenfalls ein HMM entwickelt, 

das die Erzeugung der Paketereignisse fehlerfreie, fehlerhafte und verlorene Datenpakete übernahm. 

Strukturell besteht das HMM aus drei Zuständen, die zu Beginn jeweils nur für die Ausgabe 

eines der mit den Paketereignissen (FFD, FHD, VD) assoziierten Werte der charakteristischen 

Paketsymbole p i ∈{1,2,3} zuständig sind. Da die Ausgabematrix B p dadurch die Form einer 

3 × 3 Einheitsmatrix aufweist, konnte der HMM-Charakter aufgehoben und das Modell in ein 

klassisches Markov-Modell überführt werden. Auf Basis der damit gewonnenen Rückschlussfähigkeit 

von der Paketsymbolfolge auf die erzeugende Zustandsfolge konnten einfach 

initiale Parametersätze λ p0 durch die Übergangshäufigkeiten zwischen den empirischen Paketsymbolen 

p i ↔ p i+1 geschätzt werden. Da jedoch die interne Korrelation der Paketsymbole mit 

den initialen Parametersätzen λ p0 nur unzureichend erfasst wurde, konnte keine gute Übereinstimmung 

in den Verläufen der PKF R pp (ν) zwischen Modell und den empirischen Kanalaufzeichnungen 

festgestellt werden. Auch die zusätzliche Anwendung des BW-Algorithmuses 

brachte keinen wesentlichen Fortschritt. Daher wurde entschieden, eine Flexibilitätserhöhung 

durch Wiederherstellung des HMM-Charakters durchzuführen. Dazu wurde die bisherige Einheitsmatrizenform 

der Ausgabematrix B p aufgehoben, indem alle Elemente mit dem Wert null 

den Wert 10 −3 zugewiesen bekamen. Um die für B p0 notwendige Eigenschaft einer stochasti- 

126


schen Matrix zu wahren, wurde den verbleibenden Elementen der Wert 0,998 zugeordnet. Nach 

erneuter Anwendung des BW-Algorithmuses konnte mit den nun optimierten Parametersätzen 

λ px eine deutlich verbesserte Anpassung an die Kanalstatistik PKF R pp (ν) umgesetzt werden. 

Im abschließenden Abschnitt dieses Kapitels wurde das Zusammenspiel des kanalfehlerund 

paketbeschreibenden HMMs untersucht. Dazu wurden Kanalstatistiken erster Ordnung der hybriden 

Modellstruktur den äquivalenten Kenngrößen aus den empirischen Kanalaufzeichnungen 

gegenübergestellt. Auch hier zeigte sich eine außerordentlich gute Übereinstimmung. Insgesamt 

rechtfertigen die in diesem Kapitel durchgeführten Untersuchungen zur Leistungsfähigkeitsbeurteilung 

wissenschaftlich die Entwicklung dieses neuen hybriden, digitalen Kanalmodells. 

127

8 Zusammenfassung und Ausblick 

Im letzten Kapitel 8 wird nachfolgend eine Zusammenfassung über die essentiellen Bestandteile 

dieser Dissertation gegeben. Den Abschluss dieses Kapitels bildet ein Ausblick, in dem die in 

dieser Arbeit entwickelten, weiterführenden Ideen und Ansätze vorgestellt sind. 


Eine exakte generative Modellierung empirisch aufgezeichneter, digitaler Funkkanäle ist aus 

zweierlei Aspekten besonders für industrielle Anwendungen von großem Interesse. Erstens können 

exakte Leistungsbewertungen von WPAN-Funktechnologien realisiert werden, mit denen 

ihre Einsetzbarkeit unter Berücksichtigung von Kommunikationsanforderungen (Ausfallwahrscheinlichkeiten, 

Zeitverhalten) anhand etablierter statistischer Methoden berechenbar sind. 

Dies liegt daran, dass die komplexen realen Übertragungseigenschaften von Funksystemen (Kanalfehlerverhalten, 

Paketübertragungsverhalten) nunmehr in Form der Modellparameter formuliert 

sind und jederzeit und an jedem Ort reproduziert werden können. Zweitens eröffnet die 

generative Beschreibungsform den Entwurf von Protokollen und Primitiven, die oberhalb der 

Physikalischen Schicht im OSI-Referenzmodell angesiedelt sind, in dem ein realistisches Übertragungsverhalten 

simuliert werden kann. 

Die vorliegende Arbeit hatte daher zum Ziel, ein digitales Funkkanalmodell zu entwickeln, 

mit dem WPAN-Funkkanäle anhand von empirischen Kanalaufzeichnungen möglichst realistisch 

beschrieben und simuliert werden können. Um die dafür notwendigen Grundvoraussetzungen 

und Modelleigenschaften zu identifizieren, wurde ein pragmatischer Ansatz gewählt, 

indem mit drei unterschiedlichen WPAN-Funksystemen in zwei industriellen Umgebungen empirische 

Kanalaufzeichnungen durchgeführt wurden. Es handelte sich dabei um Funksysteme 

der WPAN-Technologien IEEE 802.15.1, IEEE 802.15.4 und nanoNET. 

Da WPAN-Funksysteme generell ihren Datenaustausch in Paketen umsetzen, war es nicht 

möglich, lange Ausschnitte aus der kanalrepräsentierenden unendlichen Fehlerfolge aufzunehmen. 

Stattdessen konnten nur kurze Ausschnitte einer maximalen Länge von 800 Symbolen 

aufgezeichnet werden. Da der statistische Zusammenhang zwischen den in den Ausschnitten 

enthaltenen Elementen unbekannt war, wurde entschieden, statistische Analysen der Kanalfehler 

ausschließlich paketintern bzw. auf die einzelnen Ausschnitte zu begrenzen. Anstelle der 

folgenweisen Behandlung erfolgte die Abspeicherung der Kanalfehler daher in Form von Matrizen. 

Als problematisch stellte sich die Berechnung der FKF R ee (ν), AKF R aa (ν) und KFAV 

128


Fa c (a) des FAP {A t } heraus, da mit der ausschnittsweisen Kanalfehleraufzeichnung die Erfassungswahrscheinlichkeit 

von Fehlerabständen a i mit zunehmender Länge reduziert wird. Um für 

dieses Problem Abhilfe zu schaffen, wurden formale Korrekturen an den Berechnungsvorschriften 

der o.g. Kanalstatistiken präsentiert. Ferner konnte damit die Anwendbarkeit der Linearen 

Regression zur Parameterschätzung erneurender Modelle gewahrt werden. 

In den anschließend durchgeführten Analysen wurde festgestellt, dass die aufgezeichneten 

WPAN-Funkkanäle größtenteils als gedächtnisbehaftet und nicht-erneuernd einzustufen waren. 

Mithilfe der bereits wissenschaftlich etablierten, digitalen Modelle nach Gilbert, Gilbert-Elliott, 

Fritchman und McCullough wurde weiterführend untersucht, ob sich diese bereits zur Modellierung 

der aufgezeichneten Funkkanäle eignen und auf die Entwicklung einer neuartigen Modellstruktur 

verzichtet werden kann. Es stellte sich jedoch heraus, dass dies nicht der Fall ist. 

Zwar konnten durch Anwendung der Linearen Regression an die korrigierten aKFAVen ˆF a c (a) 

für erneuernde Kanalmodelle systematisch und mit geringem Aufwand Parametersätze geschätzt 

werden, doch zeigte sich, dass die daraus berechneten BFD P(m,40) starke Abweichungen gegenüber 

den empirischen Kanalaufzeichnungen aufwiesen. Aufgrund zahlreicher Indizien wurde 

geschlussfolgert, dass mit großer Wahrscheinlichkeit erneuernde Modelle für die Charakterisierung 

der aufgezeichneten WPAN-Funkkanäle ungeeignet sind. 

Unter diesen Aspekten wurde untersucht, inwieweit nicht-erneuernde Modelle wie das Gilbert- 

Elliott und McCullough Modell an deren Stelle eingesetzt werden können. Im Rahmen dieser 

Analysen stellte sich heraus, dass die Bestimmung adäquater Parametersätze für diese Modelle 

aus den Kanalaufzeichnungen aufgrund fehlender Systematik sehr schwierig ist. Auch der 

strukturelle Vorteil des MC-Modells durch die Bedingung, dass ein Zustandsübergang nur nach 

einem Kanalfehler erfolgen darf, konnte nicht signifikant genutzt werden. Diese Erkenntnis begründet 

sich darin, dass die von McCullough vorgeschlagene Vorgehensweise zur Parametrierung 

durch die statistische Auswertung von Fehlerabständen erfolgt. Aufgrund der paketweisen 

Kanalaufzeichnung war es jedoch nicht möglich, lange und paketübergreifende Fehlerabstände 

zu erfassen, um damit den FAP {A t } des aufgezeichneten Kanals realistisch beschreiben zu können. 

Zwar hätten theoretisch Suchverfahren im Parameterraum eines Modells nach erheblichem 

Rechenaufwand optimale Parametersätze ermitteln können, jedoch wurde aufgrund des hohen 

Zeitaufwandes und damit beschränkte Anwendbarkeit von einer Applikation dieser abgesehen. 

Als wesentliche Erkenntnis dieser Untersuchungen ist anzumerken, dass die Existenz einer systematischen 

Vorgehensweise bei der Parameterschätzung, insbesondere bei nicht-erneuernden 

Kanalmodellen, genauso wichtig ist wie die strukturelle Fähigkeit eines digitalen Modells die 

statistischen Eigenschaften von Kanalfehlern charakterisieren zu können. 

Da in der Aufgabenstellung bereits formuliert wurde, dass auch Leistungsbewertungen unterstützt 

werden sollen, wurde entschieden, ein neues Modell zu entwickeln, das aus einem HMM 

zur Kanalfehlerbeschreibung und einem HMM zur Charakterisierung des Paketübertragungsverhaltens 

besteht. Strukturell eröffnete dies die Möglichkeit, alle auftretenden Paketereignis- 

129

8 Zusammenfassung und Ausblick 

se, beispielsweise das Auftreten von fehlerfreien, fehlerhaften und verlorenen Datenpaketen, 

mit statistischen Methoden zu beschreiben. Unabhängig davon wurden die Kanalfehler durch 

ein weiteres nicht-erneuerndes HMM simuliert. Aufgrund dieser Struktur, bestehend aus zwei 

HMMen, wurde der begriffliche Zusatz ”hybrid” eingeführt. Als weiterer besonderer Fortschritt 

ist die entworfene systematische Vorgehensweise bei der Parameterbestimmung hervorzuheben, 

die auf Adouls Zusammenhang zwischen der MFAD fa m (a) und der BFD P(m,n) beruht. Darin 

wurde ausgenutzt, dass auch Blockfehler b (n) 

ij zur indirekten Erfassung der statistischen Abhängigkeit 

von Fehlerabständen a i ↔ a i+1 herangezogen werden können. Da diese auch bei einer 

ausschnittsweisen Kanalaufzeichnung gut zu erfassen sind, konnten effiziente initiale Parametersätze 

λ k0 geschätzt werden. Diese konnten durch zusätzliche Anwendung des BW-Algorithmus 

erfolgreich weiter optimiert werden. 

Für das paketbeschreibende HMM wurde ebenfalls eine Methode entwickelt, nach der eine 

systematische Parameterschätzung realisiert werden konnte. Dazu wurde das HMM in ein 

Markov-Modell überführt, indem die Ausgabematrix B p die Form einer Einheitsmatrix zugewiesen 

bekam. Infolgedessen konnten die Ausgabematrizen P p durch die Übergangshäufigkeiten 

der Paketsymbole geschätzt werden und initale Parametersätze λ p0 ermittelt werden. Es stellte 

sich jedoch heraus, dass das paketbeschreibende Modell mit diesen initialen Parametersätzen 

nicht in der Lage war, die Korrelation der Paketsymbole, insbesondere für Verschiebungen 

ν > 3, zu charakterisieren. Auch eine zusätzliche Anwendung des BW-Algorithmuses schaffte 

keine Abhilfe. Daher wurde entschieden, den HMM-Charakter wieder herzustellen, indem 

die Elemente der Ausgabematrix B p mit dem Wert null den Werte 10 −3 zugewiesen bekamen. 

Da es sich bekanntlich bei B p um eine stochastische Matrix handelt, wurden die verbleibenden 

Elemente auf den Wert 0,998 reduziert. Die anschließende Anwendung des BW-Algorithmuses 

zeigte eine deutliche Verbesserung, indem die aus den nun optimierten Parametersätzen λ px errechneten 

PKF R pp (ν) besser mit den empirischen übereinstimmten. 

Eine abschließende tabellarische Gegenüberstellung der Kenngrößen Kanalfehler- P e , Paketfehler- 

P p und Paketverlustwahrscheinlichkeit P l des neuen hybriden Modells mit den arithmetischen 

Mittelwerten aus den empirischen Kanalaufzeichnungen bestätigten dessen Qualität. 

Außerdem rechtfertigen sie wissenschaftlich die Neuentwicklung des hybriden Kanalmodells. 

8.2 Fazit und Ausblick 

Mit dem hybriden Modell zur generativen Modellierung von WPAN-Funksystemen wurde nicht 

nur ein neues Modell entworfen, sondern auch eine stringente Vorgehensweise zur Ermittlung 

qualitativ guter Parametersätze λ entwickelt, die sich im Rahmen dieser Dissertation erfolgreich 

behaupten konnte. Prinzipiell besitzt es keine Freiheitsgrade, sodass auch ohne Expertenwissen 

eine Parametrierung des Modells einfach durchgeführt werden kann. Trotzdem sei an dieser 

Stelle erwähnt, dass es keine Garantie dafür gibt, dass sich alle nach dieser Methode initial 

130

8.2 Fazit und Ausblick 

ermittelten Parametersätze durch die zusätzliche Anwendung des BW-Algorithmus erheblich 

optimieren lassen, auch wenn es in dieser Arbeit praktisch der Fall war. 

Obwohl das zur empirischen Kanalaufzeichnung entwickelte Analyseframework gut funktionierte, 

zeigte es Schwächen in der Anwendbarkeit. Insbesondere schränkt die kabelgebundene 

Installation des Rückkanals die Durchführung schneller mobiler Messszenarien aus. Zusätzlich 

war die Installation des notwendigen Ethernets mit hohem Aufwand verbunden. Daher liegt 

die Überlegung nahe, ein ”schlankeres” Evaluationssystem zu entwickeln, das zumindest keinen 

kabelbasierenden Rückkanal mehr besitzt. Die Bearbeitung dieser Problemstellung könnte 

zukünftig vom Umfang her in einer Diplom- oder Masterarbeit erfolgen. 

Des Weiteren sollte in Erwägung gezogen werden, die Auswirkung höherwertiger Modulationsverfahren 

auf das Kanalfehlerverhalten gesondert in das Modell einfließen zu lassen. Angeregt 

wurde diese Idee durch die mit dem Funksystem Freescale MC 13192-EVB aufgezeichneten 

Kanalfehlern, aus denen sich ein Korrelationskoeffizient Kor 1 zwischen benachbarten Kanalfehlern 

e i ↔ e i+1 von etwa ≈ 0,5 errechnen ließ. Tritt ein Kanalfehler auf, deutet es im 

Mittel darauf hin, dass das nächste Informationsbit mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 50% 

ebenfalls fehlerhaft sein wird. Diese Eigenschaft spiegelte sich auch in den Verläufen der empirischen 

BFDen P(m,40) wider, insbesondere in den Eigenschaften folgender Werte der BFDen 

P(1,40) < P(2,40). Aus diesem Grund liegt die Überlegung nahe, das kanalfehlerbeschreibende 

HMM derart strukturell zu modifizieren, dass es die Simulation von Symbolfehlern ermöglicht, 

die anschließend durch ein weiteres HMM in die klassischen Kanalfehler transformiert werden. 

Eine andere Möglichkeit wäre, dass das kanalfehlerbeschreibende HMM symbolweise Kanalfehler 

erzeugt. Im Falle einer achtwertigen Modulation besäße dann ein HMM mit 4 Zuständen 

eine Ausgabematrix B k der Dimension 4 × 8. Dann jedoch wäre der Vorteil dieses neuen 

hybriden Modells, die stringente Methode zur systematischen Parameterschätzung, wiederum 

aufgehoben. 

131

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In: IEEE Journal on Selected Areas in Communications 16 (1998), Dec., Nr. 9, S. 

1809–1817 

[84] CAMBRIDGE SILICON RADIO LIMITED: BlueCore 2 External, Single Chip Bluetooth 

System, Production Information Data Sheet for BC2120015 (USB and UART version). Document 

Number: BC21015-ds-001Pi, 2004 

[85] FREESCALE SEMICONDUCTOR: MC 13192/MC 13193 - 2.4 GHz Low Power Transceiver 

for the IEEE 802.15.4 Standard - Reference Manual. Document Number: MC13192RM, 

Rev: 1.3, 2005 

[86] FREESCALE SEMICONDUCTOR: MC 13192 Evaluation Board - Reference Manual. Document 

Number: MC13192EVBRM Rev:1.0, 2004 

[87] FREESCALE SEMICONDUCTOR: Simple Media Access Controller (SMAC) - User Guide. 

Document Number: SMACRM Rev:1.2, 2005 

[88] PANASONIC ELECTRONIC DEVICES EUROPE: Evaluierungsboard PAN 5460. Document 

Number: DS-Eval5460-2400 Rev. D, 2005 

137

A WPAN-Funksysteme zur empirischen Analyse digitaler 

Funkkanäle 

Im vorliegenden Abschnitt A des Anhangs werden drei WPAN-Funksysteme vorgestellt, mit 

denen digitale Funkkanäle unter industriellen Ausbreitungsbedingungen untersucht wurden. Als 

Repräsentanten der WPAN-Funktechnologien IEEE 802.15.1, IEEE 802.15.4 und nanoNET 

wurden die Funksysteme/-module Mitsumi WML-C20, Freescale MC 13192-EVB und Panasonic 

PAN 5460 ausgewählt. Um eine Vergleichbarkeit der Funksystemeigenschaften auch untereinander 

gewährleisten zu können, wurde versucht, weitestgehend gleiche experimentelle Bedingungen 

zu schaffen. Einerseits zählte dazu die Verwendung gleicher Sende- und Empfangsantennen 

mit annähernd isotropen Abstrahlcharakter, um den Einfluss von Antennengewinnen 

bzw. -verlusten zu kompensieren. Andererseits wurde die Sendeleistung der Funksysteme einheitlich 

auf den Wert 0 dBm (1 mW) eingestellt. Die exakte Adjustierung der Sendeleistung 

wurde messtechnisch mit einem Power Meter HP 438 A überprüft. 

A.1 IEEE 802.15.1 – Mitsumi WML-C20 

Die WPAN-Funktechnologie IEEE 802.15.1 wurde durch das Funkmodul Mitsumi WML-C20 

[3] repräsentiert. Im Funkmodul befindet sich der IEEE 802.15.1 konforme Transceiver BlueCore 

2 [84] von Cambrigde Silicon Radio (CSR). Die Integration des Mitsumi WML-C20 in das 

Analyseframework erfolgte durch den direkten Anschluss an die Funkadapter über die HCI-H4 

Schnittstelle. Aufgrund der maximalen Sendeleistung von etwa 15 dBm ist das Mitsumi WML- 

C20 der Leistungsklasse 1 einzuordnen und verfügt über eine adaptive Regelung der Sendeleistung. 

Dafür besitzt der BlueCore 2 eine indizierte Leistungstabelle, in der mehrere 8 Bit Werte 

”Int” für seinen internen Leistungsverstärker eingetragen sind. Wird zwischen zwei kommunizierenden 

Funksystemen vereinbart die Sendeleistung zu erhöhen oder zu vermindern, so wird 

der aktuelle Index dieser Leistungstabelle in-, bzw. dekrementiert und infolgedessen die Sendeleistung 

verändert. 

Zur Deaktivierung der Sendeleistungsregelung wurden alle Einträge der Leistungstabelle auf 

eine Sendeleistung auf 0 dBm eingestellt. Um den dafür notwendigen Wert Int zu ermitteln, 

wurde auf die Anwendung BlueTest (siehe Abbildung A.2) aus der BlueSuite von CSR zurückgegriffen, 

um den Zusammenhang zwischen dem Wert Int und der effektiven Sendeleistung 

direkt am SMA-Anschluss des Mitumi WML-C20 zu messen. Die Anwendung BlueTest er- 

138

A WPAN-Funksysteme zur empirischen Analyse digitaler Funkkanäle 

Abbildung A.1. Das CSR Casira Entwicklungsboard mit dem Mitsumi WML-C20 Bluetooth 

Modul. 

laubt über eine grafische Benutzeroberfläche die Aktivierung von IEEE 802.15.1 konformen 

RF-Testmodi in einem BlueCore Transceiver. 

Für die Messung der Sendeleistung wurde das Mitsumi WML-C 20 mit BlueTest derart konfiguriert, 

dass es DH-5 Datenpakete mit maximaler Nutzdatenlänge von 339 Byte und minimalen 

zeitlichen Abstand versendet. Der Duty-Cycle betrug weniger als 0,5 %. Es konnte somit 

ein quasi kontinuierlicher Sendeprozess nachgeahmt werden. Die Nutzdaten wurden entsprechend 

der Pseudo Random Bit Sequence 9 (PRBS 9) erzeugt und in die Nutzdatenfelder der 

DH-5 Datenpakete eingebettet. Während der messtechnischen Analyse der Sendeleistung wurde 

schrittweise Int inkrementiert. Den dabei gemessen Verlauf der Sendeleistung als Funktion 

des Registerwertes Int stellt die Abbildung A.3 dar. 

Es wurde ein ansteigender Verlauf der Sendeleistung bis zu Int = 60 gemessen, der bis zu 

einem Wert von 70 konstant blieb. Danach fiel die Sendeleistung wieder stark ab. Demnach 

scheint der dynamische Einstellbereich bei Int = {0,...,60} zu liegen. Des Weiteren wurde 

festgestellt, dass anstelle der im Datenblatt [3] angegebenen maximalen Sendeleistung in Höhe 

von 20 dBm (vgl. auch Tabelle A.1), diese nur 15,8 dBm betrug. Für die in dieser Arbeit einzustellende 

Sendeleistung von 0 dBm konnte ein Wert von Int = 9 ermittelt werden. Weitere 

technische Daten über das Mitsumi WML-C20 können der nachfolgenden Tabelle A.1 entnommen 

werden. 

139


Abbildung A.2. Die Anwendung BlueTest zur Analyse und Adjustierung der effektiven Sendeleistung 

auf 0 dBm bei dem Mitsumi WML-C20. 

20 

Analyse der Sendeleistung Mitsumi WML C-20 

Sendeleistung (dBm) am Antennenanschluss 

15 

10 

5 

0 

−5 

−10 

−15 

−20 

X= 9 

Y= −0.1 

X= 60 

Y= 15.6 

−25 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 

Registerwert INT 

Abbildung A.3. Der gemessene Verlauf der effektiven Sendeleistung am Antennenanschluss als 

Funktion des Registerwertes Int. 

140


Tabelle A.1. Weitere technische Daten über das Mitsumi WML-C20 aus dessen Datenblatt [3]. 

Mitsumi WML-C20 

↓ Eigenschaft 

Frequenzbereich ISM 2,45 GHz 

Design 

HCI/RFCOMM Modul 

Chipsatz 

BlueCore 2 external 

Max. Sendeleistung 20 dBm (Class 1) 

Architektur 

Single/Two-Chip 

BT Qualifizierung V 1.2 

Versorgungspannung 3.3 V 

Firmware Version Rev. 0x490 (HCI 18.1) 

A.2 IEEE 802.15.4 – Freescale MC 13192-EVB 

Als WPAN-Funktechnologie IEEE 802.15.4 konformer Transceiver wurde der Freescale MC 

13192 [85] eingesetzt, der ausschließlich den 2,4 GHz Frequenzbereich unterstützt. Dieser ist 

Bestandteil des Entwicklungsboards Freescale MC 13192-EVB [86] (siehe Abbildung A.4), 

welches über eine RS-232 verfügt und daher einfach in das Analyseframework integriert werden 

konnte. Die effektive Sendeleistung des Entwicklungsboards MC 13192-EVB kann von -27 

dBm bis auf maximal +4 dBm in der Firmware eingestellt werden. Die Empfindlichkeit des 

Empfängers ist laut Datenblatt [86] mit -92 dBm bei einer Paketfehlerrate von < 10 −2 angegeben. 

Abbildung A.4. Das Freescale MC 13192-EVB Entwicklungsboard. 

Für die Bearbeitung von Primitiven der Protokollschichten, die über der Physikalischen 

Schicht angeordnet sind, ist zusätzlich ein 8-Bit Mikrocontroller vom Typ Freescale MC 908HCS08 

141


GT60 der Familie HCS08 auf dem MC 13192-EVB vorhanden. Dieser verfügt über 60 kByte 

Flash- und 4 kByte RAM-Speicher. Neben einem ZigBee-konformen Protokollstack vom Hersteller 

Figure8, ist es möglich für Evaluationen und kleinere Anwendungen die leichtgewichtige 

Simple MAC (SMAC) [87] von Freescale als alternativen Protokollstack zu verwenden. 

Die SMAC unterstützt grundlegende Funktionen und Primitiven der Physikalischen Schicht, die 

teilweise konform zu der IEEE 802.15.4 Spezifikation sind, sodass die Übertragung von IEEE 

802.15.4 PHY-Datenpaketen damit realisiert werden konnte. Zusätzlich ist es möglich über die 

Softwarebibliotheken der SMAC auf den Link Quality Indicator (LQI) Wert zuzugreifen, der die 

Empfangssignalleistung der ersten Symbole eines Datenpakets angibt. Der LQI-Wert wird für 

jedes empfangene Datenpaket exakt über eine Dauer von 64 µs während des Empfangs der Präambel 

(entspricht der halben Präambellänge) gemessen [87]. Um den Einfluss von Bauteil- und 

Fertigungstoleranzen bei der Messung der Empfangsleistung kompensieren zu können, verfügt 

der MC 13192 über ein Kalibrierungsregister (Register 04[7-0] - CCA_Thresh) zur Berechnung 

des LQI-Wertes. Referenzmessungen ergaben einen Wert für CCA_Thresh von 0xA2. 

Die damit erreichbare Messgenauigkeit betrug ± 0,5 dBm. 

Für die Messung und Einstellung der effektiven Sendeleistung beim Freescale MC 13192- 

EVB war keine zusätzliche Konfigurationssoftware erforderlich. Stattdessen stellt die SMAC- 

Bibiothek [87] entsprechende Bibliotheksfunktionen zur Verfügung mit denen das MC 13192- 

EVB derart eingestellt werden kann, dass es kontinuierlich PRBS-9 Sequenzen sendet. Die Einstellung 

der Sendeleistung wiederum erfolgte über das Register 12[7:6:5:4] - PA_Lvl (vgl. 

[85]). Die dabei gemessenen effektiven Sendeleistungen in Abhängigkeit von den Registerwerten 

stellt die Abbildung A.5 dar. 

142


5 

Analyse der Sendeleistung Freescale MC 13192 


0 

−5 

−10 

−15 

−20 

X: 14 

Y: 0.1 

−25 

0 5 10 15 

Registerwert 12[7 : 6 : 5 : 4] 


Funktion des Registerwertes 12[7:6:5:4]. 

Der gesuchte Wert des Registers 12[7:6:5:4] für eine effektive Sendeleistung von etwa 0 dBm 

konnte messtechnisch zu 14 ermittelt werden. 

A.3 nanoNET - Panasonic PAN 5460 

Für die Evaluierung von nanoNET-basierenden, digitalen Funkkanälen, wurde das Entwicklungsboard 

Panasonic PAN 5460 (siehe Abbildung A.6) verwendet. Als Transceiver enthält das 

PAN 5460 Modul den TRX-Transceiver (NA1TR8) [4] von Nanotron Technologies. Das PAN 

5460 verfügt ebenfalls über einen Mikrocontroller vom Typ Freescale MC 908HCS08 GT60 

zur Bearbeitung zusätzlicher Protokollprimitven, der über das SPI mit dem TRX-Transceiver 

verbunden ist. Externen Anwendungen stellt das Panasonic PAN 5460 zur Kommunikation eine 

serielle RS-232 Verbindung zur Verfügung. 

143


Abbildung A.6. Das Panasonic PAN 5460 Entwicklungsboard. 

Die Sendeleistung des PAN 5460 kann prinzipiell im Bereich von -32,9 dBm bis + 7 dBm in 

19 Leistungsstufen eingestellt werden. Die Empfängerempfindlichkeit wird im Datenblatt [88] 

mit -92 dBm bei einer mittleren Kanalfehlerrate von 10 −3 angegeben. Zur Messung der Sendeleistung 

wurde das von Panasonic auf dem PAN 5460 vorinstallierte Testprogramm verwendet. 

Mit Hilfe eines Terminalprogramms (z.B. Minicom) ist es möglich, das PAN 5460 derart zu 

konfigurieren, dass es kontinuierliche Chirp-Signale aussendet. Eine aktive Einstellung der Sendeleistung 

wurde jedoch nicht unterstützt, sodass Firmwareänderungen auf dem Mikrocontroller 

MC 908HCS08 GT60 durchgeführt werden mussten. Im Rahmen der anschließend durchgeführten 

Messungen, konnte eine gute Übereinstimmung zwischen den Datenblattangaben [88] und 

den tatsächlich gemessenen, effektiven Sendeleistungen festgestellt werden. Die messtechnische 

Genauigkeit betrug ≈±0,5 dB. Die nachfolgende Abbildung A.7 zeigt den Verlauf der Sendeleistung 

am SMA-Antennenanschluss des Panasonic PAN 5460 als Funktion der eingestellten 

Leistungsstufe. Die maximal einstellbare Sendeleistung betrug dabei 6,2 dBm. Dies entsprach 

der Leistungsstufe 18. Für die in dieser Arbeit durchgeführten Kanalaufzeichnungen wurde die 

Leistungsstufe 11 gewählt; das entsprach in etwa der gesuchten, effektiven Sendeleistung von 0 

dBm. 

144


10 

Analyse der Sendeleistung Panasonic PAN 5460 


5 

0 

−5 

−10 

−15 

−20 

−25 

−30 

X: 11 

Y: −0.1 

X: 18 

Y: 6.2 

−35 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 

Leistungsstufe 


Funktion der einstellbaren Leistungsstufen. 

Weitere technische Daten über den TRX-Transceiver (NA1TR8) aus dessen Datenblatt [4] 

können der Tabelle A.2 entnommen werden. 

Tabelle A.2. Weitere technische Daten über den TRX-Transceiver (NA1TR8) aus dessen Datenblatt 

[4]. 


TRX-Transceiver (NA1TR8) 

Frequenzband 

ISM 2,44175 GHz 

Bandbreite 

eff. 64 MHz 

Prozessgewinn 

17 dB 

Eingangsempfindlichkeit -90 dBm@BER= 10 −3 

RSSI Empfindlichkeit -100 dBm 

Max. Sendeleistung +10 dBm 

Reichweite (Gebäude) 60 m 

Reichweite (Freifeld) 700 m 

Datenrate 

bis zu 2 Mbit 

s 

Versorgungsspannung 2,38 V - 3,6 V (unreguliert) 

Max. Stromaufnahme TX = 70 mA, RX = 33 mA 

Standby Stromaufnahme geringer als 1µA typ. 

Temperaturbereich -40 °C to 85 °C 

145

B Beschreibung der industriellen Umgebungen 

Nach dem die WPAN-Funksysteme im voherigen Abschnitt vorgestellt wurden, folgt nun im 

Abschnitt B des Anhangs die Beschreibung der industriellen Umgebungen in denen die digitalen 

Funkkanäle aufgezeichnet wurden. Dabei handelte es sich um ein Hochregallager und eine 

klassische Maschinenhalle, erbaut in den achtziger Jahren. 

B.1 Hochregallager 

Industrielle Umgebungen stellen für Funksysteme aufgrund des häufig starken Einflusses der 

Mehrwegeausbreitung und diverser Bewegungen im Ausbreitungsumfeld besondere Herausforderungen 

dar. Um beurteilen zu können in wieweit Funksysteme auch unter diesen schwierigen 

Bedingungen zuverlässig funktionieren, sind entsprechende Studien unerlässlich. Aus diesem 

Grund wurde Wert darauf gelegt, dass die Kanalaufzeichnungen unter realen industriellen Bedingungen 

durchgeführt wurden. Als erstes Messumfeld wurde daher ein Hochregallager (siehe 

Abbildung B.1) vom Hersteller Daifuku ausgewählt, das im Jahre 2000 an der Fachhochschule 

Bochum aufgebaut wurde. 

Das Hochregallager besteht aus zwei Regalreihen mit je 12 Spalten á 6 Etagen. Die Abmaße 

des Regallagers betragen 10 m in der Länge, 6 m in der Breite und 5 m in der Höhe. In 

139 Lagerfächern werden Kisten mit den Abmessungen 50 cm x 50 cm eingelagert. Zwischen 

den beiden Regalreihen befindet sich eine Regalgasse in der sich ein Bediengerät bewegt, das 

in der Lage ist, alle möglichen Lagerfächer anzufahren. Durch die Montage des empfangenden 

Funksystems auf dem Regalbediengerät konnten sowohl stationäre als auch mobile Messszenarien 

definiert werden. Des Weiteren befindet sich auf dem Regalbediengerät ein Schlitten mit 

dem die Kisten aus den Fächern ein- und ausgeladen werden können. Ein Lichtschrankensystem 

stellt dabei sicher, dass keine Kollisionen zwischen sich auf dem Schlitten befindlichen und 

bereits eingelagerten Kisten auftreten können. Die beiden Regalgassen beeinhalten fünf Kettenförderer 

über die neue Kisten eingelagert oder vorher eingelagerte Kisten ausgelagert werden 

können. 

146


Abbildung B.1. Positionen von Sender und Empfänger in der Messumgebung Hochregallager. 

Das Gebäude in dem sich das Hochregallager befindet, zeigt typischen Hallencharakter. Die 

Wände bestehen aus Stahlbeton bzw. Kalksandstein. Im Flachdach und im oberen Bereich der 

Wände sind Fenster eingelassen. Bei den Türen handelt es sich um Brandschutztüren, die vollständig 

mit Metall beschlagen sind. Der Grundriss des Raumes in dem das Hochregalager aufgestellt 

ist beträgt 15 m x 10 m, die Höhe ungefähr 6 m. Aufgrund der zahlreichen metallischen 

Streben des Hochregallagers existieren viele stark relektierende Objekte, die zu einer ausgeprägten 

Mehrwegeausbreitung führen. 

Um Einflüsse von aktiven Störquellen im 2,45 GHz Frequenzbereich während der Kanalaufzeichnungen 

auszuschließen, wurden parallel zu den Aufzeichnungen spektrale Analysen 

im Frequenzbereich von 2,4 GHz – 2,5 GHz durchgeführt. Dabei konnten jedoch keine aktiven 

Störquellen, beispielweise koexistierende Funktechnologien, identifiziert werden. Die Abbildung 

B.2 zeigt das Frequenzspektrum von 2,4 GHz – 2,5 GHz aufgezeichnet mit einem Spektrumanalysator 

im Aufzeichnungsmodus Maximum Hold. Der flach verlaufende Rauschteppich 

zeigte einen maximalen Wert von -93,25 dBm. Unter Einbezug der Leitungsdämpfung der SMA- 

Antennenleitung von je 1,7 dB betrug die maximale spektrale Rauschleistungsdichte etwa -9,155 

dBm 

kHz . 147


Abbildung B.2. Typische Spektrumanalyse im Frequenzbereich 2,4 GHz – 2,5 GHz während 

einer digitalen Kanalaufzeichnung im Hochregallager. 

B.2 Maschinenhalle 

Aufgrund der relativ geringen Abstände zwischen Sender und Empfänger wurde eine weitere 

Messkampangne in einer mittelgroßen Maschinenhalle einer kunststoffbearbeitenden Firma 

durchgeführt. Die Maße (BxLxH) der Halle beträgt 30 mx60mx10m.DieMaschinenhalle 

wurde in den achtziger Jahren erbaut und besteht aus einem Betongerüst mit aufgesetzter 

Wellblechbedachung. In der Halle befinden sich zahlreiche Maschinen, u.a. CNC-Fräsen, Tiefziehmaschinen, 

Drehbänke, sowie weitere kleine Maschinen. Längst durch die Mitte der Maschinenhalle 

führt ein ca. 3 m breiter Weg, den sowohl Personen, Gabelstapler und Hubwagen 

nutzen. 

148


Abbildung B.3. Eine Empfängerposition in der Messumgebung Maschinenhalle 

Freie Flächen in der Maschinenhalle werden während Produktionsphasen für Lagerungszwecke 

variabel verwendet. Die Struktur der Umgebung verändert sich daher kontinuierlich. Da sich 

viele reflektierende Maschinen in der Halle befinden, wurde eine deutlich ausgeprägte Mehrwegeausbreitung 

und damit schwierige Ausbreitungsbedingungen vermutet. Aufgrund der zusätzlich 

abschattenden Eigenschaften dieser Objekte, bestand während der Kanalaufzeichnungen 

keine direkte Sichtverbindung (LOS) zwischen Sender und Empfänger (siehe Abbildung B.3). 

Zur Erfassung aktiver, beinflussender Störquellen wurde auch in der Maschinenhalle das 

Spektrum im Frequenzbereich 2,4 GHz – 2,5 GHz während der Kanalaufzeichnungen mit einem 

Spektrumanalysator beobachtet. Dabei wurden zum Hochregallager identische Verläufe gemessen, 

wie dies die Abbildung B.4 bestärkt. Zusätzlich zeigten die spektralen Analysen, dass der 

in dieser Arbeit betrachtete 2,45 GHz ISM-Frequenzbereich derart hoch ist, dass maschinelle 

Störbeeinflussungen diesen i.d.R. nicht erreichen. Demnach bleiben als aktive Störquellen 

149


für den 2,45 GHz Frequenzbereich, koexistierende Funktechnologien und Mikrowellen übrig. 

Dieser Sachverhalt verdeutlicht wiederum die Notwendigkeit einer soliden Frequenzplanung im 

Falle der Koexistenz mehrerer Funktechnologien, um Störbeinflussungen zu unterbinden bzw. 

angemessen darauf reagieren zu können. 

Abbildung B.4. Typische Spektrumanalyse für den Frequenzbereich 2,4 GHz – 2,5 GHz während 

einer digitalen Kanalaufzeichnung in der Maschinenhalle. 

Der Grundriss der Maschinenhalle, sowie die Positionen der Sender und Empfänger während 

der Kanalaufzeichnungen können der Abbildung B.5 entnommen werden. 

150


Abbildung B.5. Der Grundriss der Maschinenhalle Firma L. Risse GmbH in Castrop-Rauxel. 

151

C Definition der Messszenarien 

Nachdem die industriellen Umgebungen ausführlich beschrieben sind, werden nun im Abschnitt 

C die Messszenarien für die experimentellen digitalen Kanalaufzeichnungen vorgestellt. Größtenteils 

wurden für die Kanalaufzeichnungen 20.000 Datenpakete im zufälligen Nutzinformationen 

übertragen. Bei den WPAN-Funktechnologien IEEE 802.15.4 und nanoNET entsprach 

das einer Nutzdatenlänge von n = 800 Bit. Da im Falle der WPAN-Funktechnologien IEEE 

802.15.1 auf HV3-Datenpakete zurückgegriffen werden musste, um diverse Fehlerschutzmechanismen 

umgehen zu können, reduzierte sich diese Menge auf n = 240 Bit. Die zeitlichen 

Abstände zwischen dem Versenden der einzelnen Datenpakte betrug in etwa t 0 = 50 ms. 

C.1 Hochregallager 

Im Hochregallager konnten aufgrund der geringen Abmaße des Raumes nur Kanalaufzeichnungen 

bei kleinen Abständen zwischen Sender und Empfänger realisiert werden. Dazu wurde das 

sendende Funksystem stationär auf dem Leitrechner (ARC) etwas außerhalb des Lagers montiert. 

Der Empfänger wurde direkt auf dem Regalbediengerät befestigt, sodass sowohl stationäre 

als auch mobile Testfälle konstruiert werden konnten. Es wurden drei stationäre Messzenarien 

definiert, in denen die Abstände zwischen Sender und Empfänger 2m, 4mund 6mbetrugen. 

Aufgrund diverser abschattender Gegenstände auf dem Regalbediengerät bestand im Rahmen 

der stationären Messzenarien keine direkte Sichtverbindung (NLOS) zwischen Sender und 

Empfänger. 

Zusätzlich zu den drei stationären Testfällen wurde ein mobiles Messszenario definiert, welches 

nachfolgend unter dem Begriff Random (RAND) geführt wird. Im Messszenario RAND 

bewegte sich das Regalbediengerät während der Kanalaufzeichnungen pseudo zufällig durch die 

Regalgasse und fuhr Regalfächer an. Die maximale Geschwindigkeit des Regalbediengerätes 

betrug v = 1,2 m s 

. Das Szenario RAND simulierte damit den normalen Betrieb des Hochregallagers. 

In einigen Positionen des Regalbediengerätes bestand selten eine direkte Sichtverbindung 

(LOS) zwischen Sender und Empfänger, wobei bei ca. 90% dies nicht der Fall war. 

Die Tabelle C.1 umfasst noch einmal zusammenfassend alle wichtigen Parameter der Messzenarien 

im Hochregallager (HRL). 

152

C Definition der Messszenarien 

Tabelle C.1. Die Definition der Parameter für die Messszenarien im Hochregallager. 

Szenario → HRL-2m HRL-4m HRL-6m HRL-RAND 


Abstand 2m 4m 6m 0,5 m - 10 m 

Sichtverbindung nein nur kurzzeitig 

Bewegung stationär bewegt 

Interferenzen 

nein 

Bewegtes Umfeld 

nein 

C.2 Maschinenhalle 

Die zweite Messkampagne wurde in der Maschinenhalle (MH) einer kunststoffbearbeitenden 

Firma durchgeführt, um Funkkanäle, unter größeren Entfernungen zwischen Sender und Empfänger 

aufzuzeichnen. Dabei wurden vier stationäre Messszenarien definiert, in denen die Abstände 

zwischen Sender und Empfänger 10 m, 20 m, 30 m und 40 m betrugen. In diesen Szenarien 

wurden die Antennen der Funksysteme in 1 m Höhe auf zwei Stative montiert und über 

eine HF-Leitung (RG 178) einer Länge von 1 m an die WPAN-Funksysteme angeschlossen (siehe 

Abbildung B.3). Während der gesamten Messungen wurden die Positionen der Stative nicht 

verändert. 

Während der Kanalaufzeichnung veränderte sich die Umgebung ständig. Sowohl Transportfahrzeuge, 

beispielsweise Gabelstapler und Hubwagen, als auch arbeitende Personen kreuzten 

permanent die Bereiche zwischen Sender und Empfänger. Des Weiteren führten Umlagerungsprozesse 

von Werkstücken und Werkzeugen zu unterschiedlichen Ausbreitungsbedingungen. 

Daher kann ingesamt von einer ausgeprägten zeitlichen Varianz des Übertragungskanals ausgegangen 

werden. Die Tabelle C.2 enthält einen zusammenfassenden Überlick über die Eigenschaften 

der Messszenarien in der Maschinenhalle. 

Tabelle C.2. Die Definition der Parameter für die Messszenarien in der Maschinenhalle. 

Szenario → MH-10m MH-20m MH-30 MH-40 MH-RAND 


Abstand 10 m 20 m 30 m 40 m 20m–35m 

Sichtverbindung 

nein 

Bewegung stationär mobil 

Interferenzen 

nein 

Bewegtes Umfeld 

ja, stark 

153

D Statistische Ergebnisse der Messszenarien 

Im folgenden Abschnitt des Anhangs werden die Ergebnisse der digitalen Kanalaufzeichnugen 

in Form der ansoluten und relativen Häufigkeiten für die nachfolgend beschrieben Kanalkenngrößen 

tabellarisch vorgestellt. 

• Anzahl übertragener Datenpakete → # ÜD 

• Anzahl übertragener Bits → # ÜB 

• Anzahl fehlerfreier Datenpakete → # FFD 

• Anzahl fehlerhafteter Datenpakete → # FHD 

• Anzahl verlorene Datenpakete → # VD 

• Anzahl zulanger oder zukurzer Datenpakete → # LKD 

• Anzahl fehlerfreier Bits → # FFB 

• Anzahl fehlerhafter Bits → # FHB 

• Paketfehlerrate → PER = # FHD 

#ÜD 

• Paketverlustrate → PLR = 

• Bitfehlerrate → BER = 

#VD+ # LKD 

#ÜD 

# FHB 

# FFB + # FHB 

154


D.1 Hochregallager 

D.1.1 Szenario HRL-2m: 

Tabelle D.1. Statistische Kanalkenngrößen für das Messszenario HRL-2m. 

Funksystem → Mitsumi WML-C20 Freescale MC 13192-EVB Panasonic PAN 5460 

↓ Kenngröße 

#ÜD 20.000 

#ÜB 4.800.000 16.000.000 

# FFD 19.999 19.953 20.000 

# FHD 1 0 0 

#VD 0 47 0 

# LKD 0 0 0 

# FFB 4.799.999 15.962.400 16.000.000 

# FHB 1 0 0 

PER 5 · 10 −5 0 0 

PLR 0 2,35 · 10 −3 0 

BER 2,083 · 10 −7 0 0 



Funksystem → Mitsumi WML-C20 Freescale MC 13192-EVB Panasonic PAN5460 


#ÜD 20.000 

#ÜB 4.800.000 16.000.000 

# FFD 19.656 19.936 20.000 

# FHD 342 0 0 

#VD 2 64 0 

# LKD 0 0 0 

# FFB 4.798.447 15.948.800 16.000.000 

# FHB 1.073 0 0 

PER 1,71 · 10 −2 0 0 

PLR 1,00 · 10 −4 3,2 · 10 −3 0 

BER 2,236 · 10 −4 0 0 

155




Modul → Mitsumi WML-C20 Freescale MC 13192-EVB Panasonic PAN 5460 

↓ Funksystem 

#ÜD 20.000 

#ÜB 4.800.000 16.000.000 

# FFD 19.830 19.951 20.000 

# FHD 170 1 0 

#VD 0 48 0 

# LKD 0 0 0 

# FFB 4.799.738 15.961.598 16.000.000 

# FHB 262 2 0 

PER 8,5 · 10 −3 5 · 10 −5 0 

PLR 0 2,4 · 10 −3 0 

BER 5,458 · 10 −5 1,253 · 10 −7 0 

D.1.4 Szenario HRL-RAND: 

Tabelle D.4. Statistische Kanalkenngrößen für das Messszenario HRL-RAND. 



#ÜD 20.000 

#ÜB 4.800.000 16.000.000 

# FFD 19.908 19.935 20.000 

# FHD 85 3 0 

#VD 7 62 0 

# LKD 0 0 0 

# FFB 4.797.723 15.950.345 16.000.000 

# FHB 597 55 0 

PER 4,25 · 10 −3 1,5 · 10 −4 0 

PLR 3,5 · 10 −4 3,1 · 10 −3 0 

BER 1,244 · 10 −4 3,448 · 10 −6 0 

156


D.2 Maschinenhalle 

D.2.1 Szenario MH-10m: 

Tabelle D.5. Statistische Kanalkenngrößen für das Messszenario MH-10m. 



#ÜD 20.000 

#ÜB 4.800.000 16.000.000 

# FFD 19.925 19.947 20.000 

# FHD 73 0 0 

#VD 2 53 0 

# LKD 0 0 0 

# FFB 4.799.245 15.957.600 16.000.000 

# FHB 275 0 0 

PER 3,65 · 10 −3 0 0 

PLR 1,0 · 10 −4 2,65 · 10 −3 0 

BER 5,73 · 10 −5 0 0 





#ÜD 20.000 

#ÜB 4.800.000 16.000.000 

# FFD 15.728 19.956 20.000 

# FHD 2.939 0 0 

#VD 1.333 44 0 

# LKD 0 0 0 

# FFB 4.430.156 15.964.800 16.000.000 

# FHB 49.924 0 0 

PER 0,14695 0 0 

PLR 6,665 · 10 −2 2,2 · 10 −3 0 

BER 1,1144 · 10 −2 0 0 

157






#ÜD 20.000 

#ÜB 4.800.000 16.000.000 

# FFD 17.463 19.338 19.994 

# FHD 2.371 440 5 

#VD 166 213 1 

# LKD 0 9 0 

# FFB 4.748.704 15.818.921 15.999.185 

# FHB 11.456 3.479 15 

PER 0,11855 2,2247 · 10 −2 2,5 · 10 −4 

PLR 8,3 · 10 −3 1,11 · 10 −2 5 · 10 −5 

BER 2,4066 · 10 −3 2,1988 · 10 −4 9,3755 · 10 −7 





#ÜD 20.000 

#ÜB 4.800.000 16.000.000 

# FFD 6.343 13.932 11.077 

# FHD 12.450 5.269 8.176 

#VD 1.207 728 747 

# LKD 0 71 0 

# FFB 4.358.712 15.341.370 15.386.096 

# FHB 151.608 19.430 16.304 

PER 0,6225 0,26345 0,4088 

PLR 6,035 · 10 −2 3,995 · 10 −2 3,735 · 10 −2 

BER 3,3614 · 10 −2 1,2649 · 10 −3 1,0586 · 10 −3 

158


D.2.5 Szenario MH-RAND: 

Tabelle D.9. Statistische Kanalkenngrößen für das Messszenario MH-RAND. 



#ÜD 20.000 10.000 

#ÜB 4.800.000 8.000.000 

# FFD 17.252 9.305 7.296 

# FHD 2.339 325 1.335 

#VD 409 354 1.369 

# LKD 0 8 0 

# FFB 4.689.546 7.699.862 6.895.523 

# FHB 12.294 4.139 9.277 

PER 0,11695 3,25 · 10 −2 0,1335 

PLR 2,045 · 10 −2 3,62 · 10 −2 0,1369 

BER 2,6147 · 10 −3 5,3725 · 10 −4 1,3436 · 10 −3 

D.2.6 Auswahl der Kanalaufzeichnungen zur empirischen Analyse und generative 

Modellierung 

In einigen Messszenarien konnten nur eine geringe Menge an Kanalfehlern aufgezeichnet werden. 

Da infolgedessen zur statistischen Analyse und Beschreibung der kanalrepräsentierenden 

Prozesse KFP {E t } und FAP {A t } nicht genügend Stichproben vorlagen, beschränkten sich primär 

die Untersuchungen dieser Arbeit auf die Kanalaufzeichnungen, die in der Tabelle D.10 mit 

√ gekennzeichneten wurden. 

Tabelle D.10. Auswahl der Kanalaufzeichung aus den Messszenarien, die für statistische Untersuchungen 

und zur gerativen Modellierung verwendet wurden. 


↓ Messszenario 

HRL-2m ∅ ∅ ∅ 

HRL-4m ∅ ∅ ∅ 

HRL-6m ∅ ∅ ∅ 

HRL-RAND ∅ ∅ ∅ 

MH-10m ∅ ∅ ∅ 

MH-20m ∅ ∅ ∅ 

√ 

√ 

MH-30m 

∅ 

√ √ √ 

MH-40m 

√ √ √ 

MH-RAND 

159

E Ermittelte Parametersätze der Hidden Markov Modelle 

E.1 HMM-Parametersätze zu Abschnitt 6.6.2 

E.1.1 HMM – 2 Zustände 

Initialer Parametersatz λ k0 := {⃗π (0) 

k0 ,P k0,B k0 }: 

( 

P k0 = 

0,61024 0,38976 

0,32231 0,67769 

) ( 

, B k0 = 

) 

0,66132 0,33868 

, ⃗π (0) 

0,9763 0,0237 k0 

= ⃗π k0 

Optimierter Parametersatz λ k59 := {⃗π (0) 

k59 ,P k59,B k59 }: 

( 

) ( 

0.9477 0.0523 

P k59 = 

, B 

0.00441 0.99559 k59 = 

0,59632 0,40368 

0,97906 0,02094 

) 

, ⃗π (0) 

k59 = ⃗π k59 



k0 ,P k0,B k0 }: 

⎛ 

⎜ 

P k0 = ⎝ 

0,30016 0,33685 0,34184 0,021155 

0,18131 0,30098 0,37384 0,14387 

0,3054 0,087471 0,20359 0,40353 

0,37691 0,19309 0,42531 0,0046933 

⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

⎠,B k0 = ⎝ 

0,33787 0,66213 

0,50492 0,49508 

0,92863 0,071375 

0,44706 0,55294 

⎞ 

⎟ 

⎠,⃗π (0) = ⃗π k0 

k0 


k83 ,P k83,B k83 }: 

⎛ 

⎜ 

P k83 = ⎝ 

⎛ 

⎜ 

B k83 = ⎝ 

0,52178 0,0015248 0,45923 0,017467 

0,0024189 0,9932 0,0034784 0,00089912 

0,054679 0,00011144 0,47482 0,47039 

0,064951 0,00021254 0,92952 0,0053156 

⎞ 

0,70251 0,29749 

0,52134 0,47866 ⎟ 

0,99998 2,2996 · 10 −5 

0,99999 1,3263 · 10 −5 

⎠, ⃗π (0) 

k83 = ⃗π k83 

⎞ 

⎟ 

⎠, 

160




k0 ,P k0,B k0 }: 

⎛ 

P k0 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k0 = 

0,084088 0,15834 0,057548 0,071482 0,15453 0,15841 0,15016 0,16545 

0,18926 0,0039889 0,03852 0,17467 0,1341 0,11538 0,19434 0,14975 

0,13068 0,19106 0,054245 0,2394 0,095902 0,10388 0,14655 0,038285 

0,10577 0,09587 0,17235 0,14995 0,073195 0,17754 0,22235 0,0029701 

0,19094 0,18768 0,068314 0,11204 0,076985 0,12333 0,039025 0,20169 

0,11349 0,10866 0,11706 0,19445 0,11542 0,096143 0,21173 0,043036 

0,052276 0,18302 0,03892 0,21195 0,18757 0,17918 0,070024 0,077061 

0,15674 0,10002 0,16275 0,15039 0,072126 0,14489 0,058843 0,15425 

0,39649 0,67497 0,1005 0,56518 0,5238 0,39801 0,71146 0,46787 

0,60351 0,32503 0,8995 0,43482 0,4762 0,60199 0,28854 0,53213 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k31 ,P k31,B k31 }: 

⎛ 

P k31 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k31 = 

0,070655 0,20909 0,0034909 0,076781 0,15414 0,1328 0,21604 0,13701 

0,15229 0,0056094 0,0012615 0,19267 0,13515 0,09435 0,30342 0,11526 

0,0070264 0,0086406 0,9516 0,012978 0,0047279 0,0055871 0,0063989 0,0030401 

0,090485 0,13927 0,007342 0,17269 0,077308 0,15366 0,3568 0,0024522 

0,1665 0,27637 0,0027485 0,1307 0,082552 0,10853 0,063437 0,16916 

0,094535 0,1462 0,0058088 0,21051 0,11568 0,080342 0,31212 0,034802 

0,040043 0,24974 0,0010527 0,22516 0,18164 0,13993 0,10647 0,055969 

0,15665 0,15857 0,0092295 0,19252 0,085719 0,14384 0,10177 0,1517 

0,96036 0,98741 0,59405 0,9836 0,97698 0,97424 0,99321 0,94103 

0,039635 0,01259 0,40595 0,016401 0,023023 0,025757 0,006795 0,058966 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k31 

= ⃗π k31 

161

162 



k0 ,P k0,B k0 }: 

⎛ 

P k0 = 

⎜ 

⎝ 

B k0 = 

0,09601 0,053765 0,016396 0,074587 0,085701 0,0060983 0,056209 0,090076 0,036452 0,10354 0,048682 0,086234 0,0060399 0,089799 0,1101 0,04031 

0,093181 0,068199 0,028348 0,0021569 0,099568 0,010728 0,11905 0,094068 0,0067284 0,050331 0,05661 0,066373 0,078156 0,057786 0,10327 0,065446 

0,052204 0,024225 0,068746 0,0018517 0,054162 0,072552 0,10577 0,039186 0,078481 0,070286 0,074182 0,012976 0,07935 0,10884 0,08957 0,067611 

0,070084 0,079423 0,077744 0,02346 0,068482 0,02356 0,03264 0,020493 0,08024 0,090258 0,10338 0,08206 0,11877 0,0088939 0,10059 0,019927 

0,098418 0,039659 0,045909 0,072731 0,015 0,10457 0,019864 0,019283 0,12181 0,024027 0,04605 0,045277 0,093004 0,068578 0,083027 0,10279 

0,0078363 0,12713 0,076154 0,0076242 0,059684 0,023026 0,11557 0,025305 0,073179 0,1198 0,056307 0,018543 0,097981 0,038661 0,026598 0,1266 

0,075503 0,091003 0,056536 0,046034 0,089657 0,02139 0,029792 0,052908 0,050105 0,071287 0,074475 0,070982 0,054088 0,10745 0,034201 0,074586 

0,0060052 0,049213 0,0052438 0,075435 0,10666 0,11878 0,077152 0,10226 0,023748 0,075475 0,067584 0,098318 0,075771 0,04011 0,074811 0,0034343 

0,045361 0,08131 0,0029687 0,078369 0,029824 0,048027 0,10559 0,053538 0,068275 0,025599 0,07825 0,073599 0,087694 0,074282 0,058627 0,088687 

0,042047 0,036939 0,043106 0,09549 0,035122 0,046878 0,091666 0,11248 0,1011 0,075654 0,070488 0,13778 0,011564 0,0073678 0,0082031 0,084109 

0,096505 0,048555 0,0014197 0,00928 0,095538 0,034681 0,096066 0,050856 0,041487 0,10282 0,085693 0,10614 0,10435 0,039365 0,0098189 0,077425 

0,0027179 0,16902 0,069528 0,082274 0,042074 0,066108 0,0017976 0,082817 0,0017884 0,060697 0,08861 0,010659 0,16586 0,090232 0,049128 0,016695 

0,097778 0,087004 0,086976 0,056255 0,10248 0,050069 0,017445 0,057383 0,053458 0,083464 0,02367 0,045876 0,076647 0,055314 0,052084 0,054098 

0,11529 0,025242 0,011025 0,04195 0,10788 0,070246 0,097231 0,048953 0,089501 0,04654 0,083203 0,065138 0,030111 0,066794 0,056294 0,044601 

0,11084 0,093953 0,0039561 0,017196 0,025961 0,013406 0,048157 0,10094 0,088874 0,070228 0,11001 0,029305 0,097783 0,069031 0,10176 0,018601 

0,08806 0,070191 0,068361 0,075422 0,026714 0,0042563 0,099386 0,00062333 0,10269 0,078038 0,090045 0,066681 0,057311 0,012652 0,066559 0,093004 

( 

) T 

0,57854 0,86387 0,75271 0,19477 0,83251 0,55337 0,6436 0,51377 0,65285 0,57931 0,31357 0,27235 0,35471 0,54977 0,57085 0,52969 

0,42146 0,13613 0,24729 0,80523 0,16749 0,44663 0,3564 0,48623 0,34715 0,42069 0,68643 0,72765 0,64529 0,45023 0,42915 0,47031 

⎞ 

⎟ 

⎠ 


⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0


k55 ,P k55,B k55 }: 

163 

⎛ 

P k55 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k55 = 

⃗π (0) 

k55 

= ⃗π k55 

0,11043 0,10824 0,029262 6,1626 · 10 −6 0,15032 0,0083125 0,08089 0,079514 0,046814 0,080737 0,019309 0,00065153 0,0031061 0,10776 0,1314 0,043245 

0,095836 0,12767 0,04648 1,4475 · 10 −7 0,16126 0,013181 0,15597 0,072264 0,0078019 0,033981 0,017334 0,00041407 0,033119 0,062102 0,11027 0,062328 

0,05223 0,043054 0,10754 1,5781 · 10 −7 0,083696 0,085873 0,13312 0,02988 0,088036 0,04778 0,025104 9,2297 · 10 −5 0,034671 0,11331 0,09278 0,062829 

8,6553 · 10 −6 8,199 · 10 −6 7,185 · 10 −6 0,98321 7,193 · 10 −6 2,0794 · 10 −6 3,2251 · 10 −6 3,6007 · 10 −6 9,1624 · 10 −6 2,9872 · 10 −5 6,622 · 10 −5 0,016593 3,6242 · 10 −5 8,7102 · 10 −7 1,0055 · 10 −5 2,2861 · 10 −6 

0,11048 0,080828 0,082105 4,9572 · 10 −6 0,026456 0,14033 0,028378 0,016202 0,1541 0,017718 0,015509 0,00030072 0,043201 0,08049 0,096924 0,10698 

0,0075252 0,21197 0,11261 6,3894 · 10 −7 0,08685 0,026081 0,13828 0,018758 0,078339 0,078875 0,019338 0,00013032 0,042658 0,038658 0,026467 0,11346 

0,080482 0,17482 0,095714 2,6574 · 10 −6 0,14915 0,027347 0,040346 0,042245 0,060043 0,049421 0,023946 0,00042098 0,024037 0,12015 0,037981 0,073897 

0,0071242 0,096622 0,0092155 1,2688 · 10 −5 0,18459 0,16258 0,11097 0,098283 0,031042 0,067553 0,039485 0,0011688 0,04741 0,048947 0,09118 0,0038173 

0,053339 0,17018 0,0054862 5,8373 · 10 −6 0,054205 0,067297 0,15661 0,047734 0,089991 0,020055 0,030075 0,00052652 0,04458 0,091304 0,071615 0,097 

0,052508 0,073745 0,077211 2,9845 · 10 −5 0,062316 0,065824 0,13553 0,11957 0,13801 0,080827 0,064699 0,0025876 0,0089962 0,0093036 0,010409 0,098433 

0,060638 0,037892 0,0010302 1,5225 · 10 −5 0,070001 0,021464 0,061424 0,035549 0,026573 0,10375 0,3902 0,0065765 0,11004 0,023042 0,0058506 0,045953 

0,0011794 0,084063 0,031428 0,44867 0,019868 0,025959 0,00075725 0,04071 0,00078091 0,042477 0,11552 0,027271 0,099474 0,035232 0,019764 0,0068458 

0,098182 0,12225 0,11213 6,1005 · 10 −5 0,13158 0,053208 0,01931 0,054965 0,056851 0,089041 0,034939 0,0017259 0,067731 0,054543 0,051933 0,051546 

0,12438 0,04794 0,018545 3,0901 · 10 −6 0,17824 0,090183 0,13174 0,040193 0,1079 0,033417 0,029531 0,00044099 0,014223 0,075376 0,06305 0,044838 

0,12357 0,18433 0,0068693 1,3538 · 10 −6 0,044329 0,017758 0,067374 0,085816 0,1107 0,052471 0,041175 0,0002075 0,048118 0,080396 0,11758 0,019309 

0,099921 0,13879 0,12005 6,2206 · 10 −6 0,046043 0,0057247 0,14087 0,00054422 0,12996 0,060133 0,036148 0,00050498 0,029337 0,014988 0,078439 0,09854 

0,99685 0,99945 0,99866 0,52802 0,99897 0,99775 0,99877 0,98563 0,99763 0,9543 0,45708 0,75916 0,92292 0,99834 0,99767 0,9964 

0,0031547 0,00054534 0,0013418 0,47198 0,0010328 0,0022523 0,001232 0,01437 0,0023686 0,045697 0,54292 0,24084 0,07708 0,0016607 0,0023263 0,0036027 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

E Ermittelte Parametersätze der Hidden Markov Modelle


E.2 Parametersätze zu Abschnitt 7.3.2 

E.2.1 Mitsumi WML-C20 – MH-30m 


k0 },P k0,B k0 

⎛ 

P k0 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k0 = 

0,98861 0,011391 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,10505 0,86216 0,032792 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,16017 0,77542 0,064407 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,21831 0,66153 0,12016 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,24376 0,53999 0,21625 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,24424 0,52089 0,23487 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,29836 0,49179 0,20985 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,32138 0,52966 0,14897 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,4 0,52364 0,076364 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,39623 0,56604 0,037736 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 

10,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 

00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k100 },P k100,B k100 

⎛ 

P k100 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k100 = 

0,94846 0,051539 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,18896 0,80623 0,0048158 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,014567 0,83965 0,14578 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,17474 0,76853 0,056736 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,71051 0,27725 0,012241 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,027054 0,58258 0,39037 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,20393 0,5405 0,25557 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,31415 0,55547 0,13038 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,472610,48617 0,041219 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,57986 0,4086 0,011538 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 

1 0,95929 0,9872 0,94291 0,010113 0,38812 0,51345 0,53736 0,45428 0,36188 0 

0 0,040712 0,012801 0,057095 0,98989 0,61188 0,48655 0,46264 0,54572 0,63812 1 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k100 

= ⃗π k100 

164




k0 },P k0,B k0 

⎛ 

P k0 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k0 = 

0,97824 0,021763 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,10751 0,83567 0,05682 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,16423 0,75161 0,084166 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,21606 0,64243 0,14151 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,23814 0,53812 0,22374 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,26024 0,5042 0,23557 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,30772 0,49865 0,19363 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,35713 0,49144 0,15143 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,41962 0,48047 0,099909 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,45661 0,49277 0,05062 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,44248 0,55752 

10,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 

00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k100 },P k100,B k100 

⎛ 

P k100 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k100 = 

0,94375 0,05625 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,15588 0,83326 0,010857 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,0072401 0,9105 0,0822 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,64924 0,34496 0,005793 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,056796 0,5297 0,4135 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,1299 0,54472 0,32538 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,26166 0,53511 0,20323 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,38609 0,49737 0,11654 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,5242 0,42857 0,04723 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,65595 0,33654 0,0075 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8162 0,18378 

1 0,95361 0,99485 0,31533 0,47355 0,50642 0,50986 0,50147 0,4728 0,39812 0 

00,046392 0,0051541 0,68467 0,52645 0,49358 0,49014 0,49853 0,5272 0,60188 1 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k100 

= ⃗π k100 

165


E.2.3 Mitsumi WML-C20 – MH-RAND 


k0 },P k0,B k0 

⎛ 

P k0 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k0 = 

0,98466 0,015338 0 0 0 0 0 0 

0,10496 0,85275 0,042289 0 0 0 0 0 

0 0,16844 0,76899 0,062572 0 0 0 0 

0 0 0,2297 0,69021 0,08009 0 0 0 

0 0 0 0,31343 0,60316 0,083406 0 0 

0 0 0 0 0,34138 0,57586 0,082759 0 

0 0 0 0 0 0,49057 0,45283 0,056604 

0 0 0 0 0 0 0,25 0,75 

10,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 

00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k46 ,P k46,B k46 } 

⎛ 

P k46 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k46 = 

0,96101 0,038992 0 0 0 0 0 0 

0,14588 0,84487 0,009252 0 0 0 0 0 

0 0,027645 0,84554 0,12682 0 0 0 0 

0 0 0,056388 0,81992 0,12369 0 0 0 

0 0 0 0,3941 0,54445 0,061449 0 0 

0 0 0 0 0,73499 0,26218 0,0028214 0 

0 0 0 0 0 0,99817 0,0018277 7,0914 · 10 −8 

0 0 0 0 0 0 0,99858 0,0014177 

1 0,95388 0,98375 0,97694 0,79572 0,18481 0,002509 0,017278 

0 0,046124 0,016247 0,023057 0,20428 0,81519 0,99749 0,98272 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k46 

= ⃗π k46 

166


E.2.4 Freescale MC 13192-EVB – MH-30m 


k0 ,P k0,B k0 } 

⎛ 

P k0 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k0 = 

0,99638 0,0036151 0 0 0 0 0 0 0 

0,23616 0,54898 0,21485 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,1569 0,77038 0,072719 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,17214 0,74721 0,080656 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,24409 0,65161 0,1043 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,29618 0,54459 0,15924 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,26257 0,58659 0,15084 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,38235 0,47059 0,14706 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,41667 0,41667 0,16667 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,8 0,2 

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k100 ,P k100,B k100 } 

⎛ 

P k100 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k100 = 

0,9973 0,0027002 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,33013 0,49979 0,17008 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,57544 0,084699 0,33986 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,015342 0,92637 0,05829 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,25682 0,65271 0,090469 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,33018 0,61352 0,056295 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,024739 0,88546 0,0898 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,25213 0,74202 0,0058464 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,044034 0,34001 0,61596 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,85744 0,14256 

1 0,48273 0,053322 1 1 0,25443 0,99995 0,47655 0,69714 0,013284 

0 0,51727 0,94668 1,0278 · 10 −25 3,967 · 10 −8 0,74557 4,581 · 10 −5 0,52345 0,30286 0,98672 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

) T 

⃗π (0) 

k100 

= ⃗π k100 

167




k0 ,P k0,B k0 } 

⎛ 

P k0 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k0 = 

0,99786 0,0021373 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,23988 0,5637 0,19642 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,1552 0,79215 0,05265 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,14704 0,82525 0,027707 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,17076 0,79018 0,039063 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,27467 0,58667 0,13867 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,25123 0,57143 0,17734 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,375 0,5 0,125 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,30769 0,58974 0,10256 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,44444 0,44444 0,11111 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0,5 

10,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 

00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k43 ,P k43,B k43 } 

⎛ 

P k43 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k43 = 

0,99739 0,002609 0 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,36135 0,62798 0,010664 0 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,99675 1,9957 · 10 −6 0,0032514 0 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,036423 0,063898 0,89968 0 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,079037 0,89861 0,022357 0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,061603 0,66094 0,27746 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,16387 0,64073 0,1954 0 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,407 0,51149 0,081514 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,48022 0,50078 0,019005 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,71463 0,20453 0,080842 

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,40873 0,59127 

10,37625 0,3992 0,99081 0,35969 0,56864 0,60905 0,59224 0,57809 0,025915 0 

00,62375 0,6008 0,0091897 0,64031 0,43136 0,39095 0,40776 0,42191 0,97409 1 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k43 

= ⃗π k43 

168


E.2.6 Freescale MC 13192-EVB – MH-RAND 


k0 ,P k0,B k0 } 

⎛ 

P k0 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k0 = 

0,99399 0,0060071 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,23822 0,54202 0,21976 0 0 0 0 0 0 0 

00,16121 0,76203 0,076761 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,17051 0,75535 0,074146 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,23556 0,66756 0,096889 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,33962 0,48742 0,17296 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,29412 0,57219 0,13369 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,39063 0,45313 0,15625 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,37931 0,41379 0,2069 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,42857 0,57143 

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 

) T 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k54 ,P k54,B k54 } 

⎛ 

P k54 = 

⎜ 

⎝ 

( 

B k54 = 

0,99292 0,0070811 0 0 0 0 0 0 0 0 

0,47472 0,22152 0,30376 0 0 0 0 0 0 0 

0 0,62466 0,29874 0,0766 0 0 0 0 0 0 

0 0 0,014879 0,84633 0,13879 0 0 0 0 0 

0 0 0 0,051496 0,90411 0,044392 0 0 0 0 

0 0 0 0 0,30983 0,62851 0,061657 0 0 0 

0 0 0 0 0 0,93716 0,0086517 0,054191 0 0 

0 0 0 0 0 0 0,060103 0,75005 0,18985 0 

0 0 0 0 0 0 0 0,19165 0,45125 0,3571 

0 0 0 0 0 0 0 0 0,2529 0,7471 

10,88474 0,022323 1 1 0,42676 0,33255 0,99502 0,78465 0,28697 

00,11526 0,97768 9,9416 · 10 −16 1,069 · 10 −12 0,57324 0,66745 0,0049837 0,21535 0,71303 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

) T 

⃗π (0) 

k54 

= ⃗π k54 

169


E.2.7 Panasonic PAN 5460 – MH-40m 


k0 ,P k0,B k0 } 

⎛ 

⎞ 

0,99757 0,0024289 0 0 0 0 0 0 

0,099677 0,89683 0,0034952 0 0 0 0 0 

0 0,18809 0,77527 0,036633 0 0 0 0 

P k0 = 

0 0 0,28371 0,60674 0,10955 0 0 0 

0 0 0 0,34579 0,5514 0,1028 0 0 

0 0 0 0 0,25 0,675 0,075 0 

⎜ 

⎝ 0 0 0 0 0 0,5 0,33333 0,16667 

⎟ 

⎠ 

0 0 0 0 0 0 1 0 

( 

10,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 

B k0 = 

00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 

) T 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k61 ,P k61,B k61 } 

⎛ 

⎞ 

0,9802 0,019797 0 0 0 0 0 0 

0,14118 0,85649 0,0023282 0 0 0 0 0 

0 0,21128 0,74963 0,039084 0 0 0 0 

P k61 = 

0 0 0,0027767 0,80308 0,19415 0 0 0 

0 0 0 0,24204 0,6781 0,079857 0 0 

0 0 0 0 0,26307 0,73627 0,00066581 0 

⎜ 

⎝ 0 0 0 0 0 0,0035692 0,58752 0,40891 

⎟ 

⎠ 

0 0 0 0 0 0 1 0 

( 

1 0,98238 0,99781 0,99346 0,99075 0,98851 0,93443 0,87496 

B k61 = 

00,017615 0,0021877 0,0065447 0,0092546 0,011487 0,06557 0,12504 

) T 

⃗π (0) 

k61 

= ⃗π k61 

170


E.2.8 Panasonic PAN 5460 – MH-RAND 


k0 ,P k0,B k0 } 

⎛ 

⎞ 

0,9925 0,0074993 0 0 0 0 

0,097712 0,88369 0,018599 0 0 0 

0 0,1973 0,77623 0,026475 0 0 

P k0 = 

0 0 0,29688 0,66563 0,0375 0 

⎜ 

⎝ 0 0 0 0,33333 0,62821 0,038462 

⎟ 

⎠ 

0 0 0 0 0,75 0,25 

( 

10,9 0,8 0,7 0,6 0,5 

B k0 = 

00,1 0,2 0,3 0,4 0,5 

) T 

⃗π (0) 

k0 

= ⃗π k0 


k54 ,P k54,B k54 } 

⎛ 

⎞ 

0,98457 0,015427 0 0 0 0 

0,028503 0,95304 0,018454 0 0 0 

0 0,12985 0,86066 0,0094865 0 0 

P k54 = 

0 0 0,02164 0,78451 0,19386 0 

⎜ 

⎝ 0 0 0 0,024902 0,8939 0,081194 

⎟ 

⎠ 

0 0 0 0 0,6447 0,3553 

( 

1 0,98898 0,99178 0,98575 0,96846 0,95278 

B k54 = 

00,0110190,0082183 0,014254 0,031538 0,047221 

) T 

⃗π (0) 

k54 

= ⃗π k54 

171


E.3 Parametersätze zu Abschnitt 7.4.2 


Initialer Parametersatz λ p0 := {⃗π (0) 

p0 ,P p0,B p0 }: 

⎛ 

⎞ 

0,87242 0,11888 0,0086469 

⎜ 

⎟ 

P p0 = ⎝0,87811 0,11556 0,0063264⎠ 

0,87349 0,12651 0 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠ 

0,001 0,001 0,998 

⃗π (0) 

p0 

= ⃗π p0 

Optimierter Parametersatz λ p259 := {⃗π (0) 

p259 ,P p259,B p259 }: 

⎛ 

⎞ 

0,8732 0,11815 0,0086496 

⎜ 

⎟ 

P p259 = ⎝ 0,8789 0,11479 0,0063077⎠ 

0,87421 0,12579 0 

⎛ 

⎞ 

0,99901 9,7833 · 10 −4 1,3428 · 10 −5 

⎜ 

B p259 = ⎝1,0087 · 10 −3 0,99897 2,1808 · 10 −5 ⎟ 

⎠ 

9,8353 · 10 −4 9,157 · 10 −4 0,9981 

⃗π (0) 

p259 = ⃗π p259 



p0 ,P p0,B p0 }: 

⎛ 

⎞ 

0,31342 0,62904 0,057386 

⎜ 

⎟ 

P p0 = ⎝0,31727 0,62225 0,060482⎠ 

0,33471 0,59072 0,074565 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠ 

0,001 0,001 0,998 

⃗π (0) 

p0 

= ⃗π p0 

172



p4 ,P p4,B p4 }: 

⎛ 

⎞ 

0,31339 0,63004 0,056576 

⎜ 

⎟ 

P p4 = ⎝0,31722 0,62311 0,059675⎠ 

0,335 0,59097 0,074032 

⎛ 

⎞ 

0,99801 1,0007 · 10 −3 9,8573 · 10 −4 

⎜ 

B p4 = ⎝9,9881 · 10 −4 0,99802 9,8486 · 10 −4 ⎟ 

⎠ 

⃗π (0) 

p4 

= ⃗π p4 

1,0133 · 10 −3 1,0147 · 10 −3 0,99797 

E.3.3 Mitsumi WML-C20 – MH-RAND 


p0 ,P p0,B p0 }: 

⎛ 

⎞ 

0,87497 0,10683 0,018143 

⎜ 

⎟ 

P p0 = ⎝0,79008 0,17315 0,036768⎠ 

0,7555 0,22005 0,02445 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠ 

0,001 0,001 0,998 

⃗π (0) 

p0 

= ⃗π p0 


p656 ,P p656,B p656 }: 

⎛ 

⎞ 

0,98777 0,01223 6,8194 · 10 −8 

⎜ 

⎟ 

P p656 = ⎝ 0,77961 0,14724 0,073146 ⎠ 

0,0053483 1,1563 · 10 −7 0,99465 

⎛ 

⎞ 

0,91446 0,073405 0,012135 

⎜ 

⎟ 

B p656 = ⎝0,0067507 0,94301 0,050237⎠ 

0,66209 0,27746 0,060455 

⃗π (0) 

p656 = ⃗π p656 

173




p0 ,P p0,B p0 }: 

⎛ 

⎞ 

0,97844 0,014583 0,0069294 

⎜ 

⎟ 

P p0 = ⎝0,58636 0,27273 0,14091 ⎠ 

0,71171 0,17117 0,11712 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠ 

0,001 0,001 0,998 

⃗π (0) 

p0 

= ⃗π p0 


p338 ,P p338,B p338 }: 

⎛ 

⎞ 

0,99718 0,0028164 5,9968 · 10 −14 

⎜ 

⎟ 

P p338 = ⎝ 0,022934 0,93581 0,041252 ⎠ 

2,724 · 10 −4 0,13563 0,8641 

⎛ 

⎞ 

0,99521 0,001031 0,0037587 

⎜ 

⎟ 

B p338 = ⎝0,91521 0,06387 0,020922 ⎠ 

0,37445 0,44902 0,17653 

⃗π (0) 

p338 = ⃗π p338 



p0 ,P p0,B p0 }: 

⎛ 

⎞ 

0,73091 0,23471 0,03431 

⎜ 

⎟ 

P p0 = ⎝0,61776 0,32966 0,052572⎠ 

0,61702 0,32791 0,055069 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠ 

0,001 0,001 0,998 

⃗π (0) 

p0 

= ⃗π p0 

174



p1733 ,P p1733,B p1733 }: 

⎛ 

⎞ 

0,98388 0,016118 1,4537 · 10 −8 

⎜ 

P p1733 = ⎝2,3042 · 10 −18 ⎟ 

0,41013 0,58987 ⎠ 

0,011439 0,36115 0,62741 

⎛ 

⎞ 

0,89526 0,090495 0,014248 

⎜ 

⎟ 

B p1733 = ⎝0,025958 0,86932 0,10472 ⎠ 

0,97917 3,5442 · 10 −3 0,017284 

⃗π (0) 

p1733 = ⃗π p1733 

E.3.6 Freescale MC 13192-EVB – MH-RAND 


p0 ,P p0,B p0 }: 

⎛ 

⎞ 

0,93788 0,029984 0,032026 

⎜ 

⎟ 

P p0 = ⎝0,83077 0,055385 0,11385 ⎠ 

0,82973 0,075676 0,094595 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠ 

0,001 0,001 0,998 

⃗π (0) 

p0 

= ⃗π p0 


p640 ,P p640,B p640 }: 

⎛ 

⎞ 

0,99758 6,8672 · 10 −4 1,7362 · 10 −3 

⎜ 

P p640 = ⎝1,0167 · 10 −5 ⎟ 

0,076907 0,92308 ⎠ 

5,5889 · 10 −3 0,078087 0,91632 

⎛ 

⎞ 

0,97183 0,013686 0,014483 

⎜ 

B p640 = ⎝0,097054 0,90223 7,1857 · 10 −4 ⎟ 

⎠ 

0,90692 9,1073 · 10 −4 0,092167 

⃗π (0) 

p640 = ⃗π p640 

175


E.3.7 Panasonic PAN 5460 – MH-40m 


p0 ,P p0,B p0 }: 

⎛ 

⎞ 

0,63627 0,33962 0,024014 

⎜ 

⎟ 

P p0 = ⎝0,45536 0,4934 0,051248⎠ 

0,40964 0,5087 0,08166 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠ 

0,001 0,001 0,998 

⃗π (0) 

p0 

= ⃗π p0 


p1854 ,P p1854,B p1854 }: 

⎛ 

⎞ 

0,99383 3,519 · 10 −9 0,0061708 

⎜ 

P p1854 = ⎝1,2871 · 10 −13 0,991 8,9957 · 10 −3 ⎟ 

⎠ 

7,2347 · 10 −3 5,7952 · 10 −3 0,98697 

⎛ 

⎞ 

0,7665 0,22044 0,01306 

⎜ 

⎟ 

B p1854 = ⎝0,26729 0,6501 0,082612⎠ 

0,4938 0,47006 0,036138 

⃗π (0) 

p1854 = ⃗π p1854 

E.3.8 Panasonic PAN 5460 – MH-RAND 


p0 ,P p0,B p0 }: 

⎛ 

⎞ 

0,84375 0,096491 0,059622 

⎜ 

⎟ 

P p0 = ⎝0,49663 0,22622 0,27715 ⎠ 

0,3477 0,24032 0,41198 

⎛ 

⎞ 

0,998 0,001 0,001 

⎜ 

⎟ 

B p0 = ⎝0,001 0,998 0,001⎠ 

0,001 0,001 0,998 

⃗π (0) 

p0 

= ⃗π p0 

176



p57 ,P p57,B p57 }: 

⎛ 

⎞ 

0,99074 2,9198 · 10 −3 6,3431 · 10 −3 

⎜ 

⎟ 

P p57 = ⎝0,025829 0,28437 0,6898 ⎠ 

0,015935 0,27974 0,70432 

⎛ 

⎞ 

0,91626 0,057832 0,025908 

⎜ 

B p57 = ⎝0,01883 0,97991 1,2631 · 10 −3 ⎟ 

⎠ 

0,48494 7,9705 · 10 −3 0,50709 

⃗π (0) 

p57 = ⃗π p57 

177

Curriculum Vitae 

Andreas Robert Vedral 

Adresse 

D-44577 Castrop-Rauxel, Kirchlinder Str.20 

Geburtstag 14. März 1997 

Geburtsort 

Nationalität 

Bochum 

deutsch 

Schulische Ausbildungen 

08.1995-01.1997 Fachoberschule für Technik an der Technischen Beruflichen Schule (TBS) 

1 in Bochum. Abschluss der Fachhochschulreife im Januar 1997. 

09.1997-03.2001 Studium der Elektrotechnik Fachrichtung Ingenieurinformatik an der Fachhochschule 

Bochum. Erlangung des akademischen Grades Dipl.-Ing (FH) 

im März 2001. 

10.2001-10.2003 Erlangung der Promotionsreife an der Universität Duisburg-Essen 

Berufliche Tätigkeiten 

09.1993-01.1997 Berufsausbildung bei der Adam Opel AG in Bochum zum Energieanlagenelektroniker 

Fachrichtung Betriebstechnik. 

10.2000-03.2001 Studentische Hilfskraft im Labor für Softwaretechnik und Rechnernetze der 

Fachhochschule Bochum. 

seit 04.2001 

Wissenschaftlicher Mitarbeiter im Labor für Softwaretechnik und Rechnernetze 

der Fachhochschule Bochum. 

29. Januar 2007 

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Digitale Analyse, Leistungsbewertung und generative Modellierung ...

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