Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

52 3. DAS SYSTEMVERHALTEN UND ... SCHWINGUNGEN
γ tx :
Phasenverschiebung der Harmonischen ω x0 des Eingangssignals e(t)
in t x , bezogen auf t 0 .
Diese Beschreibung des transienten Vorganges für ein nichtlineares System
hat den Vorteil, daß sie in einem beliebigen Zeitaugenblick t x dem System für
die Zeit von t x bis (t x +t 0 ) eine Wiederholung des Signalverlaufs vom Intervall
t 0 bis t x unterstellt. D.h. vom System wird erwartet, daß es eine Schwingung
mit der Periodendauer T 0x =t x -t 0 ausführen wird. Ob das System tatsächlich
dem ihm unterstellten Verlauf folgen wird, muß noch später untersucht werden.
Aus (3.32) geht hervor, daß die Analyse der Eigenschwingungen im System
nur dann erfolgreich durchgeführt werden kann, wenn alle Verstärkungsfaktoren
K NL(tx) und Phasenverschiebungen ϕ tx für eine beliebige Harmonische
ω x0 =2π/(t x -t 0 ) in die Untersuchung einbezogen werden.
Weiterhin gilt für (2.7) gemäß (3.28) die Gleichung (3.33).
e (n,1) = e (n,1)h (t-t 0 ) + e (n,1)r (t-t 0 )
(3.33)
e (n,1)h (t-t 0 ) stellt den Vektor der harmonischen Anteile und e (n,1)r (t-t 0 ) die Restfunktionen
des Vektors e (n,1) äquivalent zu (3.28).
Mit den Gleichungen (3.32) und (3.33) läßt sich ein wichtiger Satz (3.34) für
die Analyse des Systemverhalten formulieren.
Streben in einem durch (2.7), (2.8) und (2.9) beschriebenen
nichtlinearen System für t x →∞ alle gemäß (3.33) definierten
Signale e (n,1)r (t-t 0 ) gegen einen konstanten Wert, dann läßt
sich die Aussage über das Systemverhaltens für eine beliebige
Harmonische ω x =(2π/(t x -t 0 ) und t x ∈(t 0 ..∞) nur dann treffen,
wenn alle gemäß (3.32) definierten Verstärkungsfaktoren
K NL(tx) und die dazugehörige Phasenverschiebungen ϕ tx für
einen beliebigen Verlauf von e (n,1) an den nichtlinearen
Kennlinien angegeben werden können.
(3.34)