Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

4.1 DEFINITION DER BESCHREIBUNGSFUNKTION 59
Bei einer nichtlinearen eindeutigen Kennlinie mit einem Eingang und einem
Ausgang gelten für die Koeffizienten U 0 , U Cηx und U Sηx von u ∞ aus (4.5) die
Gleichungen (4.8) bis (4.10).
und
1 2
U
C
= f
NL
( e (x ))
cos( ηx )dx , η = 0,1,2...
π
π η
∞
0
1 2
U
S
= f
NL
( e (x))
sin( ηx)dx , η = 1,2... .
π
π η
∞
0
(4.8)
(4.9)
sowie
U
0
U
=
C( η= 0)
2
.
(4.10)
Die Funktion f NL (e) kann in einer ausreichend großen Umgebung e T eines
beliebige Punktes e 0 , d.h. für e ∞ ∈(e 0 -e T /2 , e 0 +e T /2), in einer Fourierreihe entwickelt
und mit einer endlichen Zahl der Harmonischen ausreichend gut angenähert
werden. f NL (e) sowie darüber hinaus e ∞ (t) für t∈(t 0 ... t x ) genügen den
Dirichletschen Bedingungen. Damit gilt für die Größe e ∞ in den Integralen
(4.8), (4.9) unter Berücksichtigung endlich vieler Harmonischer die Gleichung
(4.11).
e ∞ (t) ≈ e m (t)
(4.11)
wobei m für eine endliche Anzahl der Harmonischen von e ∞ steht. Jetzt können
die zu integrierenden Funktionen in (4.8) und (4.9) im Bereich von 0 bis
2π als stetige Funktionen angesehen werden. Gemäß dem ersten Mittelwertsatz
der Integralrechnung gelten für (4.8) und (4.9) die Gleichungen (4.12) und
(4.13).
U C η
≈ 2f NL
( e m
(x
α
))
cos( ηx
α
) , η = 0,1,2...
U S η
≈ 2f NL
( e m
(x
β
))
sin(
ηx
β
), η = 1,2...
(4.12)
(4.13)
wobei x α und x β im Intervall von 0 bis 2π liegen.