Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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92 KAPITEL 6 STABILITÄTSANALYSE<br />
Mehrgrößenfall müssen alle Elemente <strong>der</strong> Matrix G g auf ihre Eigenschaften<br />
untersucht werden. Die Untersuchungsergebnisse <strong>der</strong> einzelnen Übertragungsfunktionen<br />
liefern das Gesamtbild des Systemverhaltens. Damit brauchen für<br />
<strong>die</strong> vollständige Betrachtung des Gesamtsystems nur <strong>die</strong> Kriterien für ein<br />
Element <strong>der</strong> Matrix G g aufgestellt werden.<br />
Für ω x → ∞ gilt für <strong>die</strong> nichtlinearen Glie<strong>der</strong> nicht mehr <strong>die</strong> Gleichung (6.9),<br />
son<strong>der</strong>n (3.2) o<strong>der</strong> (3.3). Für Gleichanteile, d.h. für ω x = 0, müssen statt (6.9)<br />
<strong>die</strong> Gleichungen (4.7) und (4.14) berücksichtigt werden.<br />
Um <strong>die</strong> Stabilitätskriterien für das gesamte System formulieren zu können,<br />
muß vorher <strong>die</strong> Stabilität <strong>der</strong> einzelnen Zustände <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong><br />
definiert werden. Die Vorgehensweise bei <strong>der</strong> Analyse eines einzelnen Zustandes<br />
wird im Abschnitt 6.2.1 vorgestellt.<br />
6.2.1 Stabilität <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong>.<br />
Wurde bei <strong>der</strong> Untersuchung <strong>der</strong> ersten Harmonischen gemäß Abschnitt 5.3<br />
und 5.4 nachgewiesen, daß ein Zustand <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> im System<br />
entstehen könnte, so muß, durch den Vergleich mit <strong>der</strong> Beschreibungsfunktion,<br />
seine Existenz geprüft und anschließend seine Stabilitätsuntersuchung<br />
durchgeführt werden. Sie soll feststellen, ob <strong>die</strong>ser Zustand zu einer Dauerschwingung<br />
führen o<strong>der</strong> in einen an<strong>der</strong>en Zustand wechseln wird. D.h. es muß<br />
untersucht werden, ob es eine solche Frequenz ω x geben kann, daß <strong>die</strong> erste<br />
Harmonischen <strong>der</strong> „Fenster“-Funktion gemäß (3.31) für <strong>die</strong>se Frequenz und<br />
für t→∞ erhalten bleibt.<br />
Für ein nichtlineares System von Bild 6/1 kann dementsprechend ein Zustand<br />
<strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> als Punkt X HB von Bild 6/2 dargestellt werden.<br />
Dieser Punkt entsteht als ein Schnittpunkt von N (i,j) aus (6.12) und Z (i,j) aus<br />
(5.33) und erfüllt zu einem Zeitpunkt t x und für ein Zeitintervall t x –T x (d.h. für<br />
ω x =2π/T x ) <strong>die</strong> Beziehung (6.12) und (6.13). Diese Gleichungen (6.12) und<br />
(6.13) können entsprechend <strong>der</strong> Ausführungen im Abschnitt 5.4 aus (5.41) bis<br />
(5.43) abgeleitet werden.
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