Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

5.4 VERGLEICH MIT DEN WERTEN DER BESCHREIBUNGSFUNKTION 97
Aus diesen Überlegungen folgt die Definition der Stabilität des Zustandes der
Harmonischen Balance:
Definition 6.7:
Besitzt ein nichtlineares System einen durch den Punkt X HB
X
HB
=
η
[ ωx_HB,E0(1)_HB,ES1(1)_HB,...,E
C (n),
γtx(1)
,..., γtx(n)
]
(6.16)
beschriebenen und durch (6.12) und (6.14) definierten Zustand
der Harmonischen Balance, dann heißt dieser Zustand
stabil, wenn eine solche Umgebung ∆X HB
∆X
HB
= [ ωx_HB,E0(1)_HB
±∆E,E
S1(1)_HB
±∆E,...,E
Cη(n)
±∆E,
γtx(1)
,..., γtx(n)
]
(6.17)
existiert, daß bei einer Verschiebung des Punktes X HB innerhalb
eines beliebig kleinen Bereiches ∆X HB das System für
t→∞ gegen X HB strebt.
Es ist verständlich, daß bei einem stabilen Zustand der Harmonischen Balance
seine Veränderung um ∆X HB eine entgegengesetzte Reaktion des Systems
erzeugen muß. Daraus folgt, daß die Polverschiebung nach der Änderung um
∆X HB einen stabilen Charakter aufweisen soll. D.h. die Reaktion des Systems
muß solche Auswirkung auf die Pole des Systems aufweisen, daß sich der
reelle Teil f SG(R) =f R von s G auf die I–Achse der komplexen Ebene bewegt und
der imaginäre Teil f SG(I) =f I dem Wert ω x =ω SG zustrebt.
Die Änderung des Zustandes des Systems um ∆X HB führt zu einer Verschiebung
von f R =0 um ∆f R =f R (∆X HB ). Diese Änderung hat zur Folge, daß sich die
Amplituden des Vektors der ersten Harmonischen E S1 um ∆E S1 =+∆E für
∆f R >0 und um ∆E S1 =-∆E für ∆f R