Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

6.1 DEFINITION DER STABILITÄT 89
Definition 6.5: Ein nichtlineares System heißt stabil (aber nicht asymptotisch),
wenn das System nicht (global) asymptotisch stabil ist und für einen beliebigen
Vektor w 0 zumindest aber für den Vektor w 0 = 0 für t > t 0 und t→∞ aus
jedem beliebigen Anfangszustand der Zustandsvariablen x g (t 0 ) das System
einen stationären Zustand (w 0 ,y w0 (t)) gemäß Definition 6.2 annimmt.
Für stabile Systeme gemäß Definition 6.5 gibt es bekanntlich unterschiedliche
stationäre Zustände. Damit ist es erforderlich die Definition 6.6 einzuführen.
Definition 6.6: Ein gemäß der Definition 6.5 stabiles System weist ein chaotisches
oder ein Grenzschwingungsverhalten auf, wenn für t > t 0 und t→∞ für
den stationären Zustand (w 0 ,y w0 (t)) die Gleichung (6.7) oder (6.8) zutrifft.
Für das Grenzzyklusverhalten gilt:
y w 0
∞
η=
1
( Y cos( ηω t) + Y sin( ηω )
Y
(t) =
0 +
t)
Cη
x Sη
x
2
(6.7)
mit der Frequenz ω x =2π/(t x -t 0 ).
Für das chaotische Verhalten gilt:
y w 0
Y (t)
(t) =
)
( Y (t)cos( ηω ( t) t)
+ Y (t)sin(
ηω ( t t )
0 ∞ +
Cη
x
Sη
x
2
)
η=
1
< K < ∞
(6.8)
wobei K ein beliebiger reeller Vektor ist.
Die Gleichung (6.8) enthält die Beschreibung aller möglichen Ursachen für die
Entstehung chaotischer Bewegungen im System. Einerseits kann das System
z.B. keinen konstanten Gleichanteil Y 0 (t) = const. erzeugen, weil es für ω→∞
und für kleinere Signalwerte instabil ist und bei steigenden Amplituden stabil
wird.