Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

70 KAPITEL 5 HARMONISCHE BALANCE
( X cos( η2πt/(t
- t ))
+ X sin(
η2πt/(t
- t ) )
g0
∞ ( t
0
..t
x
) = +
gCη
x 0 gSη
x 0
)
2 η=
1
x (t ∈ )
g
X
(5.2)
X g0 , X gCη und X gSη sind Koeffizienten der Fourierreihe, welche durch die bekannten
Fourierintegrale definiert sind.
Während der Zustandspunkt die geschlossene Trajektorie durchläuft, gilt für
den Vektor e wegen (3.6), 0 und (5.2) die Gleichung (5.3).
( E cos( η2πt/(t
- t ))
+ sin(
η2πt/(t
- t ) )
∞
0
( t0 ..t
x
) = +
Cη
x 0
ESη
x 0
)
2 η=
1
e(t
∈ )
E
(5.3)
Die Vektoren E 0 , E cη und E sη sind Koeffizienten der Fourierreihe, die gemäß
(3.26) definiert sind.
Definition 5.1:
Harmonische Balance in einem nichtlinearen System und
in einem Zeitaugenblick t x ist ein solcher Zustand des Systems,
welcher eine geschlossene Trajektorie für die Zeit t 0
< t < t x im Zustandsraum beschreibt.
Bei dem praktischen Umgang mit dem Zustand der Harmonischen Balance ist
es nicht erforderlich, alle seine Harmonischen in (5.3) zu analysieren, da die 1.
Harmonischen der Trajektorienabschnitte und ihre Stabilität (vgl. auch Kapitel
6) von Bedeutung sind.