Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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94 KAPITEL 6 STABILITÄTSANALYSE γ tx Für den Vektor aus (6.9) und für ω = ω x existiert für den Zustand X HB eine Verteilung der Pole s 1 , s 2 ,... einer Übertragungsfunktion G g(i,j) der Matrix G g aus (6.11). Pole des Systems, die auf der imaginären Achse liegen, werden mit s G1 , s G2 ,... gekennzeichnet. Die Stabilitätsuntersuchung des Zustandes der Harmonischen Balance X HB führt zur Untersuchung der Polverschiebung bei Veränderung der einzelnen Parametern ω x , , K BF (e), und γ tx des in Bild 6/1 dargestellten ϕ BF (e) Systems. Ein lineares System von Bild 6/1 ist instabil, wenn die einzelnen Übertragungsfunktionen von G g aus (6.11) Pole rechts der imaginären Achse oder reine imaginäre mehrfache Pole aufweisen. Sonst ist das System stabil (vgl. [3], Abschnitt 1.7). Im Zustand der Harmonischen Balance erfüllt das System die Gleichung (6.12). Damit ist gewährleistet, daß vom System in diesem Zustand eine harmonische Schwingung mit der Frequenz ω x erzeugt wird. Dadurch werden unabhängig von γimmer tx zwei Pole auf der I-Achse der komplexen Ebene existieren. Der Vektor beeinflußt γ tx jedoch die anderen Pole des Systems und auch das Verhalten der einzelnen Eingangssignale E 0(j) (t), E S1(j) (t), E Sη(j) (t), E Cη(j) (t) aus (4.14) mit j=1, 2, ... n. Damit muß für einen stabilen Zustand der Harmonischen Balance die Bedingung (6.14) gelten, welche entsprechend der Stabilitätsbedingungen der linearen Systeme formuliert werden kann (vgl. [3], Abschnitt 1.7). Ein stabiler Zustand der Harmonischen Balance kann nur dann entstehen, wenn: 1. ein solcher Vektor der Phasenverschiebung aus (3.32) existiert, daß die Pole der Übertragungsfunktion G g aus (6.11) links und auf der I-Achse der komplexen Ebene liegen, γ tx (6.14) 2. die auf der I-Achse liegenden Pole höchstens 1. Ordnung sind, 3. bei einem Pol s=0 der Systemeingang w=0 ist.
5.4 VERGLEICH MIT DEN WERTEN DER BESCHREIBUNGSFUNKTION 95 Existieren solche Vektoren der Phasenverschiebung γ tx , für die sich eine stabile Polverteilung ergibt, dann kann mit der Untersuchung fortgefahren werden. Andernfalls kann von einem instabilen Zustand der harmonischen Balance gesprochen werden. Weiter muß geklärt werden, was in dem nächsten Augenblick, d.h. für t x +dt, mit dem Zustand der Harmonischen Balance geschehen wird. Für t
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5.4 VERGLEICH MIT DEN WERTEN DER BESCHREIBUNGSFUNKTION 95<br />
Existieren solche Vektoren <strong>der</strong> Phasenverschiebung γ tx , für <strong>die</strong> sich eine<br />
stabile Polverteilung ergibt, dann kann mit <strong>der</strong> Untersuchung fortgefahren<br />
werden. An<strong>der</strong>nfalls kann von einem instabilen Zustand <strong>der</strong> <strong>harmonischen</strong><br />
<strong>Balance</strong> gesprochen werden.<br />
Weiter muß geklärt werden, was in dem nächsten Augenblick, d.h. für t x +dt,<br />
mit dem Zustand <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> geschehen wird.<br />
Für t
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