Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

3.2 HARMONISCHE BETRACHTUNG TRANSIENTER ZEIT- vorgänge 49
Bei den linearen Gliedern wird die Auswirkung des Frequenzganges G(jω)
und des Eingangssignals u der Übertragungsfunktion G(s)=r(s)/u(s) auf ihr
Ausgangssignal r betrachtet. G(jω) bietet eine wichtige Möglichkeit, den Gehalt
der Harmonischen in r darzustellen.
Unter der Voraussetzung, daß u(t) als Fourierreihe (3.26) gegeben ist, existiert
für u(t) die Laplacetransformierte u(s) = £{ u(t)}.
Die Anwendung der Laplacetransformation liefert folgende Beziehung:
r(t) = £ -1 {r(s)} = £ -1 { G(s) u(s) + F AN (s)},
(3.27)
wobei die Funktion F AN (s) die Anfangsbedingungen einbezieht. Im weiteren
muß die Verschiebung der Zeit um t 0 in (3.27) berücksichtigt werden.
Mit s=jω gilt für t∈(t 0 ... t x ) folgende Beziehung:
r
− x
(t)
∞
=
(
0
= R{(Usn + jUcn)G(jnωx0
)}sin(nω
x0(t
− t
0))
+
n 1
+ I{( U + jU )G(jnω
)}cos(nω
(t − t )))
+ r
sn cn
x0
x0 0 r (t-t o ) =
= r h (t-t o ) + r r (t-t o )
(3.28)
wobei r h (t-t o ) der harmonische Anteil ist, r r (t-t o ) als eine Restfunktion bezeichnet
werden kann und U sn , U cn die Fourierintegrale aus (3.26) für u darstellen.
r r (t-t o ) soll bei stabilen Systemen für t→∞ gegen einen konstanten Wert streben
und kann gemäß (3.29) berechnet werden.
r r (t-t o ) = £ -1 {U(s)G(s) )+F AN (s)} - r h (t-t o )
(3.29)
Beispiel 3.3 veranschaulicht den Umgang mit den einzelnen Zeitintervallen
und harmonischen Funktionen.