Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

4.2 BERECHNUNG DER BESCHREIBUNGSFUNKTION 63
3 27 27 9
e (x) = + sin( x) − sin(2x) + sin(3x) + ...
2 π 2π
π
(4.15)
Das dazugehörige Ausgangssignal liefert nach der Zerlegung in die Fourierreihe
die Beziehung (4.16).
20
u (x) = + 16.47 sin(x) + 1.36 cos(x) − 7.41sin(2x) − 0.88 cos(2x) + ...
9
(4.16)
Mit (4.15) und (4.16) gelten für die ideale Beschreibungsfunktion (4.6) und
(4.7) die Werte (4.17).
π(16,47
+ j1,36)
N
∞
( e (x ))
≈
≈ 1,92 + j0,16
27
20 2
N
∞
( e(x)
) = ⋅
9 3
0
≈
1,48
(4.17)
Im Vorfeld der Anwendung von (4.14) in der Berechnung von (4.6) und (4.7)
muß eine Überlegung erfolgen, die den Einsatz der richtigen Harmonischen η
und υ liefert.
In dem vorliegenden Fall müssen die Integrale (4.8) und (4.9) für die Begrenzungskennlinie
von Bild 4/1 analysiert werden. In dieser Untersuchung sollen
die möglichen Minimal- und Maximalwerte der Integrale (4.8) und (4.9) für
die erste Harmonische d.h. für η=1 geschätzt werden. Daraus soll der Aufbau
des Ersatzeingangssignals abgeleitet werden.
Liegt das Eingangssignal der Kennlinie im Bereich von –10 bis 10, dann weist
sie einen linearen Charakter auf. Der Wert des Integrals (4.9) beträgt für η=1
in diesem Fall 2E S1 und (4.8) wird 0.
Die größten Integralwerte (4.8) und (4.9) für η=1 können bei einer Begrenzungskennlinie
dann erreicht werden, wenn das Ausgangssignal der Kennlinie
einen rechteckigen Verlauf aufweist. Die Fourierzerlegung eines solchen Verlaufs
würde für die erste Harmonische einen Wert von 20(4/π) liefern.