Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

80 KAPITEL 5 HARMONISCHE BALANCE
Z ( i , j)
= f ( , Z ,..., Z , Z ,...., Z )
1 2
ω
x (1,1) 1 ( i, j−1)
1 (i , j+
1) 1
( n ,k ) 1
(5.33)
Gleichung (5.33) kann in (5.31) eingesetzt werden. Damit wird der Rang der
Matrix R(jω x )M n Z 1 -1 kleiner n und das Gleichungssystem (5.31) besitzt eine
nichttriviale Lösung. In einem allgemeinen Fall ist eine der Variablen
E 1 ,E 2 ,...E n frei wählbar und die Gleichung (5.31) läßt sich nach E 1 auflösen
(vgl auch Gaußalgorithmus in [18] Abschnitt 2.4.4.3).
Wird die Variable E ξ zu der frei wählbaren Variablen bestimmt, dann gilt für
die Lösungsmenge der Eingangsgrößen E 1 ,E 2 ,...E n die Gleichung (5.34).
E
E
E
E
1
ξ
2
n
= E
ξ
= E ξ ⋅ f
= E
ξ
= E
ξ
⋅f
frei wählbar
⋅ f
E1
E 2
En
( ω
x
( ω
( ω
, Z
x
x
, Z
, Z
(1,1) 1
(1,1) 1
(1,1) 1
,..., Z
,..., Z
,..., Z
(i, j−1)
1
(i, j−1)
1
(i, j−1)
1
, Z
, Z
, Z
(i, j+
1) 1
(i, j+
1) 1
(i, j+
1) 1
,...., Z
,...., Z
,...., Z
(n,k ) 1
)
(n ,k ) 1
Eξ+1 = E ξ ⋅f
E(ξ+1)
( ωx
, Z(1,1)
,..., Z , Z ,...., Z )
1 (i, j−1)
1 (i, j+
1) 1 (n ,k ) 1
(n ,k ) 1
)
)
(5.34)
Um die durch (5.33) und (5.34) beschriebenen Zusammenhänge zu illustrieren,
wird im folgenden eine allgemeine Lösung der Gleichung der Harmonischen
Balance für ein System mit zwei nichtlinearen Gliedern mit je einem Eingang
und einem Ausgang behandelt. Das nichtlineare System besitzt gemäß (5.18)
eine in (5.35) dargestellte Gleichung der Harmonischen Balance.