Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

88 KAPITEL 6 STABILITÄTSANALYSE
Definition 6.2: Ein stationärer Zustand (w 0 ,y w0 (t)) eines nichtlinearen System
ist ein solcher Zustand des Systems, bei dem es für t→∞ und einem Vektor der
Systemeingänge w = cons = w 0 einen solchen beliebigen reellen Vektor K
gibt, daß für die Systemausgänge y = y w0 (t) die Gleichung (6.5) und für die
nichtlinearen Eingänge e = e w0 (t) (6.6) erfüllt ist.
y w
(t) <
0
K
(6.5)
e w
< (t)
0
K
(6.6)
Mit den Definitionen 6.1 und 6.2 ist beispielsweise eine Grenzschwingung
zwar ein stationärer Zustand, nicht aber ein Ruhezustand des Systems. Jeder
Ruhezustand ist damit auch ein stationärer Zustand, aber nicht umgekehrt.
Diese Unterscheidung wird oft bei der Betrachtung des Stabilitätsverhaltens
der nichtlinearen Systeme (vgl. z.B. [3],Abs. 1.4) unterlassen, ist aber bei der
Analyse eines Systems mit der Methode der Harmonischen Balance von Bedeutung.
Mit der Berücksichtigung dieser Besonderheiten des Systemverhaltens im
Zustandsraum lassen sich folgende Stabilitätsdefinitionen formulieren.
Definition 6.3: Ein nichtlineares System heißt global asymptotisch stabil,
wenn es für das System für einen beliebigen Vektor w 0 im System nur einen
einzigen Ruhezustand (w 0 , y w0 ) gemäß Definition 6.1 gibt und das System für t
> t 0 und t→∞ aus jedem beliebigen Anfangszustand der Zustandsvariablen
x g (t 0 ) gegen den Ruhezustand (w 0 , y w0 ) strebt.
Definition 6.4: Ein nichtlineares System heißt asymptotisch stabil, wenn es für
das System für mindestens einen beliebigen Vektor w 0 im System mehrere
Ruhezustände (w 0 , y 1(w0) ),..., (w 0 , y n(w0) ) mit n>1 gemäß Definition 6.1 geben
kann und im übrigen für jeden Vektor w 0 ein Ruhezustand (w 0 , y 1(w0) ) entsteht.
Weiterhin strebt das System für t > t 0 und t→∞ aus jedem beliebigen Anfangszustand
der Zustandsvariablen x g (t 0 ) gegen einen dieser Ruhezustände.