Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

76 KAPITEL 5 HARMONISCHE BALANCE
Die Beziehungen (5.17) und (5.18) stellen die eigentlichen Gleichungen der
Harmonischen Balance dar.
Liegen alle Pole von R und V links der I–Achse, dann ergibt sich für diese
Matrizen die Gleichung (5.19).
V = V (s 0), R = R (s 0)
0
=
0
=
(5.19)
Durch die Berücksichtigung von (5.19) und Z 0 = diag( Z (1)0 , Z (2)0 , ... Z (n)0 ) in
(5.11) und (5.12) kann die Gleichung (5.17) in (5.20) umgewandelt wer-den.
E
0
V
0
+ ( R
0Z
0
- 1)
= 0
2
(5.20)
5.2.2 Nichtlinearitäten mit mehreren Eingangsvariablen
In diesem Abschnitt soll die Gleichung der Harmonischen Balance für nichtlineare
Systeme mit k nichtlinearen Gliedern aufgestellt werden. Jedes nichtlineare
Glied kann n k Eingänge aufweisen. Äquivalent zu (5.14) und (5.15)
lassen sich die Beziehungen (5.21) und (5.22) herleiten. Sie beschreiben die
Harmonischen Verstärkungsfaktoren zwischen dem ξ-ten Ausgang und dem
κ υ -ten Eingang. Mit ξ=1,2,...,k und κ υ =1,2,...,n κ gilt:
Z
( ξ , κ υ ) 0
=
U
E
0 ( ξ )
0 ( κ υ )
(5.21)
Z
U
+ jU
( ξ)sη
( ξ)cη
( ξ,
κυ ) η
=
=
E(
κυ
)sη
+ jE
( κυ
)cη
U
E
( ξ)
η
( κυ
) η
(5.22)