Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

5.3 LÖSUNG DER GLEICHUNG DER HARMONISCHEN BALANCE 79
5.3 Lösung der Gleichung der Harmonischen Balance
In den Gleichungen (5.28) und (5.29) sind diese Anforderungen des Systems
an das Vorhandensein von geschlossenen Trajektorien im Zustandsraum enthalten,
die sich aus der linearen Systemstruktur ergeben. Weiterhin muß bedacht
werden, daß am Anfang der Untersuchung die Harmonischen η > 1 nicht
interessant sind. Der Grund dafür liegt darin, daß die notwendigen Voraussetzungen
für die Existenz der geschlossenen Trajek- torien zuerst für η=1 vorliegen
müssen, bevor sie für die höheren Harmonische zutreffen. Deswegen
soll die Gleichung (5.29) für η=1 analysiert werden.
In (5.29) sind die Harmonischen Verstärkungsfaktoren Z 1 , die Frequenz ω x
sowie die Eingangssignale E 1 unbekannte Größen. Sie müssen ermittelt und
später ihre Werte mit den tatsächlich auftretenden Werten an den nichtlinearen
Gliedern (den Werten der Beschreibungsfunktion) verglichen werden. (5.31)
enthält das zu untersuchende Gleichungssystem.
( R ( j ) M Z - 1 E = 0
ω
x n 1
)
1
(5.31)
Unter der Annahme, daß Z 1 und ω x bekannt sind, läßt sich (5.31) wie ein System
von n linearen Gleichungen mit n Variablen E 1 ,E 2 ,...E n betrachten. Ein
solches Gleichungssystem kann nur dann eine nichttriviale Lösung besitzen,
wenn (5.32) erfüllt ist.
det( R ( jω x
) M
n
Z
1
- 1)
= f1(
ω
x
, Z
(1,1)
,..., Z ) 0
1 ( n ,k )
=
1
(5.32)
Aus (5.32) läßt sich ein beliebiger Harmonischer Verstärkungsfaktor Z (i,j)1 als
Funktion der Frequenz ω x und restlichen Verstärkungsfaktoren ausrechnen.
Mit i=1,2..n als Anzahl der Eingänge und j=1,2,..k Anzahl der Ausgänge der
nichtlinearen Glieder gilt für Z (i,j)1 die Gleichung (5.33).