Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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86 KAPITEL 6 STABILITÄTSANALYSE sich, wenn sie aus dem Blickwinkel der Harmonischen Balance betrachtet werden. Die Definition der BIBO-Stabilität läßt die unterschiedlichen stationären Zustände außer Acht und beschränkt sich auf die Aussage bezüglich des begrenzten Ausgangssignals bei einem begrenzten Eingangssignal. Diese Betrachtung führt dazu, daß eine genauere Unterscheidung zwischen den diversen Verhaltensmustern der stabilen nichtlinearen Systeme nicht möglich ist. Der Grund dafür liegt darin, daß alleine die BIBO-Stabilitätsdefinition bei den linearen Systemen zu der Bedingung führt, daß alle Nullstellen der charakteristischen Gleichung der Übertragungsfunktion des Systems negative Realteile haben müssen. Ähnlich verhält es sich mit der Definition der absoluten Stabilität nach V.M. Popow. Sie beschränkt sich auf die global asymptotische stabile Ruhelagen des nichtlinearen Systems. Eine solche Betrachtung der Zustände der Harmonischen Balance würde die Möglichkeiten dieser Methode unnötig einengen. Die Stabilitätsdefinition nach Ljapunow bezieht sich dagegen auf die Stabilität der Ruhelagen im Zustandsraum des Systems. Damit sind bei dieser Betrachtung die Gleichungen (3.14) und (3.15) zu berücksichtigen. Sie stellen eine nichtlineare Abhängigkeit der einzelnen Vektoren des Systems dar. Um diese Abhängigkeit genauer zu betrachten, ist eine zusätzliche Untersuchung des Zustandsraumes einzuführen, welche aber aus der praktischen Sicht bei der Anwendung der Harmonischen Balance nicht erforderlich ist. Vor allem ist es bei der Anwendung der Harmonischen Balance wünschenswert, zwischen unterschiedlichen Verhaltensklassen der stabilen Systeme differenzieren zu können. Zusätzlich müssen, auf Grund der „harmonischen Eigenschaften“ des Systems, für die Stabilitätsanalyse die vorhandenen Stabilitätskriterien für die linearen Systeme herangezogen werden. Aus diesen Gründen ergeben sich für den praktischen Einsatz der Harmonischen Balance die Stabilitätsdefinitionen 6.3 bis 6.6 sowie die Definitionen des Ruhezustandes und des stationären Zustandes 6.1 und 6.2.
6.1 DEFINITION DER STABILITÄT 87 Ein anderes wichtiges Anliegen bei der Anwendung der Harmonischen Balance ist die Einbeziehung der Eingangssignale e an den nichtlinearen Gliedern in die Stabilitätsbetrachtung. Aus den Gleichungen (3.6) und (5.1) läßt sich die Gleichung (6.1) ableiten. ( 1 NL − D R K ) e − D V w = ( C V C R ) x x V R (6.1) Ist der Vektor w = const., dann gilt für (6.1) nach der Differentiation der linken und rechten Seite nach der Zeit die Gleichung (6.2). d dt (( 1 − D K e ) = ( C V C R ) R NL ) x x V R (6.2) Mit (6.2) ist es ersichtlich, daß für e = const. die linke Seite von (6.2) gleich 0 wird. In diesem Fall kann aus (6.2) unter der Voraussetzung, daß ker [ C V C R ] = 0 ist, die Gleichung (6.3) hergeleitet werdren. x V e ≡ = x = x g R 0 (6.3) Damit kann in den Stabilitätsdefinitionen und bei der Formulierung der Stabilitätskriterien der Vektor e statt x g verwendet werden. Definition 6.1: Ein Ruhezustand (w 0 , y w0 ) eines nichtlinearen Systems ist ein solcher Zustand des Systems, bei dem für alle t > t 0 und einem Vektor der Systemeingänge w = const = w 0 die Systemausgänge konstant bleiben (es gilt also y = const = y w0 ). Außerdem muß für alle Eingangssignale der nichtlinearen Glieder die Gleichung (6.4) erfüllt sein. e = 0 bzw . e = const . (6.4)
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86 KAPITEL 6 STABILITÄTSANALYSE<br />
sich, wenn sie aus dem Blickwinkel <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> betrachtet<br />
werden.<br />
Die Definition <strong>der</strong> BIBO-Stabilität läßt <strong>die</strong> unterschiedlichen stationären Zustände<br />
außer Acht und beschränkt sich auf <strong>die</strong> Aussage bezüglich des begrenzten<br />
Ausgangssignals bei einem begrenzten Eingangssignal. Diese Betrachtung<br />
führt dazu, daß eine genauere Unterscheidung zwischen den diversen<br />
Verhaltensmustern <strong>der</strong> stabilen nichtlinearen Systeme nicht möglich ist. Der<br />
Grund dafür liegt darin, daß alleine <strong>die</strong> BIBO-Stabilitätsdefinition bei den<br />
linearen Systemen zu <strong>der</strong> Bedingung führt, daß alle Nullstellen <strong>der</strong> charakteristischen<br />
Gleichung <strong>der</strong> Übertragungsfunktion des Systems negative Realteile<br />
haben müssen.<br />
Ähnlich verhält es sich mit <strong>der</strong> Definition <strong>der</strong> absoluten Stabilität nach V.M.<br />
Popow. Sie beschränkt sich auf <strong>die</strong> global asymptotische stabile Ruhelagen des<br />
nichtlinearen Systems. Eine solche Betrachtung <strong>der</strong> Zustände <strong>der</strong> Harmonischen<br />
<strong>Balance</strong> würde <strong>die</strong> Möglichkeiten <strong>die</strong>ser Methode unnötig einengen.<br />
Die Stabilitätsdefinition nach Ljapunow bezieht sich dagegen auf <strong>die</strong> Stabilität<br />
<strong>der</strong> Ruhelagen im Zustandsraum des Systems. Damit sind bei <strong>die</strong>ser Betrachtung<br />
<strong>die</strong> Gleichungen (3.14) und (3.15) zu berücksichtigen. Sie stellen eine<br />
nichtlineare Abhängigkeit <strong>der</strong> einzelnen Vektoren des Systems dar. Um <strong>die</strong>se<br />
Abhängigkeit genauer zu betrachten, ist eine zusätzliche Untersuchung des<br />
Zustandsraumes einzuführen, welche aber aus <strong>der</strong> praktischen Sicht bei <strong>der</strong><br />
Anwendung <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> nicht erfor<strong>der</strong>lich ist.<br />
Vor allem ist es bei <strong>der</strong> Anwendung <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> wünschenswert,<br />
zwischen unterschiedlichen Verhaltensklassen <strong>der</strong> stabilen Systeme<br />
differenzieren zu können.<br />
Zusätzlich müssen, auf Grund <strong>der</strong> „<strong>harmonischen</strong> Eigenschaften“ des Systems,<br />
für <strong>die</strong> Stabilitätsanalyse <strong>die</strong> vorhandenen Stabilitätskriterien für <strong>die</strong> linearen<br />
Systeme herangezogen werden. Aus <strong>die</strong>sen Gründen ergeben sich für den<br />
praktischen Einsatz <strong>der</strong> Harmonischen <strong>Balance</strong> <strong>die</strong> Stabilitätsdefinitionen 6.3<br />
bis 6.6 sowie <strong>die</strong> Definitionen des Ruhezustandes und des stationären Zustandes<br />
6.1 und 6.2.
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