Blatt 3 - M1

TU München
Lehrstuhl Mathematische Optimierung
Prof. Dr. M. Ulbrich
S. Albrecht, F. Lindemann
Sommersemester 2009
Blatt 3
Übungen zu Nichtlineare Optimierung
9. Multiple-Choice (ca. 6 Punkte: -0.5/0/0.5 Punkte für falsche/keine/richtige Antwort)
Es seien f : R n → R, g : R n → R m , h : R n → R p stetig differenzierbare Funktionen und
X := {x ∈ R n ; g(x) ≤ 0, h(x) = 0} ≠ R n
der zulässige Bereich des Optimierungsproblems min f(x) u.d.N. x ∈ X.
a) Sei x ∈ X. Ist der Tangentialkegel T (X, x) nicht konvex, so
gibt es stetig differenzierbare Funktionen ˜h und ˜g mit
X = {x ∈ R n ; ˜g(x) ≤ 0, ˜h(x) = 0}
mit T (X, x) = T l (˜g, ˜h, x). wahr □ falsch □
b) Polarkegel sind abgeschlossen und konvex. wahr □ falsch □
c) Für einen KKT-Punkt sind die Lagrange-Multiplikatoren
eindeutig. wahr □ falsch □
d) In einer Lösung x ∈ X steht ∇g i (x), i ∈ A(x) immer
senkrecht auf den Niveaulinien von f. wahr □ falsch □
e) In einem Punkt können gleichzeitig die ACQ, die GCQ und
die KKT-Bedingungen gelten. wahr □ falsch □
f) Es gibt Lösungen ¯x, die KKT-Punkte sind, in denen aber
keine GCQ gilt. wahr □ falsch □
g) Es gibt für X ⊂ R 2 keine Punkte in denen die GCQ,
aber nicht die ACQ gilt. wahr □ falsch □
h) Für ein KKT-Tripel (x, λ, µ), in dem die strikte Komplementaritätsbedingung
erfüllt ist, gilt λ i > 0 ∀i. wahr □ falsch □
i) Sind f, g, h stetig differenzierbar, so ist auch die Lagrangefunktion
stetig differenzierbar. wahr □ falsch □
j) Sei x ∈ X mit A(x) = ∅. Dann ist in x eine CQ erfüllt. wahr □ falsch □
k) Sei x ∈ X mit A(x) = ∅ und h affin linear. Dann ist in x
eine CQ erfüllt. wahr □ falsch □
l) Die KKT-Bedingungen in (¯x, ¯λ, ¯µ) sind äquivalent zu
∇ x L(¯x, ¯λ, ¯µ) = 0, ∇ µ L(¯x, ¯λ, ¯µ) = 0, ∇ λ L(¯x, ¯λ, ¯µ) ≤ 0,
¯λ ≥ 0, ¯λ T g(¯x) = 0. wahr □ falsch □
– bitte wenden –

10. Slater-Bedingung (ca. 3 Punkte)
Gegeben ist das (konvexe) Optimierungsproblem
min f(x) u.d.N. g(x) ≤ 0 (P)
mit konvexen C 1 -Funktionen f, g i : R n → R, i = 1, . . . , m.
Die Slater-Bedingung lautet:
Es gibt einen Punkt y ∈ R n mit g i (y) < 0, i = 1, . . . , m.
Zeigen Sie, dass die Slater-Bedingung eine Constraint Qualification für jeden zulässigen
Punkt von (P) ist.
11. Federkette (ca. 4 Punkte)
Wir betrachten n Kugeln der Masse m, die nebeneinander aufgehängt sind, unter dem Einfluss
der Gravitation. Diese seien durch elastische Federn miteinander verbunden. Dabei
bezeichne p i ∈ R 2 die Position der i-ten Kugel, die Randpositionen p 1 = a ∈ R 2 + sowie
p n = b ∈ R 2 + seien vorgegeben. Zusätzlich ist die Höhe der Kugeln nach unten durch das
Bodenniveau h = 0 beschränkt.
Dann ist die potentielle Energie der Federkette gegeben durch
f(p 1 , . . . , p n ) = K n−1
∑
n∑
||p i+1 − p i || 2 + mg p i 2 ,
2
i=1
hierbei sind K die einheitliche Federkonstante und g die Gravitationskonstante.
Die Kette befindet sich im Ruhestand, wenn die potentielle Energie minimal ist.
a) Formulieren Sie die Minimierung der potentiellen Energie als Optimierungsproblem
mit Nebenbedingungen.
b) Zeigen Sie für die ruhende Kette (also für das Optimum), dass jeweils zwei benachbarte
Kugeln horizontal den gleichen Abstand haben.
i=1
12. KKT-Bedingungen und Constraint Qualifications (ca. 4 Punkte)
Gegeben sei das Optimierungsproblem
min f(x) u.d.N. h(x) = 0 (∗)
mit C 1 -Funktionen f : R n → R und h : R n → R p . Weiter sei ¯x ∈ R n eine lokale Lösung
von (∗), in der die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen gelten:
Es gibt einen Lagrange-Multiplikator ¯µ ∈ R p mit
∇f(¯x) + ∇h(¯x)¯µ = 0.
a) Finden Sie ein möglichst einfaches Problem der Form (∗), das eine globale Lösung ¯x
besitzt, in der die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen nicht gelten.
b) Bezeichne X den zulässigen Bereich von (∗). Geben Sie für das Beispiel aus a) den
Tangentialkegel T (X, ¯x) und den linearisierten Tangentialkegel T l (h, ¯x) an und zeigen
Sie, dass die Abadie Constraint Qualification verletzt ist.
Abgabe: Mittwoch, 27.05.2009 bis 14:00 Uhr im Briefkasten Nichtlineare Optimierung im
Untergeschoss.