Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

5.2 ZUSTAND DER HARMONISCHEN BALANCE 73
v0 + v
rest
(t) + r0
+ rrest
(t) = fe-rest
(t) = const.
(5.10)
Um den Ausdruck für f e-rest zu erhalten, ist es notwendig davon auszugehen,
daß das System vor dem Übergang in den Zustand der Harmonischen Balance
zum Zeitpunkt t 0 bestimmte Anfangsbedingungen besaß. In einem allgemeinen
Fall hängt dadurch der Vektor f e-rest von den Anfangsbedingungen u(-t 0 )=u -t0 ,
r(-t 0 )=r -t0 , w(-t 0 )=w -t0 und v(-t 0 )=v -t0 sowie von der Frequenz ω x =2π/(t x -t 0 ) ab.
Für f e-rest gilt damit (5.11).
f
T T T
(t,...) = f (t, ω , u , r , w , v
T
e-rest
e-rest
x −t0 −t0
−t0
−t0
)
(5.11)
Mit (5.11) gilt schließlich für (5.7) die Gleichung (5.12).
e
HB
= + ∞ (t) f
e −rest
(t,...) R{
R ( jηω
x
)(
U
sη
+ jU
cη
)} sin( ηω
x
t)
+
η=
1
(
I{ R ( jηω
x
)(
U
sη
+ jU
c
)} cos( ηω
x
+
η
t ))
(5.12)
Der harmonische Anteil von (5.9) muß in der Analyse nicht explizit berücksichtigt
werden, da nur die Gültigkeit von (5.10) gefordert wird und nur der in
(5.12) dargestellte Signalverlauf von Interesse ist. Darüber hinaus muß ggf. bei
der Aufstellung der Gleichungen (5.9) bis (5.12) berücksichtigt werden, daß
die einzelnen Elemente von V einfaches imaginäres Wurzelnpaar aufweisen
können. In diesem Fall entstehen im System Schwingungen, die durch V verursacht
werden. Solche Systeme müssen prinzipiell wie fremderregte Systeme
behandelt werden. Aus diesem Grund werden sie in dieser Arbeit nicht explizit
behandelt.
Die Gleichungen (5.6) bis (5.9) beschreiben den Einfluß von linearen Übertragungsfunktionen
auf den Zustand der Harmonischen Balance. Für die vollständige
Darstellung des Zustandes müssen noch die Beziehungen zwischen
den Eingangs- und Ausgangssignalen der nichtlinearen Glieder formuliert
werden.