Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

5.4 VERGLEICH MIT DEN WERTEN DER BESCHREIBUNGSFUNKTION 83
Gemäß Kapitel 4 wird davon ausgegangen, daß sich bei der Berechnung der
Beschreibungsfunktionen N (1,1) bis N (n,k) mit Hilfe der in (4.14) festgelegten
Eingangssignale alle Werte, die das nichtlineare Glied liefern kann, berechnen
lassen. Damit lassen sich alle Z - Variablen aus (5.33) durch die dazugehörigen
Beschreibungsfunktionen ersetzten. Für die Gleichung (5.33) gilt damit
die Gleichung (5.41).
Z
( i, j)
= f ( ω
x
, N
(1,1)
,..., N
( i, j−1)
, N
( i , j+
1)
,..., N
( n ,k )
)
(5.41)
Gleichzeitig kann für die Berechnung von (5.41) die Gleichung (5.34) berücksichtigt
werden. Dabei wird als E ξ ein beliebiges Eingangssignal z.B. E j genommen.
Für diesen Fall gilt folgende Aussage:
In einem nichtlinearen System kann nur dann ein Zustand der
Harmonischen Balance entstehen, wenn folgende Bedingungen
erfüllt werden:
• Die Berechnung der Beschreibungsfunktion liefert einen
Wert N (i,j) , der mit dem Wert Z (i,j) gemäß (5.41) identisch
ist.
(5.42)
• Der Wert N (i,j) , ist mit (5.43) und (5.34) berechnet worden.
E
j
= E
ξf
E
( ω
x
, N
(1,1)
,..., N
( i , j 1)
, N
( i , j 1)
,..., N
( n , k )
)
j −
+
(5.43)
Eine weitere Einschränkung der Werte Z (i,j) aus (5.41), für die ein Zustand der
Harmonischen Balance möglich ist, liefert der Betragsvergleich der einzelnen
Elemente der Matrix R für die erste Harmonische ω und die nächste Harmonische
nω. Dabei entspricht n der Harmonischen η und υ aus (4.14). Bei der
Berechnung der Beschreibungsfunktion muß der höchste Wert aus dem Betragsvergleich
berücksichtigt werden.