Erweiterung der harmonischen Balance für die numerische ...

48 3. DAS SYSTEMVERHALTEN UND ... SCHWINGUNGEN
Der transiente Vorgang kann unter diesen Voraussetzungen in dem Zeitintervall
t∈(0 ... t x ) als Fourierreihe dargestellt werden. Die physikalische Bedeutung
der Fourierreihe ist z.B. in [4] ausführlich beschrieben. Es soll darauf
nicht näher eingegangen werden. Für diese Arbeit stellt sich nur die Frage,
welche Besonderheiten für die Analyse der Übertragungseigenschaften der
linearen und nichtlinearen Glieder im Frequenzbereich berücksichtigt werden
müssen. Im Folgenden wird die Verwendung der Fourierreihe für die Analyse
des transienten Vorganges sowie ihre daraus resultierende physikalische Deutung
kurz vorgetragen.
Genügt die Zeitfunktion f(t) im Intervall t=t 0 bis t x mit t 0 ∈(0 ... t x ) den Dirichletschen
Bedingungen, dann ist sie in diesem Zeitintervall durch eine Fourierreihe
(3.26) beschrieben. Da die Fourierreihe für die Sprungstellen in t=t s
den Wert {(f(t s +0)+ f(t s -0))/2}liefert, muß in der hier stattfindenden Betrachtung
dieser Umstand in t= t 0 und t=t x berücksichtigt werden. In t 0 und t x besitzt
die Reihe (3.26) Sprungstellen, die dem tatsächlichen Verlauf von f(t) nicht
entsprechen. Sonst ist f(t) für t= t 0 +0 bis t x -0 eindeutig durch (3.26) abgebildet.
Ein so abgebildeter Abschnitt der Funktion f(t) wird weiter als f o-x (t) bezeichnet.
f
A
( A cos( η2πt/(t
- t ))
+ A sin(
η2πt/(t
- t ) )
∞
0
o -x
(t) = +
Cη
x 0 Sη
x 0
)
2 η=
1
t
x
2
A
Cη
= f (t)cos ( η2πt/(t
x
- t
0
))
dt
t − t
x
0 t 0
t
x
2
A
Sη
= f (t)sin ( η2πt/(t
x
- t
0
))
dt
t − t
x
0 t 0
Für die Periodendauer T x gilt: T x = t x - t 0 .
η = 0,1,2,....
η = 1,2,....
(3.26)
Es ist offensichtlich, daß diese Fourierreihe die Zeitfunktion f(t) nur in einem
einzigen Augenblick nämlich in t x und nur für t∈(t 0 ... t x ) korrekt beschreibt.
Mit der wachsenden Zeit t verlängert sich die Periodendauer T x von (3.26) und
die Amplituden und Phasenverschiebungen der einzelnen Harmonischen verändern
sich.