Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...
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50 3. DAS SYSTEMVERHALTEN UND ... SCHWINGUNGEN Beispiel 3.3. Ein Integrator G(s)=R(s)/U(s)=1/s befindet sich in der Ruhelage ≡ 0 und wird zum Zeitpunkt t=0 durch das Eingangssignal u(t)=1+sin(t) angesteuert. In t x =10 sek sollen die Amplituden und Phasenverschiebungen der ersten Harmonischen des Ausgangssignals r(t) und r o-x (t) für die Frequenz ω x0 =2π/5 sek -1 berechnet werden. Das Ausgangssignal r(t) kann durch die Anwendung der Laplacetransformation berechnet werden. Es gilt r(t)=t+1-cos(t). Mit (3.28) und der Anwendung des Frequenzganges G(jω) gilt: ∞ η= 1 r 0-x (t) = r h (t-t o ) + r(t=5) + (t-t o )•U 0 /2+ {U ηs / ηω x 0}. (3.30) r h (t-t 0 ) stellt den harmonischen Anteil des Signals r 0-x (t) dar. Die obigen Funktionen sind in Bild 3/11 dargestellt. r(t),u(t),r o-x(t) ω x0=2π/5s , T x0=5s r o-x(t) r(t)=t+1-cos(t) t o u(t)=1+sin(t) t x t/Sek. Bild 3/11 Funktionen u(t), r(t) und r 0-x (t) vom Beispiel 3.3 Aus der Perspektive der Entwicklung eines transienten Vorgangs in die Fourierreihe kann gesagt werden, daß der Vorgang für T x =t x =0 mit der Frequenz ω x =∞ beginnt. Mit der wachsenden Zeit t x wird ω x =2π/t x kleiner. Für t x →∞ gilt schließlich ω x =0.
3.2 HARMONISCHE BETRACHTUNG TRANSIENTER ZEIT- vorgänge 51 Die oben vorgeführte Betrachtungsweise gilt auch bei nichtlinearen Kennliniengliedern. Da sie nicht von der Frequenz ω abhängig sind, entstehen an ihren Ausgängen nur harmonische Anteile. Für die nichtlinearen Glieder kann jetzt eine sehr wichtige Aussage formuliert werden. Das Ein- bzw. Ausgangssignal des nichtlinearen Gliedes kann für t=t x und ω x0 =2π/(t x -t 0 ) in die Fourierreihe (3.26) entwickelt werden. Diese Fourierreihe stellt im Allgemeinen eine „Fenster“-Funktion dar, welche die Aussagen über das Übertragungsverhalten des Signals der untersuchten Frequenz ω x0 liefert. (3.31) In einem Zeitaugenblick t=t x läßt sich die Übertragungsfunktion G NL(ωx0) (s) der Harmonischen ω x0 zwischen dem Eingang e und dem Ausgang u eines nichtlinearen Kennliniengliedes gemäß (3.32) angeben. G NL ( ωx 0 ) (s) = £ { £ { u e ωx 0 ωx 0 } } = £ { E ωx 0 K £ { NL ( tx ) E ωx 0 sin( ω sin( ω x 0 x 0 t + γ t + γ t x t x ) + ϕ } t x ) } sK = NL(t x ) sin( γ t x + ϕ s sin( γ t x t x ) + ω ) + ω x0 x0 K NL(t x ) cos( γ t x cos( γ ) t x + ϕ t x ) (3.32) In (3.32) haben die einzelnen Größen folgende Bedeutung: E ωx0 : Amplitude der Harmonischen ω x0 des Eingangssignals e(t) in t x . K NL(tx) : Verstärkungsfaktor der Harmonischen ω x0 des Eingangssignals e(t) in t x . γ tx +ϕ tx : Phasenverschiebung der Harmonischen ω x0 im Ausgangssignal u(t) in t x , bezogen auf t 0 .
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Beispiel 3.3.<br />
Ein Integrator G(s)=R(s)/U(s)=1/s befindet sich in <strong>der</strong> Ruhelage ≡ 0 und wird<br />
zum Zeitpunkt t=0 durch das Eingangssignal u(t)=1+sin(t) angesteuert. In<br />
t x =10 sek sollen <strong>die</strong> Amplituden und Phasenverschiebungen <strong>der</strong> ersten Harmonischen<br />
des Ausgangssignals r(t) und r o-x (t) für <strong>die</strong> Frequenz ω x0 =2π/5 sek -1<br />
berechnet werden.<br />
Das Ausgangssignal r(t) kann durch <strong>die</strong> Anwendung <strong>der</strong> Laplacetransformation<br />
berechnet werden. Es gilt r(t)=t+1-cos(t). Mit (3.28) und <strong>der</strong> Anwendung<br />
des Frequenzganges G(jω) gilt:<br />
∞<br />
η=<br />
1<br />
r 0-x (t) = r h (t-t o ) + r(t=5) + (t-t o )•U 0 /2+ {U<br />
ηs<br />
/ ηω<br />
x 0}.<br />
(3.30)<br />
r h (t-t 0 ) stellt den <strong>harmonischen</strong> Anteil des Signals r 0-x (t) dar.<br />
Die obigen Funktionen sind in Bild 3/11 dargestellt.<br />
r(t),u(t),r o-x(t)<br />
ω x0=2π/5s , T x0=5s<br />
r o-x(t)<br />
r(t)=t+1-cos(t)<br />
t o<br />
u(t)=1+sin(t)<br />
t x<br />
t/Sek.<br />
Bild 3/11 Funktionen u(t), r(t) und r 0-x (t) vom Beispiel 3.3<br />
Aus <strong>der</strong> Perspektive <strong>der</strong> Entwicklung eines transienten Vorgangs in <strong>die</strong> Fourierreihe<br />
kann gesagt werden, daß <strong>der</strong> Vorgang für T x =t x =0 mit <strong>der</strong> Frequenz<br />
ω x =∞ beginnt. Mit <strong>der</strong> wachsenden Zeit t x wird ω x =2π/t x kleiner. Für t x →∞<br />
gilt schließlich ω x =0.
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